第六章《一次函数》提升卷—鲁教版（五四制）数学七（上）单元测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．下列各关系中，符合正比例函数关系的是( ).
A．正方形的周长p和它的一边长a B．距离s一定时，速度v和时间t
C．圆的面积S和圆的半径r D．圆柱的体积V和底面半径r
2．（2025七下·成都期末）“儿子学成今日返，儿子已到父未到，父亲到后细端详，父子高兴把家还，”如图，用y轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用x轴表示父亲离家的时间，那么下列图象与上述诗的含义大致相吻合的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·滕州期中）某树苗原始高度为，如图是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则它的高度（单位：）与生长月数之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·白银期中）关于x的正比例函数与一次函数的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024八上·新昌期末）在学习了用描点法画函数图象之后，小马同学对某个一次函数列表取对应值如下：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -5 -3 -1 0 3 …
他在最后描点连线时发现有一个点明显不对，这个点是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2024八上·坪山期末）如图，在平面直角坐标系中，、两点在一次函数的图象上，其坐标分别为，，下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．
7．（2024八上·奉化期末）如图，在平面直角坐标系中有一个的正方形网格，其右下角格点（小正方形的顶点）的坐标为，左上角格点的坐标为，若分布在直线两侧的格点数相同，则的取值可以是（ ）.
A． B． C．2 D．
8．（2024八上·桐乡市期末）关于函数，给出下列说法正确的是：（ ）
①当时，该函数是一次函数；
②若点在该函数图象上，且，则；
③若该函数不经过第四象限，则；
④该函数恒过定点．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
9．（2024八上·兰溪期中）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶时间为小时，两车之间距离为千米，图中的折线表示与之间的函数关系．若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，则第二列快车比第一列快车晚出发（ ）
A．0.5小时 B．0.6小时 C．0.75小时 D．0.8小时
10．（2025七下·龙岗期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用。数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位h（cm）与时间t（min）的实验数据如下表：
数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ……
t（min） 0 2 4 6 8 ……
h（cm） 2 2.8 3.6 4.2 5.2 ……
下列说法错误的是（ ）
A．在实验开始时，漏刻水位是2cm
B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是4.4cm
C．第7次数据记录时，漏刻水位应为6.8cm
D．当漏刻水位为10cm时，对应实验的时间是10min
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.只要求填出最后结果.
11．（2023八上·铜官期中）函数的自变量的取值范围是 ．
12．（2024八上·金华期中）已知是关于x的一次函数，则 ．
13．（2024七下·禅城期中）如图，在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示的面积，点到的距离为6，则与之间的关系式为： ．
14．（2024·吴兴期末）已知关于x，y的方程组的解为，则一次函数y＝kx+3与y＝2x+b的图象交点坐标为 ．
15．（2024八上·南明期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线与轴交于点，直线：过点，点是横轴上任意一点，满足：是等腰三角形的点坐标是 ．
16．（2024八上·南关期末）如图，若正比例函数y＝kx图象与四条直线x＝﹣1，x＝2，y＝2，y＝4相交围成的长方形ABCD有公共点，则k的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共8小题，共72分.
17．（2024七下·榕城期末）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”为了测定某种型号汽车的刹车性能车速不超过，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速
刹车距离
（1）当刹车时车速为时，刹车距离是 ；
（2）该种型号汽车的刹车距离用表示，刹车时车速用表示，根据上表反映的规律，直接写出与之间的关系式；
（3）该种车型的汽车在车速为的行驶过程中，司机至少和前面的汽车保持多远的距离，才能在紧急情况时急刹不会和前车追尾？
18．（2020八上·鄞州期末）为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，小明同学做了水龙头漏水实验，每隔10秒观察量筒中水的体积，记录的数据如表(漏出的水量精确到1毫升)，已知用于接水的量筒最大容量为100毫升。
时间t(秒) 10 20 30 40 50 60 70
量筒内水量v(毫升) 4 6 8 10 12 14 16
（1）在图1的平面直角坐标系中，以(t；v)为坐标描出上表中数据对应的点；
（2）用光滑的曲线连接各点，并写出你猜测的ⅴ与t的函数关系式。
（3）解决问题：
①小明同学所用量筒开始实验前原有存水 毫升；
②如果小明同学继续实验，当量筒中的水刚好盛满时所需时间是 秒；
③按此漏水速度，半小时会漏水 毫升。
19．（2024八上·光明期末）通过一次函数的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质小明想应用这个方法来探究函数的性质下面是他的探究过程，请你补充完整：
（1）列表：
直接填空： ．
（2）描点并画出该函数的图象．
（3）观察的图象，类比一次函数，请写出该函数的两条性质：
；
．
（4）在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点则该函数图象与直线围成的区域内不包括边界整点的个数为 ．
20．（2024八上·新都期末） 如图，直线经过点和点，与x轴交于点C
（1）求k，m的值；
（2）求的面积；
（3）若点P在x轴上，当为等腰三角形时，直接写出此时点P的坐标
21．（2024八上·东阳月考）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，过点作交于D，交y轴于点E．且．
（1）求B点坐标为 ；线段的长为 ；
（2）确定直线解析式，求出点D坐标；
（3）如图2，点M是线段上一动点（不与点C、E重合），交于点N，连接．
①点M移动过程中，线段与数量关系是否不变，直接写出结论；
②当面积最小时，求点M的坐标和面积．
22．（2024七下·金牛期末）图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．
（1）甲水槽中水的下降速度为 厘米/分钟，铁块高度为 厘米；
（2）求出注水第几分钟时，甲、乙水槽中水的深度相差1厘米？
（3）若甲槽底面积为56平方厘米，乙槽底面积为42平方厘米（壁厚不计），乙槽中铁块的体积多少立方厘米？
23．（2023八上·丰台期中）在平面直角坐标系中，直线为一、三象限角平分线，点关于轴的对称点称为的一次反射点，记作；关于直线的对称点称为点的二次反射点，记作．例如，点（，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）．根据定义，回答下列问题：
（1）点（3，4）的一次反射点为 ，二次反射点为 ；
（2）当点在第三象限时，点（，1），N（3，），Q（，）中可以是点的二次反射点的是 ；
（3）若点A在第二象限，点，分别是点的一次、二次反射点，，求射线与轴所夹锐角的度数；
（4）若点A在轴左侧，点，分别是点的一次、二次反射点，是等腰直角三角形，请直接写出点在平面直角坐标系中的位置．
24．（2024八上·南海期末）综合与实践
下表是两种“5G优惠套餐”计费方式．每月基本服务费固定收，通话时间不超时，上网流量不超量不再收费，通话时间超时（不足一分钟按一分钟计算）和上网超流量部分（不足1G按1G计算）加收超时通话费和超流量费．
套餐A 套餐B
服务项目 国内通话十上网流量 国内通话十上网流量
每月基本服务费 38元 58元
免费通话时间 100分钟 300分钟
超时通话每分钟收费 元 元
免费上网流量 8G 10G
套餐外流量 不足1G时按1G收费（5元/G），达到1G（即5元）时，再额外赠送1G免费流量，当免费流量用完后，仍按5元/G收费．
（1）若小雨的妈妈某月通话时间为350分钟，上网流量为5G，则她的妈妈按套餐计费需付多少元，按套餐计费需付多少元；
（2）若小雨上网流量每月不超过8G，设通话时间为分钟，所需付出的费用为元，分别写出套餐、套餐中与之间的关系式；
（3）小雨通过几个月对账单发现，自己每月100分钟的通话时间绰绰有余，但上网流量波动比较大，设上网流量为（且为整数），那么小雨选择哪种套餐更优惠？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A p=4a，p和a符合正比例函数关系，故A项符合题意；
B v=，v和t不符合正比例函数关系，故B项不符合题意；
C S=πr2，S和r不符合正比例函数关系，故C项不符合题意；
D V=πr2h，V和r不符合正比例函数关系，故D项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据正比例函数的定义逐一判断即可求得.
