第四章 对数运算与对数函数 题型归纳（含解析）2025-2026北师大（2019）高中数学必修一

第四章对数运算与对数函数题型归纳
题型一：对数概念的理解
1.（24-25高一上·河北衡水·随堂练习）给出下列说法:
①零和负数没有对数;
②任何一个指数式都可以化成对数式;
③以10为底的对数叫作常用对数;
④以为底的对数叫作自然对数.
其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.（24-25高一上·山东德州·阶段测试）对数式中实数的取值范围是（ ）
B． C． D．
3.（24-25高一上·陕西·单元检测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（ ）
B． C． D．
4.（24-25高一上·辽宁·课后练习）使对数有意义的的取值范围为　　
且 B． C．且 D．
题型二　指数式与对数式的互化
5.（24-25高一上·全国·随堂练习）把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式:
； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）； （7）； （8）.
6.（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）将下列指数式改写成对数式，对数式改写成指数式.
； （2）； （3）．
7.（24-25高一上·全国·课堂练习）将下列对数式为指数式或指数式化为对数式：
； (2)； (3)； (4)．
题型三　利用对数式性质求值
8.（24-25高一上·福建·期中）①； ②； ③若，则；
④若，则． 其中正确的是（ ）
①③ B．②④ C．①② D．③④
9.（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，那么等于（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高一上·四川成都·期末）式子的值为（ ）
A． B．10 C．11 D．12
11．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，则 ;
12.（24-25高一上·北京·课后作业）求下列各式中x的值：
x＝； (2)x＝log9； (3)logx8＝－3； (4)logx＝4.
13.（24-25高一上·江苏扬州·课后作业）计算下列各式：
(1)log2(log93); (2) ++2log31-3log77+2ln 1； (3)
14．（24-25高一上·江苏南京·期末）求下列各式中的值．
(1)；
(2)；
(3)．
题型四　利用对数运算性质求值
15.（24-25高三上·青海·期中）（ ）
A． B．0 C．1 D．2
16.（24-25高一上·全国·课后练习）求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）.
17.（24-25高一上·新疆和田·期末）计算：
题型五　利用换底公式求值
18.（24-25高一上·江苏南京·课后练习）化简的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
19.（24-25高一上·山东滨州·期末）式子（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
20.已知，则__________．
21.（24-25高一上·全国·阶段练习） 用表示下列各式：
； （2）； （3）.
22. 已知lg2=m,lg3=n,求的值.
23.（24-25高一上·湖北武汉·课堂练习）已知，求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）.
24.（24-25高一上·全国·课后练习）化简下列各式：
（1）；
（2）.
25.（25-26高三上·山东青岛·开学考试） 化简.
题型六　利用换底公式解含参数的求值问题
26.（24-25高二下·山东日照·期末）若，，则（ ）
A． B．
C． D．
27.（24-25高二下·山东德州·期末）已知，若，则（ ）
B． C． D．36
28.已知，，则
29.（23-24高三上·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（ ）
B．
C． D．
30.（24-25高二下·山东青岛·期末）已知，若，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
31.（多选） （24-25高一上·广东汕头·期末）已知正数、、满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
32.求满足下列条件的各式的值：
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
33.设，求证：.
题型七　解与对数有关的方程问题
34.（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）方程=的解是　　　　.
35.（24-25高一上·陕西渭南·随堂练习）方程lg(2x－3)＝1的解为 .
36.（24-25高三上·浙江·开学考试）方程的实数解有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
已知，是方程的两根，则等于（ ）
A． B． C． D．
题型八　对数型函数过定点问题
38.（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图像上，则（ ）
A．3 B．5 C．8 D．11
39.（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为 ．
40（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数（，且）的图象过点．
(1)求；
(2)若函数，求的定义域．
题型九　反函数的理解与简单应用
41.（24-25高二下·山西吕梁·期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
42.（2025·浙江绍兴·三模）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
43.（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）函数的反函数为， 则（ ）
A．2 B．3 C．8 D．9
44. 求下列函数的反函数.
(1)y＝10x； (2)y＝x； (3)y＝logx； (4)y＝log2x。
45.（2025高三·全国·专题练习）求函数的反函数.
题型十　对数型函数定义域问题
46.（2025高二下·湖南·学业考试）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
47.（24-25高二下·浙江·期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
函数f(x)＝lg(2－3x)的定义域是________。
49.（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ．
50.（24-25高一下·贵州毕节·期末）函数的定义域为 .
