广东省封开县南丰中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．（2025高一上·封开期中）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算；区间与无穷的概念
【解析】【解答】解：集合，，
则.
故答案为：D.
【分析】直接根据集合的并集的定义求解即可.
2．（2025高一上·封开期中）已知，，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：取，，满足，但，即充分性不成立；
当，时，当时，；当时，，即必要性成立，
则是的必要不充分条件.
故答案为：C.
【分析】取特例判断充分性不成立，对分类讨论去绝对值证明时有成立，结合充分、必要条件的定义判断即可.
3．（2025高一上·封开期中）设命题：，，则命题的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题：，的否定是：，.
故答案为：B.
【分析】根据命题否定的定义判断即可.
4．（2025高一上·封开期中）已知 ， 定义在同一区间上， 是增函数， 是减函数，且 ，则（ ）
A． 为减函数 B． 为增函数
C． 是减函数 D． 是增函数
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；复合函数的单调性
【解析】【解答】由题意得，设 且 ，因为 是增函数，所以 ，因为 是减函数，所以 ，所以 ，所以函数 为增函数，
故答案为：B.
【分析】根据单调性的定义逐一判断即可.
5．（2025高一上·封开期中）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．10
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
满足，即函数为奇函数，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】先求函数的定义域，再判断其奇偶性，利用函数的奇偶性求值即可.
6．（2025高一上·封开期中）若实数a，b满足，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：A、，，因为，所以，
因为幂函数在上为增函数，所以，故A错误；
B、因为幂函数在上为增函数，所以成立，故B正确；
C、因为，，且幂函数在上为增函数，所以，故C错误；
D、幂函数在上为增函数，则，故D错误.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据不等式的性质，结合幂函数的单调性逐项分析判断即可.
7．（2025高一上·封开期中）定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数定义在上的奇函数，满足，则，
当时，，当时，，则当时，；
当时，，
不等式等价为或，解得或，
则不等式解集为.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，且当时，；当时，，不等式转化为或求解即可.
8．（2025高一上·封开期中），，恒成立，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，，恒成立，
所以当，，必有，变形可得，
，当且仅当时等号成立，
若恒成立，必有，
由 ，则，必有，解得或，
又因为，所以，则的最小值为2.
故答案为：B.
【分析】由题意，可得当，，必有，将原不等式变形可得，利用基本不等式的性质可得成立，可得，解不等式求得的取值范围，即可得的最小值.
二、多选题
9．（2025高一上·封开期中）下列四组函数与，其中表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B,C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，函数定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A不符合；
B、函数，定义域均为，且，即对应法则一样，是同一函数，故B符合；
C、函数定义域为，且，函数定义域为，且，定义域相同，对应法则一致，是同一函数，故C符合；
D、函数与定义均为，但，，定义域相同，对应法则不一致，不是同一函数，故D不符合.
故答案为：BC.
【分析】根据同一函数的定义判断即可.
10．（2025高一上·封开期中）设，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是的真子集 D．
【答案】C,D
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，
，
则集合比集合多一个元素1.
故答案为：CD.
【分析】将，配方可得，列举法表示集合，根据两集合的元素判断集合间的关系即可.
11．（2025高一上·封开期中）的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，下列结论正确的（ ）
A．函数没有对称中心
B．函数的对称中心为
C．函数的对称中心的横坐标为
D．定义在的函数的图象关于点成中心对称.当时，，则的值域为
【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：A、因为，
所以，满足，是奇函数，则关于点对称，故A错误；
B、因为，定义域为，满足，是奇函数，则点为的对称中心，故B正确；
C、设的对称中心为，设，且，
则，即，
则恒成立，即，解得，
则函数的对称中心的横坐标为，故C错误；
D、因为定义在的函数的图象关于点成中心对称，所以为奇函数，
设，即是奇函数，
当时，，
所以，
时，，所以，
所以时，，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据题干函数关于点对称的充要条件求解即可判断ABC；利用为奇函数求出值域，从而可求得上的值域即可判断D.
