1.1 数列的概念
1.已知数列an＝2n2＋1，则a2＝（ ）
A.1 B.3 C.5 D.9
2.数列2，，，，，…的一个通项公式an＝（ ）
A. B.
C. D.
3.已知数列1，3，7，15，…，2n－1，…，则255是这个数列的（ ）
A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项
4.如图是由一些火柴棒拼成的一系列图形，如第一个图由4根火柴棒组成，第二个图由7根火柴棒组成，按这种规律排列下去，那么在第51个图中的火柴棒有（ ）
A.151根 B.154根 C.157根 D.160根
5.（多选）下列关于数列的说法正确的是（ ）
A.按一定次序排列的一列数叫作数列
B.若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an＝f（n）表示数列的通项公式
C.同一个数列的通项公式的形式不一定唯一
D.同一个数列的任意两项均不可能相同
6.（多选）数列{an}的通项公式为an＝则（ ）
A.a3＝7 B.a3＝10
C.a2a3＝20 D.a2a3＝70
7.斐波那契数列，又称黄金分割数列，因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的第10项为 .
8.数列{an}的通项公式是an＝（n∈N＋），则a3＝ .
9.若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，n∈N＋，则a2n＝ ；＝ .
10.已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋n＋110.
（1）20是不是{an}中的一项？
（2）当n取何值时，an＝0？
11.观察数列，－，（ ），－，，（ ），…的特点，则括号中应填入的适当的数为（ ）
A.，－ B.－，
C.，－ D.，－
12.（多选）已知数列0，2，0，2，0，2，…，则前六项适合的通项公式为（ ）
A.an＝1＋（－1）n
B.an＝2cos
C.an＝2｜sin｜
D.an＝1－cos（n－1）π＋（n－1）（n－2）
13.如图①是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续做下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为 .
1.1 数列的概念
1.D 由题意，可知a2＝2×22＋1＝9，故选D.
2.C 数列2，，，，，…可写成，，，，，…，所以通项公式an＝.故选C.
3.C 数列1，3，7，15，…，2n－1，…，即21－1，22－1，23－1，24－1，…，2n－1，…，故该数列的通项公式为an＝2n－1.由an＝2n－1＝255，解得n＝8，即255是这个数列的第8项.故选C.
4.B 第一个图由4根火柴棒组成，第二个图由4＋3＝7根火柴棒组成，第三个图由4＋2×3＝10根火柴棒组成，……，第51个图中的火柴棒有4＋50×3＝154根.故选B.
5.ABC 根据数列的定义，我们把按一定次序排列的一列数叫作数列，可得A正确；若{an}表示数列，则an表示数列的第n项，an＝f（n）表示数列的通项公式，可得B正确；同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，例如an＝｜2－n｜，也可写成an＝可得C正确；因为一个数列的每一项的值是可以相同的，比如数列1，1，1，1，…，可得D错误，故选A、B、C.
6.BC 由通项公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2·a3＝20.故选B、C.
7.55 解析：观察斐波那契数列，发现从第3项起，每一项均为其前2项之和，则第9项为13＋21＝34，第10项为21＋34＝55.
8. 解析：∵an＝（n∈N＋），∴a3＝＝.
9.3－4n 解析：因为an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n，＝＝.
10.解：（1）令an＝－n2＋n＋110＝20，
即n2－n－90＝0，
∴（n＋9）（n－10）＝0，
∴n＝10或n＝－9（舍）.
∴20是数列{an}中的一项，且为数列{an}中的第10项.
（2）令an＝－n2＋n＋110＝0，
即n2－n－110＝0，
∴（n－11）（n＋10）＝0，
∴n＝11或n＝－10（舍），
∴当n＝11时，an＝0.
11.D 由已知条件可得数列的通项公式为an＝（－1）n＋1·，∴a3＝，a6＝－.故选D.