题型十一　　对数型函数单调性问题
51.函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　 　)
A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)
52.（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
53．（24-25高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
55.函数y＝log2(x2－1)的递增区间是________.
56.求函数y＝log0.3(3－2x)的单调区间。
题型十二　　利用对数型复合函数单调性求参数范围
57.（24-25高一下·广西·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
58.（2025·吉林·三模）若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
59.（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
60.（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型十三　　对数型函数图像问题
61.如图所示,曲线是对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象,已知a取,则曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次为(　 　)
A. B. C. D.
(多选)如图是三个对数函数的图象，则(　 　)
A． B．
C． D．
63.函数y=log2|x|的图象大致是( 　 　)
64.作出函数y＝|log2(x＋1)|的图象．
65.如图,曲线C1,C2,C3,C4分别是对数函数y=lox,y=lox,y=lox,y=lox的图象,你能指出a1,a2,a3,a4以及1的大小关系吗
题型十四　　与对数函数有关的不等式问题
设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　 )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋1)，则满足不等式f(a－2a2)＋4>0的实数a的取值范围是________．
题型十五　　对数型函数的值域问题
68.（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
69.（24-25高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
70.（2025·湖北·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　 　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
73.（24-25高一上·重庆·期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
74.（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
75.（2025高二下·湖南株洲·学业考试）函数的值域是 .
76.（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知函数，，则函数的值域为 ．
题型十六　　对数型函数的综合性问题
77.（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
78.（2025·河北·模拟预测）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
79．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象恒过原点
B．若，则是增函数
C．若的定义域为，则的取值范围为
D．若的值域为，则的取值范围为
80．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）若的定义域为，则实数的取值范围为 ；
（2）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
81．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数.
(1)若函数的定义域为，求实数a的范围；
(2)若函数的值域为，求实数a的范围；
(3)若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围.
82.（2025高三·北京·专题练习）已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)若，且关于的方程在上有解，求的取值范围．
题型十七　　对数运算性质之与实际应用
83.（24-25高三上·北京·阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者”的倍（参考数据：，，）
A． B． C． D．
84.（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）假定风力等级与风速的关系满足方程：（其中v为风速，单位：为风力等级），2025年4月12日，河北省气象部门发布大风预瞥，某地区风速达到，则该地区此次大风的风力等级约为（注：）（ ）
A．2级 B．3级 C．4级 D．5级
85.（2025·北京海淀·三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（ ）倍．（精确到1．参考数据：）
A．87 B．88 C．89 D．90
86.（24-25高一上·全国·课后作业）人们早就发现了放射性物质的衰减现象．在考古工作中，常用的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律：，其中t表示衰减的时间，表示放射性物质的原始质量，表示经衰减了t年后剩余的质量．为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期．的半衰期大约是5730年．人们又知道，放射性物质的衰减速度与其质量成正比．1950年，在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭，当时测定，其的衰减速度为4.09个/（），而新砍伐树木烧成的木炭中的衰减速度为6.68个/（）．请估算出汉谟拉比王朝所在年代．（参考数据：）
第四章对数运算与对数函数题型归纳答案
题型一：对数概念的理解
1.（24-25高一上·河北衡水·随堂练习）给出下列说法:
①零和负数没有对数;
②任何一个指数式都可以化成对数式;
③以10为底的对数叫作常用对数;
④以为底的对数叫作自然对数.
其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据对数的概念和定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.
【详解】零和负数没有对数，命题①正确；
，不能写成对数式，命题②错误，；
以10为底的对数叫做常用对数，命题③正确；
以为底的对数叫作自然对数，命题④正确；
故正确命题是①③④，
故选：C.
2.（24-25高一上·山东德州·阶段测试）对数式中实数的取值范围是（ ）
B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的定义和性质，得到关于的不等式组，求解即可得到答案.
【详解】由对数式有意义得 解得.
故选：C.
3.（24-25高一上·陕西·单元检测）若对数式有意义，则实数的取值范围是（ ）
B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】要使对数式有意义，需，解得且，
所以，实数的取值范围是.
故选：B.
