1.2 数列的函数特性
1.若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是（ ）
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列
2.递减数列{an}中，an＝kn（k为常数），则实数k的取值范围是（ ）
A.R B.（0，＋∞）
C.（－∞，0） D.（－∞，0]
3.已知数列{an}的通项公式是an＝，则数列{an}的最小项的值为（ ）
A.1 B.－1
C.＋1 D.－＋1
4.对于函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如表：
x … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
y … 3 7 5 9 6 1 8 2 4 …
数列{xn}满足：x1＝1，且对于任意n∈N＋，点（xn，xn＋1）都在函数y＝f（x）的图象上，则x1＋x2＋…＋x2 024＝（ ）
A.7 576 B.7 575 C.7 590 D.7 584
5.对任意的an∈（0，1），由关系式an＋1＝f（an）得到的数列满足an＋1＞an（n∈N＋），则函数y＝f（x）的图象可能是（ ）
6.（多选）已知函数f（x）＝－x2＋2x＋1，设数列{an}的通项公式为an＝f（n）（n∈N＋），则此数列（ ）
A.图象是二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象
B.是递减数列
C.从第3项往后各项均为负数
D.有两项为1
7.已知数列{an}的通项公式为an＝2 024－3n，则使an＞0成立的最大正整数n的值为 .
8.已知数列{an}的通项an＝（2－a）n＋a（n∈N＋），若数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是 .
9.已知数列{an}的通项公式为an＝an2＋n（n∈N＋），若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6，且an＞an＋1，对任意n≥10恒成立，则实数a的取值范围是 .
10.根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（1）－1，1，3，5，…；
（2）－，，－，，…；
（3）0.8，0.88，0.888，0.888 8，….
11.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－11n＋，a5是数列{an}的最小项，则实数a的取值范围是（ ）
A.[－40，－25] B.[－40，0]
C.[－25，25] D.[－25，0]
12.（多选）数列{an}的通项公式为an＝n＋，则下列说法正确的是（ ）
A.当a＝2时，数列{an}的最小值是a1＝a2＝3
B.当a＝－1时，数列{an}的最小值是a1＝0
C.当0＜a＜4时，a是数列{an}中的项
D.当a＜2时，{an}为递增数列
13.已知函数f（x）＝，设数列{an}的通项公式为an＝f（n），其中n∈N＋.
（1）求a2的值；
（2）求证：1≤an＜2；
（3）判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由.
1.2 数列的函数特性
1.A an＋1－an＝3n＋1－3n＝2×3n＞0，∴an＋1＞an，即{an}是递增数列.
2.C an＋1－an＝k（n＋1）－kn＝k＜0.
3.C 因为an＝＝＋，显然数列{an}为递增数列，所以当n＝1时，取得最小值＋1.
4.C 由题意，数列{xn}满足x1＝1，且点（xn，xn＋1）都在函数y＝f（x）的图象上，可得x2＝f（x1）＝f（1）＝3，x3＝f（x2）＝f（3）＝5，x4＝f（x3）＝f（5）＝6，x5＝f（x4）＝f（6）＝1，…，所以数列{xn}满足x4k－3＝1，x4k－2＝3，x4k－1＝5，x4k＝6，k∈N＋，则x1＋x2＋…＋x2 024＝506×（1＋3＋5＋6）＝7 590.故选C.
5.A 由an＋1＝f（an）且an＋1＞an，即f（an）＞an，即函数f（x）图象上任意一点（x，y）都满足y＞x，结合选项可知函数y＝f（x）的图象不可能是B、C、D，故选A.
6.BC ∵函数f（x）＝－x2＋2x＋1，数列{an}的通项公式为an＝f（n）（n∈N＋），∴an＝－n2＋2n＋1，对于选项A，数列{an}的图象是当n取正整数时f（n）＝－n2＋2n＋1的图象上的对应点的坐标，∴此数列图象不是二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象，故A错误；对于选项B，an＝－n2＋2n＋1＝－（n－1）2＋2，∴此数列是递减数列，故B正确；对于选项C，an＝－n2＋2n＋1＝－（n－1）2＋2，a1＝2，a2＝1，a3＝－2，此数列是递减数列，∴从第3项往后各项均为负数，故C正确；对于选项D，an＝－n2＋2n＋1＝－（n－1）2＋2，a1＝2，a2＝1，a3＝－2，且此数列是递减数列，此数列只有一项为1，故D错误.故选B、C.
7.674 解析：∵数列{an}的通项公式为an＝2 024－3n，
∴由an＞0得2 024－3n＞0，解得n＜674＋，
∵n是正整数，∴n的最大值为674.
8.（－∞，2） 解析：因为数列{an}是递增数列，所以2－a＞0，解得a＜2，故实数a的取值范围为（－∞，2）.
9. 解析：由题意可得解得－＜a＜－，∴实数a的取值范围是.
10.解：（1）因为a1＝2×1－3＝－1，a2＝2×2－3＝1，a3＝2×3－3＝3，a4＝2×4－3＝5，故an＝2×n－3＝2n－3.
（2）因为a1＝（－1）1×＝－，a2＝（－1）2×＝，a3＝（－1）3×＝－，a4＝（－1）4×＝，故an＝（－1）n×＝.
（3）所给数列可写成×（ 1－），×（ 1－），×（ 1－），×（ 1－），…，
所以原数列的一个通项公式为an＝（ 1－）.
11.D 由条件可知，对任意的n∈N＋，都有an≥a5恒成立，即n2－11n＋≥－30，整理得（n－5）（n－6）≥.当n≤4时，不等式化简为a≥5n（n－6）恒成立，当n＝1时，5n（n－6）取得最大值－25，所以a≥－25，当n≥6时，不等式化简为a≤5n（n－6）恒成立，所以a≤0；综上，实数a的取值范围是[－25，0].故选D.