12.AC 对于选项A，由an＝1＋（－1）n得前六项为0，2，0，2，0，2，满足条件；对于选项B，由an＝2cos得前六项为0，－2，0，2，0，－2，不满足条件；对于选项C，由an＝2｜sin｜得前六项为0，2，0，2，0，2，满足条件；对于选项D，由an＝1－cos（n－1）π＋（n－1）（n－2）得前六项为0，2，2，8，12，22，不满足条件.
13.an＝ 解析：∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝，….∴此数列的通项公式为an＝.
2 / 21.1 数列的概念
新课程标准解读 核心素养
通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式） 数学抽象、数学运算
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数.毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能摆成正三角形，如图①，他把这些数叫作三角形数；当小石子的数目是1，4，9，16等数时，小石子都能摆成正方形，如图②，他把这些数叫作正方形数，等等.一系列有形状的数按顺序排列出来就称为数列.
【问题】 （1）数列的有关概念是什么？
（2）数列可分为哪几类？
知识点一 数列的概念及分类
1.数列的概念
（1）数列：按一定 排列的一列数叫作数列；
（2）项：数列中的每一个数叫作这个数列的 ；
（3）数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为数列 ，其中a1是数列的第1项，也叫数列的 ；an是数列的第n项，也叫数列的 .
2.数列的分类
项数有限的数列称为 ，项数无限的数列称为 .
提醒 （1）符号{an}和an是不同的概念，{an}表示一个数列，而an表示数列中的第n项；（2）在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
【想一想】
a，b，c，d和b，c，a，d是相同的数列吗？
知识点二 数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 ，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
提醒 （1）并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式；（2）一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝（－1）n可以写成an＝（－1）n＋2，还可以写成an＝k∈N＋，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}.（ ）
（2）数列1，3，5，7，…的第10项是21.（ ）
（3）按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷数列.（ ）
（4）每一个数列都有通项公式.（ ）
2.（多选）数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（ ）
A.an＝1＋（－1）n＋1 B.an＝1－（－1）n
C.an＝1＋（－1）n D.an＝1－cos nπ
3.若数列{an}的通项公式是an＝n2－1，则该数列的第10项a10＝ ，224是该数列的第 项.
题型一 数列概念的辨析
【例1】 （多选）下列说法正确的是（ ）
A.数列4，7，3，4的首项是4
B.数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
C.数列3，6，8可以表示为{3，6，8}
D.数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列
尝试解答
通性通法
数列概念理解的易错点
（1）概念中的“一定次序”，即数列中的数是有序的，注意与数集的区别；
（2）注意数列中的项与项的序号的区别；
（3）注意有穷数列a1，a2，…，an与无穷数列a1，a2，…，an，…表示方法的区别.
【跟踪训练】
下列说法正确的是（ ）
A.数列1，3，5，7，…，2n－1可以表示为1，3，5，7，…
B.数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列
C.数列的第k项为1＋
D.数列0，2，4，6，8，…可记为{2n}
题型二 用观察法求数列的通项公式
角度1 由数列的前几项求通项公式
【例2】 写出下列各数列的一个通项公式：
（1），，，，，…；
（2）－1，，－，，－，，…；
（3），1，，，….
尝试解答
通性通法
此类问题主要靠观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）等方法求解.具体注意以下几方面：（1）分式中分子、分母的特征；（2）相邻项的变化特征；（3）拆项后的特征；（4）各项的符号特征和绝对值特征；（5）化异为同；（6）对于符号交替出现的情况，可用（－1）k或（－1）k＋1处理.
【跟踪训练】
1.数列－，，－，，…的一个通项公式是an＝（ ）
A.－ B.
C. D.
2.数列，，，，…的通项公式an＝ .
角度2 由图形信息，探究归纳数列的通项公式
【例3】 观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有 小圆圈.
尝试解答
通性通法
首先要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化；其次要把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律；最后归纳、猜想出通项公式得解.
【跟踪训练】
黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地砖 块.