4.（24-25高一上·辽宁·课后练习）使对数有意义的的取值范围为　　
且 B． C．且 D．
【答案】B
【分析】根据对数成立的条件，建立不等式即可得到结论．
【详解】要使对数有意义，则，解得，
故选：B．
题型二　指数式与对数式的互化
5.（24-25高一上·全国·随堂练习）把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式:
； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）； （7）； （8）.
【答案】（1） （2） （3）
（4） （5） （6） （7） （8）
【解析】（1）因为，则.
（2）因为，则.
（3）因为，则.
（4）因为，则.
（5）因为，则.
（6）因为，则.
（7）解：因为，则.
（8）因为，则.
6.（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）将下列指数式改写成对数式，对数式改写成指数式.
； （2）； （3）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】直接利用指数和对数的关系实现对指互化.
【详解】（1）由可得；
（2）由得；
（3）由可得．
7.（24-25高一上·全国·课堂练习）将下列对数式为指数式或指数式化为对数式：
； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【详解】（1）解：因为，, 所以．
（2）因为，所以．
（3）因为，所以．
（4）因为，所以．
题型三　利用对数式性质求值
8.（24-25高一上·福建·期中）①； ②； ③若，则；
④若，则． 其中正确的是（ ）
①③ B．②④ C．①② D．③④
【答案】C
【分析】根据对数的运算性质计算逐一判断可得选项.
【详解】解：对于①，，故①正确；
对于②，，故②正确；
对于③，若，则，故③不正确；
对于④，若，则，故④不正确．
故选：C.
9.（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用对数运算性质求出，再代入计算即可.
【详解】由条件知，所以，即，
所以．
故选：C.
10．（24-25高一上·四川成都·期末）式子的值为（ ）
A． B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】根据指、对数运算求解即可.
【详解】由题意可得：原式.
故选：C.
11．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，则 ;
【答案】
【详解】因为函数，
所以，
故答案为:.
12.（24-25高一上·北京·课后作业）求下列各式中x的值：
x＝； (2)x＝log9；
(3)logx8＝－3； (4)logx＝4.
【详解】(1)由x＝，得＝4，
所以＝22，－＝2，x＝－4.
(2)由x＝log9，可得9x＝，即32x＝所以2x＝，x＝.
(3)由已知得x－3＝8，即＝23，＝2，x＝.
(4)由已知得x＝＝.
13.（24-25高一上·江苏扬州·课后作业）计算下列各式：
(1)log2(log93); (2) ++2log31-3log77+2ln 1； (3)
【详解】(1)设log93=x,则 9x=3,即32x=3,∴x=.
设log2=y,则2y==2-1,
∴y=-1.∴log2(log93)=-1.
(2)+2log31-3lg 10+3ln 1=3+0-3+0=0.
(3) ＝＝＝2.
14．（24-25高一上·江苏南京·期末）求下列各式中的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【详解】（1）因为，所以，
所以，解得；
（2）因为，所以，
所以，解得；
（3）因为，所以，
所以，解得.
题型四　利用对数运算性质求值
15.（24-25高三上·青海·期中）（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】利用对数运算法则计算可求值.
【详解】．
故选：B.
16.（24-25高一上·全国·课后练习）求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）.
【详解】（1）；
（2）；
（3）.
17.（24-25高一上·新疆和田·期末）计算：
【分析】根据对数的运算法则进行化简求解.
【详解】.
题型五　利用换底公式求值
18.（24-25高一上·江苏南京·课后练习）化简的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
【详解】原式
，
故选：B.
19.（24-25高一上·山东滨州·期末）式子（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及换底公式计算即得.
【详解】
.
故选：C.
已知，则__________．
【答案】
【解析】∵，∴，∴．
21.（24-25高一上·全国·阶段练习） 用表示下列各式：
； （2）； （3）.
【详解】(1)；
(1)；
(3).
22. 已知lg2=m,lg3=n,求的值.
【分析】 将对数式lg2=m,lg3=n分别转化为指数式.
【解析】∵lg2=m,lg3=n,
∴.
∴
23.（24-25高一上·湖北武汉·课堂练习）已知，求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）.
【详解】，
（1）.
（2）
（3）.
（4）.
24.（24-25高一上·全国·课后练习）化简下列各式：
（1）； （2）.
【详解】（1）根据对数的运算性质,结合换底公式,展开化简可得
（2）根据对数的运算性质,化简可得
25.（25-26高三上·山东青岛·开学考试） 化简.
