2025-2026学年度高一数学期中考试卷（含解析）(考试范围：第一章集合与常用逻辑用语第二章一元二次函数方程和不等式第三章函数的概念与性质)

2025-2026学年度高一数学期中考试卷
考试范围：第一章集合与常用逻辑用语第二章一元二次函数方程和不等式第三章函数的概念与性质
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．，
5．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知a，，且，则的最小值是（ ）
A．6 B．9 C．13 D．
8．已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．“关于的不等式在上恒成立”成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．有以下判断，其中是正确判断的有（ ）
A．与表示同一函数
B．当时，函数单调递增
C．函数在定义域上是增函数
D．若，则
11．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称 B．在上单调递减
C．当时， D．的值域是
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数的定义域为，函数的定义域是 ．
13．已知，，则的取值范围是
14．设是定义在R上的奇函数，当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若中只有一个整数，求实数的取值范围.
16．某县将“双招双引”作为战略性先导工程，以精细化服务优化营商环境，多举措多维度引进相应企业，已知某企业生产一款测绘仪器，生产该仪器全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部仪器的售价为0.7万元，且所生产的仪器当年能全部销售完.
(1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润＝销售额-成本）；
(2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
17．已知定义在上的函数图象关于原点对称．
(1)求的解析式；
(2)判断并用定义证明的单调性；
(3)解不等式．
18．已知函数．
(1)求关于的不等式的解集；
(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
19．已知函数对任意实数恒有，当时，，且.
(1)判断的奇偶性；
(2)判断函数单调性，求在区间上的最大值；
(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.
《2025-2026学年度高一数学期中考试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D D A A C B AB BD
题号 11
答案 ACD
1．A
【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】:,
故选：A
2．B
【分析】根据分段函数的解析式结合已知条件，求得参数，再求函数值即可.
【详解】由，是减函数，可知当时，，
所以，则，
由，得，解得，
所以.
故选：B.
3．D
【分析】先分别求出集合和集合，再根据并集定义求出．
【详解】集合是函数的值域，而，
集合，可表示为．
集合是的定义域，即，解得，
集合，
．
故选：D．
4．D
【分析】判断定义域及对应关系是否相同即可得.
【详解】对A：定义域为，定义域为，故A错误；
对B：令，解得，所以定义域为
令，解得或，则定义域为，故B错误；
对C：定义域为，定义域为，故C错误；
对D：，，故D正确.
故选：D.
5．A
【分析】根据不等式的解集求出a、b和c的关系，代入不等式中化简，即可求出该不等式的解集．
【详解】不等式的解集是，所以方程的解是和，且，
则，解得，，
所以不等式化为，即，解得，
所以，所求不等式的解集是．
故选：A．
6．A
【分析】利用分段函数的单调性，结合二次函数单调性及分段点处函数值的大小关系，得出关于实数的不等式组，解出实数的取值范围即可.
【详解】由题意，在上单调递减，即在和上单调递减，且，
则，解得.

故选：A.
7．C
【分析】由a，，结合，可得a，.随后注意到由可得，最后将化为，再利用基本不等式可得答案.
【详解】，因a，，
则，同理易得.
则.
从而，
当且仅当，即时取等号.
故选：C
8．B
【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性与单调性，可得出，分、两种情况将不等式变形，结合函数的单调性即可得解.
【详解】构造函数，其中，
则，所以，函数为偶函数，
对任意的对任意、，且，都有，
不妨设，则，可得，即，
所以，函数在上为减函数，则该函数在上为增函数，
且，，
当时，由可得，可得；
当时，由可得，可得.
综上所述，不等式的解集为.
故选：B.
【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：
（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；
（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；
（3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集.
9．AB
【分析】先求出“关于不等式在上恒成立”是真命题的的范围，再结合充分条件和必要条件的定义得到结果.
【详解】若“关于的不等式在上恒成立”是真命题，
①当时，不等式化为，显然恒成立，故满足条件；
②当时，需满足，解得：，
综上，.
A和B选项是“关于不等式在上恒成立”成立的充分不必要条件，
C选项是“关于不等式在上恒成立”成立的充要条件，
D选项是“关于不等式在上恒成立”成立的既不充分也不必要条件.
