§2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念
2.2 导数的几何意义
1.曲线y＝f（x）＝在点（2，－2）处的切线的斜率k＝（ ）
A. B. C.1 D.－
2.若曲线y＝f（x）在其上一点（1，3）处的切线过点（0，2），则（ ）
A.f'（1）＞0 B.f'（1）＝0
C.f'（1）＜0 D.f'（1）不存在
3.y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝（ ）
A. B. C. D.1
4.设f（x）为可导函数，且满足 ＝－1，则f'（1）＝（ ）
A.1 B.－1 C.2 D.－2
5.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.若f'（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处也可能有切线
B.若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处有切线，则f'（x0）必存在
C.若f'（x0）不存在，则曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率不存在
D.若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处没有切线，则f'（x0）有可能存在
6.（多选）设P0为曲线f（x）＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为（ ）
A.（1，0） B.（2，8）
C.（－1，－4） D.（－2，－12）
7.如图直线l是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线，则f'（4）＝ .
8.已知y＝f（x）的图象如图所示，则f'（xA）与f'（xB）的大小关系是 .
9.若函数f（x）＝x－，则它与x轴交点处的切线方程为 .
10.已知曲线y＝x3上一点P，求：
（1）曲线在点P处的切线的斜率；
（2）曲线在点P处的切线方程.
11.设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（ ）
A. B.[－1，0]
C.[0，1] D.
12.（多选）已知函数y＝f（x）（x∈R）图象上任一点（x0，y0）处的切线方程为y－y0＝（x0－2）·（x0＋4）（x－x0），那么下列结论正确的有（ ）
A.f'（1）＝－5
B.在x＝2处的切线平行或重合于x轴
C.切线斜率的最小值为1
D.f'（4）＝12
13.若点P是抛物线f（x）＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为 .
14.在抛物线f（x）＝x2上哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
15.已知函数f（x）＝x2＋bx的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列（n∈N＋）的前n项和为Sn，则S2 024的值为（ ）
A. B.
C. D.
16.已知曲线y＝f（x）＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点（1，a）能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.
2.1 导数的概念
2.2 导数的几何意义
1.C 由＝＝＝，令Δx→0得斜率k＝f'（2）＝1.
2.A 由题意知切线过点（1，3），（0，2），所以切线的斜率为k＝f'（1）＝＝1＞0.
3.B 设切点为（x0，y0），∵＝＝＝a（Δx）＋2ax0，令Δx趋于0，可知y＝ax2＋1在x＝x0处的导数为f'（x0）＝2ax0，于是函数∴f'（x0）在点（x0，y0）处的切线斜率为2ax0，即2ax0＝1，∴x0＝.∵切点在直线y＝x上，∴y0＝.代入y＝ax2＋1得＝＋1，∴a＝，故选B.
4.B 令x→0，则Δx＝1－（1－2x）＝2x→0，所以 ＝ ＝f'（1）＝－1.
5.AC k＝f'（x0），所以f'（x0）不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程是x＝x0，故A、C正确.
6.AC ＝＝＝3x2＋1＋3xΔx＋（Δx）2，令Δx→0得导数f'（x）＝3x2＋1，即斜率为3x2＋1.由于曲线f（x）＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f（x）在P0处的导数值等于4.设P0（x0，y0），则有f'（x0）＝3＋1＝4，解得x0＝±1，故P0点的坐标为（1，0）或（－1，－4）.
7. 解析：根据导数的几何意义知f'（4）是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线的斜率k，注意到k＝＝，
所以f'（4）＝.
8.f'（xA）＜f'（xB） 解析：由导数的几何意义，f'（xA），f'（xB）分别是曲线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f'（xA）＜f'（xB）.
9.2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0 解析：f（x）＝x－与x轴交点坐标为（1，0），（－1，0），＝
＝1＋，当Δx趋于0，可知f'（1）＝2，f'（－1）＝2，∴所求切线方程为y＝2（x－1）或y＝2（x＋1），即2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0.
