2.2 等差数列的前n项和
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的前n项和公式和通项公式的关系 数学抽象、数学运算
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题 数学建模、数学运算
第一课时 等比数列的前n项和公式
在信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息.在此背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任.你知道其中的缘由吗？
如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传给3个不同的好友（称为第1轮传播），每个好友收到信息后，又都传给了3个不同的好友（称为第2轮传播），……，依此下去，假设信息在传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人数就构成了一个等比数列：1，3，9，27，81，….
【问题】 如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？
知识点一 等比数列的前n项和公式
已知量 首项a1与公比q 首项a1，末 项an与公比q
公式 Sn＝ Sn＝
提醒 （1）等比数列前n项和公式的推导方法是“错位相减法”；（2）若q是否等于1不能确定时，需按q＝1和q≠1分类讨论.
【想一想】
若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a（a≠0，q≠0且q≠1，n∈N＋），则此数列一定是等比数列吗？
知识点二 等比数列前n项和的性质
（1）当q＝1时，＝；当q≠±1时，＝；
（2）Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm；
（3）设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和；若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q；
（4）当q≠－1时，连续m项的和（如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…）仍组成等比数列（公比为qm，m≥2）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）等比数列前n项和Sn不可能为0.（ ）
（2）若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.（ ）
（3）若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝.（ ）
（4）数列{an}的前n项和为Sn＝an＋b（a≠0，a≠1），则数列{an}一定是等比数列.（ ）
2.在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和S10＝（ ）
A.2－ B.2－
C.2－ D.2－
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝S9，则公比q＝ .
题型一 等比数列前n项和公式的基本运算
【例1】 （1）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，且a2 022＋a2 023＝0，则S101＝（ ）
A.3 B.303
C.－3 D.－303
（2）（多选）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1≠a2，a3a4＝2a1，a3－a2＝2（a4－a3），则下列结论正确的是（ ）
A.q＝ B.a7＝2
C.a8＝8 D.S6＝126
（3）在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝ .
尝试解答
通性通法
等比数列前n项和基本运算的技巧
（1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答；
（2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体；
（3）在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.
【跟踪训练】
在等比数列{an}中：
（1）若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和q；
（2）已知S4＝1，S8＝17，求an.
题型二 等比数列前n项和的性质
【例2】 （1）在等比数列{an}中，若S10＝10，S20＝30，则S30＝ ；
（2）已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且（a1＋a3＋…＋a2n－1）－（a2＋a4＋…＋a2n）＝80，则公比q＝ ；
（3）若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝ .
尝试解答
通性通法
处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
（1）运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元；
（2）灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
【跟踪训练】
1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12＝（ ）
A.8 B.6
C.4 D.2
2.一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式.
题型三 等比数列前n项和公式的实际应用
【例3】 某市2023年共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2024年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则：
（1）该市在2030年应该投入电力型公交车多少辆？
（2）到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？
尝试解答
通性通法
解数列应用题的思路和方法
【跟踪训练】
为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2024年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.
（1）以2024年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；
（2）国家计划10年后终止该矿区的出口，问2024年最多出口多少吨？（0.910≈0.35，保留一位小数）
1.数列1，5，52，53，54，…的前10项和为（ ）
A.（510－1） B.（510－1）
C.（59－1） D.（511－1）
2.等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为（ ）
A.4 B.－4
C.2 D.－2
3.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
4.中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，那么这匹马在最后一天行走的里程数为（ ）
A. B.
C. D.
5.等比数列{an}的前n项和为Sn，若an＞0，q＞1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝ .
第一课时 等差数列的前n项和公式
【基础知识·重落实】
知识点一
3. na1＋d
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）√ （4）×
2.D 设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋d＝20，即4×＋d＝20，解得d＝3，∴S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.
3. 解析：由S25＝－25＋×24×25×d＝30，解得d＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）解得
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S10＝10a1＋d＝10×（－5）＋5×9×3＝85.
（2）由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39，
又∵a8＝4＋（8－1）d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5.
跟踪训练
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2.
故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81.
（2）S17＝＝＝＝340.
（3）由题意得，Sn＝＝＝－5，
解得n＝15.