【详解】
题型六　利用换底公式解含参数的求值问题
26.（24-25高二下·山东日照·期末）若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据指数式和对数式互换得出；再根据对数的运算法则及换底公式可求解.
【详解】由可得：.
则
.
27.（24-25高二下·山东德州·期末）已知，若，则（ ）
B． C． D．36
【答案】B
【分析】利用指数、对数运算法则计算即可得出结果.
【详解】由可得,
由可得；
所以.
故选：B
28.已知，，则
【答案】-1
【详解】由题设，，
根据换底公式，则.
故答案为：
设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（ ）
B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项.
【详解】由，得，，，
，，，则，
根据可知.
故选：C
30.（24-25高二下·山东青岛·期末）已知，若，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用对数运算，结合因式分解，通过分析可得，然后再利用基本不等式可求得最小值.
【详解】由题意得：，
所以或，即或，
因为，所以，
即，
取等号条件为，此时，
故选: D
31.（多选） （24-25高一上·广东汕头·期末）已知正数、、满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】令，可得，，，
，故A正确；
，故B正确；
，，所以，得，
又，所以，得，所以，，故C不正确；
，故D正确；
故选：ABD
32.求满足下列条件的各式的值：
（1）若，求的值； （2）若，求的值.
【详解】解：（1），
；
（2），.
【点睛】本题考查对数恒等式的应用（且），属于基础题.
设，求证：.
【详解】证明：设，
则，，.
所以，，.
所以，
所以.
题型七　解有关的方程
34.（24-25高三上·浙江·开学考试）方程的实数解有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】由换底公式变形解对数方程即可.
【详解】，所以或，
所以或，
所以方程的实数解有2个.
故选：C.
35.（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知，是方程的两根，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据根与系数关系、对数运算求得正确答案.
【详解】方程的判别式，
则，
所以.
故选：D
36.（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）方程=的解是　　　　.
[解析] ∵==3-3,∴log2x=-3,∴x=2-3=.
37.（24-25高一上·陕西渭南·随堂练习）方程lg(2x－3)＝1的解为 .
【答案】
【分析】将对数式转为指数式即可求出解.
【详解】由lg(2x－3)＝1知2x－3＝10，解得x＝.
故答案为: .
题型八　对数型函数过定点问题
38.（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图像上，则（ ）
A．3 B．5 C．8 D．11
【答案】D
【分析】由已知求出定点的坐标，根据待定系数法求出，从而可得结果.
【详解】函数的图象恒过定点，
又点在的图象上，
，即，
故选：D.
39.（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（，且）的图象过点，则函数的解析式为 ．
【分析】由题意建立方程求解即可．
【解答】解：因为函数y＝loga（4﹣x）（a＞0，且a≠1）的图象过点（0，2），
所以2＝loga4，解得a＝2，
所以函数的解析式为：y＝log2（4﹣x）．
故答案为：y＝log2（4﹣x）．
40（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数（，且）的图象过点．
(1)求；
(2)若函数，求的定义域．
【分析】（1）根据待定系数法求出解析式，再求值即可；
（2）求出表达式，根据对数函数的性质得到真数为正，构造不等式组计算即可．
【详解】（1）由题意可得，可得，故，故；
（2），
其中，解得，
此时函数的定义域为．
题型九　反函数的理解与简单应用
41. 求下列函数的反函数.
(1)y＝10x； (2)y＝x； (3)y＝logx； (4)y＝log2x。
【详解】 (1)由y＝10x，得x＝lg y，∴其反函数为y＝lg x；
(2)由y＝x，得x＝logy，∴其反函数为y＝logx；
(3)由y＝logx，得x＝y，∴其反函数为y＝x；
(4)由y＝log2x，得x＝2y，∴其反函数为y＝2x.
42.（2025高三·全国·专题练习）求函数的反函数.
【分析】由反函数的定义求解即可.
【详解】由题意令，解得.
43.（24-25高二下·山西吕梁·期末）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用反函数的定义求得，可求的值.
【详解】已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以，所以．
故选：B．
44.（2025·浙江绍兴·三模）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】抓住关于直线对称的点为即可求解.
【详解】因为关于直线对称的点为，则的对称点为，
又在函数的图象上，故，解得，
故选：.
45.（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）函数的反函数为， 则（ ）
A．2 B．3 C．8 D．9
【答案】D
【分析】先求出函数的反函数，再将代入反函数计算.