题型三 求解或判断数列中的项
【例4】 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
（1）写出数列的第4项和第6项；
（2）－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由.
尝试解答
通性通法
1.利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.
2.判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的项.
【跟踪训练】
已知数列{an}的通项公式为an＝.
（1）写出数列的前3项；
（2）和是不是它的项？如果是，是第几项？
1.已知数列{an}的通项公式为an＝（n∈N＋），则该数列的前4项依次为（ ）
A.1，0，1，0 B.0，1，0，1
C.，0，，0 D.2，0，2，0
2.数列1，3，5，7，9，11，…的一个通项公式an＝（ ）
A.2n－1 B.n（n－1）
C.n（n＋1） D.n2－n＋1
3.已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是它的（ ）
A.第4项 B.第5项
C.第6项 D.第7项
4.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，如：三角形数1，3，6，10，…；正方形数1，4，9，16，….如图所示为五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为 .
5.已知数列，，，，…，则该数列的一个通项公式是 ，5是该数列的第 项.
1.1 数列的概念
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（1）次序 （2）项 （3）{an} 首项 通项 2.有穷数列 无穷数列
想一想
提示：不是.
知识点二
an＝f（n）
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）×
2.ABD 经过验证知A、B、D均可以作为数列的通项公式，只有C不符合.
3.99 15 解析：a10＝102－1＝99.令an＝n2－1＝224，解得n＝15，即224是该数列的第15项.
【典型例题·精研析】
【例1】 AD 根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确.同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误.数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误.由无穷数列的概念知，D正确，故选A、D.
跟踪训练
C 数列1，3，5，7，…，2n－1为有穷数列，而数列1，3，5，7，…为无穷数列，故A中说法错误；数的顺序不同就是两个不同的数列，故B中说法错误；在C中，ak＝＝1＋，故C中说法正确；在D中，an＝2n－2，故D中说法错误.
【例2】 解：（1）这个数列前5项中，每一项的分子比分母小1，且分母依次为21，22，23，24，25，所以它的一个通项公式为an＝.
（2）这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为1，2，3，4，5，6，分子依次为1，3，1，3，1，3，所以它的一个通项公式为an＝
（3）将数列变形为，，，，…，对于分子3，5，7，9，…，可得分子的一个通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，可得分母的一个通项公式为cn＝n2＋1，所以原数列的一个通项公式为an＝（n∈N＋）.
跟踪训练
1.B －＝（－1）×，＝（－1）2×，－＝（－1）3×，＝（－1）4×，所以其通项公式是an＝.
2. 解析：已知的前四项的变化规律是分子与其序号一一对应，分母是2的整数次幂，指数与其序号一一对应，则其通项公式为an＝.
【例3】 n2－n＋1 解析：观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1，1×2＋1，2×3＋1，3×4＋1，4×5＋1，…，故第n个图中小圆圈的个数为（n－1）·n＋1＝n2－n＋1.
跟踪训练
4n＋2 解析：第1个图案中有白色地砖6块，第2个图案中有白色地砖10块，第3个图案中有白色地砖14块，…，后一个图案总比前一个图案多4块白色地砖，由累加法可得第n个图案中有4n＋2块白色地砖.
【例4】 解：（1）根据an＝3n2－28n，
得a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.
（2）令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，
解得n＝7或n＝（舍），
∴－49是该数列的第7项.
令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，
解得n＝－2或n＝，均不是正整数，
∴68不是该数列的项.
跟踪训练
解：（1）数列的前3项：a1＝＝1，
a2＝＝＝，
a3＝＝＝.
（2）令＝，则n2＋3n－40＝0，
解得n＝5或n＝－8，
注意到n∈N＋，故n＝－8舍去.
所以是数列的第5项.
令＝，则4n2＋12n－27＝0，
解得n＝或n＝－，
注意到n∈N＋，所以不是此数列中的项.
随堂检测
1.B 把n＝1，2，3，4分别代入an＝中，依次得到0，1，0，1.
