9数下复习与小测
第 27 章相似，综合复习
考点 1 相似图形
1.下列网格中各个小正方形的边长均为 1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相
似形的为( )
A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁
考点 2 相似三角形的判定与性质
2.【2025河南中考】如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 1,△ 的三个顶点均在
网格线的交点上，点 , 分别是边 , 与网格线的交点，连接 ,则 的长为( )
1
A. B.1 C.√2 D.√3
2
3.【2025江西中考】如图，△ 是面积为 1的等边三角形，分别取 ， ， 的中点得
到△ 1 1 1；再分别取 1 ， 1 ， 1 1的中点得到△ 2 2 2；…,依此类推，则△ 的
面积为( )
1
A.( ) +1
1 1 1
B.( ) C.( ) D.( ) 1
2 3 4 4
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9数下复习与小测
4.【2025河北中考】如图,在五边形 中， // ,延长 , ,分别交直线 于点 , .
若添加下列一个条件后，仍无法判定△ ∽△ ,则这个条件是( )
A.∠ + ∠4 = 180 B. // C.∠1 = ∠4 D.∠2 = ∠3
5.【2025四川眉山中考】如图，一次函数 = + 与反比例函数 = 的图象相交于 (1,4)，
(4, )两点，与 轴交于点 ，点 与点 关于点 对称，连接 .
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点 在 轴的负半轴上，且△ 与△ 相似，求点 的坐标.
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9数下复习与小测
6.一块直角三角形木板，它的一条直角边 长2 m ，面积为1.5 m2 .
（1） （2） （3） （4）
（1）甲、乙两人分别按图（1）、图（2）用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积
较大；
（2）丙、丁两人分别按图（3）、图（4）用它设计一个长方形桌面.请分别求出图（3）、图
（4）中长方形的面积 (m2)与 的长 (m) 之间的函数解析式，并分别求出面积的最大值.
考点 3 相似的应用
7.【2025四川内江中考】阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生
动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生
活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.
如图乙所示，动力臂 = 150 cm ，阻力臂 = 50 cm， = 20 cm，则 的长度是( )
甲 乙
A.80 cm B.60 cm C.50 cm D.40 cm
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9数下复习与小测
考点 4 位似
8.【2024黑龙江绥化中考】如图，矩形 各顶点的坐标分别为 (0,0)， (3,0)， (3,2)，
1
(0,2)，以原点 为位似中心，将这个矩形按相似比 缩小，则顶点 在第一象限对应点的坐
3
标是( )
3 2
A.(9,4) B.(4,9) C.(1, ) D.(1, )
2 3
9.【2025广东中考】如图，把△ 放大后得到△ ，则△ 与△ 的相似比是_____.
10.【2025安徽中考】如图，在由边长为 1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角
坐标系 ，△ 的顶点和 1均为格点（网格线的交点）.已知点 和 1的坐标分别为
( 1, 3)和(2,6) .
（1）在所给的网格图中描出边 的中点 ，并写出点 的坐标；
（2）以点 为位似中心，将△ 放大得到△ 1 1 1，使得点 的对应点为 1 ，请在所给的
网格图中画出△ 1 1 1 .
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第 27 章相似，综合复习
考点 1 相似图形
1.下列网格中各个小正方形的边长均为 1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相
似形的为( )
A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁
答案：D
解析：如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形是相似多边形.由题
图可知，只有甲和丁的对应角相等，且对应边成比例，所以甲和丁是相似形.故选 D.
考点 2 相似三角形的判定与性质
2.【2025 河南中考】如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 1,△ 的三个顶点均在
网格线的交点上，点 , 分别是边 , 与网格线的交点，连接 ,则 的长为( )
1
A. B.1 C. 2 D. 3
2
答案：B
解析：∵ 题图中四周网格线构成的四边形是矩形， 是其对角线， 所在的直线是其对称
∴ = 1 ∵ // ∴ ∴ = 1轴， . ， △ ∽△ ， ，即 = ，∴ = 1 .故选 B.
