简单的线性规划问题（二）导学案
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简单的线性规划问题（二）
一、自主学习
学习目标：
1.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能给出解答；
2.培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．
3.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．
学习重点：将实际问题转化为线性规划问题求解（建立线性规划模型）
学习难点：如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答．
学习方法：
通过实例学习，感受线性规划中的建模问题，培养应用数学的能力。
解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化．
二、学习过程
问题一：（1）线性规划及其有关概念是什么？
（2）解线性规划问题的一般方法和步骤是什么？
问题二：前面我们用图解法解决了一些求线性目标函数最大值、最小值的问题．在现实生活中，我们还会遇到什么样的与线性规划有关的问题呢？下面通过以下事例，了解有关线性规划问题。
例1 （教材例1）投资生产产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？
分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据整理成下表，以方便理解题意：
资 金（百万元） 场 地
（平方米） 利 润（百万元）
产品 2 2 3
产品 3 1 2
限 制 14 9
然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，最后用图解法求解．
例2（教材例2） 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180吨．该公司有8辆载重为6吨的型卡车与4辆载重为10吨的型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返的次数为型车4次，型车3次．每辆卡车每天往返的成本费为型车320元，型车为504元．试为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低．
教材练习第4、5题
三、当堂检测
1.某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少
2.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
资 金 单位产品所需资金（百元） 月资金供应量（百元）
空调机 洗衣机
成 本 30 20 300
劳动力（工资） 5 10 110
单位利润 6 8
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少
3 某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少？
线性规划问题（二）部分答案
三、当堂检测
1.某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少
解：设每盒盒饭需要面食x（百克），米食y（百克），
所需费用为S=0.5x+0.4y，且x、y满足
6x+3y≥8，
4x+7y≥10，
x≥0，
y≥0，
由图可知，直线y=－x+S过A（，）时，纵截距S最小，即S最小.
故每盒盒饭为面食百克，米食百克时既科学又费用最少.
2.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
资 金 单位产品所需资金（百元） 月资金供应量（百元）
空调机 洗衣机
成 本 30 20 300
劳动力（工资） 5 10 110
单位利润 6 8
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少
解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，由题意有
30x+20y≤300，
5x+10y≤110，
x≥0，
y≥0，
x、y均为整数.
由图知直线y=－x+P过M（4，9）时，纵截距最大.这时P也取最大值Pmax=6×4+8×9=96（百元）.
故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元.
3 某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少？
解：设A厂工作x h，B厂工作y h，总工作时数为t h，则t=x+y，且x+3y≥40，2x+y≥20，x≥0，y≥0，可行解区域如图.而符合问题的解为此区域内的格子点（纵、横坐标都是整数的点称为格子点），于是问题变为要在此可行解区域内，找出格子点（x，y），使t=x+y的值为最小.
由图知当直线l：y=－x+t过Q点时，纵、横截距t最小，但由于符合题意的解必须是格子点，我们还必须看Q点是否是格子点.
x+3y=40，
2x+y=20，
得Q（4，12）为格子点.
故A厂工作4 h，B厂工作12 h，可使所费的总工作时数最少.
解方程组
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简单的线性规划问题（二）
一、自主学习
学习目标：
1.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能给出解答；
2.培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．
3.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．
学习重点：将实际问题转化为线性规划问题求解（建立线性规划模型）
学习难点：如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答．
学习方法：
通过实例学习，感受线性规划中的建模问题，培养应用数学的能力。
解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化．
二、学习过程
问题一：（1）线性规划及其有关概念是什么？
（2）解线性规划问题的一般方法和步骤是什么？
问题二：前面我们用图解法解决了一些求线性目标函数最大值、最小值的问题．在现实生活中，我们还会遇到什么样的与线性规划有关的问题呢？下面通过以下事例，了解有关线性规划问题。
例1 （教材例1）投资生产产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？
分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据整理成下表，以方便理解题意：
资 金（百万元） 场 地
（平方米） 利 润（百万元）
产品 2 2 3
产品 3 1 2
限 制 14 9
然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，最后用图解法求解．
例2（教材例2） 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180吨．该公司有8辆载重为6吨的型卡车与4辆载重为10吨的型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返的次数为型车4次，型车3次．每辆卡车每天往返的成本费为型车320元，型车为504元．试为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低．
教材练习第4、5题
三、当堂检测
1.某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少
2.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
资 金 单位产品所需资金（百元） 月资金供应量（百元）
空调机 洗衣机
成 本 30 20 300
劳动力（工资） 5 10 110
单位利润 6 8
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少
3 某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少？
线性规划问题（二）部分答案
三、当堂检测
1.某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少
解：设每盒盒饭需要面食x（百克），米食y（百克），
所需费用为S=0.5x+0.4y，且x、y满足
6x+3y≥8，
4x+7y≥10，
x≥0，
y≥0，
由图可知，直线y=－x+S过A（，）时，纵截距S最小，即S最小.
故每盒盒饭为面食百克，米食百克时既科学又费用最少.
2.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
资 金 单位产品所需资金（百元） 月资金供应量（百元）
空调机 洗衣机
成 本 30 20 300
劳动力（工资） 5 10 110
单位利润 6 8
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少
解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，由题意有
30x+20y≤300，
5x+10y≤110，
x≥0，
y≥0，
x、y均为整数.
由图知直线y=－x+P过M（4，9）时，纵截距最大.这时P也取最大值Pmax=6×4+8×9=96（百元）.
故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元.
3 某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少？
解：设A厂工作x h，B厂工作y h，总工作时数为t h，则t=x+y，且x+3y≥40，2x+y≥20，x≥0，y≥0，可行解区域如图.而符合问题的解为此区域内的格子点（纵、横坐标都是整数的点称为格子点），于是问题变为要在此可行解区域内，找出格子点（x，y），使t=x+y的值为最小.
由图知当直线l：y=－x+t过Q点时，纵、横截距t最小，但由于符合题意的解必须是格子点，我们还必须看Q点是否是格子点.
x+3y=40，
2x+y=20，
得Q（4，12）为格子点.
故A厂工作4 h，B厂工作12 h，可使所费的总工作时数最少.
解方程组
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