(共10张PPT)
莱布尼兹三角形
溯源先锋队
1、课题组成员分工：
整理汇总：张子易
题目收集：郭芮萌
探究解题：刘思佳 侯佳晰 赵紫伊 刘锦平
2、发现过程：
经历了对杨辉三角的探究，类比迁移研究新的特殊数阵莱布尼兹三角形。
3、证明思路：
依据由特殊到一般地思路来进行证明，先试探究前7行特殊横纵图与杨辉三角的关联。然后利用加乘原理和排列组合知识加以验证，最终进一步推广到任意情况。
4、结论的证明： 如右图，依据观察发现：
第三行中的1/6是由1/6斜上方第二行的1/2与相邻的1/3做差得到的。
如右图，依据相同逻辑，可以发现
，每一个数是“两腿上”数的和，即上一行元素等于下一行相邻两元素的和，且整个计数过程与杨辉三角数字分布相似，进而证明了这一结论。
5、杨辉三角应用举例：莱布尼兹三角形
6、收获与体会： 数学的美妙在于探索不同事物之间的联系，由此及彼，一而广之。从杨辉三角到莱布尼兹三角形问题正很好的体现了这一点，善于观察，长于联想，严谨论证终会有所收获。
莱布尼兹三角形的性质探究
若将杨辉三角中的每一个数 都换成 就得到了莱布尼兹三角形 。
莱布尼兹三角形每一个数的通项为
1.对称性：左右对称，镜像相等.
2.递推规律：每一个数是“ 两腿上”数的和，即上一行元素等于下一行相邻两元素的和.
3.当n是偶数时，中间的一项取得最小值；
当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值.
4.对于固定的列,当行数n趋近于无穷大时，元素的极限为0.
证明：
证明：
4.对于固定的列,当行数n趋近于无穷大时，元素的极限为0.
THANKS(共16张PPT)
经历课题研究过程 开展数学探究活动
——杨辉三角“展妙用”
人教A版高中数学选择性必修第三册
02
环节一 单元导航明方向
第1课时
第2课时
第3课时
杨辉三角的历史文化
杨辉三角的构成规则
杨辉三角与二项式系数的联系
性质
研究内容
应用
研究方法
观察、归纳、猜想、证明
查阅资料
回顾前期的探究过程
分小组汇报探究成果
探究总结
研究内容
研究方法
推广到一般数阵
杨辉三角的上位概念：数阵
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环节二 温故溯源再梳理
(1)对称性：每行中与首末两端的两个数相等，即
(2)递归性：除1之外的数都等于肩上两数的和，即
(3)横向求和：第行的各数之和为
即
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第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
环节二 温故溯源再梳理
(4)斜向观察：第的通项可以表示为
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(5)斜向求和：自腰上的某个1开始平行于腰上的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，即
环节二 温故溯源再梳理
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环节二 温故溯源再梳理
(6)斐波那契数列
记从第n行的1开始相加，
得到的数为F(n),则
所以= +
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(7)将杨辉三角中的偶数与奇数分别标出，然后挖掉所有的偶数，得到谢尔宾斯基三角形
环节二 温故溯源再梳理
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环节三 数学建模展妙用
π星探索队
求知者小队
环节三 数学建模展妙用
如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以相同的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1,2,3,4,5,6,7的球槽中，求落入5号球槽的概率。
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环节四 以己能再拓新域
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨
莱布尼茨三角形
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环节五 课堂收官结新知
思考：
在整个数学探究活动当中，我们在知识、思想方法上有哪些收获？
这个探究过程对你研究新的数阵有什么样新的启示？
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环节五 课堂收官结新知
请同学们完成评价量表 .
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环节五 课堂收官结新知
请同学们完成评价量表 .