又a15＝＋（15－1）d＝－，
所以d＝－，
所以n＝15，d＝－.
【例2】 解：根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知
Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1（n≥2，n∈N＋），
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－［（n－1）2＋（n－1）］＝2n－， ①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式.
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－，n∈N＋.
∵an＋1－an＝2（n＋1）－－（ 2n－）＝2，
故数列{an}是以为首项，2为公差的等差数列.
母题探究
解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（ n2＋n＋1）－［（n－1）2＋（n－1）＋1］＝2n－. ①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋＋1＝，不符合①式.
∴an＝
【例3】 解：从12月20日到第二年的1月1日共13天，每天领取的奖品价值是以100为首项，以10为公差的等差数列，设为{an}，则a1＝100，d＝10，n＝13，
∴共获奖品价值S13＝13×100＋×10＝2 080（元）.
∵2 080＞2 000，∴第二种领奖方式获奖者受益更多.
跟踪训练
解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn.根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20＝800.
由S20＝20a1＋×2＝800，可得a1＝21.
因此，第1排应安排21个座位.
随堂检测
1.B ∵a1＝S1＝6，a1＋a2＝S2＝14，∴a2＝8，
∴d＝a2－a1＝2.
2.B S10＝＝5（a1＋a10）＝120，∴a1＋a10＝24.
3.B 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210＞200.∴n＝19时，剩余钢管最少，为10根.
4.2n 解析：设{an}的公差为d，则解得故an＝2＋（n－1）×2＝2n.
5.解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（－2n2＋3n＋1）－[－2（n－1）2＋3（n－1）＋1]＝－4n＋5.
又因为当n＝1时，a1＝2不满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝
（2）由（1）知，当n≥2时，an＋1－an＝－4（n＋1）＋5－（－4n＋5）＝－4，但a2－a1＝－3－2＝－5，所以数列{an}不是等差数列.
2 / 42.2 等差数列的前n项和
第一课时 等差数列的前n项和公式
1.已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm＝（ ）
A.2 300 B.2 400
C.2 600 D.2 500
2.设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和.若S10＝S11，则a1＝（ ）
A.18 B.20
C.22 D.24
3.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an＞0的最小正整数n为（ ）
A.7 B.8
C.9 D.10
4.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈.”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布.记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an，则a14＋a15＋a16＋a17的值为（ ）
A.55 B.52
C.39 D.26
5.记Sn为等差数列{an}的前n项和，给出下列4个条件：①a1＝1；②a4＝4；③S3＝9；④S5＝25.若只有1个条件不成立，则该条件为（ ）
A.① B.②
C.③ D.④
6.（多选）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＞0，若S9＝S20，则下列结论中正确的有（ ）
A.a15＝0
B.当且仅当n＝15时，Sn取得最小值
C.a10＋a22＞0
D.当Sn＞0时，n的最小值为29
7.已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其首项a1＝ ，公差d＝ .
8.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝ .
9.设正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝（an＋1）2，则数列{an}的通项公式为 .
10.已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1＝7，a50＝101，求S50；
（2）若a1＝2，a2＝，求S10；
（3）若a1＝，d＝－，Sn＝－5，求n.
11.“嫦娥”奔月，举国欢庆.据科学计算，运载“嫦娥”飞船的“长征三号甲”火箭点火1 min内通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（ ）
A.10 min B.13 min
C.15 min D.20 min
12.（多选）已知等差数列的前n项和为Sn，若S13＜0，S12＞0，则下列说法正确的有（ ）
A.a6＜0 B.a7＜0
C.a6＋a7＜0 D.a6＋a7＞0
13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A，B，C三点共线（该直线不过点O），则S200＝ .
14.某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m，最远一根电线杆距离电站1 550 m，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工.若该汽车往返运输总行程为17 500 m，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？
15.设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a4和a5是方程x2－20x＋99＝0的两个根.若对任意n∈N＋都有Sn≤Sk成立，则k的值为（ ）
A.8 B.9
C.10 D.11
16.已知等差数列{an}的公差d＞0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝（c为非零常数），且数列{bn}也是等差数列，求c的值.
