2025-2026学年人教版九年级数学（上）二次函数与几何--面积专题（含答案）

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2025年人教版九年级数学（上）二次函数--面积专题
1．如图，已知二次函数过点，．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标；
(3)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点．A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值．
3．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，,，，抛物线的图象经过C点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)平移该抛物线的对称轴所在直线L．当L移动到何处时，恰好将的面积分为相等的两部分？
(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
4．如图，抛物线过点，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设P是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点P的坐标；
(3)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值．
5．如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为、，点是抛物线的顶点．
(1)求二次函数的关系式；
(2)点为线段上一个动点，过点作轴于点．设点的横坐标为，的面积为．
①求与的函数关系式，写出自变量的取值范围；
②求的最大值．
6．已知抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），点A的坐标是，与轴相交于点．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)将抛物线向左或向右平移，得到抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，要使，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．
7．如图1，抛物线经过点、，，顶点为；
(1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)如图2，若点在抛物线上，点是直线上方抛物线上一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点，为抛物线上的一个动点，连接，，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点在直线上方时，求面积的最大值；
(3)当点在轴右侧时：
①连接，当的面积是面积的一半时，直接写出点的坐标______；
②设是抛物线对称轴上一动点，当、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的的值．
9．如图（1），已知抛物线过点，连接，点M是抛物线段上的一个动点，设点M的横坐标为t，的面积为S．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求S关于t的函数关系式，并求出点M到直线的最大距离；
(3)如图（2），当轴时，点P是抛物线上不与M重合的点，且求点P的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与y轴交于点，是抛物线上的一个动点．
(1)求该二次函数的解析式．
(2)若点M在直线的下方，则当点M运动到什么位置时，的面积最大？并求出的面积的最大值．
(3)若N是x轴上的一动点，是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积最大值及此时点的坐标；
(3)将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴的负半轴交于点，点为平移后的新抛物线上一动点，当，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
12．如图1，抛物线经过、两点，与x轴交于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使面积最大的点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图3，若抛物线的对称轴（E为抛物线顶点）与直线相交于点F，M为直线上的任意一点，过点M作交抛物线于点N，以E，F，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点M的坐标；若不能，请说明理由．
2025年九年级数学（上）二次函数--面积专题
参考答案
1．（1）将点，代入
得，， 解得，，
∴二次函数的解析式为；
（2），
由平移规律得平移后的解析式为，
∴顶点为；
（3）当时，，
解得：，，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∵顶点为，
∴点P在x轴的上方，纵坐标为4，
∴，
解得，或，
∴或．
2．（1）解：将两点坐标代入，
得， 解得，
；
（2）解：设，
将，代入，
， 解得
故，
，
对称轴，
设点，
由题意可知，点和点关于对称，
当点在上时，的周长最小，
此时点，
（3）解：过点作轴的平行线与交于点，与交于点，设点的横坐标为，则，，
由（2）得，
则点的坐标为，
，
，
当时，四边形的面积最大，
此时点的坐标为，四边形的面积最大为．
3．（1）解：过C作轴于K，如图：
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
把代入得：
， 解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设抛物线的对称轴所在直线L交于，交于Q，此时直线L恰好将的面积分为相等的两部分，如图：
设直线L为，
由，可得，
，
设直线为，
将，代入，
得， 解得，
直线解析式为，
，
设直线为，
将，代入，
得, 解得，
