1.1 平均变化率
1.2 瞬时变化率
1.已知函数f（x）＝x3＋5x－3，则从x1＝2到x2＝2＋Δx的自变量的改变量为（ ）
A.2 B.2＋Δx
C.Δx D.以上都不对
2.一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为s（t）＝5t2＋mt，且该物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为（ ）
A.2 B.1 C.－1 D.－2
3.某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋（t的单位是秒，s的单位是米），则它在4秒末的瞬时速度为（ ）
A. 米/秒 B. 米/秒
C.8 米/秒 D. 米/秒
4.某公司的盈利y（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系是y＝f（x），假设＞0（x1＞x0≥0）恒成立，且＝10，＝1，则说明后10天与前10天相比（ ）
A.公司亏损且亏损幅度变大
B.公司的盈利增加，增加的幅度变大
C.公司亏损且亏损幅度变小
D.公司的盈利增加，增加的幅度变小
5.（多选）物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.在0到t0范围内甲的平均速度等于乙的平均速度
B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
6.（多选）已知某物体做直线运动，位移s与时间t的函数关系为s（t）＝7t2＋8（0≤t≤5），则（ ）
A.从t＝1到t＝3该物体的平均速度是28
B.该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C.该物体位移的最大值为43
D.该物体在t＝5时的瞬时速度是70
7.已知函数f（x）＝ax＋b在区间[1，8]上的平均变化率为3，则实数a＝ .
8.如图是函数y＝f（x）的图象.
（1）函数f（x）在区间[－1，1]上的平均变化率为 ；
（2）函数f（x）在区间[0，2]上的平均变化率为 .
9.一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是 .
10.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h时，原油的温度（单位：℃）为y＝f（x）＝x2－7x＋15（0≤x≤8）.计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
11.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1（t），W2（t）与时间t（天）的关系如图所示，则一定有（ ）
A.两机关节能效果一样好
B.A机关比B机关节能效果好
C.A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D.A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
12.将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为 .
13.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论，其中描述正确的是 （填序号）.
①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
③甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强.
14.某一运动物体，在x s时离出发点的距离（单位：m）是f（x）＝x3＋x2＋2x.
（1）求在第1 s内的平均速度；
（2）求在1 s末的瞬时速度；
（3）经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s？
15.如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f（x）表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积（阴影部分）的2倍，则函数y＝f（x）的图象是（ ）
16.已知甲、乙两人百米赛跑路程与时间的关系如图所示.
（1）甲、乙两人的平均速度各是多少？
（2）在接近终点时，甲、乙两人谁的速度更快？
1.1 平均变化率
1.2 瞬时变化率
1.C 自变量的改变量为x2－x1＝（2＋Δx）－2＝Δx.
2.B 由已知，得＝26，所以（5×32＋3m）－（5×22＋2m）＝26，解得m＝1，故选B.
3.B 因为＝
＝＝Δt＋8－.
当Δt趋于0时，趋于，所以它在4秒末的瞬时速度为米/秒.
4.D 由＞0（x1＞x0≥0）恒成立，可知y＝f（x）单调递增，即盈利增加，又因为平均变化率＝10＞＝1，说明盈利增加的幅度变小，故选D.
5.AC 在0到t0范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一样，所以平均速度相同，在t0到t1范围内，时间相同，而甲走的路程较大，所以甲的平均速度较大.
6.ABD 该物体从t＝1到t＝3的平均速度是＝＝28，故A正确；物体在t＝4时的瞬时速度是当Δt趋于0时，＝56＋7Δt趋于56，故B正确；物体的最大位移是7×52＋8＝183，故C错误；物体在t＝5时的瞬时速度是当Δt趋于0时，＝70＋7Δt趋于70，故D正确.
7.3 解析：＝＝＝a＝3.
8.（1） （2） 解析：（1）函数f（x）在区间[－1，1]上的平均变化率为＝＝.
（2）由函数f（x）的图象知，f（x）＝所以函数f（x）在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝.
9.2 解析：由题意知，＝
＝＝ ＝2－6t－3Δt.
当Δt趋于0，t＝0时，物体的瞬时变化率为2－6×0＝2，即物体的初速度是2.
10.解：原油温度在x＝x0处的平均变化率为＝
＝Δx＋2x0－7.
当Δx趋于0时，趋于2x0－7，因此第2 h时和第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3和5.其说明在2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降；在6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升.
11.B 由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好.
12.2 解析：体积的增加量ΔV＝m3－＝（m3－1），所以＝＝，所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3（舍）.
13.①② 解析：①，－表示区间端点连线斜率的负数，在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；②，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标，正确；③，甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，甲企业在[t1，t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1，t2]的污水治理能力最强，错误.