2.A 数列1，3，5，7，9，11，…是由正奇数按从小到大排列构成的，其一个通项公式为an＝2n－1，故选A.
3.A 设是数列中的第n项，则＝，解得n＝4或n＝－5，∵－5 N＋，∴n＝－5应舍去，故n＝4.
4.22 解析：第一个五边形数为1，第二个五边形数为1＋4＝5，第三个五边形数为1＋4＋7＝12，故第四个五边形数为1＋4＋7＋10＝22.
5.an＝（n∈N＋） 19 解析：由给出的前几项可归纳出an＝（n∈N＋）.故由＝5＝，得4n－1＝75，所以n＝19，即5是该数列的第19项.
4 / 4(共57张PPT)
1.1 数列的概念
新课程标准解读 核心素养
通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和
表示方法（列表、图象、通项公式） 数学抽象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他
们研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆
成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数.毕达哥拉斯发现，当
小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能摆成正三角形，如
图①，他把这些数叫作三角形数；当小石子的数目是1，4，9，16等
数时，小石子都能摆成正方形，如图②，他把这些数叫作正方形数，
等等.一系列有形状的数按顺序排列出来就称为数列.
【问题】 （1）数列的有关概念是什么？
（2）数列可分为哪几类？
知识点一 数列的概念及分类
1. 数列的概念
（1）数列：按一定 排列的一列数叫作数列；
（2）项：数列中的每一个数叫作这个数列的 ；
（3）数列的表示：数列的一般形式可以写成 a1， a2， a3，…，
an ，…或简记为数列 ，其中 a1是数列的第1项，也叫
数列的 ； an 是数列的第 n 项，也叫数列的 .
次序
项
{ an }
首项
通项
2. 数列的分类
项数有限的数列称为 ，项数无限的数列称为
.
提醒 （1）符号{ an }和 an 是不同的概念，{ an }表示一个数列，而
an 表示数列中的第 n 项；（2）在数列的定义中，并没有规定数列
中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
【想一想】
a ， b ， c ， d 和 b ， c ， a ， d 是相同的数列吗？
提示：不是.
有穷数列
无穷数
列
知识点二 数列的通项公式
如果数列{ an }的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系可以用一个式子表示
成 ，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数
列的通项公式就是相应函数的解析式.
an ＝ f （ n ）
提醒 （1）并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同
近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，
3.141，…，它没有通项公式；（2）一个数列的通项公式可以有不同
的形式，如 an ＝（－1） n 可以写成 an ＝（－1） n＋2，还可以写成 an ＝
k ∈N＋，这些通项公式虽然形式上不同，但都表
示同一数列.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}. （ × ）
（2）数列1，3，5，7，…的第10项是21. （ × ）
（3）按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷数列.
（ √ ）
（4）每一个数列都有通项公式. （ × ）
×
×
√
×
2. （多选）数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（ ）
A. an ＝1＋（－1） n＋1 B. an ＝1－（－1） n
C. an ＝1＋（－1） n D. an ＝1－ cos n π
解析： 经过验证知A、B、D均可以作为数列的通项公式，
只有C不符合.
3. 若数列{ an }的通项公式是 an ＝ n2－1，则该数列的第10项 a10
＝ ，224是该数列的第 项.
解析： a10＝102－1＝99.令 an ＝ n2－1＝224，解得 n ＝15，即224是
该数列的第15项.
99
15
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 数列概念的辨析
【例1】 （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 数列4，7，3，4的首项是4
B. 数列{ an }中，若 a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
C. 数列3，6，8可以表示为{3，6，8}
D. 数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列
解析： 根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是
首项，即4，故A正确.同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错
误.数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误.由无穷
数列的概念知，D正确，故选A、D.