2 2 2
3.【2025 江西中考】如图，△ 是面积为 1的等边三角形，分别取 ， ， 的中点得
到△ 1 1 1；再分别取 1 ， 1 ， 1 1的中点得到△ 2 2 2；…,依此类推，则△ 的
面积为( )
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( 1A. ) +1 ( 1 ) 1 1B. C.( ) D.( ) 1
2 3 4 4
答案：C
解析：由题知，点 1， 1， 1分别是 ， ， 的中点，所以 1 1// ， 1 1// ， 1 1// ，
1 1 1 1 1 = ， 1 1 = , 1 1 = ,所以易得△ 1 1 1∽△
△
，则 1 1
1 = ( 1 1 )2 = 1.
2 2 2 △ 4
又因为△ 1 1的面积为 1，所以△ 1 1 1的面积为 .同理可得，△ 2 2 2的面积为( )2，4 4
( 1 1△ 33 3 3 的面积为 ) ， ， 所以△ 的面积为( ) .故选 C.4 4
4.【2025 河北中考】如图,在五边形 中， // ,延长 , ,分别交直线 于点 , .
若添加下列一个条件后，仍无法判定△ ∽△ ,则这个条件是( )
A.∠ + ∠4 = 180 B. // C.∠1 = ∠4 D.∠2 = ∠3
答案：D
解析：
选项 分析
∵∠ +∠4=180 ,∴ // ,∴∠ =∠ .∵ // ,
A
∴∠ =∠ ,∴△ ∽△ ,故 A 不符合题意
∵ // ,∴∠ =∠ .∵ // ,∴∠ =∠ ,
B
∴△ ∽△ ,故 B 不符合题意
∵ // ,∴∠1+∠ =180 .∵∠1=∠4,∴∠ +∠4=180 .由 A 可知
C
△ ∽△ ,故 C 不符合题意
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D 根据∠2=∠3，再结合已知条件不能证明△ ∽△ ,故 D 符合题意
5.【2025 四川眉山中考】如图，一次函数 = + 与反比例函数 = 的图象相交于 (1,4)，
(4, )两点，与 轴交于点 ，点 与点 关于点 对称，连接 .
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
解：把 (1,4) = 4 = 代入 得 ，∴ = 4 4 4，∴ 反比例函数的解析式为 = .把 (4, )代入 =
1
4
得 = = 1，∴ (4,1). ∵ 一次函数 = + 与反比例函数 = 的图象相交于 (1,4), (4,1)
4
∴ 4 = + , = 1,两点， 1 = 4 + , ∴ = 5, ∴ 一次函数的解析式为 = + 5 .
（2）点 在 轴的负半轴上，且△ 与△ 相似，求点 的坐标.
解：设 ( , 0). ∵ 点 与点 关于点 对称， (1,4) ，∴ = = 12 + 42 = 17.∵ 直线
与 轴交于 (5,0)，∴ = 5. ∵ △ 与△ 相似，∠ = ∠ ，∴ △ ∽△ 或
△ ∴ = = ∽△ , 或 ，∴ 17 = 5 17 = 5 ∴ = 5 = 17或 ， 或 ，∴ 点 的
17 17 5
坐标为( 5,0) 或( 17，0) .
5
6.一块直角三角形木板，它的一条直角边 长 2 m ，面积为 1.5 m2 .
（1） （2） （3） （4）
（1）甲、乙两人分别按图（1）、图（2）用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积
较大；
解：∵ = 2 m 1.5 m2 ∴ = 1.5，面积为 ， 1 = 1.5(m) ，∴ = 2 + 2 = 2.5 m.设正
2×2
方形的边长为 m.如题图（1），∵ 四边形 是正方形，
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9 数下复习与小测
∴ ∠ = ∠ = 90 ， = = ， = 1.5 . ∵ ∠ = ∠ ，∴ Rt△ ∽Rt△ ，
∴ = = 1.5 ，即 ，解得 = 6.如题图（2），∵ 四边形 是正方形，∴ // ，∴ ∠ =
2 1.5 7
∠ ，∠ = ∠ 3 ，∴ Rt△ ∽Rt△ ，∴ = = ，即 = 3，∴ = 3 ，∴ =
5 5 5
= 3 3 . ∵ ∠ = ∠ ∠ = ∠ = 90 ∴ Rt Rt ∴ = = 4， ， △ ∽ △ ， ，即
2 5 3 3
，
52 5
解得 = 30 ∵ 6. > 30，∴ 题图（1）的正方形面积较大.