14.解：（1）物体在第1 s内的平均变化率（即平均速度）为＝ （m/s）.
（2）＝
＝
＝6＋3Δx＋（Δx）2.
当Δx趋于0时，趋于6，
所以物体在1 s末的瞬时速度为6 m/s.
（3）＝＝
＝2x2＋2x＋2＋（Δx）2＋2x·Δx＋Δx.
当Δx趋于0时，趋于2x2＋2x＋2，
令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2，
即经过2 s该物体的运动速度达到14 m/s.
15.D 不妨设点A固定，点B从点A出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量较大，即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始，随着点B的继续旋转，弓形面积的变化越来越慢.由上可知函数y＝f（x）的图象应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确.
16.解：（1）由题图可知，当t＝0时，甲、乙从起点出发，当t＝12 s时，甲、乙到达终点，且甲、乙两人跑100 m都用了12 s，即y总＝100 m，t总＝12 s，所以＝＝＝＝（m/s）.
（2）由题图可知在t＝12 s附近，乙跑的路程的改变量比甲大，所以乙的斜率大于甲的斜率，所以v甲＜v乙，所以在接近终点时乙的速度更快.
2 / 31.1 平均变化率
1.2 瞬时变化率
新课程标准解读 核心素养
通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想 数学抽象
你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈.当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？
【问题】 你能从数学的角度来反映山坡的平缓和陡峭程度吗？
知识点一 平均速度、平均变化率
1.平均速度
物体从某一时刻开始运动，设s（t）表示此物体经过时间t走过的路程，当时间从t0变为t1时，物体所走的路程从s（t0）变为s（t1），这段时间内物体的平均速度＝ .
2.平均变化率
对一般的函数y＝f（x）来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f（x1）变为f（x2），它在区间[x1，x2]的平均变化率＝ .通常我们把自变量的变化x2－x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f（x2）－f（x1）称作函数值y的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝ .用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.
提醒 （1）如果物体的运动规律是s＝s（t），那么函数s（t）在t到t＋Δt这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速度，即＝；（2）函数平均变化率是用来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的量.
【想一想】
函数的平均变化率有何几何意义？
知识点二 瞬时变化率
对于一般的函数y＝f（x），在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f（x1）－f（x0），则该函数的平均变化率为＝＝.如果当Δx 时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f（x）在点x0的瞬时变化率.瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢.
提醒 （1）对瞬时速度的两点说明：①瞬时速度即位移函数s（t）相对于时间t的瞬时变化率；②当Δt在变化中趋于0时，比值趋于一个确定的常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度；（2）平均变化率与瞬时变化率的区别与联系：①区别，平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在点x0处变化的快慢；②联系，当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在点x0处的瞬时变化率，它是一个固定值；（3）“Δx趋于0”的含义：Δx趋于0的距离要多近有多近，即｜Δx－0｜可以小于给定的任意正数，且始终Δx≠0.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在平均变化率中，函数值的增量为正值.（ ）
（2）在计算物体运动的瞬时速度时，h（t0＋Δt）＞h（t0）.（ ）
（3）瞬时速度是刻画物体在区间[t0，t0＋Δt]（Δt＞0）上变化快慢的物理量.（ ）
（4）瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢.（ ）
2.如图，函数y＝f（x）在A，B两点间的平均变化率是（ ）
A.1 B.－1
C.2 D.－2
3.一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 米/秒.
题型一 平均变化率
角度1 求物体运动的平均速度
【例1】 某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s（t）＝sin t，t∈［0，］.
（1）分别求该物体在区间［0，］和［，］上的平均速度，；
（2）比较（1）中两个平均速度的大小，说明其几何意义.
尝试解答
通性通法
求物体运动的平均速度的步骤
（1）先计算时间的改变量t2－t1；
（2）再计算位移的改变量s（t2）－s（t1）；
（3）得平均速度＝.
【跟踪训练】
一质点按函数s（t）＝做直线运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为（ ）
A.－1 B.－
C.－2 D.2
角度2 求函数的平均变化率
【例2】 已知函数f（x）＝2x2＋3x－5.
（1）当x1＝4，且Δx＝1时，求函数y的改变量Δy和平均变化率；
（2）求（1）中的平均变化率的几何意义.
尝试解答
通性通法
求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的改变量Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）；
第三步，求平均变化率＝.
【跟踪训练】
求函数y＝2x2＋3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝－时该函数的平均变化率.
题型二 瞬时变化率
角度1 求物体运动的瞬时速度
【例3】 某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s（t）＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）在本例条件下，试求该物体的初速度.