12.ABD 当a＝2时，an＝n＋，由f（x）＝x＋（x＞0）的单调性及a1＝3，a2＝3，可知A正确；当a＝－1时，an＝n－，数列{an}显然是递增数列，故最小值为a1＝0，B正确；令an＝n＋＝a，得n2－na＋a＝0，当0＜a＜4时，Δ＝a2－4a＜0，故方程无解，所以a不是数列{an}中的项，C不正确；若{an}是递增数列，则an＋1＞an，即n＋1＋＞n＋，得a＜n2＋n，又n∈N＋，n2＋n≥2，所以a＜2，D正确.
13.解：（1）由题意得an＝＝2－，所以a2＝2－＝.
（2）证明：由题意得an＝2－，因为n为正整数，所以n≥1，0＜≤1，所以1≤2－＜2，所以1≤an＜2.
（3）由题得{an}是递增数列，
证明：an＝＝2－，an＋1－an＝－＝＞0，所以{an}是递增数列.
2 / 21.2 数列的函数特性
新课程标准解读 核心素养
了解数列的函数特性及表示方法 数学抽象、数学建模、数学运算
古语云：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.”如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量，则每日的高度按日期排在一起，可组成一个数列.同样，对“磨刀之石”用精密仪器度量，则每日的质量按日期排在一起，也可组成一个数列.
【问题】 （1）你能定义这两个数列吗？
（2）“春起之苗”的高度组成的数列与“磨刀之石”的质量组成的数列有何特征呢？
知识点一 数列的表示方法
数列的表示方法一般有三种： 、 、 .
提醒 对用列表法和图象法表示数列的两点说明：①列表法可以清楚地反映出数列的许多具体的项，也能发现项的变化规律，但由于受函数定义域的影响，有时不能完整地反映一个数列；②图象法可以形象直观地反映数列的项及项的变化规律，但要注意数列的图象与一般函数图象的区别在于数列的图象是一系列孤立的点.
【想一想】
用图象法表示数列时，其图象有什么特点？
知识点二 数列的函数特性
分类 定义 表达式
递增数列 从第2项起，每一项都 它的前一项 an＋1＞an
递减数列 从第2项起，每一项都 它的前一项 an＋1＜an
常数列 各项 an＋1＝an
提醒 （1）数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法；（2）要注意数列的特殊性（离散性）.由于数列的定义域是N＋（或它的有限子集{1，2，…，n}），所以数列的值域是一系列孤立的实数组成的集合；（3）有的数列不是常数列也不具有单调性，即存在某一项比它的前一项大，也存在某一项比它的前一项小，这样的数列称为摆动数列，因此数列按其单调性可分为“递增数列、递减数列、常数列和摆动数列”.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）数列的图象可以分布在坐标系内的任意象限.（ ）
（2）递增数列没有最大项.（ ）
（3）递减数列的最大项一定是当n＝1时取得.（ ）
（4）如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列.（ ）
2.数列{an}满足an＋1＝an＋1，则数列{an}是（ ）
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列
3.数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它最小项的值是 .
题型一 数列的表示方法
【例1】 （1）根据数列的通项公式填表：
n 1 2 … 5 … … n
an … … 153 … 3（3＋4n）
（2）画出数列{an}的图象，其中an＝3n－1.
尝试解答
通性通法
1.列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应关系.
2.数列an＝3n－1的图象是函数y＝3x－1（x＞0）图象上的无穷多个孤立的点.
【跟踪训练】
某种练习本单价5元，小王买了n本（n∈N＋，n≤5）该练习本，记an为买n本的总价，试用三种方法来表示数列{an}.
题型二 数列单调性的判断
角度1 图象法
【例2】 已知数列{an}的通项公式为an＝，画出它的图象，并判断增减性.
尝试解答
通性通法
利用数列的图象判断数列的增减性
数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性.
角度2 作差（商）法
【例3】 已知数列{an}的通项公式为an＝（n∈N＋），则数列{an}为（ ）
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.无法确定数列的增减性
尝试解答
通性通法
利用数列单调性的定义判断数列的增减性
（1）作差法：将－an与0进行比较；
（2）作商法：将与1进行比较（在作商时，要注意an＜0还是 an＞0）.
【跟踪训练】
1.作出下列数列的图象，并根据图象判断数列的增减性：
（1）数列{an}的通项公式是an＝2n＋3；
（2）数列{bn}的通项公式是bn＝；
（3）数列{cn}的通项公式是cn＝（n－1.2）2＋1；
（4）数列{dn}的通项公式是dn＝（n－1.8）2＋1.
2.已知数列{an}的通项公式an＝（n∈N＋），试判断该数列的增减性.
题型三 数列单调性的应用
角度1 求变量的取值范围
【例4】 已知函数f（x）＝若数列{an}满足an＝f（n），n∈N＋，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围可以是（ ）
A.（1，3） B.（1，2] C.（2，3） D.［，3）
尝试解答
通性通法
利用数列{an}的增减性解决问题时，既要结合函数单调性的知识，又要注意数列本身的特性，如本例中函数f（x）递增只要满足（3－a）×10－6≤a10－9即可，而数列{an}递增要满足（3－a）×10－6＜a11－9.
角度2 求最值
【例5】 已知数列{an}的通项公式是an＝（n＋2）×（ ）n（n∈N＋），试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.
尝试解答
通性通法
求数列{an}的最大（小）项的方法
（1）利用数列的单调性确定数列的最大（小）项.当数列不单调时，还需解不等式an＋1－an＞0（ 或＞1，此时要关注an的符号）来确定数列的单调“区间”，进而求其最大（小）项；
（2）通过解不等式组来确定，即设第k（k∈N＋，k＞1）项是数列的最大（小）项，则（ ），求出k的正整数值后代入通项公式即得最大（小）项.