通性通法
数列概念理解的易错点
（1）概念中的“一定次序”，即数列中的数是有序的，注意与数集
的区别；
（2）注意数列中的项与项的序号的区别；
（3）注意有穷数列 a1， a2，…， an 与无穷数列 a1， a2，…， an ，…
表示方法的区别.
【跟踪训练】
下列说法正确的是（ ）
A. 数列1，3，5，7，…，2 n －1可以表示为1，3，5，7，…
B. 数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列
D. 数列0，2，4，6，8，…可记为{2 n }
解析： 数列1，3，5，7，…，2 n －1为有穷数列，而数列1，3，
5，7，…为无穷数列，故A中说法错误；数的顺序不同就是两个不同
的数列，故B中说法错误；在C中， ak ＝ ＝1＋ ，故C中说法正
确；在D中， an ＝2 n －2，故D中说法错误.
题型二 用观察法求数列的通项公式
角度1 由数列的前几项求通项公式
【例2】 写出下列各数列的一个通项公式：
（1） ， ， ， ， ，…；
解： 这个数列前5项中，每一项的分子比分母小1，且分母
依次为21，22，23，24，25，所以它的一个通项公式为 an ＝
.
（2）－1， ，－ ， ，－ ， ，…；
解： 这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对
值可看作分母依次为1，2，3，4，5，6，分子依次为1，3，1，
3，1，3，所以它的一个通项公式为
an ＝
（3） ，1， ， ，….
解： 将数列变形为 ， ， ， ，…，对于分子3，5，
7，9，…，可得分子的一个通项公式为 bn ＝2 n ＋1，对于分母
2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，可得分母的
一个通项公式为 cn ＝ n2＋1，所以原数列的一个通项公式为 an ＝
（ n ∈N＋）.
通性通法
此类问题主要靠观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归
纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）等方法求
解.具体注意以下几方面：（1）分式中分子、分母的特征；（2）相
邻项的变化特征；（3）拆项后的特征；（4）各项的符号特征和绝对
值特征；（5）化异为同；（6）对于符号交替出现的情况，可用（－
1） k 或（－1） k＋1处理.
【跟踪训练】
1. 数列－ ， ，－ ， ，…的一个通项公式是 an ＝（ ）
解析： － ＝（－1）× ， ＝（－1）2× ，－ ＝（－1）
3× ， ＝（－1）4× ，所以其通项公式是 an ＝ .
2. 数列 ， ， ， ，…的通项公式 an ＝ .
解析：已知的前四项的变化规律是分子与其序号一一对应，分母是
2的整数次幂，指数与其序号一一对应，则其通项公式为 an ＝ .
角度2 由图形信息，探究归纳数列的通项公式
【例3】 观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第
n 个图中有 小圆圈.
解析：观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1，1×2＋1，2×3＋1，
3×4＋1，4×5＋1，…，故第 n 个图中小圆圈的个数为（ n －1）· n ＋
1＝ n2－ n ＋1.
n2－ n ＋1
通性通法
首先要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化；其次要把这
些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律；最后归纳、猜想出
通项公式得解.
【跟踪训练】
黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案，
则第 n 个图案中有白色地砖 块.
解析：第1个图案中有白色地砖6块，第2个图案中有白色地砖10块，
第3个图案中有白色地砖14块，…，后一个图案总比前一个图案多4块
白色地砖，由累加法可得第 n 个图案中有4 n ＋2块白色地砖.
4 n ＋2
题型三 求解或判断数列中的项
【例4】 已知数列{ an }的通项公式为 an ＝3 n2－28 n .
（1）写出数列的第4项和第6项；
解： 根据 an ＝3 n2－28 n ，
得 a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.
（2）－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明
理由.
解： 令3 n2－28 n ＝－49，即3 n2－28 n ＋49＝0，
解得 n ＝7或 n ＝ （舍），
∴－49是该数列的第7项.
令3 n2－28 n ＝68，即3 n2－28 n －68＝0，
解得 n ＝－2或 n ＝ ，均不是正整数，
∴68不是该数列的项.