2.（变设问）在本例条件下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
通性通法
求物体在t0时刻的瞬时速度的一般步骤是：首先要求出平均速度，然后求解当时间的改变量Δt趋于0时平均速度所趋向的那个定值，这个定值即为物体在t0时刻的瞬时速度.
角度2 求函数的瞬时变化率
【例4】 求函数y＝在x＝2处的瞬时变化率.
尝试解答
通性通法
求瞬时变化率的三个步骤
（1）求改变量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）；
（2）求平均变化量；
（3）求瞬时变化率，当Δx趋于0时，趋于的常数即为瞬时变化率.
【跟踪训练】
已知函数y＝f（x）＝x3，则用平均变化率求f（x）在x＝1处的瞬时变化率为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
题型三 平均变化率的意义
【例5】 已知函数y＝h（x）＝－4.9x2＋6.5x＋10.
（1）计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01；
（2）根据（1）中的计算，当Δx越来越小时，函数h（x）在区间[1，1＋Δx]（Δx＞0）上的平均变化率有怎样的变化趋势？
尝试解答
通性通法
1.一般地，当Δx变化时，函数f（x）在[x0，x0＋Δx]（Δx＞0）上的平均变化率是变化的，当Δx越来越小时，f（x）在某区间上的平均变化率呈现出一定的规律性，如果平均变化率随Δx趋于0，此时平均变化率的值也就趋于某一个确定的值（即瞬时变化率）.
2.可以刻画函数在某段上变化的快慢，而当Δx趋于0时，的极限值可以刻画函数在某点处的变化快慢.具体到实际问题当中，可以刻画山的陡峭程度等.
【跟踪训练】
如图是一段登山路线图，同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
1.我们常用函数y＝f（x）的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy＝（ ）
A.f（x0＋Δx） B.f（x0）＋Δx
C.f（x0）·Δx D.f（x0＋Δx）－f（x0）
2.已知函数y＝f（x）＝2x2－4的图象上一点（1，－2）及邻近一点（1＋Δx，－2＋Δy），则＝（ ）
A.4 B.4x
C.4＋2Δx D.4＋2（Δx）2
3.汽车行驶的路程s和时间t之间的变化规律如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]内的平均速度分别是，，，则三者的大小关系为 .
4.一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝ .
1.1 平均变化率
1.2 瞬时变化率
【基础知识·重落实】
知识点一
1. 2.
想一想
提示：函数的平均变化率就是过（x1，f（x1）），（x2，f（x2））两点的直线的斜率.
知识点二
趋于0
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）× （4）√
2.B ＝＝＝－1.
3.5 解析：∵Δs＝s（3＋Δt）－s（3）＝1－（3＋Δt）＋（3＋Δt）2－1＋3－32＝（Δt）2＋5Δt，∴＝5＋Δt，∴当Δt趋于0时，趋于5，故物体在3秒末的瞬时速度为5米/秒.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）物体在区间［0，］上的平均速度为
＝＝＝.
物体在区间［，］上的平均速度为
＝＝＝.
（2）由（1）可知－＝＞0，所以＜.作出函数s（t）＝sin t在［0，］上的图象，如图所示，可以发现，s（t）＝sin t在［0，］上随着t的增大，函数值s（t）增大得越来越慢.
跟踪训练
B ＝＝－1＝－.
【例2】 解：因为f（x）＝2x2＋3x－5，
所以Δy＝f（x1＋Δx）－f（x1）＝2（x1＋Δx）2＋3（x1＋Δx）－5－（2＋3x1－5）
＝2[（Δx）2＋2x1Δx]＋3Δx
＝2（Δx）2＋（4x1＋3）Δx.
（1）当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2×12＋（4×4＋3）×1＝21，则＝＝21.
（2）在（1）中，＝，它表示抛物线上点A（4，39）与点B（5，60）连线的斜率.
跟踪训练
解：当自变量从x0变到x0＋Δx时，函数的平均变化率为
＝
＝
＝
＝4x0＋2Δx.
当x0＝2，Δx＝－时，平均变化率的值为4×2＋2×＝7.
【例3】 解：∵＝＝
＝3＋Δt.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3，
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
母题探究
1.解：求物体的初速度，即求物体在t＝0 s时的瞬时速度.
∵＝＝＝1＋Δt，
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s.
2.解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又＝＝（2t0＋1）＋Δt.
即2t0＋1＝9，∴t0＝4，
即物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
【例4】 解：＝＝＝＝，当Δx趋于0时，趋于－，所以函数在x＝2处的瞬时变化率为－.
跟踪训练
C 函数y＝f（x）＝x3在[1，1＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝（Δx）2＋3Δx＋3，当Δx趋于0时，趋于3，故f（x）在x＝1处的瞬时变化率为3.故选C.