2．【答案】A
【知识点】函数的图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据诗句含义，儿子从学校发出，父亲从家出发，儿子先到指定位置，父新晚到一会，然后两者在距家约定地点相遇，后耽误了一会，再一起回家，结合图象可知，从原点出发的是父亲，晚到指定地点，x轴表示是时间，y轴表示是为离家的距离，故只有A选项符合题意.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查了函数图象表示实际问题，解决本题的关键是理解诗句意思，结合函数图象中x轴和y轴的含义进行分析，从而得出答案.
3．【答案】D
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意可得，树苗每个月增长的高度是，
故它的高度（单位：）与生长月数之间的关系式为：．
故选：D．
【分析】本题考查了函数关系式，根据题设中的图形，得到树苗每个月增长的高度是，即可得到树的高度与生长月数之间的关系式，即可得到答案.
4．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、当-1＜k＜0时，
正比例函数图象经过第二、四象限，
∴k+1＞0，-k＞0，
一次函数图象经过第一、二、三象限，故A不符合题意；
令时，，
∴y=k2，
∴两图象的交点坐标为（k，k2）
B、∵两函数图象都经过第二、四象限，
∴k＜0，-k＞0
∴y=k2＞0，
∴两函数图象交点在第二象限，故B不符合题意；
C、∵两函数图象都经过第一、三象限，
∴k＞0，-k＜0
∴y=k2＞0，
∴两函数图象交点在第一象限，故C不符合题意；D符合题意
故答案为：D．
【分析】当-1＜k＜0时，可得到k+1＞0，-k＞0，由此可知道正比例函数和一次函数图象所经过的象限，可对A作出判断；利用两函数解析式求出其交点坐标，利用B选项中图象，可得到两函数图象交点在第二象限及两函数图象经过的象限，可对B作出判断；利用C、D选项中的图象，可得到两函数图象交点在第一象限，可对C、D作出判断.
5．【答案】C
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：观察表格发现，x的值每增加1，y值增加2
而从0到1，x值增加1，y值增加1，∴点(1，0)不对.
故答案为：C.
【分析】根据横坐标和纵坐标的变化规律判断即可，也可以描点连线，寻找不对的点.
6．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，，
解得：，，
故答案为：B．
【分析】依据点A与点B的位置，即可得到点B的横坐标以及纵坐标都比点A的横坐标以及纵坐标大，即可得解.
7．【答案】B
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：如图，
∵ 直线y=-kx-k=-k(x+1)，
∴ 直线过定点C（-1，0），
∵ 分布在直线两侧的格点数相同，
∴ 在直线CD和直线CE之间，
∵ 点E（-3，4），点D（-3，3），
∴ 3＜ 2k ＜4，
即＜k＜2.
故答案为：B.
【分析】先对直线的解析式进行变形可得直线过定点（-1，0），再根据一次函数图象与点的坐标的位置关系可得k的取值范围.
8．【答案】A
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：①当时，该函数是一次函数，该说法正确，
②∵且
∴y随x增大而增大，
∴该说法正确，
③若该函数不经过第四象限，
∴
∴该说法错误
④∵
∴当x=-1时，y=-2，与k值无关，则该说法正确，
综上所述，正确的说法有：①②④，
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的定义可判断①；根据一次函数的增减性即可判断②；利用一次函数的图象与象限的关系即可判断③，将一次函数改写为即可判断④.
9．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：∵A（0，900），
∴甲、乙两地之间的距离是900千米，
∵B（4，0），
∴当慢车行驶4小时，慢车和快车相遇，
∵D（12，900），
∴慢车行驶900千米，用12小时，
∴慢车的速度：（千米/小时），
∵行驶4小时，慢车和快车相遇，
∴慢车和快车行驶速度之和为：（千米/小时），
∴快车的速度：（千米/小时），
快车到达乙地用时（小时），
∵第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，
∴当慢车与第二列快车相遇时，与第一列快车的距离是（千米），
而此时慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离112.5千米，
∴两列快车出发的间隔时间：（小时），
∴第二列快车比第一列快车晚出发0.75小时，
故选：C．
【分析】由图象可知，当慢车行驶4小时，慢车和快车相遇；慢车行驶900千米，用12小时，求出慢车的速度，根据行驶4小时，慢车和快车相遇，求出两车的速度之和，进一步求出快车速度，从而可得快车到达乙地所需时间；根据第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，可求出两列快车之间的距离，从而得到两列快车出发的间隔时间．
10．【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：A、当时，，即实验开始时，漏刻水位是，A正确 ；
B、观察数据，从到（增加 ），从到（增加 ）；从到（增加 ），从到（增加 ）；从到（增加 ），若规律不变，应增加，即，但表中第次，所以第次数据错误，正确应为，B正确 ；
C、观察可知，次数与关系：第次， ，第次， ，从开始，每分钟增，到时，增加次数次，，C正确 ；
D、求与的关系：时，t=2时h=2.8，得出，当时，，解得，D错误 .
