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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第4章
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性. 2.探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 4.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角. 5.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 6.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 7.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等. 8.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 9.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 10.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 11.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 12.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 13.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形. 14.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. 15.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 16.知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式. 17.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误. 18.通过实例体会反证法的含义. 19.能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；过直线外一点作这条直线的平行线；作一条线段的垂直平分线；作已知角的平分线.
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第3章《三角形》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“三角形”和“定义、命题、定理”。本章内容以三角形为核心，系统整合其定义、性质、分类及全等判定等知识，既承接平行线与相交线的基础，又为后续直角三角形、四边形等内容奠定方法论框架。教材通过“观察—操作—归纳”路径展开教学，如用小棒摆三角形、拼内角验证内角和定理，强化几何直观；同时注重逻辑推理渗透，例如通过三角形内角和定理推导外角性质，引导学生从特殊到一般归纳结论。此外，单元融入等腰三角形、等边三角形等特殊三角形研究，形成“一般—特殊”的认知结构，并通过全等三角形的判定（SSS、SAS等）培养演绎推理能力，体现“几何研究大观念”的单元整体设计理念。
学情分析 八年级学生已具备平行线、角度等几何基础，能初步运用逻辑推理解决简单问题，但对抽象概念的理解仍需直观支持。例如，在三角形三边关系中，学生易混淆“较短两边之和大于第三边”与“任意两边之和大于第三边”，需通过操作实验突破认知障碍；在全等三角形判定中，学生可能因忽视对应关系导致证明错误，需通过对比练习强化条件匹配意识。此外，学生合作探究能力较强，但独立思考与创新表达较弱，需通过角色扮演、开放性问题激发思维活力。
单元目标 （一）教学目标 1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形，知道等腰三角形、等边三角形的概念. 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形. 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形. 4.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算. 5.会根据角的大小对三角形进行分类. 6.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关 计算. 7.初步认识定义、命题、互逆命题、公理、定理、互逆定理的概念. 8.能分清命题的条件和结论，会把命题写成“如果……，那么……”的形式. 9.会判断命题的真假，会用举反例的方法说明一个命题是假命题. 10.会识别两个命题是不是互逆命题，会写出一个简单命题的逆命题. 11.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明. 12.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角. 13.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题. 14.掌握判定两个三角形全等的四个判定定理，并能熟练地判定两个三角形全等. 15.在探索三角形全等的条件及其运用过程中，培养实践能力和逻辑思维能力. 16.知道尺规作图的概念，对尺规作图题会写已知、求作和作法. 17.会用尺规作一个角等于已知角，过直线外一点作这条直线的平行线. 18.在分别给出三边、两边及其夹角、两角及其夹边的条件下，会用尺规作三角形. 19.会利用尺规作图留下的痕迹分析作图类型并能利用相关知识解决问题. 20.掌握等腰三角形、等边三角形的性质，能利用等腰三角形、等边三角形的性质进行计算与证明. 21.掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理，能利用等腰三角形、等边三角形的判定定理证明一个三角形是等腰三角形或等边三角形. 22.尝试说理，进一步发展有条理的思考和表达能力，提高演绎推理能力. 23.认识线段的垂直平分线，会利用线段垂直平分线的性质进行相等线段的转化. 24.能运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决问题. 25.会用尺规作一条线段的垂直平分线以及过一点作已知直线的垂线. 26.已知底边及底边上的高线会用尺规作等腰三角形. 27.会用尺规作已知角的平分线. （二）教学重点、难点 重点 1.三角形边角关系与内角和定理的系统掌握. 2.全等三角形的性质及三种基本判定方法的灵活运用. 3.等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的本质理解. 4.定义、命题、证明的逻辑结构与书写规范. 难点 1.从实验验证上升到演绎证明的思维转换. 2.在复杂图形中准确找出全等三角形的对应元素并选择恰当判定. 3.将等腰三角形性质迁移到多步证明与实际问题. 4.对命题条件、结论及逆命题的辨析与反例构造.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1认识三角形24.2命题与证明34.3全等三角形54.4尺规作图24.5等腰三角形34.6线段的垂直平分线2第3章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1 认识三角形（1）1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形.知道等腰三角形、等边三角形的概念。 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形。 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形。1.能判断三条线段能否构成三角形。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.能准确地表示出三角形的高、角平分线、中线或画出相关图形。任务一：情境导入，观察图形。 任务二：探究新知，认识三角形及三角形有关的概念。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.1 认识三角形（2）1.