9 数下复习与小测
第 26 章反比例函数，综合小测
一、选择题（共 30 分）
1.【2024郴州质检】下列各选项中的两个变量成反比例关系的是( )
A.圆的面积 (cm2)与其周长 (cm) 的关系
B.王同学完成800 m赛跑时，所用时间 (s)与他的平均速度 (m/s) 的关系
C.一根弹簧原长10 cm，在其弹性范围内所挂物体的质量 (kg) 与弹簧拉伸的长度 (cm) 的关
系
D.一个容器的容积是80 cm3，该容器盛满溶液时溶液的质量 (g) 与其密度 (g/cm3) 的关系
2.【2025珠海期末】在研究反比例函数图象与性质时，小明因粗心误认为( 1,3),( 1, 3),
3
(1, 3),( ,2) 四个点在同一个反比例函数的图象上，后来经检查发现其中有一个点不在，
2
这个点是( )
3
A.( 1,3) B.( 1, 3) C.(1, 3) D.( ,2)
2
3
3.【2025绵阳期末】已知点 是反比例函数 = ( > 0) 的图象上的一个动点，连接 ，若
将线段 绕点 顺时针旋转90 得到线段 ，则点 所在反比例函数图象的解析式是( )
3 6
A. = 3 ( > 0) B. = 6 ( < 0) C. = ( > 0) D. = ( < 0)
4.定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于 1的点叫做这个函数图象的“近轴点”.
例如，点(0,1)是函数 = + 1 图象的“近轴点”.下列三个函数的图象上存在“近轴点”的
2
是( )① = + 3；② = ；③ = 2 + 2 1 .
A.① B.② C.③ D.①②③
5.【2024北京期中】已知点( 1, 1)，( 2, 2)，( 3, 3) 在反比例函数 = ( > 0)的图象上，
1 < 2 < 3，有下面三个结论：①若 1 2 < 0 ，则 2 > 3；②若 2 3 < 0，则 1 3 < 0；③
若 1 3 > 0，则 2 < 3 .所有正确结论的序号是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
6.【2025杭州质检】如图，矩形 的两边分别在坐标轴上， = ， = ，点 在反
比例函数 = ( > 0, > 0)的图象上，且在矩形 内部，其横坐标为 .过点 作 // 轴
交 于点 ，作 // 轴交 于点 ，连接 ， .记△ 的面积为 ，以下说法正确的
是( )
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9 数下复习与小测
A. 的值仅与 ， 有关 B. 的值仅与 ， 有关
C. 的值仅与 有关 D. 的值与 ， ， ， 都有关
二、填空题（共 20 分）
4 1 2
7.已知直线 = 2 + 8与双曲线 = 相交于点( , )，则 + 的值等于____．
8.【2025佛山二模】已知函数 = ( > 0) 的图象如图所示，边长为 2的正方形 的顶点
横坐标为 2， // 轴.将正方形 向正下方平移，它的两个顶点可同时落在函数图象
上，则 的值是___.
2( ≤ 2),
9.如图，若直线 = （ 为常数）与函数 = {4 的图象恒有两个不同的交点，则常
( > 2)
数 的取值范围是___________.
10.【2025温州质检】如图，在直角坐标系中，点 , 在反比例函数 = ( ≠ 0, > 0)的图
象上，点 在 轴上， // 轴，若 = = 10 ， = 2√10，则 = ____.
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9 数下复习与小测
三、解答题（共 50 分）
11.【2025包头期末】如图，在平面直角坐标系 中，直线 ： = 2与反比例函数 =
的图象交于 ， 两点，与 轴交于点 ，已知点 ， 的坐标分别为(3, )和( 1, ) .
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式 2 > 的解集；
（3）点 为反比例函数 = 图象上的任意一点，若
△
= 3 △ ，求点 的坐标.
12.学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口
“堵塞”情况做了一个调查，发现每天放学时间 2 分钟后校门口学生流量变化大致可以用“拥
挤指数” (%)与放学后时间 （分）的函数关系描述．如图，2～12 分钟呈抛物线状态，且
在第 12分钟达到该函数最大值 100，此后变化大致为反比例函数 = ( > 0) 的图象向右平
移 4个单位得到的曲线趋势．当“拥挤指数” ≥ 36 时，校门口呈现“拥挤状态”，需要志
愿者维护秩序、疏导交通．
（1）求该二次函数的解析式和 的值；
（2）“拥挤状态”持续的时间是否超过 20分钟？请说明理由．
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9 数下复习与小测
13.【2025漯河二模】如图，在平面直角坐标系中，点 在反比例函数 = ( > 0)的图象上，
⊙ 与 轴交于 ， 两点，与 轴相切于点 .连接 ， .已知△ 是等边三角形，且 =
4 .