【详解】因为原函数为，根据反函数的定义，对数函数与指数函数互为反函数，
所以其反函数为，所以.
故选：D.
题型十　对数型函数定义域问题
46.（2025高二下·湖南·学业考试）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数的真数大于零列不等式即可求解.
【详解】由，解得.
故选：B.
47.（24-25高二下·浙江·期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数解析式，建立不等式组，可得答案.
【详解】由题意可得，解得.
故选：A.
48. 函数f(x)＝lg(2－3x)的定义域是________。
【详解】 由2－3x>0，得x<，
所以，f(x)的定义域是.
49.（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域.
【详解】对于函数，有，解得，
故函数的定义域为.
故答案为：.
50.（24-25高一下·贵州毕节·期末）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据具体函数定义域的求法直接可得解.
【详解】由已知，则，
解得或，
即函数的定义域为，
故答案为：.
题型十一　　对数型函数单调性问题
函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)
【答案】D
【详解】要使函数有意义，则：x2－2x－8>0，解得：x<－2或x>4，
结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则，
可得函数的单调增区间为(4，＋∞)，
故选D.
52．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求函数的定义域，再求函数在定义域上的增区间即可.
【详解】解：由已知得，解得或，函数的定义域为，
因为总为增函数，要求函数的单调递增区间，
由同增异减可得即求函数在上的增区间
由二次函数的性质可得在上的增区间为，
故函数的单调递增区间是.
故选：A.
53．（24-25高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由复合函数单调性可得，再解不等式组即可.
【详解】因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增，且大于零恒成立，
则，解得.
故选：B.
54．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据幂函数及对数函数的单调性，结合充分条件、必要条件的概念求解.
【详解】取时，满足，但无意义，故不成立；
若，根据对数函数的单调性可知，再由幂函数的单调性可得；
故“”是“”的必要充分条件.
故选：B
函数y＝log2(x2－1)的递增区间是________.
【详解】由x2－1>0，得x>1，或x<－1．
令u＝x2－1，则u在(－∞，－1)上递减，在(1，＋∞)上递增，又y＝log2a是增函数，
则y＝log2(x2－1)的递增区间是(1，＋∞).
56.求函数y＝log0.3(3－2x)的单调区间。
【详解】由3－2x>0，解得x<，设t＝3－2x，x∈，
∵函数y＝log0.3t是减函数，且函数t＝3－2x是减函数，
∴函数y＝log0.3(3－2x)在上是增函数，
即函数y＝log0.3(3－2x)的单调递增区间是，没有单调递减区间.
题型十二　　利用对数型复合函数单调性求参数范围
57.（24-25高一下·广西·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对数型复合函数单调性，结合定义域列式求解.
【详解】函数在上单调递减，而函数在上单调递减，
则函数在上单调递增，且恒有，
因此且，解得，
所以的取值范围为.
故选：D
58.（2025·吉林·三模）若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由对数的底数大于0，可得内函数为增函数，结合复合函数的单调性可得，再由对于恒成立，可得的取值范围，再求交集即可.
【详解】是由，复合而成，
由题意知：，在区间上单调递增，
若函数（其中且）在区间上单调递减，
所以单调递减，可得： ,
又对于恒成立，
所以，解得：，
综上所述：.
故选：A
59.（2025·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复合函数的单调性得到在上单调递增，列出不等式组，解之即得参数范围.
【详解】因为在上单调递增，由函数在上单调递增，
可得在上单调递增且恒成立，
，解得，
即实数的取值范围是.
故选：C.
60.（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同增异减可得的增减性，故可求实数的取值范围.
【详解】设，因为为上的增函数，
而在内单调递增，
故为内的增函数，且在内恒成立，
故，故，
故选：D.
题型十三　　对数型函数图像问题
61.如图所示,曲线是对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象,已知a取,则曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】 作直线y=1与四条曲线分别交于四点,
由y=logax=1,得x=a(即交点的横坐标等于底数),
所以横坐标小的底数小,
所以C1,C2,C3,C4对应的a值分别为.
故选：A.
62.（21-22高一下·湖南·期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【详解】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D
63.函数y=log2|x|的图象大致是(　 　)
【答案】A
【详解】函数y=log2|x|为偶函数,且x>0时,y=log2x,
故选A.