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。1.会应用三角形的内角和定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。任务一：动手操作，回顾旧知。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，应用三角形的外角及内角和进行相关计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.2.1 定义，命题1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。 2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。能正确计算及含系数的乘法。任务一：复习导入，回顾积的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，观察猜想. 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.2 证明，举反例1.理解反例的作用，学会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明。1.会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.会进行一些简单命题的证明。任务一：认真思考，初步感知举反例。 任务二：探究新知，探究举反例和证明. 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.3 定理，推论1.理解定理与推论的概念，掌握定理的证明方法，能运用已知定理推导简单推论。 2.初步认识定理、互逆定理的概念。能运用已知定理推导简单推论。任务一：复习导入，回顾已学定理。 任务二：探究新知，探究定理和推论。 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.3.1 认识全等三角形1.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。1.会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。任务一：认真观察，提出猜想。 任务二：探究新知，全等三角形的性质。 任务三：例题精讲，进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）1.理解“边角边”（SAS）判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和夹角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真观察，进行判断。 任务二：探究新知，掌握边角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边）1.理解“角边角、角角边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用ASA、AAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握角边角、角角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.4 全等三角形的判定定理（边边边）1.理解“边边边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SSS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握边边边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.5 全等三角形的应用1.理解全等三角形在测量、设计、证明等实际问题中的应用价值。 2.能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，构建全等三角形模型。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（1）1.掌握尺规作图的基本方法，能正确作出“已知三边的三角形”“一个角等于已知角”“已知两边及其夹角的三角形”。 2.理解三种作图方法的理论依据（SSS、SAS全等判定及角复制原理），并能用几何语言清晰表达步骤。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（2）1.能规范使用直尺和圆规完成“已知两角及其夹边作三角形”与“过直线外一点作平行线”任务，掌握关键步骤。 2.理解两种作图方法的理论依据（AAS全等判定、同位角相等两直线平行），并能用几何语言清晰表达。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（1）1.掌握等腰三角形的性质定理，能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。 2.理解性质定理的证明方法（利用全等三角形），规范书写推理过程。能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的性质。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（2）1.掌握等腰三角形的判定定理，并能运用该定理进行几何证明和计算。 2.理解判定定理与性质的互逆关系。能运用定理证明线段相等或三角形为等腰三角形。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的判定定理。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（3）1.掌握等边三角形的性质和判定定理。 2.能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等边三角形的性质和判定。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（1）1.理解线段垂直平分线的定义，掌握其性质定理与逆定理的内容及符号表达。 2.能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，探究线段垂直平分线。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（2）1.掌握线段垂直平分线、过一点作已知直线垂线、已知底边及高线作等腰三角形、作角平分线的尺规作图方法，能规范书写作图步骤。 2.理解各作图方法的几何依据。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，动手操作。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。第4章 小结与评价1.系统回顾三角形的三边关系、内角和定理、外角性质及分类标准。 2.熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.掌握垂直平分线的性质与判定，并能结合尺规作图解决实际问题。1.能够熟练运用三角形的三边关系、内角和定理、外角性质解决问题。 2.能够熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.能够熟练运用垂直平分线的性质与判定解决问题任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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第4章 三角形
4.1 认识三角形（2）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算。
01
会根据角的大小对三角形进行分类。
02
认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。
03
02
新知导入
回顾
三角形的内角和是多少度？小学阶段是如何证明的？
三角形的内角和等于180°.
折叠
02
新知导入
在小学，通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作，得到三角形的内角和是180°.
