第三章 指数的运算与指数函数 题型总结（含解析）2025-2026北师大高中数学必修二

第三章指数的运算与指数函数题型总结
题型一：利用根式的性质化简或求值
1．把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·贵州毕节·期中）设，则的分数指数幂形式为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．求下列各式的值；
(1)；
(2)．
题型二：指数幂的运算
6．（25-26高一上·全国·课前预习）若，则（ ）
A．14 B．21 C．42 D．48
7．（25-26高一上·全国·开学考试）已知：，，则值是（ ）
A．12 B．6 C．7 D．5
8．已知，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
9．下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11. .
12．化简求值：
(1)；
(2)；
(3).
13．（1）计算：；
（2）已知且，求下列各式的值：
①；
②．
题型三：指数函数的定义域、值域及详解式
14．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·月考）如果函数和都是指数函数，则（ ）
A． B．1 C．9 D．8
15．（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
16．设函数，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
17．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
18.（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
19.（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
20．将函数的值域为 .
21.（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）函数的值域为 ．
22．已知函数的值域为，则的取值范围是
23.已知函数的值域为，且，则 .
24．已知函数.
(1)求函数的定义域和值域；
(2)判断并证明的奇偶性.
25．已知函数是偶函数，当时，.
(1)当时，求函数的详解式；
(2)当时，求函数的值域.
题型四：指数函数的图象及应用
25．（23-24高一下·广东茂名·月考）函数与的图象（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
26．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
27．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
28．（24-25高一上·湖北宜昌·期中）函数与的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
29．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）设，且，则下列关系式中一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
30．（25-26高一上·全国·课后作业）已知指数函数的图象经过点，则 ；将函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则的图象过定点 ．
31．（24-25高一上·黑龙江绥化·期中）已知函数（且）的图象恒过定点，若点的坐标满足关于的方程，则的最小值为 .
题型五：指数函数的最值及应用
32.已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
33．已知函数，其中，为自然对数的底数．若的最小值为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
34．已知且，函数，若函数在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（ ）
A．或2 B．或2 C．2或 D．或
35．设，，且为偶函数，为奇函数，若存在实数，使得当时，不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
36．对于函数，若对于任意的，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”．已知函数是“可构成三角形的函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
37．对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，）是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
38．（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（　 　）
A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是
C．的最大值是 D．的最小值是
39．已知函数在区间上的最大值是7，则 .
40．已知指数函数 的图象经过点 .
(1)求函数 的详解式并判断 的单调性；
(2)函数 ， 求函数 在区间 上的最小值.
41．已知函数.
(1)当时，求在上的最值；
(2)设函数，若存在最小值，求实数的值.
题型六：指数函数的奇偶性及应用
42.（23-24高一下·云南·期中）已知是奇函数，则（ ）
A． B． C．2 D．3
43．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数为奇函数.则（ ）
A．2 B．1 C． D．
44．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
45．（24-25高一上·山东日照·月考）已知函数是偶函数，则实数m的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
46．（多选）（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）已知函数，则（ ）
A．为偶函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为非奇非偶函数
，所以为非奇非偶函数，故D正确.故选：BD
47．已知是定义在上的奇函数.
(1)求的详解式；
(2)已知，若对于任意，存在，使得成立，求的取值范围.
题型七：指数函数的单调性及应用
48．（24-25高一上·北京·期中）设，则（ ）
A． B． C． D．
49．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若，，则（ ）
A． B． C． D．
50．（23-24高一上·江苏无锡·月考）已知条件，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
51．（23-24高一上·广东江门·期中）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
52．（23-24高一上·青海西宁·期中）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
53．（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
54．（23-24高一上·重庆·月考）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
55．(多选)已知函数，，下列成立的是（ ）
A．若是偶函数，则
B．的值域为
C．在上单调递减
D．当时，方程都有两个实数根
56．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是 .
57.（24-25高一上·全国·课后作业）在函数中，已知， 若在上既是增函数也是奇函数，则的取值范围是 ．
58．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
59．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，若对任意的，均有，则的取值范围是 .