第一课时 等差数列的前n项和公式
1.D 法一 由am＝a1＋（m－1）d，得99＝1＋（m－1）×2，解得m＝50，所以Sm＝S50＝50×1＋×2＝2 500.
法二 同法一，得m＝50，所以Sm＝S50＝＝＝2 500.故选D.
2.B 由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，所以a1＝a11＋（1－11）d＝0＋（－10）×（－2）＝20.
3.B 由S13＝＝0，得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝－12＋（n－1）×2＝2n－14，由2n－14＞0，得n＞7，即使得an＞0的最小正整数n为8.
4.B 由题意可知{an}为等差数列，a1＝5，∴S30＝30×5＋d＝390，解得d＝，∴a14＋a15＋a16＋a17＝a1＋13d＋a1＋14d＋a1＋15d＋a1＋16d＝4a1＋58d＝4×5＋58×＝52.
5.B 设等差数列{an}的公差为d.若①②同时成立，则d＝1，此时S3＝3a1＋d＝6，S5＝5a1＋d＝15，③④均不成立，与题设矛盾，所以①②不同时成立，③④一定成立.由得a1＝1，d＝2，①成立，②不成立.故选B.
6.AC ∵数列{an}是等差数列，且S9＝S20，∴a10＋a11＋…＋a20＝11a15＝0，即a15＝0，故选项A正确；∵d＞0，∴当n≤14时，an＜0，当n≥16时，an＞0，故当n＝14或n＝15时，Sn取得最小值，故选项B错误；a10＋a22＝2a16＞0，故选项C正确；∵S29＝29a15＝0，故选项D错误.故选A、C.
7.1 解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6①，S5＝5a1＋×5×（5－1）d＝10②，由①②联立解得a1＝1，d＝.
8.25 解析：法一 设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝2，得a1＋d＋a1＋5d＝2，即－4＋6d＝2，解得d＝1，所以S10＝10×（－2）＋×1＝25.
法二 设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a6＝2a4＝2，所以a4＝1，所以d＝＝＝1，所以S10＝10×（－2）＋×1＝25.
9.an＝2n－1 解析：令n＝1，得a1＝S1＝（a1＋1）2，解得a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（an＋1）2－（an－1＋1）2，即（an＋an－1）（an－an－1－2）＝0.因为an＞0，所以an＋an－1≠0，于是有an－an－1＝2.所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
因此an＝1＋（n－1）×2＝2n－1.
10.解：（1）因为a1＝7，a50＝101，根据公式Sn＝，可得S50＝＝2 700.
（2）因为a1＝2，a2＝，所以d＝.根据公式Sn＝na1＋d，可得S10＝10×2＋×＝.
（3）把a1＝，d＝－，Sn＝－5代入Sn＝na1＋d，得－5＝n＋×.
整理，得n2－7n－60＝0.
解得n＝12或n＝－5（舍去）.
所以n＝12.
11.C 由题设条件知，火箭每分钟通过的路程数构成以2为首项，2为公差的等差数列，设其前n项和为Sn，则Sn＝2n＋×2＝n2＋n＝n（n＋1）＝240，解得n＝15或n＝－16（舍去）.
12.BD 由题知，S13＝13a7＜0，S12＝＝6（a6＋a7）＞0，所以a7＜0，a6＋a7＞0.故选B、D.
13.100 解析：A，B，C三点共线 a1＋a200＝1，∴S200＝（a1＋a200）＝100.
14.解：由题意知汽车逐趟（由近及远）往返运输行程组成一个等差数列，记为{an}，
则an＝1 550×2＝3 100，d＝50×3×2＝300，Sn＝17 500.
由等差数列的通项公式及前n项和公式，
得
由①得a1＝3 400－300n.
代入②得n（3 400－300n）＋150n（n－1）－17 500＝0，整理得3n2－65n＋350＝0，
解得n＝10或n＝（舍去），
所以a1＝3 400－300×10＝400.
故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30（根），最近的一趟往返行程400 m，
第一根电线杆距离电站×400－100＝100（m）.
所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m.