【跟踪训练】
1.已知数列{an}满足an＝n＋，则数列{an}的最小值为（ ）
A. B.
C.8 D.12
2.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－λn（λ∈R），且为严格单调递增数列，则实数λ的取值范围是 .
1.数列{an}中，an＝－2n，则{an}是（ ）
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.以上都不是
2.数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是（ ）
A. B.30
C.31 D.32
3.（多选）下面四个结论中正确的是（ ）
A.数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数
B.数列若用图象表示，从图象上看都是一系列孤立的点
C.数列的项数是无限的
D.数列通项的表达式是唯一的
4.已知数列2a－1，a－3，3a－5为递减数列，则a的取值范围为 .
5.写出下列数列的前5项，并作出它们的图象：
（1）按从小到大的顺序排列的所有素数构成的数列；
（2）an＝－n＋1.
数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式.
类型一 由递推公式求数列的某指定项
【例1】 若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N＋，求a2 023.
尝试解答
方法总结
递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项（或前几项），才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律（如本例的周期性）.
【跟踪训练】
（多选）已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－，能使an＝3的n可以为（ ）
A.22 B.24
C.26 D.28
类型二 由数列的递推公式求通项公式
【例2】 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln（ 1＋），则数列{an}的通项公式为an＝（ ）
A.2＋ln n B.2＋（n－1）ln n
C.2＋nln n D.1＋n＋ln n
尝试解答
方法总结
由递推关系求通项公式的常用方法
（1）归纳法：根据数列的某项和递推公式求出数列的前几项，归纳出通项公式，在解答题中还需给出严格的证明；
（2）迭代法、累加法或累乘法：
①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f（n）（f（n）是可以求和的），使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan（p为非零常数），或an＋1＝f（n）an（f（n）是可以求积的），使用累乘法或迭代法.
【跟踪训练】
已知数列{an}中，a1＝1，an＝n（an＋1－an）（n∈N＋）.求数列{an}的通项公式.
1.2 数列的函数特性
【基础知识·重落实】
知识点一
列表法 图象法 解析法
想一想
提示：其图象是一些离散的点.
知识点二
大于 小于 都相等
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）×
2.A 因为an＋1－an＝1＞0，所以{an}为递增数列.
3.－9 解析：∵an＝n2－6n＝（n－3）2－9，∴当n＝3时，an取得最小值－9.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）由第n项可知此数列的通项公式为：an＝3（4n＋3），
所以a1＝3×（4×1＋3）＝21，a2＝3×（4×2＋3）＝33，a5＝3×（4×5＋3）＝69.
令3（4n＋3）＝153，解得n＝12.
故填充完整的表格为：
n 1 2 … 5 … 12 … n
an 21 33 … 69 … 153 … 3（3＋4n）
（2）an＝3n－1，列表：
n 1 2 3 4 …
an 1 3 9 27 …
在直角坐标系中图象如图：
跟踪训练
解：通项公式法：an＝5n（n∈N＋，n≤5）.
列表法：
n 1 2 3 4 5
an 5 10 15 20 25
图象法：
【例2】 解：图象如图所示，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的.但它在N＋上不具有增减性.
【例3】 B 由题意，数列{an}的通项公式为an＝（n∈N＋），可得an－an－1＝2＋－2－＝－＜0（n∈N＋且n≥2），所以an＜an－1，即数列{an}为递减数列.故选B.
跟踪训练
1.解：（1）作图如下： （2）作图如下：
由图知数列{an}是递增数列. 由图知数列{bn}是递减数列.
（3）作图如下： （4）作图如下：
由图知数列{an}是递增数列. 由图可知a2＜a1＜a3，数列{an}不具有增减性，是摆动数列.
2.解：对任意n∈N＋，由通项公式an＝得an＋1－an＝－＝［1－］－（ 1－）＝－＝＞0，
即an＋1＞an（n∈N＋），故数列{an}是递增数列.
【例4】 C 由题意知an＝因为数列{an}是递增数列，所以当n≤10时，3－a＞0，即a＜3；当n＞10时，a＞1.又a10＜a11，所以（3－a）×10－6＜a11－9，即a2＋10a－24＞0，即（a＋12）（a－2）＞0，所以a＜－12或a＞2.综上可得，a的取值范围为（2，3）.
【例5】 解：法一（作差法） an＋1－an＝（n＋3）×（ ）n＋1－（n＋2）×（ ）n＝（ ）n×.
当n＜5时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝5时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞5时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.
故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞…，
所以数列{an}有最大项，最大项为a5和a6，且a5＝a6＝.
法二（作商法） ＝＝.
易知an＞0，
令＞1，解得n＜5；令＝1，解得n＝5；
令＜1，解得n＞5.
故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞…，
所以数列{an}有最大项，最大项为a5和a6，且a5＝a6＝.
法三 假设{an}中有最大项，且最大项为第n项，则
即解得即5≤n≤6.
故数列{an}有最大项，最大项为a5和a6，且a5＝a6＝.
跟踪训练
1.A ∵f（x）＝x＋在（0，4）上单调递减，在（4，＋∞）上单调递增，∴当x＝n（n∈N＋）时，f（n）min＝min{f（5），f（6）}，又f（5）＝5＋＝，f（6）＝6＋＝，∴f（n）min＝，即an＝n＋的最小值为.故选A.