60．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点，且无限接近直线但又不与该直线相交．
(1)求的详解式；
(2)设函数，在平面直角坐标系中画出的图象，并根据图象写出该函数的单调递增区间．
题型八：指数函数性质的综合应用
61．（24-25高一上·广东·期中）若函数满足且，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
62.(多选)（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）已知函数，则正确的是（ ）
A．的值域为
B．的解集为
C．的图象与的图象关于轴对称
D．若关于的方程有且仅有一实根，则
63.（多选）（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，，则以下结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．若，且，则
D．若，且，则
64.（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且．
(1)求的值，并求出的详解式；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
65.已知指数函数的图象过点，是定义域为的奇函数．
(1)试确定函数的详解式；
(2)求实数，的值；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
66．（24-25高一上·上海·期末）对于定义在的两个函数和，若函数满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数和为“在上的函数对”．
(1)分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”，并说明理由
①，；
②，；
(2)设常数，若和为“在上的函数对”，求的取值范围
(3)设常数，若和为“在上的函数对”，求证：的值有且仅有一个．
第三章指数的运算与指数函数题型总结答案
题型一：利用根式的性质化简或求值
1．把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ，即 ， ，
.
故选：A .
2．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据根式与指数幂的运算及特殊值法验证即可得答案.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
3．（24-25高一上·贵州毕节·期中）设，则的分数指数幂形式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据根式、指数的运算求得正确答案.
【详解】．
故选：A．
4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据根式及分数指数幂的运算化简求解即可.
【详解】因为，
则．
故选：B.
5．求下列各式的值；
(1)；
(2)．
【详解】（1）= ．
（2）原式=
因为，所以，
当，即时，
当，即时，,
所以.
题型二：指数幂的运算
6．（25-26高一上·全国·课前预习）若，则（ ）
A．14 B．21 C．42 D．48
【答案】C
【分析】根据指数幂的运算性质计算即可.
【详解】，
故选:C.
7．（25-26高一上·全国·开学考试）已知：，，则值是（ ）
A．12 B．6 C．7 D．5
【答案】A
【分析】利用指数幂的运算性质将表示成，，代入计算即可.
【详解】因为，， 所以，
故选：A．
8．已知，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】D
【详解】
.
故选:D.
9．(多选)下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】对选项A：，错误；
对选项B：，正确；
对选项C：，正确；
对选项D：，错误；
故选：BC
10．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A，原式，A正确；
对于B，原式
，B正确；
对于C，原式，C错误；
对于D，原式，D正确．
故选：ABD．
11. .
【答案】
【分析】根据指数幂的运算性质即可求解.
【详解】,
故答案为：
12．化简求值：
(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）原式
；
（2）原式；
（3）原式.
13．（1）计算：；
（2）已知且，求下列各式的值：
①；
②．
【详解】（1）原式；
（2）①因为，所以，即，所以；
②因为，又因为，所以
题型三：指数函数的定义域、值域及详解式
14．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·月考）如果函数和都是指数函数，则（ ）
A． B．1 C．9 D．8
【答案】D
【详解】根据题意可得，，则.故选：D
15．（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可.
【详解】函数的定义域满足，解得且．
则函数定义域为，
故选：D
16．设函数，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出的定义域后可求的定义域，
【详解】因为，所以，故，
故的定义域为，
令，则，故的定义域为.
故选：D.
17．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得对任意恒成立，结合指数函数单调性可得对任意恒成立，根据二次不等式恒成立问题列式求解.
【详解】由题意可得对任意恒成立，
即，且在内单调递增，
可得，即对任意恒成立，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
18.（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，因为，所以，
则，
令，，
所以当时取得最小值，且，又，，
所以，即函数的值域是.故选：C
19.（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，则
在上单调递减，∴，又，
∴的值域为.故选：A.
20．将函数的值域为 .
【答案】
【分析】根据指数函数的性质，即可求得答案.
【详解】由于，故且，
故函数的值域为，
21.（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）函数的值域为 ．
【答案】
【详解】设，由得，，
所以，则，
因为在上单调递减，所以，
故答案为：．
22．已知函数的值域为，则的取值范围是
【答案】
【详解】当时，，
当时，，函数的值域，不成立，
当时，，，单调递减，，
函数的值域，不成立，
当时，，，单调递增，，
函数的值域是，所以，解得，
所以.
23.已知函数的值域为，且，则 .
【答案】3
【详解】因为，所以，则，
因为函数的值域为，所以，
此时，因为，所以，解得，
则.
24．已知函数.
(1)求函数的定义域和值域；
(2)判断并证明的奇偶性.
【详解】（1）函数的定义域为R.，
，，，
函数的值域为；
（2）定义域为R，关于原点对称，
，
所以函数为奇函数.
25．已知函数是偶函数，当时，.
(1)当时，求函数的详解式；
(2)当时，求函数的值域.
【详解】（1），则，结合题意得，
是偶函数，，
时，.
（2）由（1）知
当，
当，的值域为.