15.B ∵a4和a5是方程x2－20x＋99＝0的两个根，∴a4＋a5＝20，a4a5＝99.设等差数列{an}的公差为d，∵对任意n∈N＋都有Sn≤Sk成立，即Sk是前n项和Sn的最大值，∴d＜0.∴a4＝11，a5＝9，d＝－2，an＝a4＋（n－4）×（－2）＝19－2n.当n≤9时，an＞0，当n≥10时，an＜0，若对任意n∈N＋都有Sn≤Sk成立，则k＝9.
16.解：（1）∵S4＝28，
∴＝28，a1＋a4＝14，
∴a2＋a3＝14，
又a2a3＝45，公差d＞0，
∴a2＜a3，∴a2＝5，a3＝9，
∴解得
∴an＝4n－3，n∈N＋.
（2）由（1），知Sn＝2n2－n，
∴bn＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝.
又{bn}也是等差数列，
∴b1＋b3＝2b2，
即2×＝＋，
解得c＝－（c＝0舍去）.
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2.2
等差数列的前n项和
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握等差数列的前 n 项和公式，理解等差数列
的前 n 项和公式和通项公式的关系 数学抽象、
数学运算
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解
决相应的问题 数学建模、
数学运算
第一课时
等差数列的前n项和公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇室建筑
中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圜丘的地面由扇环的石板
铺成（如图），最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块
石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.
【问题】 文中所提到的最高一层的石板一共有多少块？
知识点一 等差数列的前 n 项和公式
1. 数列的前 n 项和
定义：数列{ an }中，从第一项 a1到第 n 项 an 的和称为数列{ an }的前
n 项和.记作 Sn ，即 Sn ＝ a1＋ a2＋…＋ an .
2. 数列的前 n 项和公式
定义：如果数列{ an }的前 n 项和 Sn 能用关于项数 n 的一个式子 g
（ n ）来表示，那么 Sn ＝ g （ n ）叫作数列{ an }的前 n 项和公式.
3. 等差数列的前 n 项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用 公式 Sn ＝ Sn ＝
na1＋ d
提醒 （1）等差数列{ an }的前 n 项和公式的推导方法“倒序相加
法”是解决数列求和问题的一种重要方法.主要适用于具有 a1＋ an ＝
a2＋ an－1＝ a3＋ an－2＝…特征的数列求和；（2）若已知等差数列{ an }
的首项 a1、末项 an 及项数 n ，则用公式 Sn ＝ 来求和.这里
是 a1与 an 的等差中项，应用时要注意结合等差数列的性质；
（3）公式 Sn ＝ 中涉及四个量： Sn ， n ， a1， an ；公式 Sn
＝ na1＋ d 中也涉及四个量： Sn ， n ， a1， d .
结合等差数列{ an }的通项公式 an ＝ a1＋（ n －1） d ，对于等差数列中
的五个量： Sn ， n ， a1， an ， d ，已知其中的三个量就可以求出另外
的两个量.
知识点二 数列中 an 与 Sn 的关系
对于一般数列{ an }，设其前 n 项和为 Sn ，则有 an ＝
提醒 在使用 an 与 Sn 的关系求 an 时，要注意验证 n ＝1时与 n ≥2时求
得的通项公式是否可以合并.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）等差数列前 n 项和公式的推导方法是倒序相加法.（ √ ）
（2）若数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝ kn （ k ∈R），则{ an }为常数列.
（ √ ）
（3）等差数列的前 n 项和等于其首项、第 n 项的等差中项的 n 倍.
（ √ ）
（4）若数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，则对于任意的 n ∈N＋， an ＝ Sn
－ Sn－1. （ × ）
√
√
√
×
2. 设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 a1＝ ， S4＝20，则 S6＝
（ ）
A. 16 B. 24
C. 36 D. 48
解析： 设等差数列{ an }的公差为 d ，由已知得4 a1＋ d ＝
20，即4× ＋ d ＝20，解得 d ＝3，∴ S6＝6× ＋ ×3＝3＋
45＝48.