剪拼
合作交流：你能运用初一所学的知识证明三角形的内角和是180°吗？
03
新知探究
探究一
三角形的内角和
证明：延长BC,在BC延长线上取点D,过点C作AB的平行线EF,即AB∥ EF.
∵AB∥ EF,
∴∠ABC=∠ECD，∠BAC=∠ACE.
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°,
∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°.
由此得到：
三角形的内角和等于180°.
03
新知探究
证明：过点A作BC的平行线AD,即AD∥ BC.
∵AD∥ BC,
∴∠ACB=∠CAD，∠BAD+ ∠ABC=180°.
∵∠BAC+∠CAD=∠BAD,
∴∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°.
思考
你还有其它方法证明三角形的内角和等于180°吗？
03
新知探究
证明：在BC上取点D，过点D作AB的平行线DE,过点D作AC的平行线DF.
∵AB∥ DE, AC∥ DF,
∴∠EDC=∠B，∠DEC=∠A, ∠DEC=∠EDF,∠BDF=∠C.
∴∠A=∠EDF.
∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°,
∴∠C+∠A+∠B=180°.
03
新知探究
在△ABC中，∠A的度数是∠B的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
例3
解：设∠B=x°，则∠A=(3x)°，∠C=(x+15)°，从而
3x+x+(x+15)=180，
解得x=33.
所以3x=99，x+15=48.
答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.
03
新知探究
探究二
三角形的分类
说一说
一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？
由于三角形的内角和等于180°，因此，一个三角形中最多有一个直角或一个钝角.
03
新知探究
三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角
形叫作钝角三角形，如图所示.
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
03
新知探究
直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如，直角三角形ABC可以记作
“Rt△ABC“.
在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边.
在图中，AC与BC都是直角边，AB是斜边.
特别地，两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.
03
新知探究
探究三
三角形的外角
如图，把△ABC的边BC延长，可得到∠ACD. 像这样，把三角形的一边与另一边的延长线所成的角叫作三角形的外角.
例如，图中的∠ACD就是△ABC的一个外角.
03
新知探究
思考
如图，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD与内角 ∠A，∠B之间有什么关系？
证明：∵∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACD=180°∠ACB，∠A+∠B=180°∠ACB.
于是∠ACD=∠A+∠B（等量代换）.
由此得到：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
03
新知探究
议一议
（1） 三角形的外角具有哪些特征？
（2） 三角形的一个外角与三角形三个内角之间有怎样的大小关系？
三角形外角的特征：
（1）三角形外角的顶点是三角形的顶点;
（2）外角的一边是与它相邻的内角的一边，另一边是与它相邻内角另一条边的反向延长线.
03
新知探究
1.三角形的每一个外角和与它相邻的内角互补.
2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
03
新知探究
如图，已知AD是△ABC的角平分线，∠ADB=98°，∠C=70°，求∠B的度数.
例4
解：∵∠ADB=∠C+∠CAD，
∴∠CAD=∠ADB∠C=98°70°=28°.
又∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=28°.
因此，∠B = 180°∠ADB∠BAD=54°.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.已知中，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
2.如图，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C等于（ ）
A．100° B．80° C．60° D．40°
B
B
04
课堂练习
3.某建筑工具是如图所示的人字架，若该人字架中的，则比大（ ）．
A．
B．
C．
D．
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.已知在中，，，则是 （“锐角或直角或钝角”）三角形．
5.中，，那么与相邻的一个外角等于
．
6.如图，将一副三角板叠放在一起，则图中∠α的度数是 度．
锐角
117°
105
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，在中，于D，平分，与交于点F，求．
解：∵，，∴，
∵平分，
∴，
∵于D，
∴，
∴．
05
课堂小结
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.如图，是某机械加工厂加工的一种零件示意图，其中∥ ，，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
B
06
作业布置
【知识技能类作业】
2.在△ABC中，，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．无法确定
B
06
作业布置
【知识技能类作业】
3.如图，中，与的角平分线交于点，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
D
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为"三倍角三角形"。例如，三个内角分别为的三角形是"三倍角三角形"
（1）中，是"三倍角三角形"吗？为什么？
（2）若是"三倍角三角形"，且，求中最小内角的度数.