【例5】 解：（1）∵Δy＝h（1＋Δx）－h（1）＝－4.9（Δx）2－3.3Δx，∴＝－4.9Δx－3.3.
①当Δx＝2时，＝－4.9×2－3.3＝－13.1.
②当Δx＝1时，＝－4.9×1－3.3＝－8.2.
③当Δx＝0.1时，＝－4.9×0.1－3.3＝－3.79.
④当Δx＝0.01时，＝－4.9×0.01－3.3＝－3.349.
（2）当Δx越来越小时，函数f（x）在区间[1，1＋Δx]（Δx＞0）上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.
跟踪训练
解：∵山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝＝＝，
山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝＝＝，
∴hBC＞hAB，
∴山路从B到C比从A到B陡峭.
随堂检测
1.D 由题意知，当x＝x0时，y＝f（x0）；当x＝x0＋Δx时，y＝f（x0＋Δx），故Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）.故选D.
2.C ＝＝＝＝2Δx＋4.
3.＜＜ 解析：∵＝＝kOA，＝＝kAB，＝＝kBC，
由题图得kOA＜kAB＜kBC，∴＜＜.
4.1 解析：因为Δs＝7（t0＋Δt）2－13（t0＋Δt）＋8－7＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7（Δt）2，所以＝14t0－13＋7Δt，当Δt趋于0时，物体在t0处的瞬时速度为1，即14t0－13＝1，所以t0＝1.
5 / 5(共71张PPT)
1.1 平均变化率
1.2 瞬时变化率
新课程标准解读 核心素养
通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想 数学抽象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感
受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈.当爬到“十八盘”时，你
感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？
【问题】 你能从数学的角度来反映山坡的平缓和陡峭程度吗？
知识点一 平均速度、平均变化率
1. 平均速度
2. 平均变化率
变化 x2－ x1称作自变量 x 的改变量，记作Δ x ，函数值的变化 f
（ x2）－ f （ x1）称作函数值 y 的改变量，记作Δ y .这样，函数的平
均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即
＝ .
用它来刻画函数值在区间[ x1， x2]上变化的快慢.
提醒 （1）如果物体的运动规律是 s ＝ s （ t ），那么函数 s （ t ）在 t
到 t ＋Δ t 这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速
度，即 ＝ ；（2）函数平均变化率是用来刻画函数值在区间[ x1，
x2]上变化快慢的量.
【想一想】
函数的平均变化率有何几何意义？
提示：函数的平均变化率就是过（ x1， f （ x1）），（ x2， f （ x2））
两点的直线的斜率.
知识点二 瞬时变化率
对于一般的函数 y ＝ f （ x ），在自变量 x 从 x0变到 x1的过程中，若设Δ
x ＝ x1－ x0，Δ y ＝ f （ x1）－ f （ x0），则该函数的平均变化率为 ＝
＝ .如果当Δ x 时，平均
变化率趋于某个值，那么这个值就是 f （ x ）在点 x0的瞬时变化率.瞬
时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢.
趋于0
提醒 （1）对瞬时速度的两点说明：①瞬时速度即位移函数 s （ t ）
相对于时间 t 的瞬时变化率；②当Δ t 在变化中趋于0时，比值 趋于
一个确定的常数，这个常数称为 t0时刻的瞬时速度；（2）平均变化率
与瞬时变化率的区别与联系：①区别，平均变化率刻画函数值在区间
[ x1， x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在点 x0处变化的快
慢；②联系，当Δ x 趋于0时，平均变化率 趋于一个常数，这个常数
即为函数在点 x0处的瞬时变化率，它是一个固定值；（3）“Δ x 趋于
0”的含义：Δ x 趋于0的距离要多近有多近，即｜Δ x －0｜可以小于给
定的任意正数，且始终Δ x ≠0.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）在平均变化率中，函数值的增量为正值. （ × ）
（2）在计算物体运动的瞬时速度时， h （ t0＋Δ t ）＞ h （ t0）.
（ × ）
（3）瞬时速度是刻画物体在区间[ t0， t0＋Δ t ]（Δ t ＞0）上变化快
慢的物理量. （ × ）
（4）瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢.
（ √ ）
×
×
×
√
2. 如图，函数 y ＝ f （ x ）在 A ， B 两点间的平均变化率是（ ）
A. 1 B. －1
C. 2 D. －2
解析： ＝ ＝ ＝－1.
3. 一个物体的运动方程为 s ＝1－ t ＋ t2，其中 s 的单位是米， t 的单位
是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 米/秒.