解析：由 S25＝－25＋ ×24×25× d ＝30，解得 d ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 等差数列前 n 项和的基本运算
【例1】 在等差数列{ an }中：
（1）已知 a6＝10， S5＝5，求 a8和 S10；
解： 解得
∴ a8＝ a6＋2 d ＝10＋2×3＝16，
S10＝10 a1＋ d ＝10×（－5）＋5×9×3＝85.
（2）已知 a1＝4， S8＝172，求 a8和 d .
解： 由已知得 S8＝ ＝ ＝172，解得 a8
＝39，
又∵ a8＝4＋（8－1） d ＝39，∴ d ＝5.
∴ a8＝39， d ＝5.
通性通法
等差数列中基本计算的两个技巧
（1）利用基本量求值
（2）利用等差数列的性质解题
【跟踪训练】
在等差数列{ an }中：
（1）若 a1＝1， a4＝7，求 S9；
解： 设等差数列{ an }的公差为 d ，
则 a4＝ a1＋3 d ＝1＋3 d ＝7，所以 d ＝2.
故 S9＝9 a1＋ d ＝9＋ ×2＝81.
（2）若 a3＋ a15＝40，求 S17；
解： S17＝ ＝ ＝ ＝340.
（3）若 a1＝ ， an ＝－ ， Sn ＝－5，求 n 和 d .
解： 由题意得， Sn ＝ ＝ ＝－5，
解得 n ＝15.
又 a15＝ ＋（15－1） d ＝－ ，所以 d ＝－ ，
所以 n ＝15， d ＝－ .
题型二 由数列{ an }的前 n 项和 Sn 求 an
【例2】 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ＝ n2＋ n ，求这个数列
的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分
别是什么？
解：根据 Sn ＝ a1＋ a2＋…＋ an－1＋ an 可知
Sn－1＝ a1＋ a2＋…＋ an－1（ n ≥2， n ∈N＋），
当 n ≥2时， an ＝ Sn － Sn－1＝ n2＋ n －［（ n －1）2＋ （ n －1）］＝
2 n － ， ①
当 n ＝1时， a1＝ S1＝12＋ ×1＝ ，也满足①式.
∴数列{ an }的通项公式为 an ＝2 n － ， n ∈N＋.
∵ an＋1－ an ＝2（ n ＋1）－ －（ 2 n － ）＝2，
故数列{ an }是以 为首项，2为公差的等差数列.
【母题探究】
（变条件、变设问）若将本例中前 n 项和改为 Sn ＝ n2＋ n ＋1，求数
列{ an }的通项公式.
解：当 n ≥2时， an ＝ Sn － Sn－1＝（ n2＋ n ＋1）－［（ n －1）2＋
（ n －1）＋1］＝2 n － . ①
当 n ＝1时， a1＝ S1＝12＋ ＋1＝ ，不符合①式.
∴ an ＝
通性通法
1. 已知数列{ an }的前 n 项和 Sn 求通项公式 an ，先由 a1＝ S1求得 a1，再
当 n ≥2时， an ＝ Sn － Sn－1求得 an 的表达式，最后验证 a1是否符合
an 的表达式，若符合则统一用一个式子表示，不符合则分段表示.
2. 数列{ an }是等差数列的充要条件是 Sn ＝ An2＋ Bn （ A 、 B 为常
数）.
题型三 等差数列前 n 项和的实际应用
【例3】 某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第
一种，获奖者可以选择 2 000元的奖金；第二种，从12月20日到第二
年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100
元，第2天为110元，以后逐天增加10元.你认为哪种领奖方式获奖者
受益更多？
解：从12月20日到第二年的1月1日共13天，每天领取的奖品价值是以
100为首项，以10为公差的等差数列，设为{ an }，则 a1＝100， d ＝
10， n ＝13，
∴共获奖品价值 S13＝13×100＋ ×10＝2 080（元）.
∵2 080＞2 000，∴第二种领奖方式获奖者受益更多.
通性通法
1. 本题属于与等差数列前 n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适
的等差数列.
2. 遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数
列模型，具体解决要注意以下两点：
（1）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型；
（2）深入分析题意，确定是求通项公式 an ，还是求前 n 项和 Sn 或
者求项数 n .