10.解：（1）由y＝x3，得＝
＝
＝[3x2＋3xΔx＋（Δx）2]
＝x2＋xΔx＋（Δx）2，
令Δx趋于0，可知y＝x3在x＝2处的导数为4，所以曲线在点P处的切线的斜率等于4.
（2）曲线在点P处的切线方程为y－＝4（x－2），
即12x－3y－16＝0.
11.D ＝＝＝Δx＋2x＋2，令Δx趋于0，可知曲线C在点P处切线的斜率为2x＋2，又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，所以其斜率k≥1.由2x＋2≥1，解得x≥－，故选D.
12.AB 由题意函数y＝f（x）（x∈R）图象上任一点（x0，y0）处的切线方程为y－y0＝（x0－2）（x0＋4）（x－x0），可得f'（x0）＝（x0－2）（x0＋4），对于选项A，f'（1）＝－5，A正确；对于选项B，f'（2）＝0，故在x＝2处的切线平行或重合于x轴，B正确；对于选项C，（x－2）（x＋4）＝x2＋2x－8＝（x＋1）2－9≥－9，故切线斜率的最小值为－9，C错误；对于选项D，f'（4）＝16，D错误.故选A、B.
13. 解析：由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线f（x）＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，设P（x0，y0），由导数的几何意义知f'（x0）＝＝2x0＝1，解得x0＝，所以P，故点P到直线y＝x－2的最小距离d＝＝.
14.解：设抛物线上点P（x0，y0）处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，
＝＝2x0＋Δx.
令Δx趋于0，可知f（x）＝x2在x＝x0处的导数为f'（x0）＝2x0，
则f'（x0）＝2x0＝4，解得x0＝2，
所以y0＝＝4，即P（2，4），经检验，符合题意.
设抛物线上点Q（x1，y1）处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，
则f'（x1）＝2x1＝－，解得x1＝－，
所以y1＝＝，即Q，经检验，符合题意.
故抛物线f（x）＝x2在点（2，4）处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0.
15.D 因为f（x）＝x2＋bx且点A（1，f（1））在其图象上，所以＝＝2＋Δx＋b.令Δx趋于0，可知f（x）＝x2＋bx在x＝1处的导数为f'（1）＝2＋b，因为函数f（x）＝x2＋bx的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，所以f'（1）＝2＋b＝3，解得b＝1，所以f（x）＝x2＋x＝x（x＋1），＝＝－，所以S2 024＝－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.故选D.
16.解：设切点为P（x0，y0），
∵＝＝2x0＋Δx，
令Δx趋于0，可知y＝x2＋1在x＝x0处的导数为2x0，
即在点P（x0，y0）处切线的斜率为2x0，由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0（x－x0）.
又∵切线过点（1，a），且y0＝＋1，
∴a－（＋1）＝2x0（1－x0），
即－2x0＋a－1＝0.∵切线有两条，
∴Δ＝（－2）2－4（a－1）＞0，解得a＜2.
故存在实数a，使得经过点（1，a）能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是（－∞，2）.
2 / 22.1 导数的概念
2.2 导数的几何意义
新课程标准解读 核心素养
1.了解导数的概念 数学抽象
2.通过函数图象直观理解导数的几何意义 直观想象
下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的切线方向飞出.实际上物体（看作质点）做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，我们可以利用导数研究曲线的切线问题.
【问题】 你还能列举出生活中的其他实例吗？
知识点一 导数的概念
设函数y＝f（x），当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f（x0）变到f（x1），函数值y关于x的平均变化率为＝＝.当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个 的值，那么这个值就是函数y＝f（x）在点x0的 .在数学中，称 为函数y＝f（x）在点x0处的导数，通常用符号f'（x0）表示，记作f'（x0）＝＝ .