（1）求反比例函数的解析式.
（2）过点 作 // 轴，交⊙ 于另一点 ，点 是否在反比例函数的图象上？
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第 26 章反比例函数，综合小测
一、选择题（共 30 分）
1.【2024 郴州质检】下列各选项中的两个变量成反比例关系的是( )
A.圆的面积 (cm2)与其周长 (cm) 的关系
B.王同学完成 800 m赛跑时，所用时间 (s)与他的平均速度 (m/s) 的关系
C.一根弹簧原长 10 cm，在其弹性范围内所挂物体的质量 (kg) 与弹簧拉伸的长度
(cm) 的关系
D.一个容器的容积是 80 cm3，该容器盛满溶液时溶液的质量 (g) 与其密度
(g/cm3) 的关系
答案：B
解析：
设圆的半径为 cm，则 =π 2=12×2π × = 2， 与 不是反比例关系，
A
不符合题意
B 800= ，即 =800 ， 与 是反比例关系，符合题意
= （其中 是重力加速度， 为弹性系数），即 = ， 与 不是反
C
比例关系，不符合题意
D =80 ， 与 不是反比例关系，不符合题意
2.【2025 珠海期末】在研究反比例函数图象与性质时，小明因粗心误认为
3
( 1,3),( 1, 3),(1, 3),( 2)2, 四个点在同一个反比例函数的图象上，后来经检查发现
其中有一个点不在，这个点是( )
3
A.( 1,3) B.( 1, 3) C.(1, 3) D.( 2)2,
答案：B
3
解析：∵ ( 1) × 3 = 1 × ( 3) = ( ) × 2 ≠ ( 1) × ( 3)，∴ 这个点是( 1, 3)2 .
故选 B.
3
3.【2025 绵阳期末】已知点 是反比例函数 = ( > 0) 的图象上的一个动点，连接
，若
将线段 绕点 顺时针旋转90 得到线段 ，则点 所在反比例函数图象的解析式是( )
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3 6
A. = 3 ( > 0) B. = 6 ( < 0) C. = ( > 0) D.
=
( < 0)
答案：C
解析：设 ( , ).由旋转知 = .如图，
过 作 ⊥ 轴于 ，
过 作 ⊥ 轴于 ，∴ = ， = ，∠ = ∠ = 90 . ∵ ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ .
∠ = ∠ ,
在△ 与△ 中，∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (AAS)，∴ = = ， = =
= ,
3
，∴ ( , ). ∵ 点 是反比例函数 = ( > 0)的图象上的一个动点，
∴ = 3，∴ (
3
) = 3，∴ 点 所在反比例函数图象的解析式为 = ( > 0) .故选 C.
4.定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于 1的点叫做这个函数图象的“近轴点”.
例如，点(0,1)是函数 = + 1 图象的“近轴点”.下列三个函数的图象上存在“近轴点”的
是( )
2
① = + 3；② = ；③ =
2 + 2 1 .
A.① B.② C.③ D.①②③
答案：C
解析：①在 = + 3中，当 = 1时， = 2，当 = 1时， = 2,且 1 < 0 ，则 随 的增
大而减小，∴ 函数 = + 3 的图象上不存在“近轴点”；②由反比例函数解析式可知，当
= 1时， = 2，当 = 1时， = 2，在第一象限内， 随 的增大而减小，且反比例函数图
2
象关于原点成中心对称，∴ 函数 = 的图象上不存在“近轴点”；③∵ =
2 + 2 1 =
( 1)2，∴ 当 = 1时， = 0 ，当 = 0时， = 1，∴ 函数 = 2 + 2 1 的图象上
存在“近轴点”.故选 C.
