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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 上册第十四章
课标要求 1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。2.掌握三角形全等的基本事实（判定定理）：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA），及其推论角角边（AAS）。探索并掌握判定直角三角形全等的 “斜边、直角边”（HL） 定理。3.经历三角形全等判定定理的探索过程，体会如何从已有的几何事实出发，通过合情推理发现结论，并通过演绎推理证明结论。4.能运用全等三角形的性质和判定定理，进行简单的几何证明和计算，解决一些实际问题。发展学生的几何直观、空间观念和逻辑推理能力。
内容分析 本章《全等三角形》是初中几何学习的关键转折点，标志着学生从依赖直观感知的实验几何，正式迈入依靠逻辑推演的论证几何阶段。其核心任务是构建一个严密且完整的三角形全等判定体系，并使学生掌握利用全等进行推理证明的思想方法。系统性地要求学生进行严谨的几何演绎证明，是学生几何语言、证明规范和逻辑思维的奠基性训练，为后续所有几何内容的学习提供了根本性的工具和思维范式。
学情分析 教学正面临学生思维转型的核心挑战。八年级学生正处于从形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，他们虽具备一定的图形直观感知能力，但作为“几何新手”，其严谨的推理能力和符号化表达能力尚在萌芽阶段。本章的教学必须超越单纯的知识传授，定位为“几何思维的启蒙课”，重心在于通过充分的探究、辨析和持续的规范训练，引导和支持学生顺利完成从“看到”到“想到”再到“严谨证出”的思维飞跃，为整个中学数学的思维发展打下坚实基础
单元目标 （一）教学目标1.能准确说出全等三角形的定义，在具体图形中正确找出对应顶点、对应边和对应角，熟练掌握全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等），并能运用性质解决简单的计算和证明问题。2.掌握 SSS、SAS、ASA、AAS 四种一般三角形全等的判定方法以及 HL 直角三角形全等的判定方法，能根据具体条件选择合适的判定方法证明两个三角形全等。3.能运用全等三角形的性质和判定方法解决简单的实际问题，如测量物体长度等。（二）教学重点、难点重点：1.全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）及其应用。 2.全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）及其灵活运用，能根据不同的已知条件选择合适的判定方法证明三角形全等。难点：1.在复杂图形中准确找出全等三角形的对应边和对应角。 2.理解并掌握全等三角形判定方法中的关键条件，如 SAS 中的 “夹角”、HL 中的 “斜边和一条直角边”，避免误用判定条件。 3.掌握规范的几何证明书写格式，能清晰、有条理地进行演绎推理证明。 4.运用全等三角形的知识解决实际问题，将实际问题转化为数学模型，构造全等三角形解决问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数14.1 全等三角形及其性质114.2 全等三角形的判定5
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务14.1全等三角形及其性质1.理解全等形的概念：通过观察生活中的实例和几何图形，能说出全等形的定义，知道能够完全重合的两个图形叫做全等形。2.掌握全等三角形的定义与表示：能准确说出全等三角形的概念，理解“对应顶点”、“对应边”、“对应角”的含义，并能用符号“≌”正确地表示两个三角形全等，同时会将对应的顶点写在对应的位置上。3.探索并掌握全等三角形的性质：通过动手操作（如折叠、重合），发现并归纳出全等三角形的对应边相等、对应角相等这一核心性质1.能独立判断两个给定的图形是否为全等形，并能用自己的语言解释原因。2.给定两个全等三角形，能准确找出所有的对应顶点、对应边和对应角，并能用符号“△ABC≌△DEF”等方式正确表示，且书写规范。3.已知两个三角形全等及其中一组对应边（或角）的长度（或度数），能准确求出其他对应边或角的长度（或度数）。4.能运用全等三角形的性质，解决如测量河宽、计算距离等简单的实际问题，并清晰地阐述其数学原理。任务一：概念辨析。任务二：对应关系与符号表示任务三：性质探究与应用任务四：性质探究与应用14.2.1全等三角形的判定1. 探索并掌握SAS判定定理：通过画图、操作、比较等探究活动，理解“边角边”（SAS）定理的内容，并明确“角”必须是两条边的夹角。2.应用SAS定理进行推理证明：能准确识别两个三角形中具备的SAS条件，并运用该定理来证明两个三角形全等。3.初步构建证明思路：能利用“SAS”证明出的三角形全等，进一步得到对应的边、角相等，从而解决简单的几何问题。1. 能积极参与画图探究活动，并能通过比较、归纳，得出“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”这一结论2. 能准确叙述SAS定理，并能辨别“两边及一角”条件中，当角不是夹角时（即“SSA”），三角形不一定全等。3.