故答案为：D.
【分析】先观察数据找规律（时间与水位的变化关系 ），再依据规律验证每个选项：
A、直接看时的值；B、通过相邻数据的变化量（时间增，水位增 ）判断第次数据；
C、根据规律推算第次的和；D、建立与的关系式，代入求 即可.
11．【答案】且
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】 【解答】解：根据题意可得：，
解得：且，
故答案为：且.
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可。
12．【答案】
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：∵是y关于x的一次函数，
∴且，
解得且，
∴．
故答案为：．
【分析】根据一次函数的定义可得且，据此求出m的值即可．
13．【答案】
【知识点】函数解析式；三角形的面积
【解析】【解答】解：设点到的距离为h，
根据题意得：的面积，
∴与之间的关系式为：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了列函数关系式．设点到的距离为h，结合的面积，列出函数关系式，即可得到答案．
14．【答案】（1，-2）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程组的解为，
∴一次函数y＝kx+3与y＝2x+b的图象交点坐标为：，
故答案为：.
【分析】根据题意可知一次函数y＝kx+3与y＝2x+b的图象交点坐标即为关于x，y的方程组的解.
15．【答案】或或或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：直线：过点，
，
直线为，
直线：与直线：交于点，
由，解得，
，
直线：与轴交于点，
，
如图，
当时，，
；
当时，，，
，；
当时，，
综上所述，点的坐标为或或或．
故答案为：或或或．
【分析】先根据直线与y轴的交点坐标，求得直线的表达式，联立、的表达式解方程组得点A的坐标为（-1，3），再根据直线的表达式求出点B的坐标为（-4，0），利用勾股定理求得AB的长为，然后分AB=AC，AB=BC，AC=BC三种情况进行讨论即可.
16．【答案】k≥1或k≤﹣2
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：由题意知，正比例函数图象越接近轴，越大，
当正比例函数图象经过时，即，
解得，，
∴时，正比例函数图象与长方形有公共点，
当正比例函数图象经过时，即，解得k=-2
∴时，正比例函数图象与长方形有公共点，
综上所述，或，
故答案为：或．
【分析】根据，为正比例函数图象与长方形有交点的位置的临界点，以及正比例函数的图象与性质，进行求解作答即可．
17．【答案】（1）20
（2）解：由表格可知，刹车时车速每增加，刹车距离增加，
与之间的关系式为：；
（3）解：当时，，
司机至少和前面的汽车保持的距离，才能在紧急情况时急刹不会和前车追尾．
【知识点】函数值；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）)通过表格得当车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m.
∴当刹车时车速为80km/h时，刹车距离12.5+2.5×3=20m.
故答案为：20
【分析】(1)能通过表格提炼有用数据，当车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m.
(2)当车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m，能用自变量表示因变量，注意自变量的取值范围.
(3)当自变量取某个具体值时，能求出因变量.
18．【答案】（1）解：
（2）解： ；
（3）2；490；360
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】（2）用光滑的曲线连接各点，如图所示，
设V与t的函数关系式为V=kt+b，则：
，
解得：，
∴V与t的函数关系式为.
故答案为：.
（3）①小明同学所用量筒开始实验前原有存水2毫升；
②，
解得：t=490，
∴如果小明同学继续实验，当量筒中的水刚好盛满时所需时间是490秒；
③按此漏水速度，半小时会漏水0.5×60×60×=360（毫升）.
故答案为：①2；②490；③360.
【分析】（1）根据表格中数据作答即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）根据（2）的结论解答即可.
19．【答案】（1）
（2）解：描点、连线画出该函数图象如图：
（3）函数有最小值为；当时，随着的增大而增大，时，随着的增大而减小
（4）4
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：(1)当x=1时，y=|1+2|=3，
∴k=3，
故答案为：3；
(3)写出该图象的两条性质：
①函数有最小值为0，
②当x>-2时，y随着的增大而增大，x<-2时，y随着x的增大而减小，
故答案为：函数有最小值为0；当x>-2时，y随着x的增大而增大，x<-2时，y随着x的增大而减小；
(4)该函数图象与直线y=3围成的区域内(不包括边界)整点的个数为4，
故答案为：4.
【分析】(1)把x =1代入函数关系式进行计算即可；
(2)描点、连线画出函数图象即可；
(3)观察图象可从该图象的最值，增减性解答即可；
(4)观察图象即可解答.
20．【答案】（1）解：∵直线经过点，
∴，
∴，
∵直线经过点，
∴，
即；
（2）解：在函数中，令，则，
解得，
∴点C的坐标为，
∴．
过点作轴于点M，过点作轴于点N，
∴，，
∴
；
（3）解：点P的坐标为或，，．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（3）∵，，轴，
∴，，
∴在中，．
①如图，当，为等腰三角形，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
②如图，当，为等腰三角形，
此时点P是线段的垂直平分线与x轴的交点，
∵，
∴点N在线段线段的垂直平分线上，
又点N在x轴上，
∴点P与点N重合，
∵，，
∴点P的坐标为；
③如图，当，为等腰三角形，若点P在x轴的负半轴，
则，
∴点P的坐标为；
④如图，当，为等腰三角形，若点P在x轴的正半轴，
则，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或，，．
【分析】（1）将点B的坐标代入求出k的值，再将点代入解析式求出m的值即可；
（2）过点作轴于点M，过点作轴于点N，先求出，， 再利用三角形的面积公式及割补法求出△AOB的面积即可；
（3）分类讨论：①当，为等腰三角形，②当，为等腰三角形，③当，为等腰三角形，若点P在x轴的负半轴，④当，为等腰三角形，若点P在x轴的正半轴，再分别画出图形并求解即可.
