9数下复习与小测
第 28 章锐角三角函数，综合小测
一、选择题（共 35 分）
1.如图，在Rt△ 中，∠ = 90 ， 为边 上一点，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，
则下列结论中正确的是( )
A.sin = B.cos =
C.tan = D.tan =
2.在△ 中，若三个内角∠ :∠ : ∠ = 1: 2: 3 ，则sin : sin = ( )
A.1: 2 B.1: √3 C.1: 3 D.2: √3
3.如图，在平面直角坐标系中，第一象限内射线 与 轴正半轴的夹角为 ，点 在射线 上，
4
若cos = ，则点 的坐标可能是( )
5
A.(3,5) B.(5,3) C.(3,4) D.(4,3)
4. 中国古代在公元前 2世纪就制成了世界上最早的潜望镜雏形，西汉初年成书的《淮南万毕
术》中有这样的记载：“高悬大镜，坐见四邻”，如图（1）所示，其工作原理主要利用了光
的反射.在图（2）中， 为水平面， ， 为法线，∠ = ∠ = 41 ，∠ = 37 ，
⊥ ，已知 = 11√2米，则镜面上点 到水盆 的距离为（结果精确到 1米，参考数据：
sin 82 ≈ 0.99，cos 82 ≈ 0.14，tan 82 ≈ 7.12 ）( )
图（1） 图（2）
A.8 米 B.9 米 C.10米 D.11米
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5.【2025宁夏模拟】如图，在△ 中， 是△ 的中线， = 2 ， = 6√5,tan
1
= ，那么 的长为( )
2
A.6 B.7 C.8 D.9
6.如图，在△ 中， = ， ⊥ 交 延长线于点 ， ⊥ ，交 延长线于点 .
若tan = ， = 1，则 的值为( )
1 1
A. B. C. 2 D.
2
7.如图，在Rt△ 中，1 < < 5，tan∠ = 2．分别以点 ， 为圆心，以 2和 3为半
径作弧，两弧交于点 （点 在 的左侧），连接 , , ，则 的最大值为( )
3 3
A.√5 + 1 B.2√5 + 1 C.√5 + D.2√5 +
2 2
二、填空题（共 15 分）
8.用含特殊锐角的三角函数的式子表示√2 = _____________________.
9.如图，在矩形 中， 是对角线， ⊥ ，垂足为 ，连接 ，若 的坡度是1: 2，
则tan∠ 的值是__．
3
10.如图，在Rt△ 中， = 6，tan∠ = ，点 为斜边 的中点， 为 上任一点，
4
过点 作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，则 + = ___.
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三、解答题（共 50 分）
√2 111.已知 是锐角，且cos( + 15 ) = ，计算：( ) 1
sin
+ (π 3.14)0 + |2√3 3tan 2 |
2 2 √3
12.图（1）、图（2）、图（3）均是5 × 5 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点
, 均在格点上.在图（1）、图（2）、图（3）中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按
要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹.
图（1） 图（2） 图（3）
（1）在图（1）中以线段 为边画△ ，使点 在格点上，且tan = 1 ；
2
（2）在图（2）中以线段 为边画△ ，使tan = ；
3
9
（3）若每个小正方形的边长为 1,在图（3）中以线段 为边画△ ，使 △ = ，tan = 1 2
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13.如图，四边形 内接于⊙ ， 是⊙ 的直径， = ．过点 作⊙ 的切线，交
延长线于点 ，连接 ．
（1）求证:∠ = 90 ；
2
（2）若tan∠ = ， = 4，求 的长．
3
14.直觉的误差：有一张8 cm × 8 cm 的正方形纸片，面积是64 cm2.把这张纸片按图（1）（单
位：cm ）所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是梯形.把剪出的四个小块按图
（2）（单位：cm ）所示重新拼合，这样就得到了一个13 cm × 5 cm的矩形，面积是65 cm2 ，
面积比之前多了1 cm2 .这是为什么？
小明给出如下证明：如图（2），可知tan∠ =________，tan∠ = _______,
∴ tan∠ > tan∠ ，∴ ∠ > ∠ . ∵ // ，∴ ∠ + ∠ = 180 ，∴ ∠ +
∠ > 180 ，∴ ， ， 三点不共线，同理 ， ， 三点不共线.∴ 拼合的长方形内部有
空隙，故面积多了1 cm2 .
（1）将小明的证明补充完整，tan∠ =______，tan∠ = _____；
（2）小红给出的证明思路为以 为原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴，建立
平面直角坐标系，证明三点不共线，请你帮小红完成她的证明.