提醒 对于函数y＝f（x）在x＝x0处的导数应注意以下四点：①函数y＝f（x）在x＝x0处的导数即为函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛；②函数在x＝x0处的导数f'（x0）只与x0有关，与Δx无关.函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值的改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量；③函数f（x）应在x0及其附近有意义，否则导数不存在.若极限 不存在，则称函数y＝f（x）在x＝x0处不可导.若f（x）在开区间（a，b）内每一点处都可导，称f（x）在开区间（a，b）内可导；④在导数的定义式f'（x0）＝ 中，Δx趋于0且Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正、可负，但不能为0.这时Δx是一个无穷小量，当Δx＞0（或Δx＜0）时，Δx趋于0表示x0＋Δx从右边（或从左边）趋近于x0.当Δx趋于0时，Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）趋于0，但趋于f'（x0）.
知识点二 导数的几何意义
1.曲线的割线与切线
（1）设函数y＝f（x）的图象是一条光滑的曲线，且函数y＝f（x）在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，如图①，它是经过A（x0，f（x0））和B（x0＋Δx，f（x0＋Δx））两点的直线的斜率.这条直线称为曲线y＝f（x）在点A处的一条 ；
（2）如图②，设函数y＝f（x）的图象是一条光滑的曲线，从图象上可以看出：当Δx取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于0时，点B将沿着曲线y＝f（x）趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l.称直线l为曲线y＝f（x）在点A处的 ，或称直线l和曲线y＝f（x）在点A处 .该切线的斜率就是函数y＝f（x）在x0处的导数 .
提醒 对曲线的切线的再认识：①曲线的切线是指曲线上某一点处的切线，根据切线的定义知曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线是过点（x0，f（x0））的所有割线的极限位置；②曲线y＝f（x）与它的一条切线一定有公共点（x0，f（x0））即切点，但不一定只有切点这一个公共点，还可能有其他公共点；③曲线y＝f（x）与一条直线l只有一个公共点时，直线l不一定是曲线y＝f（x）的切线，可以在公共点处用切线的定义检验；④曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线至多有一条；⑤若函数y＝f（x）在x＝x0处有导数f'（x0），则曲线y＝f（x）上必有唯一一条以（x0，f（x0））为切点的切线；当曲线y＝f（x）上在切点（x0，f（x0））处的切线垂直于x轴时，函数y＝f（x）在x＝x0处的导数不存在.
2.导数的几何意义
函数y＝f（x）在x0处的导数 ，是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的 .
【想一想】
1.若函数y＝f（x）在点x0处的导数存在，则曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程是什么？
2.函数y＝f（x）的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f'（x1），f'（x2）和f'（x3）的大小吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数在某点处的导数f'（x0）是一个常数.（ ）
（2）函数y＝f（x）在点x0处的导数f'（x0）就是导函数f'（x）在点x＝x0处的函数值.（ ）
（3）函数f（x）＝0没有导数.（ ）
（4）直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点.（ ）
2.函数f（x）的图象如图所示，则（ ）
A.f'（1）＞f'（2）＞f'（3）
B.f'（2）＞f'（1）＞f'（3）
C.f'（3）＞f'（2）＞f'（1）
D.f'（3）＞f'（1）＞f'（2）
3.设f（x）＝2x＋1，则f'（1）＝ .
题型一 导数的概念
角度1 求函数在某点处的导数
【例1】 求函数y＝f（x）＝x＋在x＝1处的导数.
尝试解答
通性通法
求函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的步骤
（1）给出相对于x0的改变量x0＋Δx，求函数值的改变量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）；
（2）求平均变化率＝；
（3）取极限，得导数f'（x0）＝.
【跟踪训练】
y＝f（x）＝x2在x＝1处的导数为（ ）
A.2x B.2
C.2＋Δx D.1
角度2 对导数定义式的理解和应用
【例2】 已知f（x）在x0处的导数f'（x0）＝k，求下列各式的值：
（1） ；
（2） .