解析：∵Δ s ＝ s （3＋Δ t ）－ s （3）＝1－（3＋Δ t ）＋（3＋Δ t ）2
－1＋3－32＝（Δ t ）2＋5Δ t ，∴ ＝5＋Δ t ，∴当Δ t 趋于0时，
趋于5，故物体在3秒末的瞬时速度为5米/秒.
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典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平均变化率
角度1 求物体运动的平均速度
【例1】 某物体运动的位移 s 与时间 t 之间的函数关系式为 s （ t ）＝
sin t ， t ∈［0， ］.
（1）分别求该物体在区间［0， ］和［ ， ］上的平均速度 ， ；
解： 物体在区间［0， ］上的平均速度为
＝ ＝ ＝ .
物体在区间［ ， ］上的平均速度为
＝ ＝ ＝ .
（2）比较（1）中两个平均速度的大小，说明其几何意义.
解： 由（1）可知 － ＝ ＞0，
所以 ＜ .作出函数 s （ t ）＝ sin t 在［0，
］上的图象，如图所示，可以发现， s （ t ）
＝ sin t 在［0， ］上随着 t 的增大，函数值 s
（ t ）增大得越来越慢.
通性通法
求物体运动的平均速度的步骤
（1）先计算时间的改变量 t2－ t1；
（2）再计算位移的改变量 s （ t2）－ s （ t1）；
（3）得平均速度 ＝ .
【跟踪训练】
一质点按函数 s （ t ）＝ 做直线运动，则其从 t1＝1到 t2＝2的平均
速度为（ ）
A. －1
C. －2 D. 2
解析： ＝ ＝ －1＝－ .
角度2 求函数的平均变化率
【例2】 已知函数 f （ x ）＝2 x2＋3 x －5.
（1）当 x1＝4，且Δ x ＝1时，求函数 y 的改变量Δ y 和平均变化率 ；
（1）当 x1＝4，Δ x ＝1时，Δ y ＝2×12＋（4×4＋3）×1＝21，
则 ＝ ＝21.
解：因为 f （ x ）＝2 x2＋3 x －5，
所以Δ y ＝ f （ x1＋Δ x ）－ f （ x1）＝2（ x1＋Δ x ）2＋3（ x1＋Δ
x ）－5－（2 ＋3 x1－5）
＝2[（Δ x ）2＋2 x1Δ x ]＋3Δ x
＝2（Δ x ）2＋（4 x1＋3）Δ x .
（2）求（1）中的平均变化率的几何意义.
解：在（1）中， ＝ ，它表示抛物线上点 A
（4，39）与点 B （5，60）连线的斜率.
通性通法
求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的改变量Δ x ＝ x2－ x1；
第二步，求函数值的改变量Δ y ＝ f （ x2）－ f （ x1）；
第三步，求平均变化率 ＝ .
【跟踪训练】
求函数 y ＝2 x2＋3在 x0到 x0＋Δ x 之间的平均变化率，并求当 x0＝2，Δ
x ＝－ 时该函数的平均变化率.
解：当自变量从 x0变到 x0＋Δ x 时，函数的平均变化率为 ＝
＝ ＝
＝4 x0＋2Δ x .
当 x0＝2，Δ x ＝－ 时，平均变化率的值为4×2＋2× ＝7.
题型二 瞬时变化率
角度1 求物体运动的瞬时速度
【例3】 某物体的运动路程 s （单位：m）与时间 t （单位：s）的关
系可用函数 s （ t ）＝ t2＋ t ＋1表示，求物体在 t ＝1 s时的瞬时速度.
解：∵ ＝ ＝
＝3＋Δ t .
∴物体在 t ＝1处的瞬时变化率为3，
即物体在 t ＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
【母题探究】
1. （变设问）在本例条件下，试求该物体的初速度.
解：求物体的初速度，即求物体在 t ＝0 s时的瞬时速度.
∵ ＝
＝ ＝1＋Δ t ，
∴物体在 t ＝0时的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s.
2. （变设问）在本例条件下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9
m/s.
解：设物体在 t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又 ＝ ＝（2 t0＋1）＋Δ t .
即2 t0＋1＝9，∴ t0＝4，
即物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
通性通法
求物体在 t0时刻的瞬时速度的一般步骤是：首先要求出平均速
度，然后求解当时间的改变量Δ t 趋于0时平均速度所趋向的那个定
值，这个定值即为物体在 t0时刻的瞬时速度.
角度2 求函数的瞬时变化率
【例4】 求函数 y ＝ 在 x ＝2处的瞬时变化率.
解： ＝ ＝ ＝ ＝ ，当Δ x 趋于0时，
趋于－ ，所以函数在 x ＝2处的瞬时变化率为－ .
