2025-2026学年度高二数学期中考试卷（含解析）(考试范围：第一章空间向量与立体几何第二章直线与圆第三章3.1椭圆3.2双曲线)

2025-2026学年度高二数学期中考试卷
考试范围：第一章空间向量与立体几何第二章直线与圆第三章3.1椭圆3.2双曲线
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知点关于轴的对称点为，则（ ）
A．2 B． C． D．6
2．直线的一个方向向量为（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线：与：平行，则m的值是（ ）
A． B．2或 C．6 D．或6
4．已知圆关于直线对称，则实数的值为（ ）
A．-5 B．-3 C．3 D．5
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，在该椭圆上，四边形是等腰梯形，且，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P为双曲线上在第一象限的点，若直线的倾斜角为30°，且与圆相交所得的弦长，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．过双曲线的左焦点作直线与双曲线交于两点，使得，若这样的直线有且仅有两条，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
二、多选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
9．在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距为
B．直线，若，则
C．直线的方程为，直线过定点
D．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为
10．已知曲线方程，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线C的渐近线方程为
B．若，则曲线C的离心率为
C．“”是“曲线方程C表示双曲线”的充分不必要条件
D．“”是“曲线方程C表示椭圆”的充要条件
11．如图，已知正方体的棱长为分别为的中点，以下说法正确的是（ ）

A．平面
B．平面
C．点C到平面的距离为
D．三棱锥外接球体积为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知椭圆：过点且与：焦点相同，则 ．
13．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为线段的中点，若直线平行于其中一条渐近线，则双曲线的离心率为 ．
14．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，在轴上任取一点，直线与直线相交于点，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，平面直角坐标系中，和都是等腰直角三角形，，.设和的外接圆圆心分别为M，N.

(1)若与直线相切，求直线的方程；
(2)若直线截所得弦长为4，求的标准方程.
16．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是的中点．

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
17．已知椭圆的离心率为，短轴长为.
(1)求C的方程；
(2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值.
18．已知点，，动点满足直线与的斜率之积为2.记点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若，是曲线上两点，试判断点能否成为线段的中点，如果可以，求出直线的方程；如果不可以，请说明理由.
19．平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左右焦点分别是，，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于，两点．射线交椭圆于点．求面积的最大值．
试卷第2页，共4页
试卷第1页，共4页
《2025-2026学年度高二数学期中考试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D C B C B D ABC BC
题号 11
答案 BD
1．D
【分析】根据对称得，即可根据两点距离公式求解.
【详解】由题意可得，则.
故选：D
2．B
【分析】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可.
【详解】由得，，
所以直线的一个方向向量为，
而，所以也是直线的一个方向向量.
故选：B.
3．D
【分析】利用两直线平行列方程，再求解并验证得解.
【详解】由直线，得,解得或，
当时，直线：与直线：平行，
当时，直线：与直线：平行，
所以m的值是或6.
故选：D
4．C
【分析】求出圆心坐标后代入直线方程可求实数的值.
【详解】圆的标准方程为：，
圆的圆心为，而圆关于直线对称，
故在直线上，故，解得.
故选：C.
5．B
【分析】设，根据条件求得，由椭圆定义得，从而利用求得离心率.
【详解】设椭圆的半焦距为，依题意，，又，
如图，

设，四边形为等腰梯形，
，即，；
由椭圆定义知，，，
解得.
故选：B.
6．C
【分析】连接OA，OB，过O作的垂线，垂足为D，结合几何关系可得，，由勾股定理可得，化简即可求解.
【详解】如图，连接OA，OB，过O作的垂线，垂足为D，
则D为AB的中点，直线的倾斜角为30°，故，，，
所以，即，解得，故双曲线方程为．
故选：C
7．B
【分析】根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果.
【详解】
根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
又点为的重心，所以，
则，，
则，
则，
所以点到直线的距离为.
故选：B
8．D
【分析】分直线与左右两支相交于两点、直线与双曲线的左支交于两点两种情况讨论，每种情况下分析实轴长和通经与4的大小即可.
【详解】双曲线的实轴长为，要使这样的直线有两条，
第一种情况是：当直线与左右两支相交于两点时，只需且，解得，
第二种情况是，直线与双曲线的左支交于两点，此时应满足且，解得，
综上，的取值范围是
故选：.
9．ABC
【分析】对A：令代入计算即可得；对B：借助垂直定义计算即可得；对C：令解出即可得；对D：计算截距为的情况即可得.
【详解】对于A：由直线，令，解得，故A正确；
对于B：当，可得，解得，故B正确；
对于C：由方程，可得，
由，解得，则过定点，故C正确；
对于D：当截距为0时，方程为，故D错误.
故选：ABC.
10．BC
【分析】通过的值，依据双曲线的渐近线方程判断A；由双曲线的离心率可判断B；由双曲线的标准方程可判断C；由椭圆的标准方程判断D.
【详解】对于A，方程表示焦点在x轴上的双曲线，渐近线方程为，故A错误；
对于B，方程，表示焦点在y轴上的双曲线，则，
所以离心率为，故B正确；
对于C，方程表示双曲线，则，解得或，故“”是“曲线方程C表示双曲线”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，方程表示椭圆，则，解得且，故“”是“曲线方程C表示椭圆”的必要不充分条件，故D错误；
故选：BC
11．BD
【分析】根据空间中点线面的位置关系，以及空间中点线面位置关系的向量表示方法，空间中点到面的距离的向量方法，三棱锥的外接球半径的计算方法，依据半径求出球的体积，逐一判断各选项正误，求出结果.
【详解】如图所示，连接，
是中点，是的中位线，，
平面，平面， 与平面相交，
，与平面相交，所以A错误；
如图所示，以正方体顶点为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，