尝试解答
通性通法
导数定义式的变形应用
在导数的定义式中，自变量的增量Δx可以有多种表达形式，但不论采用哪种形式，Δy中自变量的增量Δx都必须用相应的形式，如将Δx变为mΔx，则Δy＝f（x0＋mΔx）－f（x0），只有这样，才有＝f'（x0）.
【跟踪训练】
1.若函数f（x）可导，则＝（ ）
A.－2f'（1） B.f'（1）
C.－f'（1） D.f'
2.已知函数f（x）可导，且满足＝2，则函数y＝f（x）在x＝3处的导数为（ ）
A.－1 B.－2
C.1 D.2
题型二 导数的几何意义
角度1 求切线的方程
【例3】 已知曲线y＝x3＋.
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；
（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程.
尝试解答
通性通法
若题中所给点（x0，y0）不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.
【跟踪训练】
求曲线y＝在点处的切线方程.
角度2 求切点坐标或参数值
【例4】 （1）已知曲线y＝f（x）＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为 ；
（2）若直线y＝3x＋b与曲线y＝x3相切，则b＝ .
尝试解答
通性通法
解答此类题目时，弄清切线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行、垂直等.
【跟踪训练】
已知曲线f（x）＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g（x）＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值.
题型三 利用导数的几何意义判断函数图象
【例5】 已知函数f（x）的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）
A.0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2）
B.0＜f'（2）＜f（3）－f（2）＜f'（3）
C.0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2）
D.0＜f（3）－f（2）＜f'（2）＜f'（3）
尝试解答
通性通法
导数的几何意义就是切线的斜率，在比较导数大小的问题上可以用数形结合思想来解决.
（1）曲线f（x）在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画.f'（x0）＞0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f'（x0）＜0说明在x0附近曲线是下降的；
（2）曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢.
【跟踪训练】
已知函数f（x）的部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是（ ）
A.f'（1）＜f'（2）＜a
B.f'（1）＜a＜f'（2）
C.f'（2）＜f'（1）＜a
D.a＜f'（1）＜f'（2）
1.若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为3x－y＋1＝0，则（ ）
A.f'（x0）＜0 B.f'（x0）＞0
C.f'（x0）＝0 D.f'（x0）不存在
2.已知曲线y＝x2－3上一点P，则过点P的切线的斜率为（ ）
A. B.1
C.－1 D.－
3.已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则f'（x1） f'（x2）（填“＜，＞，＝，≤，≥”）.
4.若 ＝1，求f'（x0）.
2.1 导数的概念
2.2 导数的几何意义
【基础知识·重落实】
知识点一
固定 瞬时变化率 瞬时变化率
知识点二
1.（1）割线 （2）切线 相切 f'（x0） 2.f'（x0） 斜率
想一想
1.提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）.
2.提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且kA＞kB，在C处的切线斜率小于零，所以f'（x1）＞f'（x2）＞f'（x3）.
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）× （4）×
2.C 由函数的图象可知，曲线在点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））处切线的斜率大小关系为kC＞kB＞kA，故f'（3）＞f'（2）＞f'（1）.
3.2 解析：f'（1）＝
＝ ＝2.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：当x从1变到1＋Δx时，函数值从1＋变到（1＋Δx）＋，函数值y关于x的平均变化率为＝＝＝1－.
当x趋于1时，即Δx趋于0时，平均变化率总是0，所以f'（1）＝0.
跟踪训练
B 当x从1变到1＋Δx时，函数值从1变到（1＋Δx）2，函数值y关于x的平均变化率为＝＝Δx＋2.当x趋于1，即Δx趋于0时，平均变化率总是2，所以f'（1）＝2.
【例2】 解：（1）法一 ∵ ＝f'（x0），
即 ＝f'（x0）＝k.
∴ ＝.
法二 令Δh＝－Δx，则Δx＝－Δh，
∵当Δx→0时，Δh→0，
∴
＝
＝
＝f'（x0）＝.
（2）法一 ∵，
即为函数f（x）在区间[x0－Δx，x0＋Δx]上的平均变化率.