12．（2025高一上·封开期中）设、分别为中a、b两边上的高，的面积记为S.当时，下列不等式正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】基本不等式；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图所示：
易知，，
A、（当时取等号），则，故A正确；
B、（当时取等号），故B正确；
C、，
因为（当时取等号），
所以，故C正确；
D、假设成立，
则，即，
即，当且时上式不成立，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】作出图形，易知，，利用作差法求解即可判断A；利用基本不等式求解即可判断B；分别化简不等式左边和右边即可判断C；利用假设法即可判断D.
三、填空题
13．（2025高一上·封开期中）函数的定义域为 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，
故函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据偶次根式有意义列不等式组求解即可.
14．（2025高一上·封开期中）函数的单调增区间为 .
【答案】，
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：函数，
作出函数的图象，如图所示：
由图可知：函数的单调增区间为，.
故答案为：，.
【分析】分情况去绝对值，将函数化为分段函数的形式，作出函数图象，数形结合求单调增区间即可.
15．（2025高一上·封开期中）已知＞0，＞，则的最小值为 ．
【答案】18
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：，，
则，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为18．
【分析】利用基本不等式妙用“1”的替换求最值即可.
16．（2025高一上·封开期中）已知，，令，则的最小值是 .
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：令，即，解得或，
则，
当或时，，
当时，函数没有最小值但大于，
综上：函数的最小值为.
故答案为：.
【分析】令，解一元二次不等式求得x的范围，求出函数的解析式，再求各段的最小值即可.
四、解答题
17．（2025高一上·封开期中）集合，.求，，.
【答案】解：解不等式，可得或，
即集合或，易知集合，
则，，或．
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】先解不等式求得集合A、B，再根据集合的补集、交集和并集运算求解即可.
18．（2025高一上·封开期中）已知定义在上的函数，
（1）求证：为偶函数；
（2）用定义法证明在上单调递增.
【答案】（1）解：函数的定义域为，满足，
则函数为偶函数；
（2）解：当时，，
，，且，
则，
因为，所以，，
所以，所以，即，
则在上单调递增.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据偶函数定义证明是偶函数即可；
（2）先求当时函数的解析式，再根据函数单调性的定义证明即可.
（1）由题知，因为，，
所以，故为偶函数；
（2）当时，，
任取，，且，
则，因为，所以，，所以，所以，即，所以在上单调递增.
19．（2025高一上·封开期中）已知二次函数，
（1）若不等式的解集为，求a、b的值.
（2）当时，方程有一个根小于1，一个根大于1，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可得：1，2是方程的两个实数根，
由韦达定理可得，解得，
则a，b的值分别为；
（2）解：当时，函数开口向下，
因为方程有一个根小于1，一个根大于1，
所以，整理得，解得，
则实数的取值范围是.
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】（1）由题意可得：1，2是方程的两个实数根，利用韦达定理列式求a与b的值即可；
（2）将代入，可得函数，由题意可得求解即可得a的取值范围.
（1）根据题意，1，2是方程的两个实数根，
∴，解得，
∴a，b的值分别为；
（2）当时，，图象开口向下，
∵有一个根小于1，一个根大于1，
∴，整理得，解得，
所以实数的取值范围是.
20．（2025高一上·封开期中）某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于产量（单位：个）满足函数：.
（1）将利润（单位：元）表示为产量的函数；（总收入=总成本+利润）
（2）当产量为何值时，零件的单位利润最大 最大单位利润是多少元 （单位利润利润产量）
【答案】（1）解：当时，，
当时，，
则；
（2）解：设零件的单位利润为，则，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
当时，，
故当产量为200个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）由题意，结合利润公式用产量表示利润即可；
（2）设零件的单位利润为，由（1）的结论得函数的解析式，结合基本不等式求解最值即可.
（1）当时，，
当时，，
故.
（2）设零件的单位利润为，
则，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，，
故当产量为200个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元.
21．（2025高一上·封开期中），，，为四个互不相等的实数.若A B C D中C最大，求实数a的取值范围，并求出A B C D中最小的数.
【答案】解：，，，，
，解得，
，解得且，
，解得或，
综上所述，，
当时，最大，，，，
经检验，，故四个数互不相等，
故实数a的取值范围为，
A B C D中最小的数为D.
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【分析】利用作差法，，，求得a的范围，再检验四个数互不相等并得出最小值即可．
22．（2025高一上·封开期中）已知函数，.
（1）求的值域；
（2）讨论在上的单调性；
（3）设，，证明：.
