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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第4章
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性. 2.探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 4.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角. 5.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 6.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 7.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等. 8.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 9.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 10.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 11.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 12.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 13.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形. 14.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. 15.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 16.知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式. 17.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误. 18.通过实例体会反证法的含义. 19.能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；过直线外一点作这条直线的平行线；作一条线段的垂直平分线；作已知角的平分线.
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第3章《三角形》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“三角形”和“定义、命题、定理”。本章内容以三角形为核心，系统整合其定义、性质、分类及全等判定等知识，既承接平行线与相交线的基础，又为后续直角三角形、四边形等内容奠定方法论框架。教材通过“观察—操作—归纳”路径展开教学，如用小棒摆三角形、拼内角验证内角和定理，强化几何直观；同时注重逻辑推理渗透，例如通过三角形内角和定理推导外角性质，引导学生从特殊到一般归纳结论。此外，单元融入等腰三角形、等边三角形等特殊三角形研究，形成“一般—特殊”的认知结构，并通过全等三角形的判定（SSS、SAS等）培养演绎推理能力，体现“几何研究大观念”的单元整体设计理念。
学情分析 八年级学生已具备平行线、角度等几何基础，能初步运用逻辑推理解决简单问题，但对抽象概念的理解仍需直观支持。例如，在三角形三边关系中，学生易混淆“较短两边之和大于第三边”与“任意两边之和大于第三边”，需通过操作实验突破认知障碍；在全等三角形判定中，学生可能因忽视对应关系导致证明错误，需通过对比练习强化条件匹配意识。此外，学生合作探究能力较强，但独立思考与创新表达较弱，需通过角色扮演、开放性问题激发思维活力。
单元目标 （一）教学目标 1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形，知道等腰三角形、等边三角形的概念. 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形. 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形. 4.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算. 5.会根据角的大小对三角形进行分类. 6.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关 计算. 7.初步认识定义、命题、互逆命题、公理、定理、互逆定理的概念. 8.能分清命题的条件和结论，会把命题写成“如果……，那么……”的形式. 9.会判断命题的真假，会用举反例的方法说明一个命题是假命题. 10.会识别两个命题是不是互逆命题，会写出一个简单命题的逆命题. 11.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明. 12.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角. 13.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题. 14.掌握判定两个三角形全等的四个判定定理，并能熟练地判定两个三角形全等. 15.在探索三角形全等的条件及其运用过程中，培养实践能力和逻辑思维能力. 16.知道尺规作图的概念，对尺规作图题会写已知、求作和作法. 17.会用尺规作一个角等于已知角，过直线外一点作这条直线的平行线. 18.在分别给出三边、两边及其夹角、两角及其夹边的条件下，会用尺规作三角形. 19.会利用尺规作图留下的痕迹分析作图类型并能利用相关知识解决问题. 20.掌握等腰三角形、等边三角形的性质，能利用等腰三角形、等边三角形的性质进行计算与证明. 21.掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理，能利用等腰三角形、等边三角形的判定定理证明一个三角形是等腰三角形或等边三角形. 22.尝试说理，进一步发展有条理的思考和表达能力，提高演绎推理能力. 23.认识线段的垂直平分线，会利用线段垂直平分线的性质进行相等线段的转化. 24.能运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决问题. 25.会用尺规作一条线段的垂直平分线以及过一点作已知直线的垂线. 26.已知底边及底边上的高线会用尺规作等腰三角形. 27.会用尺规作已知角的平分线. （二）教学重点、难点 重点 1.三角形边角关系与内角和定理的系统掌握. 2.全等三角形的性质及三种基本判定方法的灵活运用. 3.等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的本质理解. 4.定义、命题、证明的逻辑结构与书写规范. 难点 1.从实验验证上升到演绎证明的思维转换. 2.在复杂图形中准确找出全等三角形的对应元素并选择恰当判定. 3.将等腰三角形性质迁移到多步证明与实际问题. 4.对命题条件、结论及逆命题的辨析与反例构造.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1认识三角形24.2命题与证明34.3全等三角形54.4尺规作图24.5等腰三角形34.6线段的垂直平分线2第3章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1 认识三角形（1）1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形.知道等腰三角形、等边三角形的概念。 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形。 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形。1.能判断三条线段能否构成三角形。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.能准确地表示出三角形的高、角平分线、中线或画出相关图形。任务一：情境导入，观察图形。 任务二：探究新知，认识三角形及三角形有关的概念。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.1 认识三角形（2）1.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。1.