∴当Δx→0时，必趋于f'（x0）＝k，
∴ ＝k，
∴ ＝2k.
法二 原式＝
＝ ＋
＝f'（x0）＋f'（x0）＝2f'（x0）＝2k.
跟踪训练
1.C ＝－＝－f'（1）.
2.B 由题意，知f'（3）＝＝－2，故选B.
【例3】 解：（1）∵P（2，4）在曲线y＝x3＋上，
＝
＝4＋2Δx＋（Δx）2.
令Δx趋于0，可知y＝x3＋在x＝2处的导数为4.
∴曲线在点P（2，4）处的斜率为4，
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y－4＝4（x－2），
即4x－y－4＝0.
（2）设曲线y＝x3＋与过点P（2，4）的切线相切于点A，
＝
＝＋x0Δx＋（Δx）2，
令Δx趋于0，可知y＝x3＋在x＝x0处的导数为，于是曲线在点（ x0，＋）处的切线斜率为，
∴切线方程为y－＝（x－x0），
即y＝·x－＋.
∵点P（2，4）在切线上，
∴4＝2－＋，即－3＋4＝0.
∴＋－4＋4＝0，
∴（x0＋1）－4（x0＋1）（x0－1）＝0，
∴（x0＋1）（x0－2）2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2.
故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
跟踪训练
解：＝＝，
令Δx趋于0，可知曲线y＝在x＝2处的导数为－，于是曲线y＝在点（ 2，）处的切线的斜率为－，
由直线的点斜式方程可得切线方程为y－＝－（x－2），即x＋4y－4＝0.
【例4】 （1） （2）±2 解析：（1）设切点坐标为（x0，y0），则Δy＝[2（x0＋Δx）2＋1]－（2＋1）＝4x0·Δx＋2（Δx）2，∴＝4x0＋2Δx，令Δx趋于0，可知y＝2x2＋1在x＝x0处的导数为f'（x0）＝4x0，于是曲线在点（x0，y0）处的切线斜率为4x0，又∵切线的斜率为k＝tan 45°＝1，∴4x0＝1，即x0＝.∴y0＝2×＋1＝，∴切点坐标为.
（2）设直线y＝3x＋b与曲线y＝x3的切点为P（x0，y0），由y＝x3得＝＝3＋3x0·Δx＋（Δx）2，令Δx趋于0，可知y＝x3在x＝x0处的导数为3，∴曲线y＝x3在点P（x0，y0）处的切线斜率为k＝3，又直线y＝3x＋b与曲线y＝x3相切于点P，∴3＝3，因此x0＝±1，∴P（1，1）或P（－1，－1）.∵点P在直线y＝3x＋b上，∴b＝±2.
跟踪训练
解：对于曲线f（x）＝x2－1，
＝＝2x0＋Δx.
令Δx趋于0，可知f（x）＝x2－1在x＝x0处的导数为f'（x0）＝2x0，
∴曲线f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率为2x0.
对于曲线g（x）＝1－x3，
＝
＝－3x0Δx－3－（Δx）2，
令Δx趋于0，可知g（x）＝1－x3在x＝x0处的导数为g'（x0）＝－3，
∴曲线g（x）在点（x0，g（x0））处的切线斜率为－3.
由两切线互相平行，得2x0＝－3，
∴x0＝0或x0＝－.
【例5】 C kAB＝＝f（3）－f（2），f'（2）为函数f（x）的图象在点B（2，f（2））处的切线的斜率，f'（3）为函数f（x）的图象在点A（3，f（3））处的切线的斜率，根据图象可知0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2）.
跟踪训练
B 由图象可知，函数在[0，＋∞）上的增长越来越快，故函数图象在点（x0，f（x0））（x0∈[0，＋∞））的切线的斜率越来越大，∵＝a，∴f'（1）＜a＜f'（2），故选B.