【答案】（1）解： 函数 ，，当且仅当时等号成立，
则函数的值域为；
（2）解：，
令，，设，
i. 当，即，
当时，，关于单调递减，单调递增，则函数单调递减；
当时，，关于单调递增，单调递增，则函数单调递增；
ii. 当时，即时，令，解得，，
当时，，关于单调递减，单调递增，则函数单调递减；
当时，，关于单调递减，单调递减，则函数单调递增；
当时，，关于单调递增，单调递减，则函数单调递减；
当时，，关于单调递增，单调递增，则函数单调递增；
综上可知，当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在和单调递减，在和单调递增；
（3）证明：由（2）的结论，当时，的最小值为，
由，得，，则；
当时，的最小值可能是或，而，，
此时，，，且，所以，
综上可知，当时，.
【知识点】复合函数的单调性；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【分析】（1）由题意，直接利用基本不等式求最值即可得函数的值域；
（2）由题意，先求函数解析式，令，利用换元法可得，（），对a分类讨论，利用二次函数的性质及复合函数的单调性即可判断判断在上的单调性；
（3）由（2）可知，时，的最小值为，则，同理当时，的最小值可能是或，代入即可得到.
（1）由基本不等式，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的值域为；
（2），令，，设，
i. 当，即，
当时，，关于单调递减，单调递增，所以单调递减；
当时，，关于单调递增，单调递增，所以单调递增；
ii. 当时，即时，令，解得，，
当时，，关于单调递减，单调递增，所以单调递减；
当时，，关于单调递减，单调递减，所以单调递增；
当时，，关于单调递增，单调递减，所以单调递减；
当时，，关于单调递增，单调递增，所以单调递增；
综上可知，当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在和单调递减，在和单调递增.
（3）证明：i. 根据（2）的结论，时，的最小值为，
此时，，得，，所以，
ii.时，的最小值可能是或，而，所以，
此时，，，且，所以，
综上可知，当时，.
1 / 1广东省封开县南丰中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．（2025高一上·封开期中）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·封开期中）已知，，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025高一上·封开期中）设命题：，，则命题的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2025高一上·封开期中）已知 ， 定义在同一区间上， 是增函数， 是减函数，且 ，则（ ）
A． 为减函数 B． 为增函数
C． 是减函数 D． 是增函数
5．（2025高一上·封开期中）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．10
6．（2025高一上·封开期中）若实数a，b满足，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一上·封开期中）定义在上的奇函数满足，当时，，当时，. 不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025高一上·封开期中），，恒成立，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、多选题
9．（2025高一上·封开期中）下列四组函数与，其中表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．（2025高一上·封开期中）设，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是的真子集 D．
11．（2025高一上·封开期中）的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，下列结论正确的（ ）
A．函数没有对称中心
B．函数的对称中心为
C．函数的对称中心的横坐标为
D．定义在的函数的图象关于点成中心对称.当时，，则的值域为
12．（2025高一上·封开期中）设、分别为中a、b两边上的高，的面积记为S.当时，下列不等式正确的是( )
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2025高一上·封开期中）函数的定义域为 .
14．（2025高一上·封开期中）函数的单调增区间为 .
15．（2025高一上·封开期中）已知＞0，＞，则的最小值为 ．
16．（2025高一上·封开期中）已知，，令，则的最小值是 .
四、解答题
17．（2025高一上·封开期中）集合，.求，，.
18．（2025高一上·封开期中）已知定义在上的函数，
（1）求证：为偶函数；
（2）用定义法证明在上单调递增.
19．（2025高一上·封开期中）已知二次函数，
（1）若不等式的解集为，求a、b的值.
（2）当时，方程有一个根小于1，一个根大于1，求实数a的取值范围.
20．（2025高一上·封开期中）某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于产量（单位：个）满足函数：.
（1）将利润（单位：元）表示为产量的函数；（总收入=总成本+利润）
（2）当产量为何值时，零件的单位利润最大 最大单位利润是多少元 （单位利润利润产量）
21．（2025高一上·封开期中），，，为四个互不相等的实数.若A B C D中C最大，求实数a的取值范围，并求出A B C D中最小的数.
22．（2025高一上·封开期中）已知函数，.