故选：AB.
10．BD
【分析】利用相同函数的意义判断A；利用函数单调性定义推理判断B；通过反例可判断C；求出函数值判断D作答.
【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为R，则函数与不是同一函数，A错误；
对于B，任取，则，
由，得，即有，即，则函数在上单调递增，B正确；
对于C，函数的定义域为，，所以函数在定义域上不是增函数，C错误；
对于D，，则，所以，D正确.
故选：BD
11．ACD
【分析】对于A：根据偶函数的定义分析判断；对于B：整理可得，根据单调性的性质分析判断；对于C：代入运算分析判断；对于D：利用二次函数的值域结合不等式的性质运算求解即可.
【详解】对于选项A：因为，可知的定义域为，
又因为，所以是偶函数，图象关于轴对称，故A正确；
对于选项B：因为，
且在上单调递增，所以在上单调递增，故B错误；
对于选项C：当时，，故C正确；
对于选项D：因为，则，即，
可得，所以的值域是，故D正确；
故选：ACD.
12．
【分析】根据抽象函数的定义域求解.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，所以，
对于函数，有，
即函数的定义域为.
故答案为：
13．
【分析】因为，再利用不等式的性质即可求出的取值范围．
【详解】因为，，，
所以，，，
故的取值范围是，
故答案为：
14．
【分析】根据函数的奇偶性求得函数的解析式，然后根据函数的单调性列出不等式，转化为最值问题，即可求得结果.
【详解】设，则，因为当时，，则，
且函数是定义在R上的奇函数，则
所以，则．
因此，原不等式等价于．
由解析式知在R上是增函数，所以，即．
又，所以当时，取得最大值．
因此，，解得．
故a的取值范围是．
故答案为:
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意推出，分和时分类讨论即可；
（2）首先推理出整数为，再利用数轴得到不等式，解出不等式即可.
【详解】（1），
当即时，满足题意；
当即时，；欲使，则有，即.
综上所述：实数的取值范围是.
（2）易得
当即时，，不符合题意；
当即时，，若中只有一个整数，则此整数为
依题意得，即
综上所述：实数的取值范围是.
16．(1)
(2)100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元
【分析】（1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数；
（2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可.
【详解】（1）由题意有销售额为，
所以当时，，
当时，，
所以；
（2）（2）当时，，
当时，万元，
当时，，当且仅当，
即时等号成立，万元，
即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元.
17．(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可；
（2）借助定义法证明即可得；
（3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得.
【详解】（1）由题意可得，
即，，故，
即，此时有，
故关于原点对称，故，
即的解析式为；
（2）在上单调递增；证明如下：
令，则
，
由，则，，，
故，即在上单调递增；
（3）由题意可得为奇函数，则有，
又因为在上单调递增，则有，解得，
所以原不等式的解集为．
18．(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）通过移项、整理，转化为标准的一元二次不等式形式，再对这个一元二次不等式对应的一元二次方程求根，再根据这个一元二次不等式对应的二次函数的图象性质（开口方向、根的大小关系）来确定不等式的解集.
（2）将不等式转化为小于等于一个关于的函数的形式，整理这个关于的函数的形式，利用基本不等式求出其最小值，从而确定的取值范围.
【详解】（1）由，
得，
令，
可得或，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
（2）因为，可得．
因为，得，所以，即.
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以 .
因为，所以，即实数的取值范围是.
19．(1)奇函数
(2)为上的减函数；
(3)
【分析】（1）令，求得，再令，从而得，从而证明求解.
（2）设且，结合条件用单调性的定义证明函数的单调性，然后利用单调性求解区间上的最大值.
（3）根据函数对所有的，恒成立，说明的最大值小于右边，因此先将右边看作的函数，解不等式组，即可得出的取值范围．
【详解】（1）为奇函数，证明如下：
令，则，所以，
令，则，
所以：对任意恒成立，
所以函数为奇函数.
（2）在上是减函数，证明如下：
任取且，则
，所以，
所以在上为减函数.
当时，单调递减，
所以当时，有最大值为，
因为，所以，
故在区间上的最大值为.
（3）由（2）知在区间上单调递减，
所以，
因为对所有的，恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，即，
解得：或.
故的取值范围为.
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