通性通法
求瞬时变化率的三个步骤
（1）求改变量Δ y ＝ f （ x0＋Δ x ）－ f （ x0）；
（2）求平均变化量 ；
（3）求瞬时变化率，当Δ x 趋于0时， 趋于的常数即为瞬时变化率.
【跟踪训练】
已知函数 y ＝ f （ x ）＝ x3，则用平均变化率求 f （ x ）在 x ＝1处的瞬时
变化率为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 函数 y ＝ f （ x ）＝ x3在[1，1＋Δ x ]上的平均变化率为 ＝
＝ ＝（Δ x ）2＋3Δ x ＋3，当Δ x 趋于0
时， 趋于3，故 f （ x ）在 x ＝1处的瞬时变化率为3.故选C.
题型三 平均变化率的意义
【例5】 已知函数 y ＝ h （ x ）＝－4.9 x2＋6.5 x ＋10.
（1）计算从 x ＝1到 x ＝1＋Δ x 的平均变化率，其中Δ x 的值为①2；②
1；③0.1；④0.01；
解： ∵Δ y ＝ h （1＋Δ x ）－ h （1）＝－4.9（Δ x ）2－
3.3Δ x ，∴ ＝－4.9Δ x －3.3.
①当Δ x ＝2时， ＝－4.9×2－3.3＝－13.1.
②当Δ x ＝1时， ＝－4.9×1－3.3＝－8.2.
③当Δ x ＝0.1时， ＝－4.9×0.1－3.3＝－3.79.
④当Δ x ＝0.01时， ＝－4.9×0.01－3.3＝－3.349.
（2）根据（1）中的计算，当Δ x 越来越小时，函数 h （ x ）在区间
[1，1＋Δ x ]（Δ x ＞0）上的平均变化率有怎样的变化趋势？
解： 当Δ x 越来越小时，函数 f （ x ）在区间[1，1＋Δ x ]
（Δ x ＞0）上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.
通性通法
1. 一般地，当Δ x 变化时，函数 f （ x ）在[ x0， x0＋Δ x ]（Δ x ＞0）上
的平均变化率是变化的，当Δ x 越来越小时， f （ x ）在某区间上的
平均变化率呈现出一定的规律性，如果平均变化率随Δ x 趋于0，此
时平均变化率的值也就趋于某一个确定的值（即瞬时变化率）.
2. 可以刻画函数在某段上变化的快慢，而当Δ x 趋于0时， 的极限
值可以刻画函数在某点处的变化快慢.具体到实际问题当中，可以
刻画山的陡峭程度等.
【跟踪训练】
如图是一段登山路线图，同样是登山，但是从 A 处到 B 处会感觉比
较轻松，而从 B 处到 C 处会感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数
学语言来量化 BC 段曲线的陡峭程度吗？
解：∵山路从 A 到 B 高度的平均变化率为
hAB ＝ ＝ ＝ ，
山路从 B 到 C 高度的平均变化率为
hBC ＝ ＝ ＝ ，
∴ hBC ＞ hAB ，∴山路从 B 到 C 比从 A 到 B 陡峭.
1. 我们常用函数 y ＝ f （ x ）的函数值的改变量与自变量的改变量的比
值来表示平均变化率，当自变量 x 由 x0改变到 x0＋Δ x 时，函数值的
改变量Δ y ＝（ ）
A. f （ x0＋Δ x ） B. f （ x0）＋Δ x
C. f （ x0）·Δ x D. f （ x0＋Δ x ）－ f （ x0）
解析： 由题意知，当 x ＝ x0时， y ＝ f （ x0）；当 x ＝ x0＋Δ x
时， y ＝ f （ x0＋Δ x ），故Δ y ＝ f （ x0＋Δ x ）－ f （ x0）.故选D.
2. 已知函数 y ＝ f （ x ）＝2 x2－4的图象上一点（1，－2）及邻近一点
（1＋Δ x ，－2＋Δ y ），则 ＝（ ）
A. 4 B. 4 x
C. 4＋2Δ x D. 4＋2（Δ x ）2
解析： ＝ ＝ ＝
＝2Δ x ＋4.
3. 汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的变化规律如图所示，在时间段
[ t0， t1]，[ t1， t2]，[ t2， t3]内的平均速度分别是 ， ， ，
则三者的大小关系为 .
＜ ＜
解析：∵ ＝ ＝ kOA ， ＝ ＝ kAB ，
＝ ＝ kBC ，
由题图得 kOA ＜ kAB ＜ kBC ，∴ ＜ ＜ .