5.【2024 北京期中】已知点( 1, 1)，( 2, 2)，( 3, 3) 在反比例函数 = ( > 0) 的图象上，
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9 数下复习与小测
1 < 2 < 3，有下面三个结论：①若 1 2 < 0 ，则 2 > 3；②若 2 3 < 0，则 1 3 < 0；③
若 1 3 > 0，则 2 < 3 .所有正确结论的序号是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
答案：A
解析：∵ > 0，∴ 该函数图象位于第一、三象限内，且在每一象限内， 随 的增大而减小.① ∵
1 2 < 0， 1 < 2 < 3，∴ 1 < 0 < 2 < 3，∴ 点( 2, 2) ，( 3, 3)位于第一象限内，∴ 2 > 3，
故①正确.② ∵ 2 3 < 0， 1 < 2 < 3 ，∴ 1 < 2 < 0 < 3，∴ 点( 3, 3)位于第一象限内，
( 2, 2)，( 1, 1) 位于第三象限内，∴ 1 < 0, 3 > 0，∴ 1 3 < 0，故②正确.③ ∵ 1 3 > 0，
∴ 1 < 0, 3 < 0 或 1 > 0, 3 > 0. ∵ 1 < 2 < 3，∴ 当 1 < 0, 3 < 0时， 1 < 2 < 3 < 0 ，
∴ 2 > 3；当 1 > 0, 3 > 0时，0 < 1 < 2 < 3，∴ 2 > 3 ,故③错误.故选 A.
6.【2025 杭州质检】如图，矩形 的两边分别在坐标轴上， = ， = ，点 在反
比例函数 = ( > 0, > 0) 的图象上，且在矩形
内部，其横坐标为 .过点 作 //
轴交 于点 ，作 // 轴交 于点 ，连接 ， .记△ 的面积为 ，以下说法正确的
是( )
A. 的值仅与 ， 有关 B. 的值仅与 ， 有关
C. 的值仅与 有关 D. 的值与 ， ， ， 都有关
答案：C
解析：由条件可知 ( , 0)， ( , )， (0, ). ∵ 点 在反比例函数 = ( > 0, > 0) 的图象上，
1
且横坐标为 ，∴ ( , ).∵ // 轴，∴ ( , ) ，∴ △ = ( ) = =2 2 ， △
1 1 1
( ) = .∵ 2 2 △
= ，∴ = 2 △
△ △ = 2 2
= ，∴ 2 2 的值仅与
有关.故选 C.
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9 数下复习与小测
二、填空题（共 20 分）
4 1 2
7.已知直线 = 2 + 8与双曲线 = 相交于点
( , )，则 + 的值等于____．
答案： 2
4
解析：∵ 直线 = 2 + 8与双曲线 = 相交于点( , )，∴ = 2 + 8 ，
4 1 2 + 2 8
= ，∴ + 2 = 8， = 4 ，则
+ = = = 2
4 .故答案为
2 .
8.【2025 佛山二模】已知函数 = ( > 0) 的图象如图所示，边长为 2的正方形
的顶
点 横坐标为 2， // 轴.将正方形 向正下方平移，它的两个顶点可同时落在函数图
象上，则 的值是___.
答案：8
解析：∵ 将正方形 向正下方平移，它的两个顶点可同时落在函数图象上，∴ 易知 ,
落在函数图象上.∵ 边长为 2的正方形 的顶点 横坐标为 2，∴ 设平移后 (2, )，则平
移后 (4, 2)，∴ 2 = 4( 2) ，解得 = 4，∴ 平移后 (2,4)，∴ = 2 × 4 = 8 ，故答
案为 8.
2( ≤ 2),
9.如图，若直线 = （ 为常数）与函数 = 4 的图象恒有两个不同的交点，则常
( > 2)
数 的取值范围是___________.
答案：2 ≤ ≤ 4
2( ≤ 2),
解析：由图象可得，直线 = （ 为常数）与函数 = 4 的图象恒有两个不同的交
( > 2)
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点时，常数 的取值范围是 2 ≤ ≤ 4.故答案为 2 ≤ ≤ 4 .
10.【2025 温州质检】如图，在直角坐标系中，点 , 在反比例函数 = ( ≠ 0, > 0) 的图
象上，点 在 轴上， // 轴，若 = = 10 ， = 2 10，则 = ____.
答案：15
解析：如图，
过点 作 ⊥ 于点 ，设 = . ∵ = = 10， = 2 10，∴ = = 10 ，
2 = 2 2 = 40 2 .由 2 = 2 + 2，得102 = (10 )2 + 40 2，解得
= 2 ，∴ = 8， = 40 2 = 6. ∵ // 轴，∴ ， 两点的纵坐标相同，设为 1 ，
3
∴ (2,6 + 1)， (10, 1)，故 2(6 + 1) = 10 1,解得 1 = 2，故
= 10 1 = 15 .故答案为 15.