能规范地写出利用SAS定理证明三角形全等的推理过程，格式正确，逻辑清晰4.能综合运用SAS定理和全等三角形的性质，进行简单的线段相等、角相等的证明任务一：引入与探究任务二：定理辨析与理解。任务三：定理的直接应用任务四：综合应用与推理14.2.2全等三角形的判定1.通过类比SAS的探究过程，理解并掌握“角边角”（ASA）判定定理，即两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。2.能通过三角形内角和定理，推导出“角角边”（AAS）同样可以作为判定三角形全等的依据，并理解其是ASA的一个推论。3.能根据题目给出的不同条件，准确识别并选择ASA或AAS定理来证明两个三角形全等。4.能严谨、规范地写出利用ASA和AAS定理进行推理证明的全过程，进一步发展几何逻辑思维能力。1.能准确区分并叙述ASA和AAS定理的条件，明确ASA是“两角及夹边”，AAS是“两角及其中一角的对边”。2.能清晰解释为什么AAS可以判定三角形全等（利用三角形内角和为180°，将AAS条件转化为ASA条件）。3.能根据已知条件，正确选择ASA或AAS定理，并完成规范的证明书写任务一：定理探究与引入任务二：定理的辨析与拓展任务三：定理的直接应用与规范书写任务四：综合应用与推理14.2.3全等三角形的判定1.通过画图、操作等探究活动，理解并掌握“边边边”（SSS）判定定理，即三边对应相等的两个三角形全等。2.通过SSS定理理解三角形形状的唯一确定性，并能解释其在生活中的应用（如桥梁、塔架等结构）。3.能准确识别两个三角形中三边对应相等的条件，并运用SSS定理来证明两个三角形全等。4.能根据已知条件，在SAS、ASA、AAS、SSS等多个判定定理中，选择最合适的一个进行证明，初步形成判定定理的知识网络。1.能积极参与SSS定理的探究活动，并能清晰地解释三角形的稳定性原理。2.给定图形或问题，能快速判断是否满足SSS条件，尤其是在图形中需要先通过公共边、线段和差等关系来证明边相等的情况。3.能规范地写出利用SSS定理证明三角形全等的推理过程。任务一：定理探究与引入任务二：定理的直接应用任务三：定理的灵活应用任务四：综合应用与评价14.2.4全等三角形的判定1.理解“角角边”（AAS）定理，即两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。2.通过逻辑推导，理解AAS与ASA之间的内在联系与区别，并能认识到AAS是ASA的一个直接推论，从而构建完整的判定方法知识体系。3.灵活应用AAS定理进行证明4.在给定的问题情境中，能根据已知条件，在SAS、ASA、SSS、AAS等判定方法中，迅速选择并应用最简捷的一种。1. 能准确叙述AAS定理的条件，并能清晰解释其与ASA定理的等价性（通过三角形内角和定理进行转化）。2. 能快速、准确地判断两个三角形是否满足AAS条件，尤其是在复杂图形中识别出“非夹边”的对边关系。3. 能规范、严谨地写出利用AAS定理进行证明的推理过程，步骤完整，理由充分任务一：定理的明确与深化任务二：定理辨析与条件识别。任务三： AAS定理的直接应用与规范书写任务四：综合应用与策略选择14.2.5全等三角形的判定1.认识到对于一般的三角形，SSA不能判定全等，从而体会引入直角三角形全等特殊判定方法的必要性。2.通过操作、探究，理解并掌握“斜边、直角边”（HL）定理，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。3.能准确识别两个直角三角形中具备的HL条件，并运用该定理来证明两个直角三角形全等。4.能根据三角形类型（一般三角形、直角三角形）和已知条件，在SAS、ASA、AAS、SSS、HL等所有判定方法中，选择最合适的一种进行证明。1.能准确叙述HL定理，并明确指出其适用范围是“直角三角形”2.给定图形或问题，能快速识别出两个直角三角形中“斜边和一条直角边”的对应相等关系3.能规范地写出利用HL定理证明直角三角形全等的推理过程，格式正确（必须指明两个三角形是直角三角形）任务一：引入与探究任务二：定理辨析与理解任务三： HL定理的直接应用与规范书写任务四：综合应用与策略选择
《全等三角形》单元教学设计
活动1：全等形的概念引入
活动2：全等三角形的定义与表示方法
14.1全等三角形及其性质
全等三角形
活动3：全等三角形的性质探究
活动4：例题讲解与应用
活动1：引入三角形全等判定的必要性
活动2：探究边角边（SAS）判定方法
14.2.1三角形全等的判定
活动3：例题讲解与巩固练习
14.2.2三角形全等的判定
活动2：探究角边角（ASA）判定方法
活动1：回顾已学判定方法
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
活动2：探究边边边（SSS）判定方法
14.2.3三角形全等的判定
活动3：例题讲解与综合应用
活动1：引入课题
12.2.4三角形全等的判定
活动2：探究角角边（AAS）判定方法
活动3：画出一次函数的图象
活动1：直角三角形特性的引入
12.2.5三角形全等的判定
活动4：例题讲解与拓展提升
活动2：探究斜边直角边（HL）判定方法
活动3：直角三角形全等判定的综合运用
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第十四章 全等三角形
14.1全等三角形及其性质
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
知道全等形及全等三角形的概念.