2.（－∞，3） 解析：由数列{an}是严格单调递增数列，所以an＋1－an＞0，即（n＋1）2－λ（n＋1）－n2＋λn＝2n＋1－λ＞0，即λ＜2n＋1（n∈N＋）恒成立，又数列{2n＋1}是单调递增数列，所以当n＝1时，2n＋1取得最小值3，所以λ＜3.
随堂检测
1.B an＋1－an＝－2（n＋1）－（－2n）＝－2＜0，则{an}是递减数列.
2.B an＝－n2＋11n＝－＋，∵n∈N＋，∴当n＝5或6时，an取最大值30，故选B.
3.AB A、B正确.数列的项数可以是有限的，也可以是无限的.数列通项的表达式可以不唯一.例如，数列1，0，－1，0，1，0，－1，0，…的通项可以是an＝sin，也可以是an＝cos.C、D不正确.
4.（－2，1） 解析：∵数列2a－1，a－3，3a－5为递减数列，
∴解得－2＜a＜1.
5.解：（1）前5项为2，3，5，7，11，函数图象如图①所示.
（2）前5项为0，－1，－2，－3，－4，函数图象如图②所示.
拓视野 数列的递推公式
【例1】 解：由题意得，a2＝＝＝－3，
a3＝＝＝－，a4＝＝＝，
a5＝＝＝2＝a1，
∴{an}是周期为4的数列，∴a2 023＝a4×505＋3＝a3＝－.
跟踪训练
AD 由a1＝3，an＋1＝－，得a2＝－，a3＝－，a4＝3.所以数列{an}是周期为3的数列，故a22＝a28＝3.
【例2】 A 法一（归纳法） 数列的前5项分别为a1＝2，a2＝2＋ln（ 1＋）＝2＋ln 2，a3＝2＋ln 2＋ln（ 1＋）＝2＋ln 3，a4＝2＋ln 3＋ln（ 1＋）＝2＋ln 4，a5＝2＋ln 4＋ln（ 1＋）＝2＋ln 5，由此可得数列的一个通项公式为an＝2＋ln n.
法二（迭代法） a2＝a1＋ln（ 1＋），a3＝a2＋ln（ 1＋），…，an＝an－1＋ln（ 1＋）（n≥2），则an＝a1＋ln（ ×××…×）＝2＋ln n（n≥2）.又a1＝2＝2＋ln 1，所以an＝2＋ln n.
法三（累加法） an＋1－an＝ln（ 1＋）＝ln＝ln（1＋n）－ln n，a1＝2，a2－a1＝ln 2，a3－a2＝ln 3－ln 2，a4－a3＝ln 4－ln 3，…，an－an－1＝ln n－ln（n－1）（n≥2），以上各式相加得an＝2＋ln 2＋（ln 3－ln 2）＋…＋[ln n－ln（n－1）]，所以an＝2＋ln n（n≥2）.因为a1＝2也适合上式，所以an＝2＋ln n.
法四（排除法） 由题意知，a2＝a1＋ln 2＝2＋ln 2，将n＝2代入各选项，可排除C、D，又a3＝2＋ln 3，所以排除B，选A.
跟踪训练
解：法一（累乘法） ∵an＝n（an＋1－an），an≠0，即＝，
∴＝，＝，＝，…，＝（n≥2）.
以上各式两边分别相乘，得＝×××…×＝n.
又a1＝1，∴an＝n（n≥2）.
∵a1＝1也适合上式，∴an＝n.
法二（迭代法） 由题意易得an＋1＝an·，则a2＝a1×，a3＝a2×，a4＝a3×，…，an＝an－1×（n≥2），
∴an＝a1××××…××＝n（n≥2）.
又a1＝1也适合上式，∴an＝n.
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1.2 数列的函数特性
新课程标准解读 核心素养
了解数列的函数特性及表示方法 数学抽象、数学建模、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
古语云：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之
石，不见其损，日有所亏.”如果对“春起之苗”每日用精密仪器度
量，则每日的高度按日期排在一起，可组成一个数列.同样，对“磨
刀之石”用精密仪器度量，则每日的质量按日期排在一起，也可组成
一个数列.
【问题】 （1）你能定义这两个数列吗？
（2）“春起之苗”的高度组成的数列与“磨刀之石”的质量组成的
数列有何特征呢？
知识点一 数列的表示方法
数列的表示方法一般有三种： 、 、
.
提醒 对用列表法和图象法表示数列的两点说明：①列表法可以清楚
地反映出数列的许多具体的项，也能发现项的变化规律，但由于受函
数定义域的影响，有时不能完整地反映一个数列；②图象法可以形象
直观地反映数列的项及项的变化规律，但要注意数列的图象与一般函
数图象的区别在于数列的图象是一系列孤立的点.
列表法
图象法
解析
法
【想一想】
用图象法表示数列时，其图象有什么特点？
提示：其图象是一些离散的点.
知识点二 数列的函数特性
分类 定义 表达式
递增数列 从第2项起，每一项都 它的前一
项 an＋1＞ an
递减数列 从第2项起，每一项都 它的前一
项 an＋1＜ an
常数列 各项 an＋1＝ an
大于
小于
都相等
提醒 （1）数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数
列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法；
（2）要注意数列的特殊性（离散性）.由于数列的定义域是N＋（或
它的有限子集{1，2，…， n }），所以数列的值域是一系列孤立的实
数组成的集合；（3）有的数列不是常数列也不具有单调性，即存在
某一项比它的前一项大，也存在某一项比它的前一项小，这样的数列
称为摆动数列，因此数列按其单调性可分为“递增数列、递减数列、
常数列和摆动数列”.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）数列的图象可以分布在坐标系内的任意象限. （ × ）
（2）递增数列没有最大项. （ × ）
（3）递减数列的最大项一定是当 n ＝1时取得. （ √ ）
（4）如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列.