【跟踪训练】
某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，
从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.
解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一
列，构成数列{ an }，其前 n 项和为 Sn .根据题意，数列{ an }是一个公
差为2的等差数列，且 S20＝800.
由 S20＝20 a1＋ ×2＝800，可得 a1＝21.
因此，第1排应安排21个座位.
1. 等差数列{ an }的前 n 项和 Sn ＝ n2＋5 n ，则公差 d ＝（ ）
A. 1 B. 2
C. 5 D. 10
解析： ∵ a1＝ S1＝6， a1＋ a2＝ S2＝14，∴ a2＝8，
∴ d ＝ a2－ a1＝2.
2. 在等差数列{ an }中， S10＝120，则 a1＋ a10＝（ ）
A. 12 B. 24
C. 36 D. 48
解析： S10＝ ＝5（ a1＋ a10）＝120，∴ a1＋ a10＝
24.
3. 现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管
尽可能少，那么剩余钢管的根数为（ ）
A. 9 B. 10
C. 19 D. 29
解析： 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数
列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.∴钢管总数为1＋2＋3
＋…＋ n ＝ .当 n ＝19时， S19＝190.当 n ＝20时， S20＝210
＞200.∴ n ＝19时，剩余钢管最少，为10根.
4. 设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 a6＝ S3＝12，则{ an }的通项 an
＝ .
解析：设{ an }的公差为 d ，则
解得故 an ＝2＋（ n －1）×2＝2 n .
2 n
5. 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ＝－2 n2＋3 n ＋1.
（1）求数列{ an }的通项公式；
解： 当 n ＝1时， a1＝ S1＝2；
当 n ≥2时， an ＝ Sn － Sn－1＝（－2 n2＋3 n ＋1）－[－2（ n －
1）2＋3（ n －1）＋1]＝－4 n ＋5.
又因为当 n ＝1时， a1＝2不满足上式，
所以数列{ an }的通项公式为 an ＝
（2）数列{ an }是否为等差数列？
解： 由（1）知，当 n ≥2时， an＋1－ an ＝－4（ n ＋1）
＋5－（－4 n ＋5）＝－4，但 a2－ a1＝－3－2＝－5，所以数
列{ an }不是等差数列.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知等差数列{ an }满足 a1＝1， am ＝99， d ＝2，则其前 m 项和 Sm
＝（ ）
A. 2 300 B. 2 400
C. 2 600 D. 2 500
解析： 法一 由 am ＝ a1＋（ m －1） d ，得99＝1＋（ m －1）
×2，解得 m ＝50，所以 Sm ＝ S50＝50×1＋ ×2＝2 500.
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法二 同法一，得 m ＝50，所以 Sm ＝ S50＝ ＝
＝2 500.故选D.
2. 设{ an }为等差数列，公差 d ＝－2， Sn 为其前 n 项和.若 S10＝ S11，
则 a1＝（ ）
A. 18 B. 20 C. 22 D. 24
解析： 由 S10＝ S11，得 a11＝ S11－ S10＝0，所以 a1＝ a11＋（1－
11） d ＝0＋（－10）×（－2）＝20.
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3. 在等差数列{ an }中，已知 a1＝－12， S13＝0，则使得 an ＞0的最小
正整数 n 为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
解析： 由 S13＝ ＝0，得 a13＝12，则 a1＋12 d ＝
12，得 d ＝2，∴数列{ an }的通项公式为 an ＝－12＋（ n －1）×2
＝2 n －14，由2 n －14＞0，得 n ＞7，即使得 an ＞0的最小正整数 n
为8.
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4. 《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五
尺，今一月日织九匹三丈.”其意思为：现有一善于织布的女子，
从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，
现在一月（按30天计算）共织390尺布.记该女子一月中的第 n 天所
织布的尺数为 an ，则 a14＋ a15＋ a16＋ a17的值为（ ）
A. 55 B. 52
C. 39 D. 26
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解析： 由题意可知{ an }为等差数列， a1＝5，∴ S30＝30×5＋
d ＝390，解得 d ＝ ，∴ a14＋ a15＋ a16＋ a17＝ a1＋13 d ＋ a1
＋14 d ＋ a1＋15 d ＋ a1＋16 d ＝4 a1＋58 d ＝4×5＋58× ＝52.