会应用三角形的内角和定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。任务一：动手操作，回顾旧知。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，应用三角形的外角及内角和进行相关计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.2.1 定义，命题1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。 2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。能正确计算及含系数的乘法。任务一：复习导入，回顾积的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，观察猜想. 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.2 证明，举反例1.理解反例的作用，学会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明。1.会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.会进行一些简单命题的证明。任务一：认真思考，初步感知举反例。 任务二：探究新知，探究举反例和证明. 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.3 定理，推论1.理解定理与推论的概念，掌握定理的证明方法，能运用已知定理推导简单推论。 2.初步认识定理、互逆定理的概念。能运用已知定理推导简单推论。任务一：复习导入，回顾已学定理。 任务二：探究新知，探究定理和推论。 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.3.1 认识全等三角形1.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。1.会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。任务一：认真观察，提出猜想。 任务二：探究新知，全等三角形的性质。 任务三：例题精讲，进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）1.理解“边角边”（SAS）判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和夹角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真观察，进行判断。 任务二：探究新知，掌握边角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边）1.理解“角边角、角角边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用ASA、AAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握角边角、角角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.4 全等三角形的判定定理（边边边）1.理解“边边边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SSS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握边边边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.5 全等三角形的应用1.理解全等三角形在测量、设计、证明等实际问题中的应用价值。 2.能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，构建全等三角形模型。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（1）1.掌握尺规作图的基本方法，能正确作出“已知三边的三角形”“一个角等于已知角”“已知两边及其夹角的三角形”。 2.理解三种作图方法的理论依据（SSS、SAS全等判定及角复制原理），并能用几何语言清晰表达步骤。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（2）1.能规范使用直尺和圆规完成“已知两角及其夹边作三角形”与“过直线外一点作平行线”任务，掌握关键步骤。 2.理解两种作图方法的理论依据（AAS全等判定、同位角相等两直线平行），并能用几何语言清晰表达。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（1）1.掌握等腰三角形的性质定理，能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。 2.理解性质定理的证明方法（利用全等三角形），规范书写推理过程。能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的性质。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（2）1.掌握等腰三角形的判定定理，并能运用该定理进行几何证明和计算。 2.理解判定定理与性质的互逆关系。能运用定理证明线段相等或三角形为等腰三角形。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的判定定理。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（3）1.掌握等边三角形的性质和判定定理。 2.能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等边三角形的性质和判定。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（1）1.理解线段垂直平分线的定义，掌握其性质定理与逆定理的内容及符号表达。 2.能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，探究线段垂直平分线。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（2）1.掌握线段垂直平分线、过一点作已知直线垂线、已知底边及高线作等腰三角形、作角平分线的尺规作图方法，能规范书写作图步骤。 2.理解各作图方法的几何依据。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，动手操作。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。第4章 小结与评价1.系统回顾三角形的三边关系、内角和定理、外角性质及分类标准。 2.熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.掌握垂直平分线的性质与判定，并能结合尺规作图解决实际问题。1.能够熟练运用三角形的三边关系、内角和定理、外角性质解决问题。 2.能够熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.能够熟练运用垂直平分线的性质与判定解决问题任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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第4章 三角形
4.2.1 定义，命题
学习目标与重难点
学习目标：
1.初步认识定义、命题、互逆命题的概念。
2.能分清命题的条件和结论，会把命题写成“如果……，那么……”的形式。
3.会判断命题的真假，会判断命题真假。
4.会识别两个命题是不是互逆命题，会写出一个简单命题的逆命题。
学习重点：
理解定义与命题的本质，掌握命题的结构与真假判断方法。
学习难点：
把日常或几何语句准确改写成“如果p，那么q”的形式，并用恰当反例说明假命题。
学习过程
一、复习回顾
问题1：这是一个什么图形？
问题2：为什么说它是三角形？你是怎么判断一个图形是不是三角形的？
二、新知探究
探究一：定义
教材第95页
定义：对一个概念的含义加以描述说明，或者作出明确规定的语句，叫作这个概念的定义.
小试牛刀 在下列空格上填写适当的概念：
(1)一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式____________，也称为分解因式.