（ × ）
×
×
√
×
2. 数列{ an }满足 an＋1＝ an ＋1，则数列{ an }是（ ）
A. 递增数列 B. 递减数列
C. 常数列 D. 摆动数列
解析： 因为 an＋1－ an ＝1＞0，所以{ an }为递增数列.
3. 数列{ an }的通项公式为 an ＝ n2－6 n ，则它最小项的值是 .
解析：∵ an ＝ n2－6 n ＝（ n －3）2－9，∴当 n ＝3时， an 取得最小
值－9.
－9
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 数列的表示方法
【例1】 （1）根据数列的通项公式填表：
n 1 2 … 5 … … n
an … … 153 … 3（3
＋4
n ）
解： 由第 n 项可知此数列的通项公式为： an ＝3（4 n ＋3），
所以 a1＝3×（4×1＋3）＝21， a2＝3×（4×2＋3）＝33， a5
＝3×（4×5＋3）＝69.
令3（4 n ＋3）＝153，
解得 n ＝12.
故填充完整的表格为：
n 1 2 … 5 … 12 … n
an 21 33 … 69 … 153 … 3（3
＋4
n ）
（2）画出数列{ an }的图象，其中 an ＝3 n－1.
解： an ＝3 n－1，列表：
n 1 2 3 4 …
an 1 3 9 27 …
在直角坐标系中图象如图：
通性通法
1. 列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，
但它只能表示有限个元素之间的对应关系.
2. 数列 an ＝3 n－1的图象是函数 y ＝3 x－1（ x ＞0）图象上的无穷多个孤
立的点.
【跟踪训练】
某种练习本单价5元，小王买了 n 本（ n ∈N＋， n ≤5）该练习本，记
an 为买 n 本的总价，试用三种方法来表示数列{ an }.
解：通项公式法： an ＝5 n （ n ∈N＋， n ≤5）.
列表法：
n 1 2 3 4 5
an 5 10 15 20 25
图象法：
题型二 数列单调性的判断
角度1 图象法
【例2】 已知数列{ an }的通项公式为 an ＝ ，画出它的图象，并
判断增减性.
解：图象如图所示，该数列在{1，2，3，4}
上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的.但
它在N＋上不具有增减性.
通性通法
利用数列的图象判断数列的增减性
数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列
的增减性.
角度2 作差（商）法
【例3】 已知数列{ an }的通项公式为 an ＝ （ n ∈N＋），则数列
{ an }为（ ）
A. 递增数列 B. 递减数列
C. 常数列 D. 无法确定数列的增减性
解析： 由题意，数列{ an }的通项公式为 an ＝ （ n ∈N＋），可
得 an － an－1＝2＋ －2－ ＝ － ＜0（ n ∈N＋且 n ≥2），所以
an ＜ an－1，即数列{ an }为递减数列.故选B.
通性通法
利用数列单调性的定义判断数列的增减性
（1）作差法：将 － an 与0进行比较；
（2）作商法：将 与1进行比较（在作商时，要注意 an ＜0还是 an
＞0）.
【跟踪训练】
1. 作出下列数列的图象，并根据图象判断数列的增减性：
（1）数列{ an }的通项公式是 an ＝2 n ＋3；
解： 作图如下：
由图知数列{ bn }是递减数列.
（2）数列{ bn }的通项公式是 bn ＝ ；
解： 作图如下：
由图知数列{ an }是递增数列.
（3）数列{ cn }的通项公式是 cn ＝（ n －1.2）2＋1；
解： 作图如下：
由图知数列{ an }是递增数列.
（4）数列{ dn }的通项公式是 dn ＝（ n －1.8）2＋1.
解： 作图如下：
由图可知 a2＜ a1＜ a3，数列{ an }不具有增减性，是摆动数列.
2. 已知数列{ an }的通项公式 an ＝ （ n ∈N＋），试判断该数列的
增减性.
解：对任意 n ∈N＋，由通项公式 an ＝ 得 an＋1－ an ＝
－ ＝［1－ ］－（ 1－ ）＝ －
＝ ＞0，
即 an＋1＞ an （ n ∈N＋），故数列{ an }是递增数列.
题型三 数列单调性的应用
角度1 求变量的取值范围
【例4】 已知函数 f （ x ）＝若数列{ an }
满足 an ＝ f （ n ）， n ∈N＋，且{ an }是递增数列，则实数 a 的取值范
围可以是（ ）
A. （1，3） B. （1，2]
C. （2，3）
解析： 由题意知 an ＝因为数列{ an }是
递增数列，所以当 n ≤10时，3－ a ＞0，即 a ＜3；当 n ＞10时， a ＞1.
又 a10＜ a11，所以（3－ a ）×10－6＜ a11－9，即 a2＋10 a －24＞0，即
（ a ＋12）（ a －2）＞0，所以 a ＜－12或 a ＞2.综上可得， a 的取值
范围为（2，3）.
通性通法
利用数列{ an }的增减性解决问题时，既要结合函数单调性的知
识，又要注意数列本身的特性，如本例中函数 f （ x ）递增只要满足
（3－ a ）×10－6≤ a10－9即可，而数列{ an }递增要满足（3－ a ）
×10－6＜ a11－9.
角度2 求最值
【例5】 已知数列{ an }的通项公式是 an ＝（ n ＋2）×（ ） n （ n
∈N＋），试问数列{ an }是否有最大项？若有，求出最大项；若没
有，说明理由.
解：法一（作差法） an＋1－ an ＝（ n ＋3）×（ ） n＋1－（ n ＋2）
×（ ） n ＝（ ） n × .
当 n ＜5时， an＋1－ an ＞0，即 an＋1＞ an ；
当 n ＝5时， an＋1－ an ＝0，即 an＋1＝ an ；
当 n ＞5时， an＋1－ an ＜0，即 an＋1＜ an .