则，
可得，
设平面的法向量为，
则，即，
当时，解得，则平面的一个法向量，
此时，即，可得平面，所以B正确；
如图所示，

可知，平面的一个法向量，
可得点C到平面的距离，所以C错误；
如图所示：作中点，作上下底面中心，作四棱柱，

可知三棱锥的外接球，也是四棱柱的外接球，
可知，
则外接球半径，外接球体积为，所以D正确.
故选：BD.
12．
【分析】首先得椭圆的焦点坐标为，，又椭圆过点，结合椭圆定义求得，结合即可求解.
【详解】因为椭圆的焦点坐标为，所以，
又椭圆过点，所以，
故．又，所以．
故答案为：.
13．
【分析】方法一：设得直线的方程为，与联立，再设可得M的横坐标，再由即可求e.
方法二：记，由平行和渐近线特点得，由三角形相似得，则即可求e.
【详解】（方法一）
设，根据题意，得直线的方程为：，
由，
消去得．
得
设，则．
又因为直线平行于其中一条渐近线，则，解得．
（方法二）如图，记，
因为，所以，则．
又因为，所以，
即，则．
由得，
故，解得．
故答案为：
14．
【分析】设，根据得到，联立方程组解出点坐标，再设点坐标为，将直线与直线联立解得点坐标，由结合二次函数得性质即可求解.
【详解】由椭圆得左，右焦点分别为，，

设，
因为，所以，整理得，
又因为，联立方程组，解得，，
所以点A点坐标为，
设点坐标为，因为直线斜率不为，设直线方程为，
将，代入解得直线方程为，
再将直线与直线联立解得点坐标为，
所以，
当时，取最大值，最大值为，
故答案为：
15．(1)；
(2)
【分析】（1）根据题意求出圆的方程，表示出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出的值，即得直线的方程；
（2）先求出直线的方程，表示出的外接圆的圆心和半径，结合题设的弦长建立方程求出的值，即得的标准方程.
【详解】（1）因是等腰直角三角形，，则，的外接圆圆心为的中点，
故，圆的半径为，则圆的方程为.
又是等腰直角三角形，，则直线的倾斜角为，斜率为，
故直线的方程为，即.
因与直线相切，则到直线的距离，
解得：（因，舍去负值），故直线的方程为.
（2）因直线的倾斜角为，，则其方程为：，
易得，则的外接圆的圆心为，半径为，
则圆心到直线距离为.
因直线截的所得弦长为4，则得，解得（因，舍去负值）.
故的标准方程为.
16．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可；
（2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值；
【详解】（1）如图，连接交于点O，连接，
则点O为的中点，且D是的中点，
则为的中位线，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．

（2）取的中点F，
因为在正中，D是的中点，故，
因为三棱柱为正三棱柱，
所以平面ABC，
又因为D是的中点，F是的中点，
所以，
所以平面，所以，，
以D为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，．
故，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，即．
设直线与平面所成角为，
可得，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17．(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意可得，进而解出即可求解；
（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式及点到直线的距离公式表示出的面积，建立方程即可求解.
【详解】（1）由题意，得，解得，
则椭圆C的方程为.
（2）设，
联立，得，
则，解得，
且，
所以，
点到直线的距离为，

则，解得或，满足，
则或.
18．(1)（且）
(2)不可以，理由见解析
【分析】（1）由斜率公式化简即可得解；
（2）设在曲线上，且中点为，分是否相等两种情况讨论即可，注意用点差法求得斜率后，还应该检验是否和顶点重合，由此即可得解.
【详解】（1）由题意，显然且，
所以的方程为（且）；
（2）设在曲线上（），且中点为，
则（且），
所以，
所以直线为即，，
联立，整理得，，解得或，但这与且矛盾，
故不符合题意；
设在曲线上（），且中点为，
但根据双曲线的对称性可知，中点应该为，这与中点为，矛盾；
综上所述，不存在满足题意的直线的方程.
19．(1)；
(2)18．
【分析】（1）由圆上的点到圆心的距离可以求得，即求得的值，由离心率及椭圆中的关系即可求出，从而得到椭圆方程；
（2）设交点的坐标，将直线方程代入椭圆方程后得到一元二次方程，由判别式得到的关系，以及由韦达定理得到交点的横坐标的关系.在直角坐标系中由点的坐标求出的面积，利用换元法结合的关系，得到变量的取值范围，再结合面积的函数的单调性得到最大值.再由两个椭圆的方程关系，从而得到面积的最大值.
【详解】（1）由题意可知，，可得，
又，，可得，，
即有椭圆的方程为；

（2）设，，将直线代入椭圆的方程，
可得，由，可得，①
则有，，
所以，
由直线与轴交于，
则的面积为，
即，
设，则，
将直线代入椭圆的方程，可得，
由可得，②
由①②可得，
在递增，即有取得最大值，
即有，即时，取得最大值6，
由（）知，的面积为，即面积的最大值为18．

答案第14页，共17页
答案第1页，共15页