01
能够准确辨认全等三角形的对应元素.
02
掌握全等三角形的性质，能够利用性质解决简单的问题.
03
02
复习旧知
平移
旋转
平移和旋转是两种图形变换，平移和旋转改变了图形的 ，
没改变图形的 ，所以说变换后的图形与原图形能重合。
位置
形状和大小
02
创设情境
如图，按同一底版印制的两枚邮票，它们有什么特点？
它们的形状、大小分别相同
03
新知探究
你能再举出一些类似的例子吗？
能够完全重合的两个图形叫作全等形.
03
新知探究
将两张纸重叠，可以剪出两个形状、大小相同的三角形，如图所示
操作
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，也称这两个三角形全等.
03
新知探究
观察△ABC与△DEF重合的情况.
对应顶点
对应角
点A和点D，点B和点E，点C和点F互为对应顶点.
把两个全等三角形重合到一起，互相重合的顶点叫作对应顶点.
∠A和∠D， ∠B和∠E， ∠C和∠F互为对应角.
把两个全等三角形重合到一起，互相重合的角叫作对应角.
对应边
AB与DE， AC与DF， BC与EF互为对应边.
把两个全等三角形重合到一起，互相重合的边叫作对应边.
03
新知探究
△ABC≌△FDE
A
B
C
E
D
F
注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
全等的表示方法
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
03
新知探究
寻找对应元素的方法:
对应边
公共边一定是对应边
长对长，短对短，中对中
对应角
公共角一定是对应角
对顶角一定是对应角
大角对大角，小角对小角
03
新知探究
△ABC≌△DEF. 对应边有什么关系？
AB=DE
BC=EF
AC=DF
△ABC≌△DEF. 对应角有什么关系？
∠A=∠D
∠B=∠E
∠C=∠F
03
新知探究
全等三角形的对应边相等.
性质
全等三角形的对应角相等.
用几何语言表述：
∵△ABC ≌△DEF，(已知)
∴AB =DE，BC =EF，AC =DF(全等三角形的对应边相等)
∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F(全等三角形的对应角相等)
03
新知探究
A
B
C
A
B
C
在图（1）中，将△ABC沿直线BC平移，得到△DEF.
在图（2）中，将△ABC沿直线BC翻折180°，得到△GBC.
在图（3）中，将△ABC绕点A旋转，得到△AMN.
各图中的两个三角形全等吗
（3）
（2）
A
B
C
M
N
D
E
F
（1）
探究
G
03
新知探究
归纳
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变.
平移、翻折、旋转前后的图形全等.
03
新知探究
例、如图，△EFG≌△NMH，EF=2.1cm，EH=1.1cm，NH=3.3cm.
（1）求线段NM 及HG 的长度；
（2）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出一个正确的结论并说明理由.
解：(1)∵ △EFG≌△NMH，
∴ NM=EF =2.1cm，
EG =NH=3.3 cm.
∴ HG =EG-EH=3.3-1.1=2.2 (cm).
(2)结论：EF∥NM (答案不唯一).
理由：∵ △EFG≌△NMH，
∴∠E =∠N. ∴ EF∥NM.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列说法不正确的是( D )
A. 用同一张底片冲洗出来的10张一英寸照片是全等形
B. 我国国旗上的4颗小五角星是全等形
C. 全等形的面积一定相等 D. 所有的正方形都是全等形
2.如图，△ AOC ≌△ BOD ，点 A 与点 B ，点 C 与点 D 是对应点，下列结论中错误的是( C )
A. ∠ A 与∠ B 是对应角 B. ∠ AOC 与∠ BOD 是对应角
C. OC 与 OB 是对应边 D. OC 与 OD 是对应边
D
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，△AOC 和△BOD 全等,且C 与D 为对应顶点，∠AOC 和∠BOD 为对应角.