4. 一物体的运动方程为 s ＝7 t2－13 t ＋8，且在 t ＝ t0时的瞬时速度为
1，则 t0＝ .
解析：因为Δ s ＝7（ t0＋Δ t ）2－13（ t0＋Δ t ）＋8－7 ＋13 t0－8
＝14 t0·Δ t －13Δ t ＋7（Δ t ）2，所以 ＝14 t0－13＋7Δ t ，当Δ t 趋于
0时，物体在 t0处的瞬时速度为1，即14 t0－13＝1，所以 t0＝1.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知函数 f （ x ）＝ x3＋5 x －3，则从 x1＝2到 x2＝2＋Δ x 的自变量的
改变量为（ ）
A. 2 B. 2＋Δ x
C. Δ x D. 以上都不对
解析： 自变量的改变量为 x2－ x1＝（2＋Δ x ）－2＝Δ x .
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2. 一个物体做直线运动，位移 s （单位：m）与时间 t （单位：s）之
间的函数关系为 s （ t ）＝5 t2＋ mt ，且该物体在2≤ t ≤3这段时间
内的平均速度为26 m/s，则实数 m 的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
解析： 由已知，得 ＝26，所以（5×32＋3 m ）－
（5×22＋2 m ）＝26，解得 m ＝1，故选B.
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3. 某物体做直线运动，其运动规律是 s ＝ t2＋ （ t 的单位是秒， s 的
单位是米），则它在4秒末的瞬时速度为（ ）
C. 8 米/秒
解析： 因为 ＝ ＝
＝Δ t ＋8－ .当Δ t 趋于0时， 趋于 ，所以它在4秒末的瞬
时速度为 米/秒.
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4. 某公司的盈利 y （单位：元）与时间 x （单位：天）的函数关系是 y
＝ f （ x ），假设 ＞0（ x1＞ x0≥0）恒成立，且
＝10， ＝1，则说明后10天与前10天
相比（ ）
A. 公司亏损且亏损幅度变大
B. 公司的盈利增加，增加的幅度变大
C. 公司亏损且亏损幅度变小
D. 公司的盈利增加，增加的幅度变小
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解析： 由 ＞0（ x1＞ x0≥0）恒成立，可知 y ＝ f
（ x ）单调递增，即盈利增加，又因为平均变化率 ＝
10＞ ＝1，说明盈利增加的幅度变小，故选D.
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5. （多选）物体甲、乙在时间0到 t1范围内路程的变化情况如图所
示，下列说法正确的是（ ）
A. 在0到 t0范围内甲的平均速度等于乙的平均速度
B. 在0到 t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C. 在 t0到 t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D. 在 t0到 t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
解析： 在0到 t0范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一样，
所以平均速度相同，在 t0到 t1范围内，时间相同，而甲走的路程较
大，所以甲的平均速度较大.
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6. （多选）已知某物体做直线运动，位移 s 与时间 t 的函数关系为 s
（ t ）＝7 t2＋8（0≤ t ≤5），则（ ）
A. 从 t ＝1到 t ＝3该物体的平均速度是28
B. 该物体在 t ＝4时的瞬时速度是56
C. 该物体位移的最大值为43
D. 该物体在 t ＝5时的瞬时速度是70
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解析： 该物体从 t ＝1到 t ＝3的平均速度是 ＝
＝28，故A正确；物体在 t ＝4时的瞬时速度是当Δ t 趋于0时，
＝56＋7Δ t 趋于56，故B正确；物体的最大位移是
7×52＋8＝183，故C错误；物体在 t ＝5时的瞬时速度是当Δ t 趋于0
时， ＝70＋7Δ t 趋于70，故D正确.
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7. 已知函数 f （ x ）＝ ax ＋ b 在区间[1，8]上的平均变化率为3，则实
数 a ＝ .
解析： ＝ ＝ ＝ a ＝3.
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解析： 函数 f （ x ）在区间[－1，1]
上的平均变化率为 ＝ ＝
.
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解析： 由函数 f （ x ）的图象知， f
（ x ）＝所以函数 f
（ x ）在区间[0，2]上的平均变化率为
＝ ＝ .
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9. 一物体位移 s 和时间 t 的关系是 s ＝2 t －3 t2，则物体的初速度
是 .
解析：由题意知， ＝
＝
＝ ＝2－6 t －3Δ t .
当Δ t 趋于0， t ＝0时，物体的瞬时变化率为2－6×0＝2，即物体的
初速度是2.
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10. 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油
进行冷却和加热，如果第 x h时，原油的温度（单位：℃）为 y ＝ f
（ x ）＝ x2－7 x ＋15（0≤ x ≤8）.计算第2 h和第6 h时，原油温度
的瞬时变化率，并说明它们的意义.