21．【答案】（1）（0，4）；3
（2）解：∵过点C（﹣4，0）作CD交AB于D，交y轴于点E，且△COE≌△BOA，
∴OC＝4，OC＝OB，OE＝OA，
∵点A（3，0），
∴OA＝3，
∴OE＝3，
∴点E的坐标为（0，3），
设过点C（﹣4，0），点E（0，3）的直线解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线CE的解析式为，
即直线CD的解析式为，
解，
得，
即点D的坐标为；
（3）解：①线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变，
证明：∵△COE≌△BOA，
∴OE＝OA，∠OEM＝∠OAN，
∵∠BOA＝90°，ON⊥OM，
∴∠MON＝∠BOA＝90°，
∴∠MOE+∠EON＝∠EON+∠NOA，
∴∠MOE＝∠NOA，
在△MOE和△NOA中，
，
∴△MOE≌△NOA（ASA），
∴OM＝ON，
即线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变；
②由①知OM＝ON，
∵OM⊥ON，
∴△OMN面积是：，
∴当OM取得最小值时，△OMN面积取得最小值，
∵OC＝4，OE＝3，∠COE＝90°，
∴CE＝5，
∵当OM⊥CE时，OM取得最小值，
，
，
解得，，
∴△OMN面积取得最小值是：，
当△OMN取得最小值时，设此时点M的坐标为，
，
解得，，
，
∴点M的坐标为，
由上可得，当△OMN面积最小时，点M的坐标是和△OMN面积是
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1） ，当x=0时y=4，当y=0时x=3，
∴B（0，4） ，A（3，0），
∴OA=3.
故答案为：（0，4），3；
【分析】（1）由求出x=0时y值，求出y=0时x值，即得A、B的坐标，继而得解；
（2）先求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线CE的解析式即得CD解析式，再联立直线AB解析式为方程组并解之即可；
（3）①由ASA证明△MOE≌△NOA，利用全等三角形的性质即得OM与ON的数量关系；
②由△OMN面积是，可知当OM取得最小值时，△OMN面积取得最小值，然后根据勾股定理和等积法求出OM的长，即得点M的坐标.
22．【答案】（1）2，14
（2）解：设线段、的解析式分别为∶，，
∵经过点和，经过和，
∴，，
∴，
∴的解析式为和的解析式分别为，
令，
解得：和分钟．
∴当和分钟．时甲、乙水槽中水的深度相差1厘米．
（3）解：设铁块的底面积为，则甲水槽内第4分时还剩水高度为，乙水槽中4分钟内上升的高度为，
根据体积相等，，解得，
由（1）可知铁块高度为14厘米，则乙槽中铁块的体积立方厘米，
答∶槽中铁块的体积为立方厘米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的动态几何问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：根据题意得，甲水槽的下降速度为∶(厘米/分钟)，
折线ABC上，点前后变化不同
∴铁块高度是14cm；
故答案为∶2，14；
【分析】（1）根据函数图象可得12厘米深的水6分钟放完，根据工作总量、工作时间及工作效率三者的关系便可求得甲水槽的下降速度；根据折线ABC，4分钟前上升速度块，4分钟后上升速度满，便可知4分钟时水的高度便是铁块高度；
（2）先根据图象提供的点的坐标，分别利用待定系数法求出线段AB、DE的解析式，由甲、乙水槽中水的深度相差1厘米可得|y1-y2|=1，从而整体代入可得关于字母x的方程，求解即可；
（3）设铁块的底面积为acm2，求得甲水槽内第4分时还剩水高度，乙水槽中4分钟内上升的高度，根据两个水槽水的体积变化量相等列方程解得a，结合（1）可知铁块高度为14厘米，即可求得乙槽中铁块的体积．
23．【答案】（1）（，4）；（4，）
（2）（，1）
（3）解：如图1中，
∵，
∴与轴的夹角为20°或70°，
根据对称性可知，与轴所夹锐角的度数为20°或70°；
（4）如图2中，观察图象可知，当点A在轴上时，是等腰直角三角形．
如图3中，观察图象可知，当点A在直线上时，是等腰直角三角形．
综上所述，点A在轴上或直线上．
【知识点】一次函数的图象；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】（1）点（3，4）的一次反射点为（，4），二次反射点为（4，）；
故答案为：（，4），（4，；
（2）∵点在第三象限时，
∴一次反射点在第四象限，二次反射点在第二象限，
∴点M（，1），N（3，），Q（，）中可以是点A的二次反射点的是M（，1）；
故答案为：（，1）；
【分析】
（1）根据一次反射点，二次反射点的定义即可求出答案.
（2）根据一次反射点，二次反射点的定义判断的位置即可求出答案.
（3）作图，判断出射线与轴的夹角，即可求出答案.
（4）利用图象法，结合等腰直角三角形的性质即可求出答案.
（1）点（3，4）的一次反射点为（，4），二次反射点为（4，）；
故答案为：（，4），（4，；
（2）∵点在第三象限时，
∴一次反射点在第四象限，二次反射点在第二象限，
∴点M（，1），N（3，），Q（，）中可以是点A的二次反射点的是M（，1）；
故答案为：（，1）；
（3）如图1中，
∵，
∴与轴的夹角为20°或70°，
根据对称性可知，与轴所夹锐角的度数为20°或70°；
（4）如图2中，观察图象可知，当点A在轴上时，是等腰直角三角形．
如图3中，观察图象可知，当点A在直线上时，是等腰直角三角形．
综上所述，点A在轴上或直线上．
24．【答案】（1）解：根据题意，按套餐计费需付元
按套餐计费需付元
（2）解：当时，
；
；
（3）解：当时，选择套餐所需付出的费用为（元），
选择套餐所需付出的费用为58元，
∵，
∴选择套餐更优惠；
当时，选择套餐所需付出的费用为（元）；
选择套餐所需付出的费用为（元），
∵，
∴选择套餐更优惠．
综上所述，小雨选择套餐更优惠．
【知识点】列一次函数关系式；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）参照题干中的收费标准列出算式求解即可；
（2）根据题干中A、B套餐的收费方法直接列出函数解析式即可；
（3）先分别求出套餐A、B的费用，再比较大小即可.