06
作业布置
（1）解：△ABC是“三倍角三角形”，理由如下：
∵∠A=35°，∠B=40°，
∴∠C=，
∴△ABC是“三倍角三角形”；
（2）解：∵∠B=60°，
∴∠A+∠C=120°，
设最小的角为，
①当60°=时，=20°，
②当时，=30°，
答：△ABC中最小内角为20°或30°.
07
板书设计
三角形的内角和：
三角形的分类：
三角形的外角：
4.1 认识三角形（2）
习题讲解书写部分
Thanks!
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分课时教学设计
第二课时《4.1 认识三角形》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《三角形的内角和与外角》是湘教版八年级上册第4章《三角形》的第一节第二课时的内容。本节课内容属于初中几何核心知识体系，位于“相交线与平行线”之后、“全等三角形”之前，是几何推理由实验走向论证的关键节点。教材先通过剪纸拼图、度量计算等探究活动让学生直观感知“内角和为180°”，再利用平行线性质给出逻辑证明，最后自然过渡到外角定理及其两个推论，为后续学习多边形的角、相似与圆作铺垫。整节内容呈“实验—猜想—证明—应用”的螺旋上升结构，既承载知识目标，又肩负“从感性到理性”的思维训练使命。
学习者分析 学生在小学已通过测量得知三角形内角和为180°，但85%的学生仅停留在实验认知层面，缺乏严格证明意识；对外角概念的理解存在两极分化，约40%的学生会混淆外角与邻补角，尤其在复杂图形中识别外角错误率达60%；能初步应用定理求简单角度，但对"一题多解"的思维灵活性不足，需通过变式训练提升几何推理能力。
教学目标 1.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。 4.感受从直观到严谨的数学美，树立“实验只能提供猜想，证明才能确认真理”的科学态度，培养勇于质疑、乐于合作的探究精神。
教学重点 三角形内角和定理与外角定理的证明及应用。
教学难点 内角和定理的多种证明方法，以及外角性质与内角和定理的关联性理解。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习回顾教师活动1： 回顾：三角形的内角和是多少度？小学阶段是如何证明的？ 教师讲授：三角形的内角和等于180°. 在小学，通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作，得到三角形的内角和是180°.学生活动1： 快问快答，举手回答问题 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知教师活动2： 探究一：三角形内角和定理 教材第90页 【合作交流】你能运用初一所学的知识证明三角形的内角和是180°吗？与同学交流你的想法. 证明：延长BC，在BC延长线上取点D，过点C作AB的平行线EF，即AB∥ EF. ∵AB∥ EF， ∴∠ABC=∠ECD，∠BAC=∠ACE. ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°， ∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°. 由此得到： 三角形的内角和等于180°. 【归纳】三角形内角和定理：三角形的内角和等于_________. 教师提问：你还有其它方法证明三角形的内角和等于180°吗？ 证明2：过点A作BC的平行线AD，即AD∥ BC. ∵AD∥ BC， ∴∠ACB=∠CAD，∠BAD+ ∠ABC=180°. ∵∠BAC+∠CAD=∠BAD， ∴∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°. 证明3：在BC上取点D，过点D作AB的平行线DE，过点D作AC的平行线DF. ∵AB∥ DE， AC∥ DF， ∴∠EDC=∠B，∠DEC=∠A，∠DEC=∠EDF，∠BDF=∠C. ∴∠A=∠EDF. ∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°， ∴∠C+∠A+∠B=180°. 例3在△ABC中，∠A的度数是∠B的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解：设∠B=x°，则∠A=(3x)°，∠C=(x+15)°，从而 3x+x+(x+15)=180， 解得x=33. 所以3x=99，x+15=48. 答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°. 探究二：三角形的分类 【说一说】一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？ 教师讲授：由于三角形的内角和等于180°，因此，一个三角形中最多有一个直角或一个钝角. 填空：三个角都是锐角的三角形叫作_______三角形，有一个角是直角的三角形叫作______三角形，有一个角是钝角的三角形叫作_________三角形. 直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如，直角三角形ABC可以记作“____________”. 在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边. 在图中，______________________都是直角边，_________是斜边. 