（1）求的值域；
（2）讨论在上的单调性；
（3）设，，证明：.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算；区间与无穷的概念
【解析】【解答】解：集合，，
则.
故答案为：D.
【分析】直接根据集合的并集的定义求解即可.
2．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：取，，满足，但，即充分性不成立；
当，时，当时，；当时，，即必要性成立，
则是的必要不充分条件.
故答案为：C.
【分析】取特例判断充分性不成立，对分类讨论去绝对值证明时有成立，结合充分、必要条件的定义判断即可.
3．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题：，的否定是：，.
故答案为：B.
【分析】根据命题否定的定义判断即可.
4．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；复合函数的单调性
【解析】【解答】由题意得，设 且 ，因为 是增函数，所以 ，因为 是减函数，所以 ，所以 ，所以函数 为增函数，
故答案为：B.
【分析】根据单调性的定义逐一判断即可.
5．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
满足，即函数为奇函数，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】先求函数的定义域，再判断其奇偶性，利用函数的奇偶性求值即可.
6．【答案】B
【知识点】不等关系与不等式；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：A、，，因为，所以，
因为幂函数在上为增函数，所以，故A错误；
B、因为幂函数在上为增函数，所以成立，故B正确；
C、因为，，且幂函数在上为增函数，所以，故C错误；
D、幂函数在上为增函数，则，故D错误.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据不等式的性质，结合幂函数的单调性逐项分析判断即可.
7．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数定义在上的奇函数，满足，则，
当时，，当时，，则当时，；
当时，，
不等式等价为或，解得或，
则不等式解集为.
故答案为：C.
【分析】由题意可得，且当时，；当时，，不等式转化为或求解即可.
8．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，，恒成立，
所以当，，必有，变形可得，
，当且仅当时等号成立，
若恒成立，必有，
由 ，则，必有，解得或，
又因为，所以，则的最小值为2.
故答案为：B.
【分析】由题意，可得当，，必有，将原不等式变形可得，利用基本不等式的性质可得成立，可得，解不等式求得的取值范围，即可得的最小值.
9．【答案】B,C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，函数定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A不符合；
B、函数，定义域均为，且，即对应法则一样，是同一函数，故B符合；
C、函数定义域为，且，函数定义域为，且，定义域相同，对应法则一致，是同一函数，故C符合；
D、函数与定义均为，但，，定义域相同，对应法则不一致，不是同一函数，故D不符合.
故答案为：BC.
【分析】根据同一函数的定义判断即可.
10．【答案】C,D
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算
【解析】【解答】解：易知集合，
，
则集合比集合多一个元素1.
故答案为：CD.
【分析】将，配方可得，列举法表示集合，根据两集合的元素判断集合间的关系即可.
11．【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：A、因为，
所以，满足，是奇函数，则关于点对称，故A错误；
B、因为，定义域为，满足，是奇函数，则点为的对称中心，故B正确；
C、设的对称中心为，设，且，
则，即，
则恒成立，即，解得，
则函数的对称中心的横坐标为，故C错误；
D、因为定义在的函数的图象关于点成中心对称，所以为奇函数，
设，即是奇函数，
当时，，
所以，
时，，所以，
所以时，，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据题干函数关于点对称的充要条件求解即可判断ABC；利用为奇函数求出值域，从而可求得上的值域即可判断D.
12．【答案】A,B,C
【知识点】基本不等式；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图所示：
易知，，
A、（当时取等号），则，故A正确；
B、（当时取等号），故B正确；
C、，
因为（当时取等号），
所以，故C正确；
D、假设成立，
则，即，
即，当且时上式不成立，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】作出图形，易知，，利用作差法求解即可判断A；利用基本不等式求解即可判断B；分别化简不等式左边和右边即可判断C；利用假设法即可判断D.
13．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，
故函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据偶次根式有意义列不等式组求解即可.
14．【答案】，
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：函数，
作出函数的图象，如图所示：
由图可知：函数的单调增区间为，.
故答案为：，.
【分析】分情况去绝对值，将函数化为分段函数的形式，作出函数图象，数形结合求单调增区间即可.
15．【答案】18
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：，，
则，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为18．
【分析】利用基本不等式妙用“1”的替换求最值即可.
16．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：令，即，解得或，
则，
当或时，，
当时，函数没有最小值但大于，
综上：函数的最小值为.