通性通法
1. 利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第 n 项 an 与它的位置序号 n 之间的关系，只
要用序号代替公式中的 n ，就可以求出数列的相应项.
2. 判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第 n 项，然后列出关于 n 的方程.若方程的解为
正整数，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是该
数列的项.
【跟踪训练】
已知数列{ an }的通项公式为 an ＝ .
（1）写出数列的前3项；
解： 数列的前3项： a1＝ ＝1，
a2＝ ＝ ＝ ， a3＝ ＝ ＝ .
（2） 和 是不是它的项？如果是，是第几项？
解： 令 ＝ ，则 n2＋3 n －40＝0，
解得 n ＝5或 n ＝－8，注意到 n ∈N＋，故 n ＝－8舍去.
所以 是数列的第5项.
令 ＝ ，则4 n2＋12 n －27＝0，
解得 n ＝ 或 n ＝－ ，
注意到 n ∈N＋，所以 不是此数列中的项.
1. 已知数列{ an }的通项公式为 an ＝ （ n ∈N＋），则该数列
的前4项依次为（ ）
A. 1，0，1，0 B. 0，1，0，1
D. 2，0，2，0
解析： 把 n ＝1，2，3，4分别代入 an ＝ 中，依次得
到0，1，0，1.
2. 数列1，3，5，7，9，11，…的一个通项公式 an ＝（ ）
A. 2 n －1
D. n2－ n ＋1
解析： 数列1，3，5，7，9，11，…是由正奇数按从小到大排
列构成的，其一个通项公式为 an ＝2 n －1，故选A.
3. 已知数列{ an }的通项公式为 an ＝ ，那么 是它的（ ）
A. 第4项 B. 第5项
C. 第6项 D. 第7项
解析： 设 是数列中的第 n 项，则 ＝ ，解得 n ＝4或 n
＝－5，∵－5 N＋，∴ n ＝－5应舍去，故 n ＝4.
4. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们
根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，如：三角形数1，
3，6，10，…；正方形数1，4，9，16，….如图所示为五边形数，
将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项
为 .
22
解析：第一个五边形数为1，第二个五边形数为1＋4＝5，第三个五
边形数为1＋4＋7＝12，故第四个五边形数为1＋4＋7＋10＝22.
5. 已知数列 ， ， ， ，…，则该数列的一个通项公式
是 an ＝ （ n ∈N＋） ，5 是该数列的第 项.
解析：由给出的前几项可归纳出 an ＝ （ n ∈N＋）.故由
＝5 ＝ ，得4 n －1＝75，所以 n ＝19，即5 是该
数列的第19项.
an ＝ （ n ∈N＋）
19
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知数列 an ＝2 n2＋1，则 a2＝（ ）
A. 1 B. 3
C. 5 D. 9
解析： 由题意，可知 a2＝2×22＋1＝9，故选D.
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2. 数列2， ， ， ， ，…的一个通项公式 an ＝（ ）
解析： 数列2， ， ， ， ，…可写成 ， ，
， ， ，…，所以通项公式 an ＝ .故选C.
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3. 已知数列1，3，7，15，…，2 n －1，…，则255是这个数列的
（ ）
A. 第6项 B. 第7项
C. 第8项 D. 第9项
解析： 数列1，3，7，15，…，2 n －1，…，即21－1，22－
1，23－1，24－1，…，2 n －1，…，故该数列的通项公式为 an
＝2 n －1.由 an ＝2 n －1＝255，解得 n ＝8，即255是这个数列的
第8项.故选C.
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4. 如图是由一些火柴棒拼成的一系列图形，如第一个图由4根火柴棒组成，第二个图由7根火柴棒组成，按这种规律排列下去，那么在
第51个图中的火柴棒有（ ）
A. 151根 B. 154根
C. 157根 D. 160根
解析： 第一个图由4根火柴棒组成，第二个图由4＋3＝7根火柴
棒组成，第三个图由4＋2×3＝10根火柴棒组成，……，第51个图
中的火柴棒有4＋50×3＝154根.故选B.