图（1） 图（2）
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第 28 章锐角三角函数，综合小测
一、选择题（共 35 分）
1.如图，在Rt△ 中，∠ = 90 ， 为边 上一点，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，
则下列结论中正确的是( )
A.sin = B.cos =
C.tan = D.tan =
答案：B
解析：
A 在 Rt△ 中，sin = ，故 A不符合题意
B 在 Rt△ 中，cos = ，故 B符合题意
C 在 Rt△ 中，tan = ，故 C不符合题意
D 在 Rt△ 中，tan = ，故 D不符合题意
2.在△ 中，若三个内角∠ :∠ : ∠ = 1: 2: 3 ，则sin : sin = ( )
A.1: 2 B.1: √3 C.1: 3 D.2: √3
答案：B
解析：∵ ∠ ，∠ ，∠ 的度数之比为1: 2: 3，∠ + ∠ + ∠ = 180 ，
1 2 1
∴ ∠ = × 180 = 30 ，∠ = × 180 = 60 ，∴ sin = sin 30 = ，
6 6 2
√3 1 √3
sin = sin 60 = ,∴ sin : sin = : = 1: √3 ，故选 B.
2 2 2
3.如图，在平面直角坐标系中，第一象限内射线 与 轴正半轴的夹角为 ，点 在射线 上，
4
若cos = ，则点 的坐标可能是( )
5
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A.(3,5) B.(5,3) C.(3,4) D.(4,3)
答案：D
4
解析：过点 作 ⊥ 轴于点 ，如图.∵ cos = = ，∴ 可假设 = 4，则 = 5，∴
5
= √52 42 = 3，∴ 点 的坐标可能是(4,3) .故选 D.
4. 中国古代在公元前 2世纪就制成了世界上最早的潜望镜雏形，西汉初年成书的《淮南万毕
术》中有这样的记载：“高悬大镜，坐见四邻”，如图（1）所示，其工作原理主要利用了光
的反射.在图（2）中， 为水平面， ， 为法线，∠ = ∠ = 41 ，∠ = 37 ，
⊥ ，已知 = 11√2米，则镜面上点 到水盆 的距离为（结果精确到 1米，参考数据：
sin 82 ≈ 0.99，cos 82 ≈ 0.14，tan 82 ≈ 7.12 ）( )
图（1） 图（2）
A.8 米 B.9 米 C.10米 D.11米
答案：D
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解析：如图， 过点 作 ⊥ ，垂足为 ，则
∠ = ∠ = 90 . ∵ ⊥ ，∴ ∠ = 90 . ∵ ∠ = ∠ = 41 ，∴ ∠ = 82 . ∵
∠ = 37 ，∴ ∠ = ∠ ∠ = 53 ， ∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 45 .
√2
在Rt△ 中，∠ = 45 ，∴ = sin 45 = 11√2 × = 11 （米）.在Rt△ 中，
2
∠ = 82 ，∴ = ÷ sin 82 ≈ 11 ÷ 0.99 ≈ 11 （米），故选 D.
5.【2025宁夏模拟】如图，在△ 中， 是△ 的中线， = 2 ， = 6√5,tan
1
= ，那么 的长为( )
2
A.6 B.7 C.8 D.9
答案：C
解析：过点 作 ⊥ 于点 ，过点 作 ⊥ 交 的延长线于 ，
1
如图所示. ∵ 是△ 的中线， = 6√5，∴ = = = 3√5.
2
1
在Rt△ 中，tan = = ，∴ = 2 .由勾股定理得 = √ 2 + 2 = √5 ，∴ 3
2
√5 = √5 ，∴ = 3，∴ = 2 = 6. ∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ // . 又∵ 是△
的中线，∴ 是△ 的中位线，∴ = 2 = 6 ， = = 6.设 = ，则 =
= 6 ， = + = 6 + .在Rt△ 中，由勾股定理得 2 = 2 + 2 = 32 + 2，
在Rt△ 中，由勾股定理得 2 = 2 + 2 = (6 )2 + 62. ∵ = 2 ，∴ 4(32 +
2) = (6 )2 + 62，整理得 2 + 4 12 = 0，解得 = 2或 = 6 （不合题意，舍去），∴
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= 6 + = 8 .故选 C.
6.如图，在△ 中， = ， ⊥ 交 延长线于点 ， ⊥ ，交 延长线于点 .
若tan = ， = 1，则 的值为( )
1 2 1A. B. C. D.