(2)设 f 和 g 都是整式，其中g不为0. 我们把f 除以 g 的结果记作 ，称是____________.
(3)一般地，形如的式子叫作____________.
探究二：命题
【思考】判断下列陈述句是否正确：
1.1是自然数；
2.对顶角相等；
3.内错角相等，两直线平行；
4.若一个数是一个无限小数，则把这个数叫作无理数.
思考：上述这些语句有什么特征？
命题：叙述一件事情的句子（陈述句）要么是真的，要么是假的，两者必居其一，我们称这个陈述句是一个命题.
如果一个命题叙述的事情是真的，就说它是真命题；
如果一个命题叙述的事情是假的，就说它是假命题.
小试牛刀 下列语句中不是命题的有( )
（1）两点之间，直线最短；（2）作∠A的平分线；（3）连接A，B两点；（4）在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线；（5）无论n为怎样的自然数，式子的值都是质数吗？
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【说一说】请结合已学数学知识，说出一些命题.
探究三：命题的组成
下列命题的表述形式有什么特点？
（1）如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；
（2）如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形中有一个角是直角.
对于“___________________________”形式的命题，通常把“__________”引出的部分称为条件，把“__________”引出的部分称为结论.
小试牛刀 指出下列命题的条件和结论.
（1）如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；
（2）如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形中有一个角是直角.
探究三：原命题、逆命题、互逆命题
（1）如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；
（2）如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形中有一个角是直角.
这两个命题有什么样的位置关系？是真命题还是假命题？
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为__________，其中一个叫作__________，另一个叫作它的__________.
三、例题精讲
例1下面两个命题是互逆命题吗？
(1) 如果 a 是整数， 那么 a 是有理数；
(2) 如果 a 是有理数，那么 a 是整数.
它们是真命题吗？
【做一做】
指出下列命题的条件和结论，并将其改写成“如果……，那么……”的形式.
（1）能被 2 整除的数是偶数；
（2）平行于同一条直线的两条直线平行.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.下列语句中不是命题的是（ ）
A．两点之间线段最短 B．连结AB
C．锐角都相等 D．两条直线不是相交就是平行
2.下列命题中是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．有理数和数轴上的点是一一对应的
3.下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．对顶角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角都是，那么这两个角相等
选做题
4.命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是 ，结论是 ，它是一个 （填“真”或“假”）命题．
5.写出命题“若，则”的逆命题： ．
6.可以用一个m的值说明命题“如果m能被2整除，那么它也能被4整除”是假命题，这个值可以是m＝ ．
【综合拓展类作业】
7.说出下列数学名词的定义：
（1） 无理数；
（2） 直角三角形；
（3） 角平分线；
（4） 平方根。
五、课堂小结
这节课你收获了什么？
六、作业布置
1.下列命题中：垂线段最短；相等的角是对顶角；如果两个角是同位角，那么这两个角相等；过一点有且只有一条直线与已知直线平行；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2.交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是( )
A．两直线平行，同位角相等 B．相等的角是对顶角
C．所有的直角都是相等的 D．若，则
3.用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为 个，请同学们写出一个真命题________
__________________________________________________．
4.写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题.
（1）若则.
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
（3）若，则.
答案解析
课堂练习：
1.【答案】B
【解析】A、在对一件事情做出判定，是命题，
∴此选项不符合题意；
B、因为这是一个陈述句，但是没有对一件事情做出判定，所以不是命题，
∴此选项符合题意；
C、在对一件事情做出判定，是命题，
∴此选项不符合题意；
D、在对一件事情做出判定，是命题，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B.
2.【答案】C
【解析】解：A、平行线的基本事实是“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。若这个点在已知直线上，无法作出与该直线平行的直线（因为平行直线需永不相交，点在直线上时作的直线会与已知直线相交 ）。所以A选项因缺少“直线外”这个关键条件，是假命题，A错误；
B、“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”这一结论成立的前提是“两条直线平行”。只有两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才会相等；若两条直线不平行，被第三条直线所截得到的内错角不相等。由于B选项未提及“平行”条件，所以是假命题.B错误；
C、从直线外一点向直线作线段，会得到无数条连接该点与直线上各点的线段。在这些线段中，垂线段的长度是该点到直线的距离，根据几何中“距离是点到直线的最短长度”这一特性，垂线段最短。所以C选项符合垂线段的性质，是真命题，C正确；
D、数轴上的点不仅可以表示有理数，还能表示无理数（如对应的点 ），实际上是“实数和数轴上的点一一对应”，有理数只是实数的一部分，不能涵盖数轴上所有点。因此D选项是假命题，D错误.