1 / 1第六章《一次函数》提升卷—鲁教版（五四制）数学七（上）单元测
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.
1．下列各关系中，符合正比例函数关系的是( ).
A．正方形的周长p和它的一边长a B．距离s一定时，速度v和时间t
C．圆的面积S和圆的半径r D．圆柱的体积V和底面半径r
【答案】A
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A p=4a，p和a符合正比例函数关系，故A项符合题意；
B v=，v和t不符合正比例函数关系，故B项不符合题意；
C S=πr2，S和r不符合正比例函数关系，故C项不符合题意；
D V=πr2h，V和r不符合正比例函数关系，故D项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据正比例函数的定义逐一判断即可求得.
2．（2025七下·成都期末）“儿子学成今日返，儿子已到父未到，父亲到后细端详，父子高兴把家还，”如图，用y轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用x轴表示父亲离家的时间，那么下列图象与上述诗的含义大致相吻合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：根据诗句含义，儿子从学校发出，父亲从家出发，儿子先到指定位置，父新晚到一会，然后两者在距家约定地点相遇，后耽误了一会，再一起回家，结合图象可知，从原点出发的是父亲，晚到指定地点，x轴表示是时间，y轴表示是为离家的距离，故只有A选项符合题意.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查了函数图象表示实际问题，解决本题的关键是理解诗句意思，结合函数图象中x轴和y轴的含义进行分析，从而得出答案.
3．（2024七下·滕州期中）某树苗原始高度为，如图是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则它的高度（单位：）与生长月数之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意可得，树苗每个月增长的高度是，
故它的高度（单位：）与生长月数之间的关系式为：．
故选：D．
【分析】本题考查了函数关系式，根据题设中的图形，得到树苗每个月增长的高度是，即可得到树的高度与生长月数之间的关系式，即可得到答案.
4．（2024八上·白银期中）关于x的正比例函数与一次函数的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、当-1＜k＜0时，
正比例函数图象经过第二、四象限，
∴k+1＞0，-k＞0，
一次函数图象经过第一、二、三象限，故A不符合题意；
令时，，
∴y=k2，
∴两图象的交点坐标为（k，k2）
B、∵两函数图象都经过第二、四象限，
∴k＜0，-k＞0
∴y=k2＞0，
∴两函数图象交点在第二象限，故B不符合题意；
C、∵两函数图象都经过第一、三象限，
∴k＞0，-k＜0
∴y=k2＞0，
∴两函数图象交点在第一象限，故C不符合题意；D符合题意
故答案为：D．
【分析】当-1＜k＜0时，可得到k+1＞0，-k＞0，由此可知道正比例函数和一次函数图象所经过的象限，可对A作出判断；利用两函数解析式求出其交点坐标，利用B选项中图象，可得到两函数图象交点在第二象限及两函数图象经过的象限，可对B作出判断；利用C、D选项中的图象，可得到两函数图象交点在第一象限，可对C、D作出判断.
5．（2024八上·新昌期末）在学习了用描点法画函数图象之后，小马同学对某个一次函数列表取对应值如下：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -5 -3 -1 0 3 …
他在最后描点连线时发现有一个点明显不对，这个点是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：观察表格发现，x的值每增加1，y值增加2
而从0到1，x值增加1，y值增加1，∴点(1，0)不对.
故答案为：C.
【分析】根据横坐标和纵坐标的变化规律判断即可，也可以描点连线，寻找不对的点.
6．（2024八上·坪山期末）如图，在平面直角坐标系中，、两点在一次函数的图象上，其坐标分别为，，下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，，
解得：，，
故答案为：B．
【分析】依据点A与点B的位置，即可得到点B的横坐标以及纵坐标都比点A的横坐标以及纵坐标大，即可得解.
7．（2024八上·奉化期末）如图，在平面直角坐标系中有一个的正方形网格，其右下角格点（小正方形的顶点）的坐标为，左上角格点的坐标为，若分布在直线两侧的格点数相同，则的取值可以是（ ）.
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：如图，
∵ 直线y=-kx-k=-k(x+1)，
∴ 直线过定点C（-1，0），
∵ 分布在直线两侧的格点数相同，
∴ 在直线CD和直线CE之间，
∵ 点E（-3，4），点D（-3，3），
∴ 3＜ 2k ＜4，
即＜k＜2.
故答案为：B.
【分析】先对直线的解析式进行变形可得直线过定点（-1，0），再根据一次函数图象与点的坐标的位置关系可得k的取值范围.
8．（2024八上·桐乡市期末）关于函数，给出下列说法正确的是：（ ）
①当时，该函数是一次函数；
②若点在该函数图象上，且，则；
③若该函数不经过第四象限，则；
④该函数恒过定点．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】A
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：①当时，该函数是一次函数，该说法正确，
②∵且
∴y随x增大而增大，
∴该说法正确，
③若该函数不经过第四象限，
∴
∴该说法错误
④∵
∴当x=-1时，y=-2，与k值无关，则该说法正确，
综上所述，正确的说法有：①②④，
故答案为：A.
【分析】根据一次函数的定义可判断①；根据一次函数的增减性即可判断②；利用一次函数的图象与象限的关系即可判断③，将一次函数改写为即可判断④.