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5. （多选）下列关于数列的说法正确的是（ ）
A. 按一定次序排列的一列数叫作数列
B. 若{ an }表示数列，则 an 表示数列的第 n 项， an ＝ f （ n ）表示数列
的通项公式
C. 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一
D. 同一个数列的任意两项均不可能相同
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解析： 根据数列的定义，我们把按一定次序排列的一列数叫
作数列，可得A正确；若{ an }表示数列，则 an 表示数列的第 n 项，
an ＝ f （ n ）表示数列的通项公式，可得B正确；同一个数列的通项
公式的形式不一定唯一，例如 an ＝｜2－ n ｜，也可写成 an ＝
可得C正确；因为一个数列的每一项的值是可以相
同的，比如数列1，1，1，1，…，可得D错误，故选A、B、C.
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6. （多选）数列{ an }的通项公式为 an ＝则
（ ）
A. a3＝7 B. a3＝10
C. a2 a3＝20 D. a2 a3＝70
解析： 由通项公式得 a2＝2×2－2＝2， a3＝3×3＋1＝10，所
以 a2· a3＝20.故选B、C.
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解析：观察斐波那契数列，发现从第3项起，每一项均为其前2项之
和，则第9项为13＋21＝34，第10项为21＋34＝55.
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8. 数列{ an }的通项公式是 an ＝ （ n ∈N＋），则 a3＝ .
解析：∵ an ＝ （ n ∈N＋），∴ a3＝ ＝ .
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9. 若数列{ an }的通项公式是 an ＝3－2 n ， n ∈N＋，则 a2 n ＝
； ＝ .
解析：因为 an ＝3－2 n ，所以 a2 n ＝3－22 n ＝3－4 n ， ＝ ＝ .
3－4
n
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10. 已知数列{ an }的通项公式为 an ＝－ n2＋ n ＋110.
（1）20是不是{ an }中的一项？
解： 令 an ＝－ n2＋ n ＋110＝20，
即 n2－ n －90＝0，
∴（ n ＋9）（ n －10）＝0，
∴ n ＝10或 n ＝－9（舍）.
∴20是数列{ an }中的一项，且为数列{ an }中的第10项.
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（2）当 n 取何值时， an ＝0？
解： 令 an ＝－ n2＋ n ＋110＝0，
即 n2－ n －110＝0，
∴（ n －11）（ n ＋10）＝0，
∴ n ＝11或 n ＝－10（舍），
∴当 n ＝11时， an ＝0.
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11. 观察数列 ，－ ，（ ），－ ， ，（ ），…的特点，
则括号中应填入的适当的数为（ ）
解析： 由已知条件可得数列的通项公式为 an ＝（－1） n＋
1· ，∴ a3＝ ， a6＝－ .故选D.
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12. （多选）已知数列0，2，0，2，0，2，…，则前六项适合的通项
公式为（ ）
A. an ＝1＋（－1） n
D. an ＝1－ cos （ n －1）π＋（ n －1）（ n －2）
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解析： 对于选项A，由 an ＝1＋（－1） n 得前六项为0，2，
0，2，0，2，满足条件；对于选项B，由 an ＝2 cos 得前六项为
0，－2，0，2，0，－2，不满足条件；对于选项C，由 an ＝2｜
sin ｜得前六项为0，2，0，2，0，2，满足条件；对于选
项D，由 an ＝1－ cos （ n －1）π＋（ n －1）（ n －2）得前六项为
0，2，2，8，12，22，不满足条件.
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an ＝
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解析：∵ OA1＝1， OA2＝ ， OA3＝ ，…， OAn ＝ ，…，
∴ a1＝1， a2＝ ， a3＝ ，…， an ＝ ，….∴此数列的通项
公式为 an ＝ .
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谢 谢 观 看！
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