故答案为：C．
3.【答案】C
【解析】解：A．相等的角不一定相等，A不符合题意
B．绝对值相等的两个数可能互为相反数，B不符合题意
C．同位角相等，两直线平行，C符合题意
D．那么这相等的两个角不一定相等是，D不符合题意
故答案为：C．
4.【答案】两个数的绝对值相等；这两个数互为相反数；假
5.【答案】若，则
6.【答案】14（答案不唯一）
【解析】解：可以用一个m的值说明命题“如果m能被2整除，那么它也能被4整除”是假命题，这个值可以是m＝14，
故答案为：14（答案不唯一）．
7.【答案】（1）解：无限不循环小数叫做无理数.
（2）解：有一个角为直角(90°)的三角形为直角三角形.
（3）解： 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
（4）解：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做数a的平方根.
作业布置：
1.【答案】B
【解析】解：垂线段最短，故是真命题；
对顶角的定义：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角。对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故是假命题；
只有两直线平行，同位角才相等，故是假命题；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故是假命题；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故是真命题，
∴真命题有个，分别是
故答案为：B
2.【答案】C
【解析】解：A、新命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；
B、新命题是对顶角相等，是真命题；
C、新命题是所有的相等的角都是直角，是假命题；
D、新命题是若a-3=b-3，则a=b，是真命题；
故答案为：C.
3.【答案】3；如果，，那么或如果，，那么或如果，，那么
【解析】解：当选取，作为条件，为结论时，
∵，，
∴，即，
∴此时命题是真命题；
当选取，作为条件，为结论时，
∵，
∴当时，则，即，符合题意；
当时，则，即，不符合题意；
∴此时命题是真命题；
当选取，作为条件为结论时，
∵，，
∴，即，
∴此时命题是真命题；
综上所述，可以组成真命题的个数为3个，命题为：如果，，那么；如果，，那么；如果，，那么．
故答案为：3；如果，，那么或如果，，那么或如果，，那么．
4．【答案】（1）解：若，则逆命题是假命题
（2）解：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．逆命题是真命题．
（3）解：若，则．逆命题是真命题
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分课时教学设计
第一课时《4.2.1 定义，命题》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《定义，命题》是湘教版八年级上册第4章《三角形》的第二节第一课时的内容。本节课内容是初中几何逻辑体系的起点，承接七年级对几何图形的基本认知，为后续定理证明、公理体系构建奠定基础。教材先以“三角形”“因式分解”等熟悉概念为例，引导学生体会“定义”是把对象本质属性高度浓缩的命名工具；再通过大量生活语句与数学语句对比，抽象出“命题=条件+结论”的结构，为后续学习定理、证明书写奠定语言基础。
学习者分析 八年级学生已具备平行线、三角形等基础知识，能进行简单推理，但日常表达随意，常把“定义”与“性质”混为一谈；对命题的“真假”判断仍停留在举例验证层面，缺乏系统意识。部分学生受语文学科影响，把命题简单理解为“陈述句”，忽视其条件—结论结构，导致后续写已知、求证时丢三落四。课堂需提供丰富反例、变式与讨论空间，帮助他们在“说数学”中完成语言转换。
教学目标 1.初步认识定义、命题、互逆命题的概念。 2.能分清命题的条件和结论，会把命题写成“如果……，那么……”的形式。 3.会判断命题的真假，会判断命题真假。 4.会识别两个命题是不是互逆命题，会写出一个简单命题的逆命题。 5.感受数学语言的简洁与严谨，树立“先明确定义再讨论命题”的科学态度，培养敢于质疑、乐于合作的学习品质。
教学重点 理解定义与命题的本质，掌握命题的结构与真假判断方法。
教学难点 把日常或几何语句准确改写成“如果p，那么q”的形式，并用恰当反例说明假命题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 问题1：这是一个什么图形？ 问题2：为什么说它是三角形？你是怎么判断一个图形是不是三角形的？学生活动1： 认真思考，举手回答问题活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究概念教师活动2： 探究一：定义 定义：对一个概念的含义加以描述说明，或者作出明确规定的语句，叫作这个概念的定义. 小试牛刀 在下列空格上填写适当的概念： (1)一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式____________，也称为分解因式. (2)设 f 和 g 都是整式，其中g不为0. 我们把f 除以 g 的结果记作 ，称是____________. (3)一般地，形如的式子叫作____________. 探究二：命题 【思考】判断下列陈述句是否正确： 1.1是自然数； 2.对顶角相等； 3.内错角相等，两直线平行；