64.作出函数y＝|log2(x＋1)|的图象．
【详解】第一步：作出函数y＝log2x的图象(如图①)；
第二步：将y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，得函数y＝log2(x＋1)的图象(如图②)；
第三步：将函数y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，得y＝|log2(x＋1)|的图象(如图③)．
65.如图,曲线C1,C2,C3,C4分别是对数函数y=lox,y=lox,y=lox,y=lox的图象,你能指出a1,a2,a3,a4以及1的大小关系吗
【详解】作直线y=1(图略),它与各曲线C1,C2,C3,C4的交点的横坐标就是各对数函数的底数,
由此可判断出各底数的大小,则a4>a3>1>a2>a1>0.
题型十四　　与对数函数有关的不等式问题
设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
【答案】C
【详解】　由题意得或
解得a＞1或－1＜a＜0.故选C.
故选：C.
67.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋1)，则满足不等式f(a－2a2)＋4>0的实数a的取值范围是________．
【答案】
【详解】当x≥0时，f(x)＝log2(x＋1)，
则f(x)在区间[0，＋∞)上为增函数，且f(15)＝log2(15＋1)＝4.
又函数f(x)为奇函数，且函数f(x)是R上的连续函数，
则f(x)在R上为增函数．
因为f(a－2a2)＋4>0，即f(a－2a2)>－4，
所以f(a－2a2)>f(－15)，即a－2a2>－15，解得－题型十五　　对数型函数的值域问题
68.（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出指数函数、对数函数值域，再利用交集的定义求解.
【详解】依题意，，
所以.
故选：B
69.（24-25高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，求出其值域，化简集合 ，利用并集运算即可求解.
【详解】因为指数函数是上的增函数，
所以由,得,则,
因为对数函数是上的减函数，
所以由, 得,则
故.
故选：C
70.（2025·湖北·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果.
【详解】因为对数函数是上的减函数，
所以由，得，则；
因为指数函数是上的增函数，
所以由，得，则，
由此，.
故选：B.
函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二次函数性质以及复合函数单调性判断出的单调区间，代入计算即可求得结果.
【详解】依题意可知，解得；
易知函数的定义域为；
又是由函数和复合而成的，
由对数函数单调性可知在定义域内单调递减，
而二次函数开口向上，关于对称，
因此在上单调递增，在上单调递减；
由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增；
因此在处取得最大值，即，
可得的值域为.
故选：C
函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　 　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
【答案】A
【详解】∵3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴log2(3x＋1)>log21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞)．
故选：A.
73.（24-25高一上·重庆·期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式求的范围，结合对数的性质求复合函数定义域，判断端点值是否可取，进而确定值域.
【详解】由，当且仅当时等号成立，
所以，故值域为.
故选：D
74.（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解.
【详解】令，因为，所以，
因为
，
所以，，
函数在区间上单调递增，
所以，，
所以函数，的值域为.
故选：.
75.（2025高二下·湖南株洲·学业考试）函数的值域是 .
【答案】
【分析】先得到二次函数的值域，再结合对数函数的单调性，即可得到结果.
【详解】对于，对称轴为，
所以，
又在上单调递增，其中，
所以当时，取得最小值，即，
所以，即函数的值域为.
故答案为：
76.（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知函数，，则函数的值域为 ．
【答案】
【分析】由原函数和所求函数求得其定义域，化简所求函数解析式，利用换元，得到一元二次函数，结合其图象性质即可求得函数值域.
【详解】因，，，
则由，解得：，
即函数的定义域为，
设，则，且在上单调递增，
故当时，即时，；当，即时，，
因，故函数的值域为.
故答案为：.
题型十六　　对数型函数的值域问题
77.（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可得在上的值域与在上的值域的并集为R，据此可得答案.
【详解】在上单调递增，则在上的值域为.
若时，函数在上单调递减，
值域为，与并集不是R，故不满足题意；
若时，函数在上单调递增，
值域为，要使与并集为R，则，
即满足题意.
故选：B
78.（2025·河北·模拟预测）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数性质分析可知的值域为，结合题意可得，结合对数函数性质列式求解即可.
【详解】设的值域分别为，
当时，则，可得；
因为的值域为，可知，
则，且，可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
79．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象恒过原点
B．若，则是增函数
C．若的定义域为，则的取值范围为
D．若的值域为，则的取值范围为
【答案】AC
【分析】对于A：直接代入运算即可；对于B：举反例说明即可；对于C：分析可知对任意恒成立，结合判别式分析运算；对于D：分析可知的值域包含，结合判别式分析运算.