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5. 记 Sn 为等差数列{ an }的前 n 项和，给出下列4个条件：① a1＝1；②
a4＝4；③ S3＝9；④ S5＝25.若只有1个条件不成立，则该条件为
（ ）
A. ① B. ②
C. ③ D. ④
解析： 设等差数列{ an }的公差为 d .若①②同时成立，则 d ＝
1，此时 S3＝3 a1＋ d ＝6， S5＝5 a1＋ d ＝15，③④均不成
立，与题设矛盾，所以①②不同时成立，③④一定成立.由
得 a1＝1， d ＝2，①成立，②不成立.故选B.
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6. （多选）设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，公差 d ＞0，若 S9＝
S20，则下列结论中正确的有（ ）
A. a15＝0
B. 当且仅当 n ＝15时， Sn 取得最小值
C. a10＋ a22＞0
D. 当 Sn ＞0时， n 的最小值为29
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解析： ∵数列{ an }是等差数列，且 S9＝ S20，∴ a10＋ a11＋…
＋ a20＝11 a15＝0，即 a15＝0，故选项A正确；∵ d ＞0，∴当 n ≤14
时， an ＜0，当 n ≥16时， an ＞0，故当 n ＝14或 n ＝15时， Sn 取得
最小值，故选项B错误； a10＋ a22＝2 a16＞0，故选项C正确；∵ S29
＝29 a15＝0，故选项D错误.故选A、C.
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解析： a4＋ a6＝ a1＋3 d ＋ a1＋5 d ＝6①， S5＝5 a1＋ ×5×（5－
1） d ＝10②，由①②联立解得 a1＝1， d ＝ .
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8. 记 Sn 为等差数列{ an }的前 n 项和.若 a1＝－2， a2＋ a6＝2，则 S10
＝ .
解析：法一 设等差数列{ an }的公差为 d ，则由 a2＋ a6＝2，得 a1
＋ d ＋ a1＋5 d ＝2，即－4＋6 d ＝2，解得 d ＝1，
所以 S10＝10×（－2）＋ ×1＝25.
25
法二 设等差数列{ an }的公差为 d ，因为 a2＋ a6＝2 a4＝2，
所以 a4＝1，所以 d ＝ ＝ ＝1，
所以 S10＝10×（－2）＋ ×1＝25.
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9. 设正项数列{ an }的前 n 项和 Sn 满足 Sn ＝ （ an ＋1）2，则数列{ an }
的通项公式为 .
解析：令 n ＝1，得 a1＝ S1＝ （ a1＋1）2，解得 a1＝1.
当 n ≥2时， an ＝ Sn － Sn－1＝ （ an ＋1）2－ （ an－1＋1）2，
即（ an ＋ an－1）（ an － an－1－2）＝0.因为 an ＞0，所以 an ＋ an－
1≠0，于是有 an － an－1＝2.所以数列{ an }是以1为首项，2为公差的
等差数列，
因此 an ＝1＋（ n －1）×2＝2 n －1.
an ＝2 n －1
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10. 已知数列{ an }是等差数列.
（1）若 a1＝7， a50＝101，求 S50；
解： 因为 a1＝7， a50＝101，根据公式 Sn ＝
，
可得 S50＝ ＝2 700.
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（2）若 a1＝2， a2＝ ，求 S10；
解： 因为 a1＝2， a2＝ ，所以 d ＝ .根据公式 Sn ＝ na1
＋ d ，可得 S10＝10×2＋ × ＝ .
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（3）若 a1＝ ， d ＝－ ， Sn ＝－5，求 n .
解： 把 a1＝ ， d ＝－ ， Sn ＝－5代入 Sn ＝ na1＋
d ，得－5＝ n ＋ × .
整理，得 n2－7 n －60＝0.
解得 n ＝12或 n ＝－5（舍去）.
所以 n ＝12.