(1)表示这两个三角形全等： ；
(2) OC 的对应边是 ；
(3)∠ D 的对应角是 .
4.如图，已知△ABC ≌△DEF，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，若BC＝8， CE =5，则CF的长为 .
△ AOC ≌△ BOD
OD
∠C
3
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.如图，已知△ABC ≌△DEB ，点E 在AB上， DE 与AC 相交于点 F .
(1)若DE ＝10，BC ＝4,求线段 AE 的长；
(2)若∠D ＝30°，∠C ＝70°，求∠DBC 的度数.
解：∵△ABC ≌△DEB ，DE =10， BC ＝4，
∴ AB＝DE ＝10， BE＝BC＝4.
∴ AE＝AB－BE＝6.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
(2)解：∵△ ABC≌△DEB ，∠D＝30°，∠ C＝70°，
∴∠A=∠D＝30°，∠DBE＝∠ C＝70°.
∴∠ABC＝180°-30°－70°＝80°.
∴∠DBC＝∠ ABC－∠DBE =10°.
05
课堂小结
全等三角形
全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫作全等形.
全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形.
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
如图，若△OAD≌△OBC，∠O＝65°，∠D＝20°，则∠BED的度数为（ A ） A. 75° B. 85° C. 60° D. 55°
2.如图，△ABC≌△DEC，点A，E，C在同一条直线上，AE＝2，BC＝3，则CD的长为（ B ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
A
B
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3. 如图，若△ABC≌△DEF，且BE＝10cm，CF＝4cm，则BC＝ 7 cm.
4.两个三角形全等，若一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为3，3a－2b，a＋2b，则a＋b＝ 5或4 .
7
5或4
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5. 如图，点A，B，C在同一条直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝2cm，BC＝3cm.
（1） 求DE的长.
（2） 判断AC与BD之间的位置关系，并说明理由.
解：(1)∵ △ABD≌△EBC，
∴ BD＝BC＝3cm，AB＝EB＝2cm.
∴ DE＝BD－EB＝1cm.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
（2）AC⊥BD.
理由：∵ △ABD≌△EBC，
∴ ∠ABD＝∠EBC.
又∵ 点A，B，C在同一条直线上，
∴ ∠ABD＋∠EBC＝180°.
∴ ∠EBC＝90°.
∴ AC⊥BD.
Thanks!
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14.1全等三角形及其性质教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 14
课题 14.1全等三角形及其性质 课时 1
教材分析 本节“全等三角形”是初中几何的基石，教材通过生活实例引入全等形概念，重点阐述全等三角形的定义与性质（对应边、角相等）。内容编排遵循从直观到抽象的原则，强调重合验证方法，为后续学习三角形全等的判定定理奠定坚实基础，在知识体系中起着承上启下的关键作用。
学情分析 学生已具备三角形基本概念和图形平移、翻折、旋转的初步认知，为理解全等变换提供了基础。但初次接触“对应”这一抽象概念，容易在复杂图形中找错对应关系。同时，其逻辑推理能力正处于发展阶段，需通过直观操作与规范书写来引导，帮助其实现从感性认识到理性证明的过渡。
教学目标 1.知道全等形及全等三角形的概念. 2.能够准确辨认全等三角形的对应元素. 3.掌握全等三角形的性质，能够利用性质解决简单的问题.
教学重点 知道全等形及全等三角形的概念
教学难点 掌握全等三角形的性质，能够利用性质解决简单的问题.