题型四：指数函数的图象及应用
25．（23-24高一下·广东茂名·月考）函数与的图象（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
【答案】C
【详解】因为，即，所以函数与的图象关于原点对称.故选：C．
26．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知函数恒过定点，则函数不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】由已知条件得当时，，则函数恒过点，
即，此时，
由于由向下平移2个单位得到，且过点，
由此可知不过第二象限.故选：B
27．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由图象可知，函数为减函数，
从而有；
法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标，
令，得，
由，即，解得 .
法二：函数图象可看作是由向左平移得到的，
则，即.故选：D.
28．（24-25高一上·湖北宜昌·期中）函数与的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】当时，函数单调递增，当时，，故选：A
29．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）设，且，则下列关系式中一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据分段函数和指数函数图象画出的图象，数形结合讨论的正负和大小关系，再结合且即可得出答案．
【详解】
则的图象如图所示：

∵，
∴若，则，这与已知矛盾．
同理，也不成立，∴只有或这两种情况．
∴，故B一定不成立，A成立；
又，即，
∴，故D一定成立，C一定不成立．
故选：BC．
30．（25-26高一上·全国·课后作业）已知指数函数的图象经过点，则 ；将函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则的图象过定点 ．
【答案】
【分析】根据指数函数的定义及题目条件求得函数 的详解式，再利用“上加下减，左加右减”的图象平移原则进行计算，得到函数的详解式，即可得出结果.
【详解】由指数函数的图象经过点，
得，解得，所以．
将函数的图象向右平移1个单位长度，得到函数的图象，
再向上平移4个单位长度，得到的图象．
令，得，此时，所以的图象过定点.
31．（24-25高一上·黑龙江绥化·期中）已知函数（且）的图象恒过定点，若点的坐标满足关于的方程，则的最小值为 .
【答案】4
【详解】依题意，，所以，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立.
题型五：指数函数的最值及应用
32.已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【详解】正数满足，则
，当且仅当，即时取等号，
所以
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为4.
故选：B
33．已知函数，其中，为自然对数的底数．若的最小值为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，，仅当时取等号，若，则，
若，则；
当时，，若，则，
若，则，当且仅当时取等号
若，则，其最小值为，
当时，，，解得，因此；
当时，，，符合题意，因此；
当时，，函数无最小值；
当时，，，解得，因此；
当时，，，解得，矛盾，
所以的取值范围为.
故选：D
34．已知且，函数，若函数在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（ ）
A．或2 B．或2 C．2或 D．或
【答案】D
【详解】①当时，函数在上是减函数，在上也是减函数.
∵，∴函数的最大值为，而，∴函数的最小值为，
∴，解得，符合题意.
②当时，函数在上是增函数，在上是减函数.
∵，
∴函数的最大值为，而，，
当时，，此时函数的最小值为，因此有，无解；
当时，，此时函数的最小值为，因此有，解得，符合题意.
综上所述，实数的值为或.
故选：D
35．设，，且为偶函数，为奇函数，若存在实数，使得当时，不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为，，且为偶函数，为奇函数
所以
所以，即
因为，
所以，.
因为当时，
所以当时，不等式恒成立等价于当时，恒成立，即当时，恒成立，
令，由于函数在单调递增，
所以根据复合函数单调性得在单调递增，
所以，
所以当时，恒成立时，.
所以的最小值为.
故选：A
36．对于函数，若对于任意的，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”．已知函数是“可构成三角形的函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：由已知得，∴，
∵，当时，由得，∴
，∴，；当时，显然符合题意；当时，，，∴，∴，．综上所述：．故选：A．
37．对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，）是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为是定义在上的“倒戈函数，
存在满足，
，
，
构造函数，，
令，，
在单调递增，
在单调递减，所以取得最大值0，
或取得最小值，，
，，
故选：A．
38．（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（　 　）
A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是
C．的最大值是 D．的最小值是
【答案】ACD
【详解】设，，则是增函数，且，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
因此在上单调递增，在上单调递减，故A正确，B错误；
，故C正确；
，，因此的最小值是，故D正确．
故选:ACD．
39．已知函数在区间上的最大值是7，则 .
【答案】或
【分析】设，把函数化为关于的一元二次函数，分离讨论的范围，根据函数最大值建立方程，解出即可.
【详解】设，又，
若，则，
函数，
对称轴为，
则，即时，，
解得或（舍）；
若时，，
函数，
对称轴为，
则，即时，，
解得或（舍）；
40．已知指数函数 的图象经过点 .
(1)求函数 的详解式并判断 的单调性；
(2)函数 ， 求函数 在区间 上的最小值.
【详解】（1）因为函数（且）的图象过点，则，
解得，因此，，
由于，结合指数函数的性质可知，是R上的单调递增函数；
（2），令，因为，则，
令，，
关于对称，
当时，函数在上单调递增，此时，，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，，
当时，函数在上单调递减，此时，，
综上：.