随堂检测
1.B 由导数的几何意义可知曲线在（x0，f（x0））处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，所以f'（x0）＝3.故选B.
2.B ∵y＝x2－3且P（ 1，－）在此曲线上，∴Δy＝（1＋Δx）2－3－（ ×12－3）＝（Δx）2＋Δx，∴＝＝1＋Δx.令Δx趋于0得曲线在x＝1处的导数为1，即曲线在点（ 1，－）处的切线斜率为1，∴过点P的切线的斜率为1.
3.＜ 解析：由导数的几何意义可知，f'（x1）表示函数y＝f（x）在x＝x1处的切线斜率，f'（x2）表示函数y＝f（x）在x＝x2处的切线斜率，由函数y＝f（x）的部分图象可知，函数y＝f（x）在x＝x1处的切线斜率比在x＝x2处的切线斜率小，所以f'（x1）＜f'（x2）.
4.解：因为 ＝－
＝－f'（x0）＝1.
所以f'（x0）＝－.
4 / 5(共78张PPT)
2.1 导数的概念
2.2 导数的几何意义
新课程标准解读 核心素养
1.了解导数的概念 数学抽象
2.通过函数图象直观理解导数的几何意义 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
下雨天，当我们将雨伞转动时，伞面边沿的水滴沿着伞的切线方向飞出.实际上物体（看作质点）做曲线运动时，运动方向在不停地变化，其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向，我们可以利用导
数研究曲线的切线问题.
【问题】 你还能列举出生活中的其他实例吗？
知识点一 导数的概念
设函数 y ＝ f （ x ），当自变量 x 从 x0变到 x1时，函数值 y 从 f （ x0）变
到 f （ x1），函数值 y 关于 x 的平均变化率为 ＝ ＝
.当 x1趋于 x0，即Δ x 趋于0时，如果平均变化率趋
于一个 的值，那么这个值就是函数 y ＝ f （ x ）在点 x0的
.在数学中，称 为函数 y ＝ f （ x ）在点 x0
处的导数，通常用符号f'（ x0）表示，记作f'（ x0）＝
＝ .
固定
瞬
时变化率
瞬时变化率
提醒 对于函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数应注意以下四点：①函
数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数即为函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的瞬时
变化率，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛；②函
数在 x ＝ x0处的导数f'（ x0）只与 x0有关，与Δ x 无关.函数在某点处的
导数是一个定值，是函数在该点的函数值的改变量与自变量的改变量
比值的极限，不是变量；③函数 f （ x ）应在 x0及其附近有意义，否则
导数不存在.若极限 不存在，则称函数 y ＝ f
（ x ）在 x ＝ x0处不可导.若 f （ x ）在开区间（ a ， b ）内每一点处都
可导，称 f （ x ）在开区间（ a ， b ）内可导；
④在导数的定义式f'（ x0）＝ 中，Δ x 趋于0且
Δ x 是自变量 x 在 x0处的改变量，所以Δ x 可正、可负，但不能为0.这时
Δ x 是一个无穷小量，当Δ x ＞0（或Δ x ＜0）时，Δ x 趋于0表示 x0＋Δ x
从右边（或从左边）趋近于 x0.当Δ x 趋于0时，Δ y ＝ f （ x0＋Δ x ）－ f
（ x0）趋于0，但 趋于f'（ x0）.
知识点二 导数的几何意义
1. 曲线的割线与切线
（1）设函数 y ＝ f （ x ）的图象是一条光滑的曲线，且函数 y ＝ f
（ x ）在区间[ x0， x0＋Δ x ]的平均变化率为 ，如图①，它
是经过 A （ x0， f （ x0））和 B （ x0＋Δ x ， f （ x0＋Δ x ））两
点的直线的斜率.这条直线称为曲线 y ＝ f （ x ）在点 A 处的一
条 ；
割线
（2）如图②，设函数 y ＝ f （ x ）的图象是一条光滑的曲线，从图
象上可以看出：当Δ x 取不同的值时，可以得到不同的割线；
当Δ x 趋于0时，点 B 将沿着曲线 y ＝ f （ x ）趋于点 A ，割线
AB 将绕点 A 转动趋于直线 l .称直线 l 为曲线 y ＝ f （ x ）在点 A
处的 ，或称直线 l 和曲线 y ＝ f （ x ）在点 A 处
.该切线的斜率就是函数 y ＝ f （ x ）在 x0处的导数
.