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 平移 旋转 平移和旋转是两种图形变换，平移和旋转改变了图形的 ，没改变图形的 ，所以说变换后的图形与原图形能重合。 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固上节内容，为后面的学习进行铺垫。
二、引新 创设情境，引入课题 如图，按同一底版印制的两枚邮票，它们有什么特点？ 它们的形状、大小分别相同 你能再举出一些类似的例子吗？ 学生思考回答问题 让学生带着疑问进入课堂，激发学习本节课的兴趣
三、探究 合作探究，活动领悟 能够完全重合的两个图形叫作全等形. 操作 将两张纸重叠，可以剪出两个形状、大小相同的三角形，如图所示 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，也称这两个三角形全等. 观察△ABC与△DEF重合的情况. 对应顶点：把两个全等三角形重合到一起，互相重合的顶点叫作对应顶点. 点A和点D，点B和点E，点C和点F互为对应顶点. 对应角：把两个全等三角形重合到一起，互相重合的角叫作对应角. ∠A和∠D， ∠B和∠E， ∠C和∠F互为对应角. 对应边：把两个全等三角形重合到一起，互相重合的边叫作对应边. AB与DE， AC与DF， BC与EF互为对应边. 全等的表示方法 “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”. 注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 寻找对应元素的方法: 对应边：公共边一定是对应边 长对长，短对短，中对中 对应角：公共角一定是对应角 对顶角一定是对应角 大角对大角，小角对小角 △ABC≌△DEF. 对应边有什么关系？ AB=DE BC=EF AC=DF △ABC≌△DEF. 对应角有什么关系？ ∠A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F 性质 全等三角形的对应边相等. 全等三角形的对应角相等. 用几何语言表述： ∵△ABC ≌△DEF，(已知) ∴AB =DE，BC =EF，AC =DF(全等三角形的对应边相等) ∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F(全等三角形的对应角相等) 探究 在图（1）中，将△ABC沿直线BC平移，得到△DEF. 在图（2）中，将△ABC沿直线BC翻折180°，得到△GBC. 在图（3）中，将△ABC绕点A旋转，得到△AMN. 各图中的两个三角形全等吗 归纳 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变. 平移、翻折、旋转前后的图形全等. 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 小组讨论，归纳 通过探索的方式学习新知，培养学生独立思考，解决问题的态度.
四、变式 师生互动，变式深化 例、如图，△EFG≌△NMH，EF=2.1cm，EH=1.1cm，NH=3.3cm. （1）求线段NM 及HG 的长度； （2）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出一个正确的结论并说明理由. 解：(1)∵ △EFG≌△NMH， ∴ NM=EF =2.1cm， EG =NH=3.3 cm. ∴ HG =EG-EH=3.3-1.1=2.2 (cm). (2)结论：EF∥NM (答案不唯一). 理由：∵ △EFG≌△NMH， ∴∠E =∠N. ∴ EF∥NM. 学生思考解答 通过例题的讲解，巩固所学知识
五、尝试 尝试练习，巩固提高 1.下列说法不正确的是( ) A. 用同一张底片冲洗出来的10张一英寸照片是全等形 B. 我国国旗上的4颗小五角星是全等形 C. 全等形的面积一定相等 D. 所有的正方形都是全等形 2.如图，△ AOC ≌△ BOD ，点 A 与点 B ，点 C 与点 D 是对应点，下列结论中错误的是( ) A. ∠ A 与∠ B 是对应角 B. ∠ AOC 与∠ BOD 是对应角 C. OC 与 OB 是对应边 D. OC 与 OD 是对应边 3.如图，△AOC 和△BOD 全等,且C 与D 为对应顶点，∠AOC 和∠BOD 为对应角. (1)表示这两个三角形全等： ； (2) OC 的对应边是 ； (3)∠ D 的对应角是 . 4.如图，已知△ABC ≌△DEF，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，若BC＝8， CE =5，则CF的长为 . 5.如图，已知△ABC ≌△DEB ，点E 在AB上， DE 与AC 相交于点 F . (1)若DE ＝10，BC ＝4,求线段 AE 的长； (2)若∠D ＝30°，∠C ＝70°，求∠DBC 的度数. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
六、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 1.全等三角形的概念 2.全等三角形的性质 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书 设计
作业 设计 1.如图，若△OAD≌△OBC，∠O＝65°，∠D＝20°，则∠BED的度数为（ ） A. 75° B. 85° C. 60° D. 55° 2.如图，△ABC≌△DEC，点A，E，C在同一条直线上，AE＝2，BC＝3，则CD的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 如图，若△ABC≌△DEF，且BE＝10cm，CF＝4cm，则BC＝ cm. 4.两个三角形全等，若一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个三角形的三边长分别为3，3a－2b，a＋2b，则a＋b＝ . 5. 如图，点A，B，C在同一条直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB＝2cm，BC＝3cm. （1） 求DE的长. （2） 判断AC与BD之间的位置关系，并说明理由.
教学反思 本节课通过动手操作成功激发了学生兴趣，对全等性质的探究较为到位。但部分学生在寻找复杂图形中的对应元素时仍显困难，后续需加强变式图形训练。时间分配上，概念讲解稍多，导致学生练习巩固时间略显不足。今后应进一步精讲概念，增加分层练习，并更注重几何语言书写的规范性指导。
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