2
答案：A
解析：∵ = ，∴ ∠ = ∠ .又∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ ∠ = ∠ = 90 ，∴ ∠
+ ∠ = ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ tan∠ = tan = .
在Rt△ 中，tan = = ，∴ 令 = ， = .又∵ = 1，∴ 2 + 2 2 = 12 ，
则 2
1
= 2 .在Rt△ 中，tan∠ = = ，∴ =
2 ，∴ = √ 2 4 + 2 2 =
+1
√ 2
1
2( 2 + 1) = √ 2 2
2
( + 1) = .故选 A.
+1
7.如图，在Rt△ 中，1 < < 5，tan∠ = 2．分别以点 ， 为圆心，以 2和 3为半
径作弧，两弧交于点 （点 在 的左侧），连接 , , ，则 的最大值为( )
3 3
A.√5 + 1 B.2√5 + 1 C.√5 + D.2√5 +
2 2
答案：C
解析：在Rt△ 中，tan∠ = 2，则 = 2，可设 = ， = 2 .由 2 = 2 + 2，
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2 2√5 1
得 = √5 ，∴ cos∠ = = .如图, 作∠ = 90 ，且 =
√5 5 2
3 1 1
= ，连接 ， ，则tan∠ = = .∵ tan∠ = = ，∴ tan∠ = tan∠ . ∵
2 2 2
两角均为锐角，∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ ∠ = ∠ ∠ ，即∠ = ∠ . ∵
2√5 2√5
cos∠ = cos∠ = ，∴ = = ，∴ = .又∵ ∠ = ∠ ,∴
5 5
2√5
△ ∽△ ，∴ = = .∵ = 2，∴ = √5.由题意可知， ≤ + = √5 +
5
3 3
.∵ 当 ， ， 三点共线时, 的值最大，∴ 的最大值为√5 + .故选 C.
2 2
二、填空题（共 15 分）
8.用含特殊锐角的三角函数的式子表示√2 = _____________________.
sin 45
答案： （答案不唯一）
sin 30
解析：∵ sin 30
1 √2 sin 45 sin 45
= ，sin 45 = ，∴ √2 = .故答案为 （答案不唯一）.
2 2 sin 30 sin 30
9.如图，在矩形 中， 是对角线， ⊥ ，垂足为 ，连接 ，若 的坡度是1: 2，
则tan∠ 的值是__．
2
答案：
3
解析：如图，过点 作 ⊥ 于 ,则∠ = ∠ = 90 . ∵ 四边形 是矩形，∴ =
∠ = ∠ ,
, // ,∴ ∠ = ∠ .在△ 与△ 中，{∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (
= ,
1
AAS)，∴ = ， = . ∵ tan∠ = = = ，∴ 可设 = ， = 2 ，∴ = √5
2
1 1 2√5 √5
. ∵ △ = = ，∴ = = ，∴ 易得 = = ，∴ = 2 2 5 5
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9数下复习与小测
2√5 3√5 2 2
2 = √5 = ，∴ tan∠ = = .故答案为 .
5 5 3 3
3
10.如图，在Rt△ 中， = 6，tan∠ = ，点 为斜边 的中点， 为 上任一点，
4
过点 作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，则 + = ___.
24
答案：
5
3 4
解析：在Rt△ 中，∵ tan∠ = = ，∴ = × 6 = 8 ，
4 3
6 3
∴ = √62 + 82 = 10，∴ sin = = .∵ 点 为斜边 的中点，
10 5
3
∴ = = ，∴ ∠ = ∠ ,∴ 在Rt△ 中，sin∠ = = ，
5
3 3 3
∴ = .在Rt△ 中，sin = = ，∴ = ，
5 5 5
3 3 3 24 24
∴ + = ( + ) = = × 8 = .故答案为 .
5 5 5 5 5
三、解答题（共 50 分）
√2 1
11.已知 是锐角，且cos( + 15 ) = ，计算：( ) 1
sin
+ (π 3.14)0 + |2√3 3tan 2 |
2 2 √3
√2
解：∵ 是锐角，且cos( + 15 ) = ，∴ + 15 = 45 ，∴ = 30 ，
2
1
1
∴ ( ) 1
sin √3
+ (π 3.14)0 + |2√3 3tan 2 | = 2 + 2 1 + |2√3 3tan 60 | = 2 + 1
2 √3 √3 6
√3 7√3
+ |2√3 3 × √3| = 1 + + √3 = 1 + .