切线
相
切
f'
（ x0）
提醒 对曲线的切线的再认识：①曲线的切线是指曲线上某一点处的
切线，根据切线的定义知曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x0， f （ x0））处的切
线是过点（ x0， f （ x0））的所有割线的极限位置；②曲线 y ＝ f （ x ）
与它的一条切线一定有公共点（ x0， f （ x0））即切点，但不一定只
有切点这一个公共点，还可能有其他公共点；③曲线 y ＝ f （ x ）与一
条直线 l 只有一个公共点时，直线 l 不一定是曲线 y ＝ f （ x ）的切线，
可以在公共点处用切线的定义检验；④曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x0， f
（ x0））处的切线至多有一条；
⑤若函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处有导数f'（ x0），则曲线 y ＝ f （ x ）上
必有唯一一条以（ x0， f （ x0））为切点的切线；当曲线 y ＝ f （ x ）上
在切点（ x0， f （ x0））处的切线垂直于 x 轴时，函数 y ＝ f （ x ）在 x
＝ x0处的导数不存在.
2. 导数的几何意义
函数 y ＝ f （ x ）在 x0处的导数 ，是曲线 y ＝ f （ x ）在
点（ x0， f （ x0））处的切线的 .
【想一想】
1. 若函数 y ＝ f （ x ）在点 x0处的导数存在，则曲线 y ＝ f （ x ）在点 P
（ x0， f （ x0））处的切线方程是什么？
提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y － f （ x0）＝f'
（ x0）·（ x － x0）.
f'（ x0）
斜率
2. 函数 y ＝ f （ x ）的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较
f'（ x1），f'（ x2）和f'（ x3）的大小吗？
提示：根据导数的几何意义，因为在 A ， B 处的切线斜率大于零且
kA ＞ kB ，在 C 处的切线斜率小于零，所以f'（ x1）＞f'（ x2）＞f'
（ x3）.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数在某点处的导数f'（ x0）是一个常数. （ √ ）
（2）函数 y ＝ f （ x ）在点 x0处的导数f'（ x0）就是导函数f'（ x ）在
点 x ＝ x0处的函数值. （ √ ）
（3）函数 f （ x ）＝0没有导数. （ × ）
（4）直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点.
（ × ）
√
√
×
×
2. 函数 f （ x ）的图象如图所示，则（ ）
A. f'（1）＞f'（2）＞f'（3）
B. f'（2）＞f'（1）＞f'（3）
C. f'（3）＞f'（2）＞f'（1）
D. f'（3）＞f'（1）＞f'（2）
解析： 由函数的图象可知，曲线在点 A （1， f （1））， B
（2， f （2））， C （3， f （3））处切线的斜率大小关系为 kC ＞
kB ＞ kA ，故f'（3）＞f'（2）＞f'（1）.
3. 设 f （ x ）＝2 x ＋1，则f'（1）＝ .
解析：f'（1）＝
＝ ＝2.
2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 导数的概念
角度1 求函数在某点处的导数
【例1】 求函数 y ＝ f （ x ）＝ x ＋ 在 x ＝1处的导数.
解：当 x 从1变到1＋Δ x 时，函数值从1＋ 变到（1＋Δ x ）＋ ，函
数值 y 关于 x 的平均变化率为 ＝
＝ ＝1－ .
当 x 趋于1时，即Δ x 趋于0时，平均变化率总是0，所以f'（1）＝0.