故 a1＜ a2＜ a3＜ a4＜ a5＝ a6＞ a7＞ a8＞…，
所以数列{ an }有最大项，最大项为 a5和 a6，且 a5＝ a6＝ .
法二（作商法） ＝ ＝ .
易知 an ＞0，
令 ＞1，解得 n ＜5；令 ＝1，解得 n ＝5；
令 ＜1，解得 n ＞5.
故 a1＜ a2＜ a3＜ a4＜ a5＝ a6＞ a7＞ a8＞…，
所以数列{ an }有最大项，最大项为 a5和 a6，且 a5＝ a6＝ .
法三 假设{ an }中有最大项，且最大项为第 n 项，则即
解得即5≤ n ≤6.
故数列{ an }有最大项，最大项为 a5和 a6，且 a5＝ a6＝ .
通性通法
求数列{ an }的最大（小）项的方法
（1）利用数列的单调性确定数列的最大（小）项.当数列不单调时，
还需解不等式 an＋1－ an ＞0（ 或 ＞1，此时要关注 an 的符
号）来确定数列的单调“区间”，进而求其最大（小）项；
（2）通过解不等式组来确定，即设第 k （ k ∈N＋， k ＞1）项是数列
的最大（小）项，则（ ），求出 k 的
正整数值后代入通项公式即得最大（小）项.
【跟踪训练】
1. 已知数列{ an }满足 an ＝ n ＋ ，则数列{ an }的最小值为（ ）
解析： ∵ f （ x ）＝ x ＋ 在（0，4 ）上单调递减，在（4
，＋∞）上单调递增，∴当 x ＝ n （ n ∈N＋）时， f （ n ）min＝
min{ f （5）， f （6）}，又 f （5）＝5＋ ＝ ， f （6）＝6＋ ＝
，∴ f （ n ）min＝ ，即 an ＝ n ＋ 的最小值为 .故选A.
D. 12
2. 已知数列{ an }的通项公式为 an ＝ n2－λ n （λ∈R），且为严格单
调递增数列，则实数λ的取值范围是 .
解析：由数列{ an }是严格单调递增数列，所以 an＋1－ an ＞0，即
（ n ＋1）2－λ（ n ＋1）－ n2＋λ n ＝2 n ＋1－λ＞0，即λ＜2 n ＋
1（ n ∈N＋）恒成立，又数列{2 n ＋1}是单调递增数列，所以当 n
＝1时，2 n ＋1取得最小值3，所以λ＜3.
（－∞，3）
1. 数列{ an }中， an ＝－2 n ，则{ an }是（ ）
A. 递增数列 B. 递减数列
C. 常数列 D. 以上都不是
解析： an＋1－ an ＝－2（ n ＋1）－（－2 n ）＝－2＜0，则{ an }
是递减数列.
2. 数列{ an }中， an ＝－ n2＋11 n ，则此数列最大项的值是（ ）
B. 30
C. 31 D. 32
解析： an ＝－ n2＋11 n ＝－ ＋ ，∵ n ∈N＋，∴当 n
＝5或6时， an 取最大值30，故选B.
3. （多选）下面四个结论中正确的是（ ）
A. 数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，
3，…， n }）上的函数
B. 数列若用图象表示，从图象上看都是一系列孤立的点
C. 数列的项数是无限的
D. 数列通项的表达式是唯一的
解析： A、B正确.数列的项数可以是有限的，也可以是无限
的.数列通项的表达式可以不唯一.例如，数列1，0，－1，0，1，
0，－1，0，…的通项可以是 an ＝ sin ，也可以是 an ＝ cos
.C、D不正确.
4. 已知数列2 a －1， a －3，3 a －5为递减数列，则 a 的取值范围
为 .
解析：∵数列2 a －1， a －3，3 a －5为递减数列，
∴解得－2＜ a ＜1.
（－2，1）
5. 写出下列数列的前5项，并作出它们的图象：
（1）按从小到大的顺序排列的所有素数构成的数列；
解： 前5项为2，3，5，7，11，函数图象如图①所
示.
（2） an ＝－ n ＋1.
解： 前5项为0，－1，－2，－3，－4，函数图象如图②
所示.
数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表
示，那么这个式子叫作数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一
种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数 n 的恒等式.
类型一 由递推公式求数列的某指定项
【例1】 若数列{ an }满足 a1＝2， an＋1＝ ， n ∈N＋，求 a2 023.
解：由题意得， a2＝ ＝ ＝－3，
a3＝ ＝ ＝－ ， a4＝ ＝ ＝ ，
a5＝ ＝ ＝2＝ a1，∴{ an }是周期为4的数列，
∴ a2 023＝ a4×505＋3＝ a3＝－ .
方法总结
递推公式反映的是相邻两项（或 n 项）之间的关系.对于通项公
式，已知 n 的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项（或前
几项），才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具
有规律（如本例的周期性）.
【跟踪训练】
（多选）已知数列{ an }中， a1＝3， an＋1＝－ ，能使 an ＝3的 n
可以为（ ）
A. 22 B. 24
C. 26 D. 28
解析： 由 a1＝3， an＋1＝－ ，得 a2＝－ ， a3＝－ ， a4＝3.
所以数列{ an }是周期为3的数列，故 a22＝ a28＝3.