6 6
12.图（1）、图（2）、图（3）均是5 × 5 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点
, 均在格点上.在图（1）、图（2）、图（3）中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按
要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹.
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9数下复习与小测
图（1） 图（2） 图（3）
（1）在图（1）中以线段 为边画△ ，使点 在格点上，且tan = 1 ；
解：如图（1），△ 即为所求.（答案不唯一）
2
（2）在图（2）中以线段 为边画△ ，使tan = ；
3
解：如图（2），△ 即为所求.（答案不唯一）
9
（3）若每个小正方形的边长为 1,在图（3）中以线段 为边画△ ，使 △ = ，tan = 12
.
解：如图（3），△ 即为所求.
13.如图，四边形 内接于⊙ ， 是⊙ 的直径， = ．过点 作⊙ 的切线，交
延长线于点 ，连接 ．
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9数下复习与小测
（1）求证:∠ = 90 ；
连接 交 于点 .∵ = ， 为⊙ 的半径，∴ 易得 ⊥ . ∵ 为⊙ 的切
线，∴ ∠ = 90 .∵ 是⊙ 的直径，∴ ∠ = ∠ = 90 ,∴ 四边形 为矩形，
∴ ∠ = 90 .
2
（2）若tan∠ = ， = 4，求 的长．
3
2
解：连接 .在△ 中，∠ = 90 ，tan∠ = = ， = 4 ，
3
∴ = 6. ∵ 四边形 是矩形，∴ = = 4, = = 6.设⊙ 的半径为
.在Rt△ 中， 2 + 2 = 2, = 4,∴ ( 4)2 + 62 = 2 ，解得
13 5
= ，∴ = 4 = .∵ ⊥ ,∠ = 90 ，∴ // .又∵ = ,
2 2
∴ 是△ 的中位线，∴ = 2 ，∴ = 5 .
14.直觉的误差：有一张8 cm × 8 cm 的正方形纸片，面积是64 cm2.把这张纸片按图（1）（单
位：cm ）所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是梯形.把剪出的四个小块按图
（2）（单位：cm ）所示重新拼合，这样就得到了一个13 cm × 5 cm的矩形，面积是65 cm2 ，
面积比之前多了1 cm2 .这是为什么？
小明给出如下证明：如图（2），可知tan∠ =________，tan∠ = _______,
∴ tan∠ > tan∠ ，∴ ∠ > ∠ . ∵ // ，∴ ∠ + ∠ = 180 ，∴ ∠ +
∠ > 180 ，∴ ， ， 三点不共线，同理 ， ， 三点不共线.∴ 拼合的长方形内部有
空隙，故面积多了1 cm2 .
图（1） 图（2）
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9数下复习与小测
（1）将小明的证明补充完整，tan∠ =______，tan∠ = _____；
8 13
答案： ，
3 5
解析：依题意得拼接的四边形 为矩形，∴ = = 5 ， = = + = 8 + 5
8 13
= 13，则在Rt△ 中，tan∠ = = ，在Rt△ 中，tan∠ = = ，∴ tan∠
3 5
> tan∠ ，∴ ∠ > ∠ . ∵ // ，∴ ∠ + ∠ = 180 ，∴ ∠ + ∠ >
180 ，∴ , , 三点不共线，同理 , , 三点不共线.∴ 拼合的长方形内部有空隙，故面积
2 8 13多了1 cm .故答案为 ， .
3 5
（2）小红给出的证明思路为以 为原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴，建立
平面直角坐标系，证明三点不共线，请你帮小红完成她的证明.
解：以 为原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，延长
交 于 ，如图所示. 依题意得拼合的四边形 为矩形，则
四边形 ，四边形 ，四边形 都是矩形，∴ = = 5， = = +
= 8 + 5 = 13 ， = = 8， = = 5,则 = = 5 3 = 2，∴ 点 (0,5) ，
点 (5,3)，点 (8,2)，点 (13,0).设直线 的解析式为 = + .将 (0,5) ， (13,0)代入
5
= 5, = , 5
= + ，得{ 解得{ 13 ∴ 直线 的解析式为 = + 5.当 = 5时，
13 + = 0, = 5, 13
5 40 5
= × 5 + 5 = ≠ 3，∴ 点 不在直线 上，∴ ， ， 三点不共线.当 = 8时， = × 8
13 13 13
25
+ 5 = ≠ 2 ，∴ 点 不在直线 上，∴ , , 三点不共线，∴ 拼合的长方形内部有空隙，
13
故面积多了1 cm2 .
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