故答案为：.
【分析】令，解一元二次不等式求得x的范围，求出函数的解析式，再求各段的最小值即可.
17．【答案】解：解不等式，可得或，
即集合或，易知集合，
则，，或．
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】先解不等式求得集合A、B，再根据集合的补集、交集和并集运算求解即可.
18．【答案】（1）解：函数的定义域为，满足，
则函数为偶函数；
（2）解：当时，，
，，且，
则，
因为，所以，，
所以，所以，即，
则在上单调递增.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据偶函数定义证明是偶函数即可；
（2）先求当时函数的解析式，再根据函数单调性的定义证明即可.
（1）由题知，因为，，
所以，故为偶函数；
（2）当时，，
任取，，且，
则，因为，所以，，所以，所以，即，所以在上单调递增.
19．【答案】（1）解：由题意可得：1，2是方程的两个实数根，
由韦达定理可得，解得，
则a，b的值分别为；
（2）解：当时，函数开口向下，
因为方程有一个根小于1，一个根大于1，
所以，整理得，解得，
则实数的取值范围是.
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【分析】（1）由题意可得：1，2是方程的两个实数根，利用韦达定理列式求a与b的值即可；
（2）将代入，可得函数，由题意可得求解即可得a的取值范围.
（1）根据题意，1，2是方程的两个实数根，
∴，解得，
∴a，b的值分别为；
（2）当时，，图象开口向下，
∵有一个根小于1，一个根大于1，
∴，整理得，解得，
所以实数的取值范围是.
20．【答案】（1）解：当时，，
当时，，
则；
（2）解：设零件的单位利润为，则，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
当时，，
故当产量为200个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】（1）由题意，结合利润公式用产量表示利润即可；
（2）设零件的单位利润为，由（1）的结论得函数的解析式，结合基本不等式求解最值即可.
（1）当时，，
当时，，
故.
（2）设零件的单位利润为，
则，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，，
故当产量为200个，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元.
21．【答案】解：，，，，
，解得，
，解得且，
，解得或，
综上所述，，
当时，最大，，，，
经检验，，故四个数互不相等，
故实数a的取值范围为，
A B C D中最小的数为D.
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【分析】利用作差法，，，求得a的范围，再检验四个数互不相等并得出最小值即可．
22．【答案】（1）解： 函数 ，，当且仅当时等号成立，
则函数的值域为；
（2）解：，
令，，设，
i. 当，即，
当时，，关于单调递减，单调递增，则函数单调递减；
当时，，关于单调递增，单调递增，则函数单调递增；
ii. 当时，即时，令，解得，，
当时，，关于单调递减，单调递增，则函数单调递减；
当时，，关于单调递减，单调递减，则函数单调递增；
当时，，关于单调递增，单调递减，则函数单调递减；
当时，，关于单调递增，单调递增，则函数单调递增；
综上可知，当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在和单调递减，在和单调递增；
（3）证明：由（2）的结论，当时，的最小值为，
由，得，，则；
当时，的最小值可能是或，而，，
此时，，，且，所以，
综上可知，当时，.
【知识点】复合函数的单调性；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【分析】（1）由题意，直接利用基本不等式求最值即可得函数的值域；
（2）由题意，先求函数解析式，令，利用换元法可得，（），对a分类讨论，利用二次函数的性质及复合函数的单调性即可判断判断在上的单调性；
（3）由（2）可知，时，的最小值为，则，同理当时，的最小值可能是或，代入即可得到.
（1）由基本不等式，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的值域为；
（2），令，，设，
i. 当，即，
当时，，关于单调递减，单调递增，所以单调递减；
当时，，关于单调递增，单调递增，所以单调递增；
ii. 当时，即时，令，解得，，
当时，，关于单调递减，单调递增，所以单调递减；
当时，，关于单调递减，单调递减，所以单调递增；
当时，，关于单调递增，单调递减，所以单调递减；
当时，，关于单调递增，单调递增，所以单调递增；
综上可知，当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在和单调递减，在和单调递增.
（3）证明：i. 根据（2）的结论，时，的最小值为，
此时，，得，，所以，
ii.时，的最小值可能是或，而，所以，
此时，，，且，所以，
综上可知，当时，.
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