4.若一个数是一个无限小数，则把这个数叫作无理数. 思考：上述这些语句有什么特征？ 教师讲授：都是在对一件事进行判断. 命题：叙述一件事情的句子（陈述句）要么是真的，要么是假的，两者必居其一，我们称这个陈述句是一个命题. 如果一个命题叙述的事情是真的，就说它是真命题； 如果一个命题叙述的事情是假的，就说它是假命题. 小试牛刀 下列语句中不是命题的有( ) （1）两点之间，直线最短；（2）作∠A的平分线；（3）连接A，B两点；（4）在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线；（5）无论n为怎样的自然数，式子的值都是质数吗？ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 判断命题的方法 判断一个语句是不是命题，一看是不是陈述句，如果不是陈述句，而是疑问句、祈使句、感叹句等，那么不是命题.二要体会是否对某件事情作出了肯定或否定的判断，一般描述性的语句不是命题. 【说一说】请结合已学数学知识，说出一些命题. 探究三：命题的组成 下列命题的表述形式有什么特点？ （1）如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形； （2）如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形中有一个角是直角. 教师讲授：命题的表述形式都是“如果……，那么……“ 对于“如果……，那么……”形式的命题， 通常把“如果”引出的部分称为条件，把“那么”引出的部分称为结论. 有时为了叙述简便，对于“如果……，那么……”“若……，则……”形式的命题也可以省略关联词“如果（若）”“那么（则）”. 小试牛刀 指出下列命题的条件和结论. （1）如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形； （2）如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形中有一个角是直角. 探究三：原命题、逆命题、互逆命题 （1）如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形； （2）如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形中有一个角是直角. 这两个命题有什么样的位置关系？是真命题还是假命题？ 教师讲授： 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题. 命题（1）和命题（2）就是互逆命题. 若把命题（1）称为原命题，则命题（2）是它的逆命题.学生活动2： 认真听讲，了解什么是定义 独立完成习题 根据已学知识进行判断 认真听讲 认真思考，举手回答问题 认真听讲，了解什么是命题 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 学生举例 认真观察，举手回答问题 认真听讲 认真思考，举手回答问题 认真观察，举手回答问题 认真听讲活动意图说明：引导学生体会“定义”是把对象本质属性高度浓缩的命名工具；再通过大量生活语句与数学语句对比，抽象出“命题=条件+结论”的结构，为后续学习定理、证明书写奠定语言基础。环节三：探究性质教师活动3： 例1下面两个命题是互逆命题吗？ (1) 如果 a 是整数， 那么 a 是有理数； (2) 如果 a 是有理数，那么 a 是整数. 解：命题 (1) 的条件是“ a 是整数”，结论是 “a是有理数”. 命题 (2) 的条件是“a是有理数”，结论是“a是整数”. 由于命题 (1) 的条件和结论分别是命题 (2) 的结论和条件，于是，命题 (1) 与命题 (2) 是互逆命题. 教师提问：它们是真命题吗？ 解：由于整数是有理数，于是命题（1）是真命题 . 又0.1是有理数，但0.1不是整数，于是命题（2）是假命题. 教师讲授：当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题. 【做一做】 指出下列命题的条件和结论，并将其改写成“如果……，那么……”的形式. （1）能被 2 整除的数是偶数； （2）平行于同一条直线的两条直线平行. 解：(1) 如果一个数能被 2 整除，那么这个数就是偶数. (2) 如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 这节课你收获了什么？ 1.定义 对一个概念的含义加以描述说明，或者作出明确规定的语句，叫作这个概念的定义. 2.命题 叙述一件事情的句子（陈述句）要么是真的，要么是假的，两者必居其一，我们称这个陈述句是一个命题. 3.命题组成 4.原命题、逆命题、互逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列语句中不是命题的是（ ） A．两点之间线段最短 B．连结AB C．锐角都相等 D．两条直线不是相交就是平行 2.下列命题中是真命题的是（ ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．有理数和数轴上的点是一一对应的 3.下列各命题的逆命题成立的是（ ） A．对顶角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是，那么这两个角相等 选做题： 4.命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是 ，结论是 ，它是一个 （填“真”或“假”）命题． 5.写出命题“若，则”的逆命题： ． 6.可以用一个m的值说明命题“如果m能被2整除，那么它也能被4整除”是假命题，这个值可以是m＝ ． 【综合拓展类作业】 7.说出下列数学名词的定义： （1） 无理数； （2） 直角三角形； （3） 角平分线； （4） 平方根。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列命题中：垂线段最短；相等的角是对顶角；如果两个角是同位角，那么这两个角相等；过一点有且只有一条直线与已知直线平行；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 2.交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是( ) A．两直线平行，同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．所有的直角都是相等的 D．若，则 3.用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为 个，请同学们写出一个真命题_____________________________________________________． 【综合拓展类作业】 4.写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题. （1）若则. （2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. （3）若，则.