41．已知函数.
(1)当时，求在上的最值；
(2)设函数，若存在最小值，求实数的值.
【详解】（1）当时，，
设，则，开口向上，对称轴，
所以函数在上单调递减，上单调递增，
所以，，
所以在上的最小值为，最大值为8.
（2）
，
设，当且仅当，即时取得等号，
所以，，对称轴.
当，即时，，在上单调递增，
则当时，，解得，不满足题意；
当，即时，在上单调递减，上单调递增，
所以时，，解得或（舍去），
综上，实数的值为6.
题型六：指数函数的奇偶性及应用
42.（23-24高一下·云南·期中）已知是奇函数，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【详解】由题意得，即，从而，故选：A．
43．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数为奇函数.则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【详解】因为奇函数，所以，
即，
得到，所以，
当时，的定义域为关于数0对称，符合意义，
所以.故选：B.
44．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【详解】由得：，解得，.
当时，，定义域为，关于原点对称，
故符合题意，故选：B.
45．（24-25高一上·山东日照·月考）已知函数是偶函数，则实数m的值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【详解】函数的定义域为，
由函数是偶函数，得，即，
而，则，解得，
所以实数m的值是.故选：D
46．（多选）（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）已知函数，则（ ）
A．为偶函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为非奇非偶函数
【答案】BD
【详解】函数，，
令，，，
所以为非奇非偶函数，故A错误；
，令，，
所以为偶函数，故B正确；
，令，，
，所以为非奇非偶函数，故C错误；
，令，，
，所以为非奇非偶函数，故D正确.故选：BD
47．已知是定义在上的奇函数.
(1)求的详解式；
(2)已知，若对于任意，存在，使得成立，求的取值范围.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以有，即，
又，化简得：，，
而此时， ，
（2）令，
∵且单调递减，∴在上单调递减，
又∵在上单调递减，
在上单调递减且的最大值是，
又令，对于任意，存在，
使得，等价于成立，即成立，
，则在上单调递减，
，故，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
题型七：指数函数的单调性及应用
48．（24-25高一上·北京·期中）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
因为，所以，所以.故选：A.
49．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为在上单调递增，所以，所以，
又因为在上单调递减，所以，
所以，故选：D.
50．（23-24高一上·江苏无锡·月考）已知条件，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由得：；
由得：，解得：或；
，，
是的充分不必要条件.故选：A.
51．（23-24高一上·广东江门·期中）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，设,则为增函数，
求函数的单调递增区间，等价为求函数的单调递增区间，
函数的对称轴为，则函数在上是增函数，
则的单调递增区间是，故选：D.
52．（23-24高一上·青海西宁·期中）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令，解得，
所以函数的定义域为，
因为开口向下，对称轴为，
可知在上单调递增，在上单调递减，
且在定义域内单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为在定义域内单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
即函数的单调递增区间为.故选：B.
53．（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，
因此，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.
54．（23-24高一上·重庆·月考）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知函数由复合而成，
在R上是单调递减函数，故由在区间上是减函数，
可知在区间上是增函数，故，
即实数的取值范围是，故选：B
55．(多选)已知函数，，下列成立的是（ ）
A．若是偶函数，则
B．的值域为
C．在上单调递减
D．当时，方程都有两个实数根
【答案】ACD
【详解】对于A选项，由于是偶函数，则即可得，故A正确.
对于B选项，注意到，又在R上单调递增，
则值域为，故B错误.
对于C选项，由B选项可知，在上单调递减，又在R上单调递增，由复合函数单调性“同增异减”可知，在上单调递减，故C正确.
对于D选项，由选项B，C可知，在上单调递增，在上单调递减，据此可画出大致图像如下，由图可知图像最高点所对应的纵坐标为.则当时，与图像交点个数为2，即方程都有两个实数根，故D正确.
故选：ACD
56．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】结合指数函数性质证明函数在上单调递增，当时，，不等式在上恒成立可转化为在上恒成立，令，结合基本不等式求的最小值，由此可得结论.
【详解】因为函数，在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
所以当时，，
由已知在上恒成立，
得，即在上恒成立，
令，则，
所以在上恒成立，
所以，其中，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，所以a的取值范围是.
57.（24-25高一上·全国·课后作业）在函数中，已知， 若在上既是增函数也是奇函数，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据指数函数性质，利用在上是奇函数，可得，计算可求得，利用单调性结合已知可求得a的取值范围.
【详解】由是上的奇函数，得，解得，
因为，所以，又在上是增函数，
所以是增函数，所以,
综上可得的取值范围是.