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11. “嫦娥”奔月，举国欢庆.据科学计算，运载“嫦娥”飞船的“长
征三号甲”火箭点火1 min内通过的路程为2 km，以后每分钟通过
的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分
离，则这一过程需要的时间大约是（ ）
A. 10 min B. 13 min
C. 15 min D. 20 min
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解析： 由题设条件知，火箭每分钟通过的路程数构成以2为首
项，2为公差的等差数列，设其前 n 项和为 Sn ，则 Sn ＝2 n ＋
×2＝ n2＋ n ＝ n （ n ＋1）＝240，解得 n ＝15或 n ＝－16
（舍去）.
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12. （多选）已知等差数列的前 n 项和为 Sn ，若 S13＜0， S12＞0，则下
列说法正确的有（ ）
A. a6＜0 B. a7＜0
C. a6＋ a7＜0 D. a6＋ a7＞0
解析： 由题知， S13＝13 a7＜0， S12＝ ＝6（ a6
＋ a7）＞0，所以 a7＜0， a6＋ a7＞0.故选B、D.
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13. 已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ，若 ＝ a1 ＋ a200 ，且
A ， B ， C 三点共线（该直线不过点 O ），则 S200＝ .
解析： A ， B ， C 三点共线 a1＋ a200＝1，∴ S200＝ （ a1＋
a200）＝100.
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14. 某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50
m，最远一根电线杆距离电站1 550 m，一汽车每次从电站运出3
根电线杆供应施工.若该汽车往返运输总行程为17 500 m，共竖立
多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？
解：由题意知汽车逐趟（由近及远）往返运输行程组成一个等差
数列，记为{ an }，
则 an ＝1 550×2＝3 100， d ＝50×3×2＝300，
Sn ＝17 500.
由等差数列的通项公式及前 n 项和公式，
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得
由①得 a1＝3 400－300 n .
代入②得 n （3 400－300 n ）＋150 n （ n －1）－17 500＝0，
整理得3 n2－65 n ＋350＝0，
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解得 n ＝10或 n ＝ （舍去），
所以 a1＝3 400－300×10＝400.
故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30（根），最近的一趟往返
行程400 m，
第一根电线杆距离电站 ×400－100＝100（m）.
所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m.
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15. 设数列{ an }为等差数列，其前 n 项和为 Sn ，已知 a4和 a5是方程 x2
－20 x ＋99＝0的两个根.若对任意 n ∈N＋都有 Sn ≤ Sk 成立，则 k
的值为（ ）
A. 8 B. 9
C. 10 D. 11
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解析： ∵ a4和 a5是方程 x2－20 x ＋99＝0的两个根，∴ a4＋ a5
＝20， a4 a5＝99.设等差数列{ an }的公差为 d ，∵对任意 n ∈N＋都
有 Sn ≤ Sk 成立，即 Sk 是前 n 项和 Sn 的最大值，∴ d ＜0.∴ a4＝
11， a5＝9， d ＝－2， an ＝ a4＋（ n －4）×（－2）＝19－2 n .当
n ≤9时， an ＞0，当 n ≥10时， an ＜0，若对任意 n ∈N＋都有 Sn ≤
Sk 成立，则 k ＝9.
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16. 已知等差数列{ an }的公差 d ＞0，前 n 项和为 Sn ，且 a2 a3＝45， S4
＝28.
（1）求数列{ an }的通项公式；
解： ∵ S4＝28，∴ ＝28， a1＋ a4＝14，
∴ a2＋ a3＝14，又 a2 a3＝45，公差 d ＞0，
∴ a2＜ a3，∴ a2＝5， a3＝9，∴
解得∴ an ＝4 n －3， n ∈N＋.
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（2）若 bn ＝ （ c 为非零常数），且数列{ bn }也是等差数列，
求 c 的值.
解： 由（1），知 Sn ＝2 n2－ n ，∴ bn ＝ ＝ ，
∴ b1＝ ， b2＝ ， b3＝ .
又{ bn }也是等差数列，∴ b1＋ b3＝2 b2，
即2× ＝ ＋ ，解得 c ＝－ （ c ＝0舍去）.
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谢 谢 观 看！