教学反思 本节课需改进之处在于：其一，小组合作学习中，部分学生参与度不均衡，需加强任务分工的明确性（如指定记录员、汇报员）；其二，对隐含条件命题的剖析不够深入，可增加“命题条件补全”练习（如补充“等角对等边”的条件“在同一三角形内”）；其三，课堂时间分配需优化，可将“公理与定理”的对比分析调整为课后拓展任务，为命题改写与真假判断预留更多练习时间。此外，可拓展生活应用场景（如分析广告语“所有学生都爱学习”的真假），进一步凸显数学逻辑的现实价值。
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第4章 三角形
4.2.1 定义，命题
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
初步认识定义、命题、互逆命题的概念。
01
能分清命题的条件和结论，会把命题写成“如果……，那么……”的形式。
02
会判断命题的真假，会判断命题真假，会识别两个命题是不是互逆命题，会写出一个简单命题的逆命题。
03
02
新知导入
问题1：这是一个什么图形？
三角形
问题2：为什么说它是三角形？你是怎么判断一个图形是不是三角形的？
三条边
三个角
不在同一直线上
首尾相接
关键特征
03
新知探究
探究一
定义
对一个概念的含义加以描述说明，或者作出明确规定的语句，叫作这个概念的定义.
三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.
03
新知探究
在下列空格上填写适当的概念：
(1)一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式____________，也称为分解因式.
(2)设 f 和 g 都是整式，其中g不为0. 我们把f 除以 g 的结果记作 ，称是____________.
(3)一般地，形如的式子叫作____________.
因式分解
分式
二次根式
03
新知探究
探究二
命题
判断下列陈述句是否正确：
1. 1是自然数；
2. 对顶角相等；
3. 内错角相等，两直线平行；
4.若一个数是一个无限小数，则把这个数叫作无理数.
不正确
正确
正确
不正确
思考：上述这些语句有什么特征
都是在对一件事进行判断.
03
新知探究
叙述一件事情的句子（陈述句）要么是真的，要么是假的，两者必居其一，我们称这个陈述句是一个命题.
如果一个命题叙述的事情是真的，就说它是真命题；
如果一个命题叙述的事情是假的，就说它是假命题.
注意：可以判断真假的陈述句一定是命题.
03
新知探究
下列语句中不是命题的有( )
（1）两点之间，直线最短；（2）作∠A的平分线；（3）连接A，B两点；（4）在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线；（5）无论n为怎样的自然数，式子的值都是质数吗？
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B
03
新知探究
判断命题的方法
判断一个语句是不是命题，一看是不是陈述句，如果不是陈述句，而是疑问句、祈使句、感叹句等，那么不是命题.二要体会是否对某件事整情作出了肯定或否定的判断，一般描述性的语句不是命题.
03
新知探究
说一说
请结合已学数学知识，说出一些命题.
如果 |a|＝3，那么a=±3.
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
03
新知探究
议一议
下列命题的表述形式有什么特点？
（1）如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；
（2）如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形中有一个角是直角.
命题的表述形式都是“如果……，那么……“
03
新知探究
对于“如果……，那么……”形式的命题， 通常把“如果”引出的部分称为条件，把“那么”引出的部分称为结论.