37 7 37
（2）丙、丁两人分别按图（3）、图（4）用它设计一个长方形桌面.请分别求出图（3）、图
（4）中长方形的面积 (m2)与 的长 (m) 之间的函数解析式，并分别求出面积的最大值.
解：如题图（3），∵ 四边形 是长方形，∴ ∠ = ∠ = 90 ， = = . ∵ ∠ = ∠ ，
∴ Rt△ ∽Rt△ ∴ = ， = 3，则 = 3 ，∴ = = 6 3 ，∴ 长方形的
4 4 4
6 3 3
面积 = × = = ( 1)2 + 3 3.∵ < 0，∴ 图象开口向下，∴ 当 = 1时，
4 4 4 4
3 5
长方形的面积有最大值为 m2 .在题图（4）中，同理得 Rt△ ∽Rt△ ，∴ = = ，
4 3
∴ = 3 ，∴ = = 3 3 .同理得 Rt△ 4∽Rt△ ，∴ = = ，则 =
5 2 5 5
4 = 4 ( 3 3 ) ∴ = × = × 4 ( 3 3 ) = 12 ( 5， 长方形的面积 )2 + 3 12.∵ <
5 5 2 5 5 2 5 25 4 4 25
0 5 3，∴ 图象开口向下，∴ 当 = 时，长方形的面积有最大值为 m2 .
4 4
考点 3 相似的应用
7.【2025 四川内江中考】阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生
动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生
活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.
如图乙所示，动力臂 = 150 cm ，阻力臂 = 50 cm， = 20 cm，则 的长度是( )
甲 乙
A.80 cm B.60 cm C.50 cm D.40 cm
答案：B
解析：∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ // ∴ ∴ = ， △ ∽△ ， .
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9 数下复习与小测
∵ = 150 cm， = 50 cm， = 20 cm 150，∴ = ，∴ = 60 cm .故选 B.
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考点 4 位似
8.【2024 黑龙江绥化中考】如图，矩形 各顶点的坐标分别为 (0,0)， (3,0)， (3,2)，
(0,2) 1，以原点 为位似中心，将这个矩形按相似比 缩小，则顶点 在第一象限对应点的坐
3
标是( )
A.(9,4) B.(4,9) C.(1, 3 ) D.(1, 2 )
2 3
答案：D
1
解析：以原点 为位似中心，将这个矩形按相似比 缩小，则顶点 在第一象限对应点的坐标
3
(3 × 1 , 2 × 1 ) 2是 ，即(1, ) ，故选 D.
3 3 3
9.【2025 广东中考】如图，把△ 放大后得到△ ，则△ 与△ 的相似比是_____.
答案：1: 3
解析：∵ △ 放大后得到△ ，∴ △ ∽△ ，∴ △ 与△ 的相似比为
: = 2: 6 = 1: 3．故答案为 1: 3 ．
10.【2025 安徽中考】如图，在由边长为 1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角
坐标系 ，△ 的顶点和 1均为格点（网格线的交点）.已知点 和 1的坐标分别为( 1,
3)和(2,6) .
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9 数下复习与小测
（1）在所给的网格图中描出边 的中点 ，并写出点 的坐标；
解：如图所示， 点即为所求， 点坐标为( 2, 1) .
（2）以点 为位似中心，将△ 放大得到△ 1 1 1，使得点 的对应点为 1 ，请在所给的
网格图中画出△ 1 1 1 .
解：如图所示，△ 1 1 1 即为所求.
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