特别地，两条直角边相等的直角三角形叫作___________三角形. 探究三：三角形的外角 【定义】如图，把△ABC的边BC延长，可得到∠ACD. 像这样，把三角形的一边与另一边的延长线所成的角叫作三角形的外角. 【思考】如图，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD与内角 ∠A，∠B之间有什么关系？ 证明：∵∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴∠ACD=180°∠ACB，∠A+∠B=180°∠ACB. 于是∠ACD=∠A+∠B（等量代换）. 由此得到： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 【归纳】三角形的外角与内角的关系： 三角形的一个外角等于___________________________. 【议一议】（1） 三角形的外角具有哪些特征？ （2） 三角形的一个外角与三角形三个内角之间有怎样的大小关系？ 三角形外角的特征： （1）三角形外角的顶点是三角形的顶点; （2）外角的一边是与它相邻的内角的一边，另一边是与它相邻内角另一条边的反向延长线. 大小关系： 1.三角形的每一个外角和与它相邻的内角互补. 2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.学生活动2： 认真思考，合作交流 认真听讲 认真听讲，理解三角形内角和定理 举手回答问题 认真听讲 认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 认真思考，举手回答问题 填空，运用已有知识解决问题 了解直角三角形的表示 认真听讲 认真听讲，了解什么是三角形的外角 认真思考，证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 认真听讲 合作交流 认真听讲，了解三角形外角的特征 认真听讲，了解三角形的外角与内角的大小关系活动意图说明：学生通过合作探究不仅促进了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，能促进学生的全面发展。环节三：例题精讲教师活动3： 例4如图，已知AD是△ABC的角平分线，∠ADB=98°，∠C=70°，求∠B的度数. 解：∵∠ADB=∠C+∠CAD， ∴∠CAD=∠ADB∠C=98°70°=28°. 又∠BAD=∠CAD， ∴∠BAD=28°. 因此，∠B = 180°∠ADB∠BAD=54°.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知中，，则是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 2.如图，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C等于（ ） A．100° B．80° C．60° D．40° 3.某建筑工具是如图所示的人字架，若该人字架中的，则比大（ ）． A． B． C． D． 选做题： 已知在中，，，则是 （“锐角或直角或钝角”）三角形． 5.中，，那么与相邻的一个外角等于 ． 6.如图，将一副三角板叠放在一起，则图中∠α的度数是 度． 【综合拓展类作业】 7.如图，在中，于D，平分，与交于点F，求．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，是某机械加工厂加工的一种零件示意图，其中，，则等于（ ） A． B． C． D． 2.在△ABC中，，则△ABC是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 3.如图，中，与的角平分线交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 4.在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为"三倍角三角形"。例如，三个内角分别为的三角形是"三倍角三角形" （1）中，是"三倍角三角形"吗？为什么？ （2）若是"三倍角三角形"，且，求中最小内角的度数.
教学反思 课后发现，学生能熟练背诵定理，但在证明题中仍“凭感觉”画辅助线，说明对“为什么要过顶点作平行线”缺乏本质理解；后续可增加“无图证明”与“错误辅助线辨析”活动，迫使学生回到条件—目标链进行逻辑反思。此外，外角应用题中，学生常忽视“不相邻”这一关键词，提示我在今后的练习设计中要刻意设置“陷阱”，让学生通过错例辨析深化概念。
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第4章 三角形
4.1 认识三角形（2）
学习目标与重难点
学习目标：
1.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算。
2.会根据角的大小对三角形进行分类。
3.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。
学习重点：
三角形内角和定理与外角定理的证明及应用。
学习难点：
内角和定理的多种证明方法，以及外角性质与内角和定理的关联性理解。
学习过程
一、复习回顾
回顾：三角形的内角和是多少度？小学阶段是如何证明的？
二、探究概念
探究一：三角形内角和定理
教材第90页
【合作交流】你能运用初一所学的知识证明三角形的内角和是180°吗？与同学交流你的想法.