9．（2024八上·兰溪期中）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶时间为小时，两车之间距离为千米，图中的折线表示与之间的函数关系．若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，则第二列快车比第一列快车晚出发（ ）
A．0.5小时 B．0.6小时 C．0.75小时 D．0.8小时
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：∵A（0，900），
∴甲、乙两地之间的距离是900千米，
∵B（4，0），
∴当慢车行驶4小时，慢车和快车相遇，
∵D（12，900），
∴慢车行驶900千米，用12小时，
∴慢车的速度：（千米/小时），
∵行驶4小时，慢车和快车相遇，
∴慢车和快车行驶速度之和为：（千米/小时），
∴快车的速度：（千米/小时），
快车到达乙地用时（小时），
∵第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，
∴当慢车与第二列快车相遇时，与第一列快车的距离是（千米），
而此时慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离112.5千米，
∴两列快车出发的间隔时间：（小时），
∴第二列快车比第一列快车晚出发0.75小时，
故选：C．
【分析】由图象可知，当慢车行驶4小时，慢车和快车相遇；慢车行驶900千米，用12小时，求出慢车的速度，根据行驶4小时，慢车和快车相遇，求出两车的速度之和，进一步求出快车速度，从而可得快车到达乙地所需时间；根据第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，可求出两列快车之间的距离，从而得到两列快车出发的间隔时间．
10．（2025七下·龙岗期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用。数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位h（cm）与时间t（min）的实验数据如下表：
数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ……
t（min） 0 2 4 6 8 ……
h（cm） 2 2.8 3.6 4.2 5.2 ……
下列说法错误的是（ ）
A．在实验开始时，漏刻水位是2cm
B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是4.4cm
C．第7次数据记录时，漏刻水位应为6.8cm
D．当漏刻水位为10cm时，对应实验的时间是10min
【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：A、当时，，即实验开始时，漏刻水位是，A正确 ；
B、观察数据，从到（增加 ），从到（增加 ）；从到（增加 ），从到（增加 ）；从到（增加 ），若规律不变，应增加，即，但表中第次，所以第次数据错误，正确应为，B正确 ；
C、观察可知，次数与关系：第次， ，第次， ，从开始，每分钟增，到时，增加次数次，，C正确 ；
D、求与的关系：时，t=2时h=2.8，得出，当时，，解得，D错误 .
故答案为：D.
【分析】先观察数据找规律（时间与水位的变化关系 ），再依据规律验证每个选项：
A、直接看时的值；B、通过相邻数据的变化量（时间增，水位增 ）判断第次数据；
C、根据规律推算第次的和；D、建立与的关系式，代入求 即可.
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.只要求填出最后结果.
11．（2023八上·铜官期中）函数的自变量的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】 【解答】解：根据题意可得：，
解得：且，
故答案为：且.
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可。
12．（2024八上·金华期中）已知是关于x的一次函数，则 ．
【答案】
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：∵是y关于x的一次函数，
∴且，
解得且，
∴．
故答案为：．
【分析】根据一次函数的定义可得且，据此求出m的值即可．
13．（2024七下·禅城期中）如图，在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示的面积，点到的距离为6，则与之间的关系式为： ．
【答案】
【知识点】函数解析式；三角形的面积
【解析】【解答】解：设点到的距离为h，
根据题意得：的面积，
∴与之间的关系式为：．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了列函数关系式．设点到的距离为h，结合的面积，列出函数关系式，即可得到答案．
14．（2024·吴兴期末）已知关于x，y的方程组的解为，则一次函数y＝kx+3与y＝2x+b的图象交点坐标为 ．
【答案】（1，-2）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程组的解为，
∴一次函数y＝kx+3与y＝2x+b的图象交点坐标为：，
故答案为：.
【分析】根据题意可知一次函数y＝kx+3与y＝2x+b的图象交点坐标即为关于x，y的方程组的解.
15．（2024八上·南明期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，直线与轴交于点，直线：过点，点是横轴上任意一点，满足：是等腰三角形的点坐标是 ．
【答案】或或或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：直线：过点，
，
直线为，
直线：与直线：交于点，
由，解得，
，
直线：与轴交于点，
，
如图，
当时，，
；
当时，，，
，；
当时，，
综上所述，点的坐标为或或或．
故答案为：或或或．
【分析】先根据直线与y轴的交点坐标，求得直线的表达式，联立、的表达式解方程组得点A的坐标为（-1，3），再根据直线的表达式求出点B的坐标为（-4，0），利用勾股定理求得AB的长为，然后分AB=AC，AB=BC，AC=BC三种情况进行讨论即可.
16．（2024八上·南关期末）如图，若正比例函数y＝kx图象与四条直线x＝﹣1，x＝2，y＝2，y＝4相交围成的长方形ABCD有公共点，则k的取值范围是 ．
【答案】k≥1或k≤﹣2
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：由题意知，正比例函数图象越接近轴，越大，
当正比例函数图象经过时，即，
解得，，
∴时，正比例函数图象与长方形有公共点，
当正比例函数图象经过时，即，解得k=-2
∴时，正比例函数图象与长方形有公共点，
综上所述，或，
故答案为：或．
【分析】根据，为正比例函数图象与长方形有交点的位置的临界点，以及正比例函数的图象与性质，进行求解作答即可．
三、解答题：本大题共8小题，共72分.
17．（2024七下·榕城期末）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”为了测定某种型号汽车的刹车性能车速不超过，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速
刹车距离
（1）当刹车时车速为时，刹车距离是 ；
（2）该种型号汽车的刹车距离用表示，刹车时车速用表示，根据上表反映的规律，直接写出与之间的关系式；
（3）该种车型的汽车在车速为的行驶过程中，司机至少和前面的汽车保持多远的距离，才能在紧急情况时急刹不会和前车追尾？
【答案】（1）20
（2）解：由表格可知，刹车时车速每增加，刹车距离增加，
与之间的关系式为：；
（3）解：当时，，
司机至少和前面的汽车保持的距离，才能在紧急情况时急刹不会和前车追尾．
【知识点】函数值；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）)通过表格得当车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m.
∴当刹车时车速为80km/h时，刹车距离12.5+2.5×3=20m.
故答案为：20
【分析】(1)能通过表格提炼有用数据，当车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m.
(2)当车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m，能用自变量表示因变量，注意自变量的取值范围.
(3)当自变量取某个具体值时，能求出因变量.
18．（2020八上·鄞州期末）为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，小明同学做了水龙头漏水实验，每隔10秒观察量筒中水的体积，记录的数据如表(漏出的水量精确到1毫升)，已知用于接水的量筒最大容量为100毫升。
时间t(秒) 10 20 30 40 50 60 70
量筒内水量v(毫升) 4 6 8 10 12 14 16
（1）在图1的平面直角坐标系中，以(t；v)为坐标描出上表中数据对应的点；
（2）用光滑的曲线连接各点，并写出你猜测的ⅴ与t的函数关系式。
（3）解决问题：
①小明同学所用量筒开始实验前原有存水 毫升；
②如果小明同学继续实验，当量筒中的水刚好盛满时所需时间是 秒；
③按此漏水速度，半小时会漏水 毫升。
【答案】（1）解：
（2）解： ；
（3）2；490；360
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】（2）用光滑的曲线连接各点，如图所示，
设V与t的函数关系式为V=kt+b，则：
，
解得：，
∴V与t的函数关系式为.