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环节六 课后探究延伸趣
基础性作业
开放性作业
拓展性作业
1.整理杨辉三角的应用；
2.整理莱布尼兹三角形的性质并尝试证明。
类比于杨辉三角性质的研究过程，从其它方向尝试研究、发掘莱布尼兹三角形的其他性质。
自主研究莱布尼兹三角形的应用并形成研究报告。
环节七 单元总结清方向
THANKS
延时符(共6张PPT)
杨辉三角的性质应用——
纵横图
求知者小队
1、课题组成员分工：
整理汇总：
题目收集：
探究解题：
2、发现的数学问题：
杨辉三角与纵横图计数问题的联系
3、证明思路：
依据由特殊到一般地思路来进行证明，先试探究4×4特殊纵横图与杨辉三角的关联。然后利用加乘原理和排列组合知识加以验证，最终进一步推广到任意情况。
4、结论的证明： 如左图，可将纵横图旋转便于观察，依据分步加法原理：
A→C 和A→D点分别有1条路径，则A→E共有1+1=2条路径。
如左图，依据相同逻辑，可以发现A→B共70条路径，且整个计数过程与杨辉三角数字分布相同，进而证明了这一结论。
5、杨辉三角应用举例：立体计数问题
6、收获与体会： 数学的美妙在于探索不同事物之间的联系，由此及彼，一而广之。从杨辉三角到横纵图计数问题正很好的体现了这一点。只要善于观察与联想，再配合严谨的论证，我们终会有所收获。
杨辉三角的性质与应用
例题：某一个城市的街道如图所示，分别以东西向、南北向各五条路组成方格网，行人在街道上行走(方向规定只能由西向东、由北向南前行).如果从这个城市的最西北角A处前往东南角B 处，会有多少种不同的走法呢
法一（排列组合）：=70
法二（杨辉三角）：
A→B路径数目=杨辉三角
中第8行第五个数字，即70
杨辉三角的性质应用--纵横图
拓展1：这个问题还可以拓展到任意格点之间的路线问题，东西向m条路、南北向n条路组成的路网呢？
依据杨辉三角表，有m条东西向，n条南北向路组成的路网，在东西方向上有n-1个网格点，在南北方向上有m-1个网格点，途径数对应杨辉三角中第m+n-2行，第n个数字，故其计数结果可以将其表示为
拓展2：这个问题也可以由平面扩展到空间，即立体交通网络的路线问题
如图所示，从A处前往B处(方向规定只能由西向东、由北向南前行)，会有多少种不同的走法呢？
法一（杨辉三角性质）：
法二（排列组合）：
我们小组的报告结束
谢谢大家(共11张PPT)
杨辉三角的应用——弹珠游戏
π星探索队
1、课题组成员分工：
整理汇总：刘环宇
题目收集：马增轩
探究解题：魏子越，刘环宇，马增轩
2、发现的数学问题：
弹珠游戏与杨辉三角的联系
3、证明思路：
依据由特殊到一般地思路来进行证明，先试探究5层障碍物与杨辉三角的关联。然后利用排列组合知识加以验证，最终进一步推广n层障碍物。
4、结论的证明： 杨辉三角每一行的数字与对应次数的二项展开式中的二项式系数一致,，即如左图所示。于是我们便可得到，对于有n层障碍物的装置，从起点到第m个区域，有Cnm-1 种路径.
5、收获与体会： 数学的美妙在于探索不同事物之间的联系，由此及彼，一而广之。从弹珠游戏到杨辉三角正很好的体现了这一点，善于观察，长于联想，严谨论证终会有所收获。
杨辉三角的性质与应用
前言
说起弹珠游戏，相信大家并不陌生，那板中回荡着的清脆的碰撞声曾陪伴我们度过了美好的童年时光，但这看似寻常的弹珠游戏，和杨辉三角之间又有着什么联系呢，这也是我们组探究的主题。
问题：在游戏场所经常可以看到这样的弹珠游戏，一个小球向下跌落后等可能地向两侧跌落;碰到第二层障碍物再等可能地向两侧的第三层跌落，直到容器底层.奖品的设置与小球跌落的区域有关， 两端区域的奖品价值最高， 区奖品次之， 区域的奖品价值最低，怎样解释这一现象呢
根据一般的理解，奖品价值的高低，和所能到达区域的路径数有关，即奖品价值越高，意味着到达该区域的可能路径越少，所以价值的高低，就转化为了到达该区域的路径多少，那么，如何求解到达每一区域的路径数呢？
我们小组通过观察游戏装置，发现其和杨辉三角的结构十分类似，都接近于正三角形，所以就萌生了运用杨辉三角的知识来解决相关问题的想法。
如图，小球下落过程中只能向左或者向右掉落，到最左或最右两个障碍物仍只有一条路径，但中间的障碍物可以由上一行左侧障碍物向右偏到达，也可以由右边障碍物向左偏到达。
以此类推，我们就可以写出一个杨辉三角，每层杨辉三角的数字对应弹珠到达每层障碍物间隙的路径数。由杨辉三角的性质我们可以看出，到达 区域的路径数最多，到达 区域的路径数第二，而 区域最少，所以出现了不同的奖品价值差异。
如图是一块高尔顿板示意图：小球从上方的通道口落下后，将与层层障碍物碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入④号球槽的路径有多少种？
由题可知，该装置的有效障碍物为五层，所以我们可以写出相应路径个数图，即杨辉三角的前五行。我们从中可以得出，到达④区域的路径共有10种。
或者，我们可以直接利用组合数公式，即有5层障碍物，落到第4区域时，可能路径数为C53=10种
同样，我们还可以利用杨辉三角的相关性质，将装置进行拓展，拓展至有n层障碍物的情况。
结合我们前面认识到，杨辉三角每一行的数字与二项展开式中的系数一致,即如左图所示。于是我们便可得到，对于有n层障碍物的装置，从起点到第m个区域，有Cnm-1 种路径.
我们的报告结束
谢谢大家！