三、解答题（共 50 分）
11.【2025 包头期末】如图，在平面直角坐标系 中，直线 ： = 2与反比例函数 =
的图象交于 ， 两点，与 轴交于点 ，已知点 ， 的坐标分别为(3, )和( 1, ) .
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9 数下复习与小测
（1）求反比例函数的解析式；
解：把点 (3, )代入 = 2，得 = 1，∴ 点 的坐标为(3,1). ∵ 反比例函数 = 的图象
3
过点 ，∴ = 3 × 1 = 3，即反比例函数的解析式为 = .
（2）请直接写出不等式 2 > 的解集；
解：由图象可得，不等式 2 > 的解集为
1 < < 0或 > 3 .
（3）点 为反比例函数 = 图象上的任意一点，若
△ = 3 △ ，求点 的坐标.
1 1
解：把 = 0代入 = 2，得 = 2，即点 的坐标为 (2,0) ，∴ △ = × × = ×2 2
1 1
2 × 1 = 1. ∵ △ = 3 △ ，∴ △ = × × | | = × 2 × | | = 3 ∴ | | = 3 ∴ =2 2 ， ，
3 3
± 3.当点 的纵坐标为 3时，3 = ，解得 = 1，∴ (1,3);当点 的纵坐标为 3时， 3 = ，
解得 = 1，∴ ( 1, 3). ∴ 点 的坐标为(1,3)或( 1, 3) .
12.学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口
“堵塞”情况做了一个调查，发现每天放学时间 2分钟后校门口学生流量变化大致可以用“拥
挤指数” (%)与放学后时间 （分）的函数关系描述．如图，2～12 分钟呈抛物线状态，且
在第 12 分钟达到该函数最大值 100，此后变化大致为反比例函数 = ( > 0) 的图象向右平
移 4个单位得到的曲线趋势．当“拥挤指数” ≥ 36 时，校门口呈现“拥挤状态”，需要志
愿者维护秩序、疏导交通．
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9 数下复习与小测
（1）求该二次函数的解析式和 的值；
解：设该二次函数的解析式为 = ( 12)2 + 100.把(2,0) 代入，得 100 + 100 = 0，解得
= 1，∴ 所求二次函数的解析式为 = ( 12)2 + 100.把点(12,100)向左平移 4个单位，
得(8,100),将(8,100) 代入 = 得 = 800 .
（2）“拥挤状态”持续的时间是否超过 20 分钟？请说明理由．
解：超过 20 分钟.理由如下：令 = ( 12)2 + 100 = 36,解得 1 = 4 ， 2 = 20（舍去）.
800 2 2 2 2 2
令 = = 36，解得 = 22 ， + 4 = 22 + 4 = 26 ，而 26 4 = 22 > 20，∴ 9 9 9 9 9 “拥
挤状态”持续的时间超过 20 分钟.
13.【2025 漯河二模】如图，在平面直角坐标系中，点 在反比例函数 = ( > 0) 的图象上，
⊙ 与 轴交于 ， 两点，与 轴相切于点 .连接 ， .已知△ 是等边三角形，且
= 4 .
（1）求反比例函数的解析式.
解：∵ △ 是等边三角形，且 = 4 ，
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∴ = = = 4,∠ = 60 .如图（1）
，过点 作 ⊥ 轴，垂足为 ，连接 ，∴ = 4 .由“三线合一”得 = 2 ，∴ = 2，
则 = 2 2 = 2 3.∵⊙ 与 轴相切于点 ,∴ ⊥ 轴，∴ 点 的坐标为(2 3, 4). ∵
点 在反比例函数图象上，∴ 把(2 3, 4)代入 = ，得
4 = ，解得 = 8 3，∴ 反比例
2 3
8 3
函数的解析式为 = ( > 0) .
（2）过点 作 // 轴，交⊙ 于另一点 ，点 是否在反比例函数的图象上？
解：如图（2），
过点 作 ⊥ 轴，垂足为 ，连接 ,设 交 于点 .∵ ⊥ 轴， // 轴，∴ ⊥ ，
∠ = 90 ，∴ = . ∵ ∠ = ∠ = ∠ = 90 ，∴ 四边形 是矩形，
∴ = = 2 3，∴ = 2 = 4 3 ，即点 的横坐标为 4 3.由（1）得 = 2， =
= 4，∴ 点 的坐标为(0,4)，则 = = 2，∴ 点 的坐标为(4 3, 2). ∵ 4 3 ×
2 = 8 3，∴ 点 在反比例函数的图象上.
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