命题
条件
结论
推断
已知事项
由已知事项推断出的事项
03
新知探究
有时为了叙述简便，对于“如果……，那么……”“若……，则……”形式的命题也可以省略关联词“如果（若）”“那么（则）”.
例“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以简单叙述成“对顶角相等”.
03
新知探究
解：(1) 条件：一个三角形中有一个角是直角.
结论：这个三角形是直角三角形.
(2) 条件：一个三角形是直角三角形.
结论：这个三角形中有一个角是直角.
指出下列命题的条件和结论.
（1）如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；
（2）如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形中有一个角是直角.
03
新知探究
观察
（1）如果一个三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；
（2）如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形中有一个角是直角.
这两个命题有什么样的位置关系？是真命题还是假命题？
命题（1）与命题（2）的条件与结论互换了位置，即命题（1）的条
件和结论分别是命题（2）的结论和条件.两个都是真命题.
03
新知探究
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题.
命题（1）和命题（2）就是互逆命题. 若把命题（1）称为原命题，则命题（2）是它的逆命题.
03
新知探究
下面两个命题是互逆命题吗？
(1) 如果 a 是整数， 那么 a 是有理数；
(2) 如果 a 是有理数，那么 a 是整数.
例1
解：命题 (1) 的条件是“ a 是整数”，结论是 “a是有理数”.
命题 (2) 的条件是“a是有理数”，结论是“a是整数”.
由于命题 (1) 的条件和结论分别是命题 (2) 的结论和条件，于是，命题 (1) 与命题 (2) 是互逆命题.
它们是真命题吗？
03
新知探究
下面两个命题是真命题吗？
(1) 如果 a 是整数， 那么 a 是有理数；
(2) 如果 a 是有理数，那么 a 是整数.
解：由于整数是有理数，于是命题（1）是真命题 . 又0.1是有理数，但0.1不是整数，于是命题（2）是假命题.
当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.
03
新知探究
做一做
指出下列命题的条件和结论，并将其改写成“如果……，那么……”的形式.
（1）能被 2 整除的数是偶数；
（2）平行于同一条直线的两条直线平行.
解：(1) 如果一个数能被 2 整除，那么这个数就是偶数.
(2) 如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列语句中不是命题的是（ ）
A．两点之间线段最短
B．连结AB
C．锐角都相等
D．两条直线不是相交就是平行
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.下列命题中是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．有理数和数轴上的点是一一对应的
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．对顶角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是 ，结论是 ，它是一个 （填“真”或“假”）命题．
5.写出命题“若，则”的逆命题：
．
6.可以用一个m的值说明命题“如果m能被2整除，那么它也能被4整除”是
假命题，这个值可以是m＝ ．
两个数的绝对值相等
这两个数互为相反数
假
若，则
14（答案不唯一）
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.说出下列数学名词的定义：
（1） 无理数； （2） 直角三角形；
（3） 角平分线； （4） 平方根。
（1）解：无限不循环小数叫做无理数.
（2）解：有一个角为直角(90°)的三角形为直角三角形.
（3）解： 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
（4）解：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做数a的平方根.
05
课堂小结
这节课你收获了什么？
1.定义
对一个概念的含义加以描述说明，或者作出明确规定的语句，叫作这个概念的定义.
2.命题
叙述一件事情的句子（陈述句）要么是真的，要么是假的，两者必居其一，我们称这个陈述句是一个命题.
05
课堂小结
3.命题组成
命题
条件
结论
推断
已知事项
由已知事项推断出的事项
05
课堂小结
4.原命题、逆命题、互逆命题
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题.
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.下列命题中：垂线段最短；相等的角是对顶角；如果两个角是同位角，那么这两个角相等；过一点有且只有一条直线与已知直线平行；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
B
06
作业布置
2.交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是( )
A．两直线平行，同位角相等
B．相等的角是对顶角
C．所有的直角都是相等的
D．若，则
C
06
作业布置
3.用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数
为 个，请同学们写出一个真命题_____________________________．
3
如果，，那么
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题.
（1）若则.
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
（3）若，则.
（1）解：若，则逆命题是假命题
（2）解：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．逆命题是真命题．
（3）解：若，则．逆命题是真命题
07
板书设计
定义：
命题：
命题的组成：
原命题、逆命题、互逆命题：
4.2.1 定义，命题
习题讲解书写部分
Thanks!
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