类型二 由数列的递推公式求通项公式
【例2】 在数列{ an }中， a1＝2， an＋1＝ an ＋ln（ 1＋ ），则数列
{ an }的通项公式为 an ＝（ ）
A. 2＋ln n B. 2＋（ n －1）ln n
C. 2＋ n ln n D. 1＋ n ＋ln n
解析： 法一（归纳法） 数列的前5项分别为 a1＝2， a2＝2＋ln
（ 1＋ ）＝2＋ln 2， a3＝2＋ln 2＋ln（ 1＋ ）＝2＋ln 3， a4＝2＋ln
3＋ln（ 1＋ ）＝2＋ln 4， a5＝2＋ln 4＋ln（ 1＋ ）＝2＋ln 5，由此
可得数列的一个通项公式为 an ＝2＋ln n .
法二（迭代法） a2＝ a1＋ln（ 1＋ ）， a3＝ a2＋ln（ 1＋ ），…，
an ＝ an－1＋ln（ 1＋ ）（ n ≥2），则 an ＝ a1＋ln（ × × ×…×
）＝2＋ln n （ n ≥2）.又 a1＝2＝2＋ln 1，所以 an ＝2＋ln n .
法三（累加法） an＋1－ an ＝ln（ 1＋ ）＝ln ＝ln（1＋ n ）－ln
n ， a1＝2， a2－ a1＝ln 2， a3－ a2＝ln 3－ln 2， a4－ a3＝ln 4－ln
3，…， an － an－1＝ln n －ln（ n －1）（ n ≥2），以上各式相加得 an
＝2＋ln 2＋（ln 3－ln 2）＋…＋[ln n －ln（ n －1）]，所以 an ＝2＋ln
n （ n ≥2）.因为 a1＝2也适合上式，所以 an ＝2＋ln n .
法四（排除法） 由题意知， a2＝ a1＋ln 2＝2＋ln 2，将 n ＝2代入各
选项，可排除C、D，又 a3＝2＋ln 3，所以排除B，选A.
方法总结
由递推关系求通项公式的常用方法
（1）归纳法：根据数列的某项和递推公式求出数列的前几项，归纳
出通项公式，在解答题中还需给出严格的证明；
（2）迭代法、累加法或累乘法：
① an＋1－ an ＝常数，或 an＋1－ an ＝ f （ n ）（ f （ n ）是可以求和
的），使用累加法或迭代法；
② an＋1＝ pan （ p 为非零常数），或 an＋1＝ f （ n ） an （ f （ n ）
是可以求积的），使用累乘法或迭代法.
【跟踪训练】
已知数列{ an }中， a1＝1， an ＝ n （ an＋1－ an ）（ n ∈N＋）.求数列
{ an }的通项公式.
解：法一（累乘法） ∵ an ＝ n （ an＋1－ an ）， an ≠0，即 ＝
，∴ ＝ ， ＝ ， ＝ ，…， ＝ （ n ≥2）.
以上各式两边分别相乘，得 ＝ × × ×…× ＝ n .
又 a1＝1，∴ an ＝ n （ n ≥2）.
∵ a1＝1也适合上式，
∴ an ＝ n .
法二（迭代法） 由题意易得 an＋1＝ an · ，
则 a2＝ a1× ， a3＝ a2× ， a4＝ a3× ，…， an ＝ an－1× （ n
≥2），
∴ an ＝ a1× × × ×…× × ＝ n （ n ≥2）.
又 a1＝1也适合上式，
∴ an ＝ n .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若数列{ an }满足 an ＝3 n ，则数列{ an }是（ ）
A. 递增数列
B. 递减数列
C. 常数列
D. 摆动数列
解析： an＋1－ an ＝3 n＋1－3 n ＝2×3 n ＞0，∴ an＋1＞ an ，即{ an }
是递增数列.
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2. 递减数列{ an }中， an ＝ kn （ k 为常数），则实数 k 的取值范围是
（ ）
A. R B. （0，＋∞）
C. （－∞，0） D. （－∞，0]
解析： an＋1－ an ＝ k （ n ＋1）－ kn ＝ k ＜0.
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3. 已知数列{ an }的通项公式是 an ＝ ，则数列{ an }的最小项的
值为（ ）
A. 1
解析： 因为 an ＝ ＝ ＋ ，显然数列{ an }为递
增数列，所以当 n ＝1时，取得最小值 ＋1.
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4. 对于函数 y ＝ f （ x ），部分 x 与 y 的对应关系如表：
x … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
y … 3 7 5 9 6 1 8 2 4 …
数列{ xn }满足： x1＝1，且对于任意 n ∈N＋，点（ xn ， xn＋1）都在
函数 y ＝ f （ x ）的图象上，则 x1＋ x2＋…＋ x2 024＝（ ）
A. 7 576 B. 7 575
C. 7 590 D. 7 584
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解析： 由题意，数列{ xn }满足 x1＝1，且点（ xn ， xn＋1）都在函
数 y ＝ f （ x ）的图象上，可得 x2＝ f （ x1）＝ f （1）＝3， x3＝ f
（ x2）＝ f （3）＝5， x4＝ f （ x3）＝ f （5）＝6， x5＝ f （ x4）＝ f
（6）＝1，…，所以数列{ xn }满足 x4 k－3＝1， x4 k－2＝3， x4 k－1＝
5， x4 k ＝6， k ∈N＋，则 x1＋ x2＋…＋ x2 024＝506×（1＋3＋5＋6）
＝7 590.故选C.
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5. 对任意的 an ∈（0，1），由关系式 an＋1＝ f （ an ）得到的数列满足
an＋1＞ an （ n ∈N＋），则函数 y ＝ f （ x ）的图象可能是（ ）
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解析： 由 an＋1＝ f （ an ）且 an＋1＞ an ，即 f （ an ）＞ an ，即函数
f （ x ）图象上任意一点（ x ， y ）都满足 y ＞ x ，结合选项可知函数
y ＝ f （ x ）的图象不可能是B、C、D，故选A.