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解：原油温度在 x ＝ x0处的平均变化率为 ＝
＝Δ x ＋2 x0－7.
当Δ x 趋于0时， 趋于2 x0－7，因此第2 h时和第6 h时，原油温度
的瞬时变化率分别为－3和5.其说明在2 h附近，原油温度大约以3
℃/h的速率下降；在6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升.
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11. A ， B 两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量 W1
（ t ）， W2（ t ）与时间 t （天）的关系如图所示，则一定有
（ ）
A. 两机关节能效果一样好
B. A 机关比 B 机关节能效果好
C. A 机关的用电量在[0， t0]上的平均变化率比 B 机关
的用电量在[0， t0]上的平均变化率大
D. A 机关与 B 机关自节能以来用电量总是一样大
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解析： 由题图可知， A ， B 两机关用电量在[0， t0]上的平均
变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知， A 机关用电量在
[0， t0]上的平均变化率小于 B 机关的平均变化率，从而 A 机关比
B 机关节能效果好.
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12. 将半径为 R 的球加热，若半径从 R ＝1到 R ＝ m 时球的体积膨胀率
为 ，则 m 的值为 .
解析：体积的增加量Δ V ＝ m3－ ＝ （ m3－1），所以 ＝
＝ ，所以 m2＋ m ＋1＝7，所以 m ＝2或 m ＝－3
（舍）.
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13. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水
治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量 W 与
时间 t 的关系为 W ＝ f （ t ），用－ 的大小评价在
[ a ， b ]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，
甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个
结论，其中描述正确的是 （填序号）.
①②
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①在[ t1， t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
③甲企业在[0， t1]，[ t1， t2]，[ t2， t3]这三段时间中，在[0， t1]
的污水治理能力最强.
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解析：①，－ 表示区间端点连线斜率的负数，在
[ t1， t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数
比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；②，
在 t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以
下，所以都已达标，正确；③，甲企业在[0， t1]，[ t1， t2]，
[ t2， t3]这三段时间中，甲企业在[ t1， t2]这段时间内，甲的斜率
最小，其相反数最大，即在[ t1， t2]的污水治理能力最强，错误.
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14. 某一运动物体，在 x s时离出发点的距离（单位：m）是 f （ x ）＝
x3＋ x2＋2 x .
（1）求在第1 s内的平均速度；
解： 物体在第1 s内的平均变化率（即平均速度）为
＝ （m/s）.
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（2）求在1 s末的瞬时速度；
解： ＝
＝
＝6＋3Δ x ＋ （Δ x ）2.
当Δ x 趋于0时， 趋于6，
所以物体在1 s末的瞬时速度为6 m/s.
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（3）经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s？
解： ＝ ＝
＝2 x2＋2 x ＋2＋ （Δ x ）2＋2 x ·Δ x ＋Δ x .
当Δ x 趋于0时， 趋于2 x2＋2 x ＋2，
令2 x2＋2 x ＋2＝14，解得 x ＝2，
即经过2 s该物体的运动速度达到14 m/s.
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15. 如图所示，单位圆中弧 AB 的长为 x ， f （ x ）表示弧 AB 与弦 AB 所
围成的弓形面积（阴影部分）的2倍，则函数 y ＝ f （ x ）的图象是
（ ）
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解析： 不妨设点 A 固定，点 B 从点 A 出发绕圆周旋转一周，刚
开始时 x 很小，即弧 AB 长度很小，这时给 x 一个改变量Δ x ，那么
弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的
变化较慢；当弦 AB 接近于圆的直径时，同样给 x 一个改变量Δ x ，
那么弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的改变量较大，即弓形面积
的变化较快；从直径的位置开始，随着点 B 的继续旋转，弓形面
积的变化越来越慢.由上可知函数 y ＝ f （ x ）的图象应该是首先比
较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项
知D正确.
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16. 已知甲、乙两人百米赛跑路程与时间的关系如图所示.
（1）甲、乙两人的平均速度各是多少？
解：（1）由题图可知，当 t ＝0时，甲、
乙从起点出发，当 t ＝12 s时，甲、乙到达
终点，且甲、乙两人跑100 m都用了12 s，
即 y总＝100 m， t总＝12 s，
所以 ＝ ＝ ＝ ＝ （m/s）.
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（2）在接近终点时，甲、乙两人谁的速度更快？
解： 由题图可知在 t ＝12 s附近，乙
跑的路程的改变量比甲大，所以乙的斜率
大于甲的斜率，所以 v甲＜ v乙，所以在接
近终点时乙的速度更快.
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谢 谢 观 看！
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