故答案为：.
（3）①小明同学所用量筒开始实验前原有存水2毫升；
②，
解得：t=490，
∴如果小明同学继续实验，当量筒中的水刚好盛满时所需时间是490秒；
③按此漏水速度，半小时会漏水0.5×60×60×=360（毫升）.
故答案为：①2；②490；③360.
【分析】（1）根据表格中数据作答即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）根据（2）的结论解答即可.
19．（2024八上·光明期末）通过一次函数的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质小明想应用这个方法来探究函数的性质下面是他的探究过程，请你补充完整：
（1）列表：
直接填空： ．
（2）描点并画出该函数的图象．
（3）观察的图象，类比一次函数，请写出该函数的两条性质：
；
．
（4）在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点则该函数图象与直线围成的区域内不包括边界整点的个数为 ．
【答案】（1）
（2）解：描点、连线画出该函数图象如图：
（3）函数有最小值为；当时，随着的增大而增大，时，随着的增大而减小
（4）4
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：(1)当x=1时，y=|1+2|=3，
∴k=3，
故答案为：3；
(3)写出该图象的两条性质：
①函数有最小值为0，
②当x>-2时，y随着的增大而增大，x<-2时，y随着x的增大而减小，
故答案为：函数有最小值为0；当x>-2时，y随着x的增大而增大，x<-2时，y随着x的增大而减小；
(4)该函数图象与直线y=3围成的区域内(不包括边界)整点的个数为4，
故答案为：4.
【分析】(1)把x =1代入函数关系式进行计算即可；
(2)描点、连线画出函数图象即可；
(3)观察图象可从该图象的最值，增减性解答即可；
(4)观察图象即可解答.
20．（2024八上·新都期末） 如图，直线经过点和点，与x轴交于点C
（1）求k，m的值；
（2）求的面积；
（3）若点P在x轴上，当为等腰三角形时，直接写出此时点P的坐标
【答案】（1）解：∵直线经过点，
∴，
∴，
∵直线经过点，
∴，
即；
（2）解：在函数中，令，则，
解得，
∴点C的坐标为，
∴．
过点作轴于点M，过点作轴于点N，
∴，，
∴
；
（3）解：点P的坐标为或，，．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（3）∵，，轴，
∴，，
∴在中，．
①如图，当，为等腰三角形，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
②如图，当，为等腰三角形，
此时点P是线段的垂直平分线与x轴的交点，
∵，
∴点N在线段线段的垂直平分线上，
又点N在x轴上，
∴点P与点N重合，
∵，，
∴点P的坐标为；
③如图，当，为等腰三角形，若点P在x轴的负半轴，
则，
∴点P的坐标为；
④如图，当，为等腰三角形，若点P在x轴的正半轴，
则，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或，，．
【分析】（1）将点B的坐标代入求出k的值，再将点代入解析式求出m的值即可；
（2）过点作轴于点M，过点作轴于点N，先求出，， 再利用三角形的面积公式及割补法求出△AOB的面积即可；
（3）分类讨论：①当，为等腰三角形，②当，为等腰三角形，③当，为等腰三角形，若点P在x轴的负半轴，④当，为等腰三角形，若点P在x轴的正半轴，再分别画出图形并求解即可.
21．（2024八上·东阳月考）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，过点作交于D，交y轴于点E．且．
（1）求B点坐标为 ；线段的长为 ；
（2）确定直线解析式，求出点D坐标；
（3）如图2，点M是线段上一动点（不与点C、E重合），交于点N，连接．
①点M移动过程中，线段与数量关系是否不变，直接写出结论；
②当面积最小时，求点M的坐标和面积．
【答案】（1）（0，4）；3
（2）解：∵过点C（﹣4，0）作CD交AB于D，交y轴于点E，且△COE≌△BOA，
∴OC＝4，OC＝OB，OE＝OA，
∵点A（3，0），
∴OA＝3，
∴OE＝3，
∴点E的坐标为（0，3），
设过点C（﹣4，0），点E（0，3）的直线解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线CE的解析式为，
即直线CD的解析式为，
解，
得，
即点D的坐标为；
（3）解：①线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变，
证明：∵△COE≌△BOA，
∴OE＝OA，∠OEM＝∠OAN，
∵∠BOA＝90°，ON⊥OM，
∴∠MON＝∠BOA＝90°，
∴∠MOE+∠EON＝∠EON+∠NOA，
∴∠MOE＝∠NOA，
在△MOE和△NOA中，
，
∴△MOE≌△NOA（ASA），
∴OM＝ON，
即线段OM与ON数量关系是OM＝ON保持不变；
②由①知OM＝ON，
∵OM⊥ON，
∴△OMN面积是：，
∴当OM取得最小值时，△OMN面积取得最小值，
∵OC＝4，OE＝3，∠COE＝90°，
∴CE＝5，
∵当OM⊥CE时，OM取得最小值，
，
，
解得，，
∴△OMN面积取得最小值是：，
当△OMN取得最小值时，设此时点M的坐标为，
，
解得，，
，
∴点M的坐标为，
由上可得，当△OMN面积最小时，点M的坐标是和△OMN面积是
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1） ，当x=0时y=4，当y=0时x=3，
∴B（0，4） ，A（3，0），
∴OA=3.
故答案为：（0，4），3；
【分析】（1）由求出x=0时y值，求出y=0时x值，即得A、B的坐标，继而得解；
（2）先求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线CE的解析式即得CD解析式，再联立直线AB解析式为方程组并解之即可；
（3）①由ASA证明△MOE≌△NOA，利用全等三角形的性质即得OM与ON的数量关系；
②由△OMN面积是，可知当OM取得最小值时，△OMN面积取得最小值，然后根据勾股定理和等积法求出OM的长，即得点M的坐标.