故答案为：
58．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】，可判断为奇函数，且单调递减，等价于，故得到，解不等式即可.
【详解】令，
，
又定义域为，为奇函数，
所以不等式等价于，
又为奇函数，且均单调递减，所以单调递减，
．
59．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，若对任意的，均有，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先判断出为减函数，利用函数的单调性，再列不等式组即可得出结果．
【详解】因为对任意的，均有，即，所以在上单调递减．
由单调递减得，
因为指数函数单调递增且恒大于零，则由单调递减可得，故，
解得，故的取值范围是．
60．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数的图象过点，且无限接近直线但又不与该直线相交．
(1)求的详解式；
(2)设函数，在平面直角坐标系中画出的图象，并根据图象写出该函数的单调递增区间．
【分析】（1）根据函数图象的性质及所过的点求参数值，即可得详解式；
（2）由（1）确定的详解式，画出其函数图象，并确定递增区间.
【详解】（1）当x无限减小时，无限接近0，但不会等于0，
由题设，因为的图象无限接近直线但又不与该直线相交，所以．
由，得，解得，故；
（2）由（1）知，图象如下：

由图知，该函数的单调递增区间为.
题型八：指数函数性质的综合应用
61．（24-25高一上·广东·期中）若函数满足且，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由可得
即故函数为单调递增函数，
又，故时，解得，
因此，
的解集是，故选：D
62.(多选)（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）已知函数，则正确的是（ ）
A．的值域为
B．的解集为
C．的图象与的图象关于轴对称
D．若关于的方程有且仅有一实根，则
【答案】AC
【详解】A：因为的值域为，所以的值域为，故A正确；
B：因为，且在上单调递增，
所以，解得，故B错误；
C：关于轴对称的函数为，即为，
所以的图象与的图象关于轴对称，故C正确；
D：作出的图象如下图所示：
当与仅有一个交点时，此时关于的方程有且仅有一实根，
由图象可知，或，故D错误；故选：AC.
63.（多选）（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，，则以下结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．若，且，则
D．若，且，则
【答案】ACD
【分析】选项A，由可得；选项B，由得，进而可得；选项C，由，根据可得，进而可得，进而可得；选项D，由和得，进而由选项C可得.
【详解】选项A：因，故，故A结论错误；
选项B：因，
故
，故B结论正确；
选项C：，
故由得，得，
整理得，
即，故当时，或，故C结论错误；
选项D：由得，
由得，
得，由选项C可知D选项结论错误，
故选：ACD
64.（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且．
(1)求的值，并求出的详解式；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
【详解】（1）因为是偶函数，所以，解得，
当时，可得，可得，
所以函数的详解式为.
（2）由（1）知，当时，，
因为在上恒成立，
即，
又因为，
当且仅当时，即时等号成立，
所以，即的取值范围是．
65.已知指数函数的图象过点，是定义域为的奇函数．
(1)试确定函数的详解式；
(2)求实数，的值；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【详解】（1）设且，图象过点
所以，解得，所以.
（2）由（1）得，因为是上奇函数，所以，所以，
再由可得，所以，
当，时，，
，符合是奇函数，
所以，.
（3），
是增函数，所以是减函数，
因为是奇函数，且，
所以，
所以恒成立，
即，又，
所以.
66．（24-25高一上·上海·期末）对于定义在的两个函数和，若函数满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数和为“在上的函数对”．
(1)分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”，并说明理由
①，；
②，；
(2)设常数，若和为“在上的函数对”，求的取值范围
(3)设常数，若和为“在上的函数对”，求证：的值有且仅有一个．
【分析】（1）根据题中定义判断①②即可；
（2）分析可知在上是严格减函数．且恒成立，求出函数在上的值域，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围；
（3）当时，化简函数的详解式，结合题中定义可证得结论成立；然后就、两种情况讨论，结合题中定义进行推导，说明定义不成立，即可证得结论成立.
【详解】（1）①不是，②是，理由如下：
对于①，，取，则，
所以两个函数不是“在上的函数对”；
对于②，在上是严格减函数，
当时，，则，故此时的函数值恒大于零，
所以这两个函数是“在上的函数对”.
（2）由题意函数在上是严格减函数，且在上恒成立，
故有在上恒成立，
当时，，因此，解得，
所以的取值范围为．
（3）证明：当时，
，
因为函数、在上是严格增函数，
所以函数在上是严格增函数，
得在上是严格减函数，且对任意恒成立.
当时，
在上恒成立，
取，得，不成立；
此时函数和不是“在上的函数对”．
当时，则，
当时，，
取，得，
所以函数在上不是减函数，
此时函数和不是“在上的函数对”．
综上，的值有且仅有一个.