【归纳】三角形内角和定理：三角形的内角和等于_________.
例3在△ABC中，∠A的度数是∠B的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
探究二：三角形的分类
【说一说】一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？
填空：三个角都是锐角的三角形叫作_______三角形，有一个角是直角的三角形叫作______三角形，有一个角是钝角的三角形叫作_________三角形.
直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如，直角三角形ABC可以记作“____________”.
在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边.
在图中，______________________都是直角边，_________是斜边.
特别地，两条直角边相等的直角三角形叫作___________三角形.
探究三：三角形的外角
【定义】如图，把△ABC的边BC延长，可得到∠ACD. 像这样，把三角形的一边与另一边的延长线所成的角叫作三角形的外角.
【思考】如图，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD与内角 ∠A，∠B之间有什么关系？
【归纳】三角形的外角与内角的关系：三角形的一个外角等于____________________________.
【议一议】（1） 三角形的外角具有哪些特征？
（2） 三角形的一个外角与三角形三个内角之间有怎样的大小关系？
三、巩固应用
例4如图，已知AD是△ABC的角平分线，∠ADB=98°，∠C=70°，求∠B的度数.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.已知中，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
2.如图，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C等于（ ）
A．100° B．80° C．60° D．40°
3.某建筑工具是如图所示的人字架，若该人字架中的，则比大（ ）．
A． B． C． D．
选做题
4.已知在中，，，则是 （“锐角或直角或钝角”）三角形．
5.中，，那么与相邻的一个外角等于 ．
6.如图，将一副三角板叠放在一起，则图中∠α的度数是 度．
【综合拓展类作业】
7.如图，在中，于D，平分，与交于点F，求．
五、课堂小结
这节课你收获了什么
六、作业布置
1.如图，是某机械加工厂加工的一种零件示意图，其中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2.在△ABC中，，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
3.如图，中，与的角平分线交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
4.在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为"三倍角三角形"。例如，三个内角分别为的三角形是"三倍角三角形"
（1）中，是"三倍角三角形"吗？为什么？
（2）若是"三倍角三角形"，且，求中最小内角的度数.
答案解析
课堂练习：
1.【答案】B
【解析】解：∵在中，，
∴，
∴一定是直角三角形．
故答案为：B．
2.【答案】B
【解析】解：∵ △ABC中，∠A=60°，∠B=40°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=80°，
故答案为：B．
3.【答案】C
【解析】解：如图，
∵，，
，
∵是的外角，
∴，
∴．
故答案为：C．
4.【答案】锐角．
【解析】解：，，
，
即最大角的度数，
是锐角三角形，
故答案为：锐角．
5.【答案】117°．
【解析】解：的外角=.
故答案为：117°
6.【答案】105．
【解析】解：如图所示，
∵∠C＝60°，∠1＝45°，
∴∠2＝90° ∠1＝45°，
∴∠α＝∠C＋∠2＝60°＋45°＝105°．
故答案为：105．
7.【答案】解：∵，，∴，
∵平分，
∴，
∵于D，
∴，
∴．
作业布置：
1.【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴
故答案为：B．
2.【答案】B
【解析】解：∵∠A=∠B=∠C，
∴∠B=3∠A，∠C=5∠A，
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+3∠A+5∠A=180°，解得：∠A=20°，
∴∠C=5∠A=100°.
∴△ABC是钝角三角形.
故答案为：B.
3.【答案】D
【解析】解：如图所示：
∵中，，
∴，
∵、分别为及的平分线，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：D．
4．【答案】（1）解：△ABC是“三倍角三角形”，理由如下：
∵∠A=35°，∠B=40°，
∴∠C=，
∴△ABC是“三倍角三角形”；
（2）解：∵∠B=60°，
∴∠A+∠C=120°，
设最小的角为，
①当60°=时，=20°，
②当时，=30°，
答：△ABC中最小内角为20°或30°.
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