22．（2024七下·金牛期末）图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．
（1）甲水槽中水的下降速度为 厘米/分钟，铁块高度为 厘米；
（2）求出注水第几分钟时，甲、乙水槽中水的深度相差1厘米？
（3）若甲槽底面积为56平方厘米，乙槽底面积为42平方厘米（壁厚不计），乙槽中铁块的体积多少立方厘米？
【答案】（1）2，14
（2）解：设线段、的解析式分别为∶，，
∵经过点和，经过和，
∴，，
∴，
∴的解析式为和的解析式分别为，
令，
解得：和分钟．
∴当和分钟．时甲、乙水槽中水的深度相差1厘米．
（3）解：设铁块的底面积为，则甲水槽内第4分时还剩水高度为，乙水槽中4分钟内上升的高度为，
根据体积相等，，解得，
由（1）可知铁块高度为14厘米，则乙槽中铁块的体积立方厘米，
答∶槽中铁块的体积为立方厘米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的动态几何问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：根据题意得，甲水槽的下降速度为∶(厘米/分钟)，
折线ABC上，点前后变化不同
∴铁块高度是14cm；
故答案为∶2，14；
【分析】（1）根据函数图象可得12厘米深的水6分钟放完，根据工作总量、工作时间及工作效率三者的关系便可求得甲水槽的下降速度；根据折线ABC，4分钟前上升速度块，4分钟后上升速度满，便可知4分钟时水的高度便是铁块高度；
（2）先根据图象提供的点的坐标，分别利用待定系数法求出线段AB、DE的解析式，由甲、乙水槽中水的深度相差1厘米可得|y1-y2|=1，从而整体代入可得关于字母x的方程，求解即可；
（3）设铁块的底面积为acm2，求得甲水槽内第4分时还剩水高度，乙水槽中4分钟内上升的高度，根据两个水槽水的体积变化量相等列方程解得a，结合（1）可知铁块高度为14厘米，即可求得乙槽中铁块的体积．
23．（2023八上·丰台期中）在平面直角坐标系中，直线为一、三象限角平分线，点关于轴的对称点称为的一次反射点，记作；关于直线的对称点称为点的二次反射点，记作．例如，点（，5）的一次反射点为（2，5），二次反射点为（5，2）．根据定义，回答下列问题：
（1）点（3，4）的一次反射点为 ，二次反射点为 ；
（2）当点在第三象限时，点（，1），N（3，），Q（，）中可以是点的二次反射点的是 ；
（3）若点A在第二象限，点，分别是点的一次、二次反射点，，求射线与轴所夹锐角的度数；
（4）若点A在轴左侧，点，分别是点的一次、二次反射点，是等腰直角三角形，请直接写出点在平面直角坐标系中的位置．
【答案】（1）（，4）；（4，）
（2）（，1）
（3）解：如图1中，
∵，
∴与轴的夹角为20°或70°，
根据对称性可知，与轴所夹锐角的度数为20°或70°；
（4）如图2中，观察图象可知，当点A在轴上时，是等腰直角三角形．
如图3中，观察图象可知，当点A在直线上时，是等腰直角三角形．
综上所述，点A在轴上或直线上．
【知识点】一次函数的图象；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】（1）点（3，4）的一次反射点为（，4），二次反射点为（4，）；
故答案为：（，4），（4，；
（2）∵点在第三象限时，
∴一次反射点在第四象限，二次反射点在第二象限，
∴点M（，1），N（3，），Q（，）中可以是点A的二次反射点的是M（，1）；
故答案为：（，1）；
【分析】
（1）根据一次反射点，二次反射点的定义即可求出答案.
（2）根据一次反射点，二次反射点的定义判断的位置即可求出答案.
（3）作图，判断出射线与轴的夹角，即可求出答案.
（4）利用图象法，结合等腰直角三角形的性质即可求出答案.
（1）点（3，4）的一次反射点为（，4），二次反射点为（4，）；
故答案为：（，4），（4，；
（2）∵点在第三象限时，
∴一次反射点在第四象限，二次反射点在第二象限，
∴点M（，1），N（3，），Q（，）中可以是点A的二次反射点的是M（，1）；
故答案为：（，1）；
（3）如图1中，
∵，
∴与轴的夹角为20°或70°，
根据对称性可知，与轴所夹锐角的度数为20°或70°；
（4）如图2中，观察图象可知，当点A在轴上时，是等腰直角三角形．
如图3中，观察图象可知，当点A在直线上时，是等腰直角三角形．
综上所述，点A在轴上或直线上．
24．（2024八上·南海期末）综合与实践
下表是两种“5G优惠套餐”计费方式．每月基本服务费固定收，通话时间不超时，上网流量不超量不再收费，通话时间超时（不足一分钟按一分钟计算）和上网超流量部分（不足1G按1G计算）加收超时通话费和超流量费．
套餐A 套餐B
服务项目 国内通话十上网流量 国内通话十上网流量
每月基本服务费 38元 58元
免费通话时间 100分钟 300分钟
超时通话每分钟收费 元 元
免费上网流量 8G 10G
套餐外流量 不足1G时按1G收费（5元/G），达到1G（即5元）时，再额外赠送1G免费流量，当免费流量用完后，仍按5元/G收费．
（1）若小雨的妈妈某月通话时间为350分钟，上网流量为5G，则她的妈妈按套餐计费需付多少元，按套餐计费需付多少元；
（2）若小雨上网流量每月不超过8G，设通话时间为分钟，所需付出的费用为元，分别写出套餐、套餐中与之间的关系式；
（3）小雨通过几个月对账单发现，自己每月100分钟的通话时间绰绰有余，但上网流量波动比较大，设上网流量为（且为整数），那么小雨选择哪种套餐更优惠？
【答案】（1）解：根据题意，按套餐计费需付元
按套餐计费需付元
（2）解：当时，
；
；
（3）解：当时，选择套餐所需付出的费用为（元），
选择套餐所需付出的费用为58元，
∵，
∴选择套餐更优惠；
当时，选择套餐所需付出的费用为（元）；
选择套餐所需付出的费用为（元），
∵，
∴选择套餐更优惠．
综上所述，小雨选择套餐更优惠．
【知识点】列一次函数关系式；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）参照题干中的收费标准列出算式求解即可；
（2）根据题干中A、B套餐的收费方法直接列出函数解析式即可；
（3）先分别求出套餐A、B的费用，再比较大小即可.
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