直线解析式为，
，
，
，
，
解得（此时直线L在C右侧，舍去）或，
∴当L移动到处时，恰好将的面积分为相等的两部分；
（3）解：存在点P，使四边形为平行四边形，
理由如下：
设P的横坐标为t，
∵四边形为平行四边形，
的中点即为的中点，
，，，
，
解得，
此时，
，
经检验，符合题意；
∴P点坐标为．
4．（1）解：∵抛物线过点，，
∴设抛物线解析式为，
把代入得：，
解得，
所以抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为：，
将，代入得：
，解得，
∴直线的解析式为：，
如图，过点P作y轴的平行线，交于Q，
设，则，则，
∴
，
∴当时，的面积最大，最大为，
即的最大面积为，此时点P的坐标为；
（3）解：如图，连接，过点M作于点N，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即当点A，M，N三点共线时，取得最小值，的最小值为的长，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
5．（1）解：将、代入抛物线可得，
， 解得，
二次函数的关系式；
（2）解：①由（1）知二次函数的关系式，
点是抛物线的顶点，
，
设直线的解析式为，
将、代入得，
，解得，
直线的解析式为，
过点作轴于点，点的横坐标为，
、，
的面积为，
、，
；
②由①知，，
，
，满足，
的面积有最大值，为．
6．（1）解：将点A的坐标代入，
得，
，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：抛物线与轴的交点为，
当抛物线向左或向右平移时，
由题可知，要使，
则与轴的交点为（负值已舍），
设平移后，，
将代入，
得，
解得，
当时，，
当时，，
综上所述，抛物线的函数表达式为或．
7．（1）解：∵抛物线经过点，
∴，即，
再将，代入得，
， 解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∵，
∴顶点的坐标为；
（2）如图，过作轴交于，
设直线解析式为，
代入，得，解得，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∴
∴当时，的最大面积为，
此时；
8．（1）对于直线，当时，，解得，
；
当时，， ，
把得：
，解得
抛物线解析式为；
（2）过点作轴交于点，设点的横坐标为，把代入得，
．
点的坐标为，
．
将代入，
，
面积的最大值最大值是4；
（3）①抛物线，令，即，
解得， ．
，
的面积是面积的一半，
，
过点作轴交x轴于点H，设H点的横坐标为n，
H点坐标为，，
代入化简解得，
代入抛物线得，
；
②由题意，
当是对角线时，如图，，
由及平移得，
代入，解得；
当是平行四边形的边时，如图，，
由及平移得，
代入，解得；
解得
的值是或．
9．（1）解：设抛物线的解析式为，
∵
∴，
依题意，把，分别代入，
得， 解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：依题意，设直线的解析式为，
把分别代入，
得， 解得，
∴直线的解析式为，
过点作轴，交于一点，如图所示：
∵设点M的横坐标为t，
∴，
∵的面积为S．
∴，
∵，
∴开口向下，在对称轴直线时，有最大值，且为，
∵，
∴，
设点M到直线的距离为，
则当取最大时，则点M到直线的距离才有最大值，
即，
解得，
∴最大距离为；
（3）解：依题意， 的对称轴为直线，
∵轴，且
∴M横坐标为2，
∵，
∴
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∵轴，
∴
∵点P是抛物线上不与M重合的点，且
则作射线，且与交于一点，记为，
∵
∴
∴，
设直线解析式为，
把分别代入，
∴ 解得
∴直线解析式，
∵点P是抛物线上不与M重合的点，
联立，
∴，
解得（舍去），，
把代入，得，
解得．
10．（1）解：将点A，B，C代入二次函数解析式，
可得，解得，
∴二次函数表达式为；
（2）如图，过点M作y轴得平行线交直线于点P，连接，
设直线得解析式为，将B，C坐标代入，
可得，解得，
所以直线得解析式为，
设，则，
∵
，
∵，
∴当时，有面积最大值，此时点M的坐标为；
（3）解：存在，
由题意可得：，
设以对角线分类，
当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，
由中点坐标公式可得：，即，
解得：（舍弃）或，
所以点M的坐标为；
当为对角线时，同理可得：
，即，
解得：（舍弃）或，
所以点M的坐标为；
当为对角线时，同理可得：
，即，
解得：或，
所以点M的坐标为或．
综上，点M的坐标为或或．
11．（1）解：∵抛物线过点，交轴于点，
∴， 解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，过点P作轴交于点E，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，
则， 解得，
∴直线的解析式为，
，
，则，
∵，且 ，
当时，取得最大值，
取得最大值，
此时，
此时；
（3）∵，
∴将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，则：
，
当时，，解得或，
∴点的坐标为，
如图，当时，，
∵直线的解析式为，
∴可设直线的解析式为，
把点代入得到，，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得到，
解得或，
∴点的坐标是，
当时，，
∴直线与直线关于轴对称，
∴直线经过点的关于轴对称点，
设直线的解析式为，
把点的坐标为，点代入，得
解得，
∴直线的解析式为，
联立得到， 解得，或，
∴点的坐标是，
综上可知，点的坐标为或．
12．（1）解：依题意，有：， 解得，
抛物线的解析式：；
（2）解：设直线的解析式为，则有
， 解得：，
直线的解析式为，
如图，过点P作轴，交直线于Q，
设，则，
∴
；
；
，
当时，取最大值，
，
；
（3）解：存在；
抛物线，
，
当时，，
，
，
如图，过点M作，交直线于M，
设，
则；
；
当与平行且相等时，四边形是平行四边形，
，
当时，
解得：，（不合题意，舍去），
当时，，
，
当时，
解得：，，
同理可求：，，
综上所述，存在平行四边形，，，．
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