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6. （多选）已知函数 f （ x ）＝－ x2＋2 x ＋1，设数列{ an }的通项公式
为 an ＝ f （ n ）（ n ∈N＋），则此数列（ ）
A. 图象是二次函数 y ＝－ x2＋2 x ＋1的图象
B. 是递减数列
C. 从第3项往后各项均为负数
D. 有两项为1
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解析： ∵函数 f （ x ）＝－ x2＋2 x ＋1，数列{ an }的通项公式
为 an ＝ f （ n ）（ n ∈N＋），∴ an ＝－ n2＋2 n ＋1，对于选项A，数
列{ an }的图象是当 n 取正整数时 f （ n ）＝－ n2＋2 n ＋1的图象上的
对应点的坐标，∴此数列图象不是二次函数 y ＝－ x2＋2 x ＋1的图
象，故A错误；对于选项B， an ＝－ n2＋2 n ＋1＝－（ n －1）2＋
2，∴此数列是递减数列，故B正确；对于选项C， an ＝－ n2＋2 n
＋1＝－（ n －1）2＋2， a1＝2， a2＝1， a3＝－2，此数列是递减数
列，∴从第3项往后各项均为负数，故C正确；对于选项D， an ＝－
n2＋2 n ＋1＝－（ n －1）2＋2， a1＝2， a2＝1， a3＝－2，且此数列
是递减数列，此数列只有一项为1，故D错误.故选B、C.
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7. 已知数列{ an }的通项公式为 an ＝2 024－3 n ，则使 an ＞0成立的最
大正整数 n 的值为 .
解析：∵数列{ an }的通项公式为 an ＝2 024－3 n ，
∴由 an ＞0得2 024－3 n ＞0，解得 n ＜674＋ ，
∵ n 是正整数，∴ n 的最大值为674.
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8. 已知数列{ an }的通项 an ＝（2－ a ） n ＋ a （ n ∈N＋），若数列
{ an }是递增数列，则实数 a 的取值范围是 .
解析：因为数列{ an }是递增数列，所以2－ a ＞0，解得 a ＜2，故
实数 a 的取值范围为（－∞，2）.
（－∞，2）
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解析：由题意可得解得－ ＜ a ＜－ ，∴实
数 a 的取值范围是 .
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10. 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（1）－1，1，3，5，…；
解： 因为 a1＝2×1－3＝－1， a2＝2×2－3＝1， a3＝
2×3－3＝3， a4＝2×4－3＝5，
故 an ＝2× n －3＝2 n －3.
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（2）－ ， ，－ ， ，…；
解： 因为 a1＝（－1）1× ＝－ ， a2＝（－1）2×
＝ ， a3＝（－1）3× ＝－ ， a4＝（－1）4× ＝
，故 an ＝（－1） n × ＝ .
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（3）0.8，0.88，0.888，0.888 8，….
解： 所给数列可写成 ×（ 1－ ）， ×（ 1－
）， ×（ 1－ ）， ×（ 1－ ），…，
所以原数列的一个通项公式为 an ＝ （ 1－ ）.
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11. 已知数列{ an }的通项公式为 an ＝ n2－11 n ＋ ， a5是数列{ an }的
最小项，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. [－40，－25] B. [－40，0]
C. [－25，25] D. [－25，0]
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解析： 由条件可知，对任意的 n ∈N＋，都有 an ≥ a5恒成立，
即 n2－11 n ＋ ≥ －30，整理得（ n －5）（ n －6）≥ .
当 n ≤4时，不等式化简为 a ≥5 n （ n －6）恒成立，当 n ＝1时，5
n （ n －6）取得最大值－25，所以 a ≥－25，当 n ≥6时，不等式
化简为 a ≤5 n （ n －6）恒成立，所以 a ≤0；综上，实数 a 的取值
范围是[－25，0].故选D.
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12. （多选）数列{ an }的通项公式为 an ＝ n ＋ ，则下列说法正确的
是（ ）
A. 当 a ＝2时，数列{ an }的最小值是 a1＝ a2＝3
B. 当 a ＝－1时，数列{ an }的最小值是 a1＝0
C. 当0＜ a ＜4时， a 是数列{ an }中的项
D. 当 a ＜2时，{ an }为递增数列
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解析： 当 a ＝2时， an ＝ n ＋ ，由 f （ x ）＝ x ＋ （ x ＞
0）的单调性及 a1＝3， a2＝3，可知A正确；当 a ＝－1时， an ＝ n
－ ，数列{ an }显然是递增数列，故最小值为 a1＝0，B正确；令
an ＝ n ＋ ＝ a ，得 n2－ na ＋ a ＝0，当0＜ a ＜4时，Δ＝ a2－4 a ＜
0，故方程无解，所以 a 不是数列{ an }中的项，C不正确；若{ an }
是递增数列，则 an＋1＞ an ，即 n ＋1＋ ＞ n ＋ ，得 a ＜ n2＋
n ，又 n ∈N＋， n2＋ n ≥2，所以 a ＜2，D正确.
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13. 已知函数 f （ x ）＝ ，设数列{ an }的通项公式为 an ＝ f
（ n ），其中 n ∈N＋.
（1）求 a2的值；
解： 由题意得 an ＝ ＝2－ ，
所以 a2＝2－ ＝ .
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（2）求证：1≤ an ＜2；
解： 证明：由题意得 an ＝2－ ，
因为 n 为正整数，所以 n ≥1，0＜ ≤1，
所以1≤2－ ＜2，所以1≤ an ＜2.
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（3）判断{ an }是递增数列还是递减数列，并说明理由.
解： 由题得{ an }是递增数列，
证明： an ＝ ＝2－ ， an＋1－ an ＝ － ＝
＞0，
所以{ an }是递增数列.
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