【详解】因为函数，
对于选项A：因为，所以的图象恒过原点，故A正确；
对于选项B：若，则，
因为，可知不是增函数，故B错误；
对于选项C：若的定义域为，则对任意恒成立，
则，解得，
所以的取值范围为，故C正确；
对于选项D：若的值域为，则的值域包含，
则，解得或，
所以的取值范围为，故D错误；
故选：AC.
80．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）若的定义域为，则实数的取值范围为 ；
（2）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
【分析】（1）定义域为，说明真数恒大于0，列式求解；
（2）值域为，说明真数能取遍，列式求解.
【详解】定义域为即真数恒大于0，则或，得
所以的取值范围是．
（2）值域为即真数能取遍
当时，成立，
当，解得，
所以的取值范围是
故答案为：；
81．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数.
(1)若函数的定义域为，求实数a的范围；
(2)若函数的值域为，求实数a的范围；
(3)若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围.
【详解】（1）∵函数的定义域为，∴时，恒成立，
①当时，，∴与相矛盾，故不符合题意；-
②当时，则，∴
综上所述：实数a的范围为.
（2）∵函数的值域为，∴要取遍所有正数，
①当时，，符合题意；
②当时，则，∴
综上所述：：实数a的范围为：.
（3）∵单调递减，且函数在区间上是增函数，
∴在上单调递减，且恒成立.
①当时，，且，∴在上单调递减，且恒成立，符合题意；
②当时，则，∴.
③当时，则，∴，∴.
综上所述：实数a的范围为：.
82．（2025高三·北京·专题练习）已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)若，且关于的方程在上有解，求的取值范围．
【分析】（1）令对数的真数大于零，求解可得结果；
（2）分离出参数， 使得在上有解，令，根据单调性求出的范围，可得结果.
【详解】（1），，解得：．
所以函数的定义域为；
（2）由题设知，关于的方程在上有解，
令，
由于在上单调递增，
故在上单调递减，而，则，
所以，即.
题型十七　　对数运算性质之与实际应用
83.（24-25高三上·北京·阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者”的倍（参考数据：，，）
A． B． C． D．
【分析】由已知可列方程，结合指对数的转化公式化简求值.
【详解】设经过天“进步者”是“退步者”的倍，
即，
即，
化简可得，
故选：A.
84.（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）假定风力等级与风速的关系满足方程：（其中v为风速，单位：为风力等级），2025年4月12日，河北省气象部门发布大风预瞥，某地区风速达到，则该地区此次大风的风力等级约为（注：）（ ）
A．2级 B．3级 C．4级 D．5级
【答案】D
【分析】代入,根据指对互化即可求解.
【详解】将代入公式得，
所以，即该地区此次大风的风力等级约为5级，
故选:D．
85.（2025·北京海淀·三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（ ）倍．（精确到1．参考数据：）
A．87 B．88 C．89 D．90
【答案】C
【分析】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级，利用对数计算 的值，根据参考数据，利用对数函数的单调性估计得到答案.
【详解】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级.
因为地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为，
所以，
且，
所以，
根据精确度要求精确到1，所以，
故选：C.
86.（24-25高一上·全国·课后作业）人们早就发现了放射性物质的衰减现象．在考古工作中，常用的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律：，其中t表示衰减的时间，表示放射性物质的原始质量，表示经衰减了t年后剩余的质量．为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期．的半衰期大约是5730年．人们又知道，放射性物质的衰减速度与其质量成正比．1950年，在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭，当时测定，其的衰减速度为4.09个/（），而新砍伐树木烧成的木炭中的衰减速度为6.68个/（）．请估算出汉谟拉比王朝所在年代．（参考数据：）
【分析】首先由衰减规律得，从而，进一步由题意得，即，解指数方程即可进一步求解.
【详解】因为的半衰期大约是5730年，所以由衰减规律，得．
解得．因此的衰减规律服从指数型函数．
设发现汉谟拉比王朝字样的木炭时（1950年），该木炭已衰减了年．
因为放射性物质的衰减速度与其质量成正比，所以，
于是．
两边取以2为底的对数，得．
解得．
所以该木炭已衰减了约4055年，即汉谟拉比王朝大约存在于公元前2100年．