通性通法
求函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x0处的导数的步骤
（1）给出相对于 x0的改变量 x0＋Δ x ，求函数值的改变量Δ y ＝ f （ x0
＋Δ x ）－ f （ x0）；
（2）求平均变化率 ＝ ；
（3）取极限，得导数f'（ x0）＝ .
【跟踪训练】
y ＝ f （ x ）＝ x2在 x ＝1处的导数为（ ）
A. 2 x B. 2
C. 2＋Δ x D. 1
解析： 当 x 从1变到1＋Δ x 时，函数值从1变到（1＋Δ x ）2，函数
值 y 关于 x 的平均变化率为 ＝ ＝Δ x ＋2.
当 x 趋于1，即Δ x 趋于0时，平均变化率总是2，所以f'（1）＝2.
角度2 对导数定义式的理解和应用
【例2】 已知 f （ x ）在 x0处的导数f'（ x0）＝ k ，求下列各式的值：
（1） ；
解： 法一 ∵ ＝f'（ x0），
即 ＝f'（ x0）＝ k .
∴ ＝ .
法二 令Δ h ＝－Δ x ，则Δ x ＝－Δ h ，
∵当Δ x →0时，Δ h →0，
∴ ＝
＝ ＝ f'（ x0）＝ .
（2） .
解：法一 ∵ ，
即 为函数 f （ x ）在区间[ x0－Δ x ， x0＋Δ x ]上
的平均变化率.
∴当Δ x →0时， 必趋于f'（ x0）＝ k ，∴
＝ k ，
∴ ＝2 k .
法二 原式＝
＝ ＋
＝f'（ x0）＋f'（ x0）＝2f'（ x0）＝2 k .
通性通法
导数定义式的变形应用
在导数的定义式中，自变量的增量Δ x 可以有多种表达形式，但
不论采用哪种形式，Δ y 中自变量的增量Δ x 都必须用相应的形式，如
将Δ x 变为 m Δ x ，则Δ y ＝ f （ x0＋ m Δ x ）－ f （ x0），只有这样，才有
＝f'（ x0）.
【跟踪训练】
1. 若函数 f （ x ）可导，则 ＝（ ）
A. －2f'（1）
解析：
＝－ ＝－ f'（1）.
2. 已知函数 f （ x ）可导，且满足 ＝2，则函数 y
＝ f （ x ）在 x ＝3处的导数为（ ）
A. －1 B. －2
C. 1 D. 2
解析： 由题意，知f'（3）＝ ＝－2，
故选B.
题型二 导数的几何意义
角度1 求切线的方程
【例3】 已知曲线 y ＝ x3＋ .
（1）求曲线在点 P （2，4）处的切线方程；
解： ∵ P （2，4）在曲线 y ＝ x3＋ 上，
＝
＝4＋2Δ x ＋ （Δ x ）2.
令Δ x 趋于0，可知 y ＝ x3＋ 在 x ＝2处的导数为4.
∴曲线在点 P （2，4）处的斜率为4，
∴曲线在点 P （2，4）处的切线方程为 y －4＝4（ x －2），
即4 x － y －4＝0.
（2）求曲线过点 P （2，4）的切线方程.
解： 设曲线 y ＝ x3＋ 与过点 P （2，4）的切线相切于点
A ，
＝
＝ ＋ x0Δ x ＋ （Δ x ）2，
令Δ x 趋于0，可知 y ＝ x3＋ 在 x ＝ x0处的导数为 ，于是曲线
在点（ x0， ＋ ）处的切线斜率为 ，
∴切线方程为 y － ＝ （ x － x0），
即 y ＝ · x － ＋ .∵点 P （2，4）在切线上，
∴4＝2 － ＋ ，即 －3 ＋4＝0.
∴ ＋ －4 ＋4＝0，∴ （ x0＋1）－4（ x0＋1）（ x0－
1）＝0，
∴（ x0＋1）（ x0－2）2＝0，解得 x0＝－1或 x0＝2.
故所求的切线方程为 x － y ＋2＝0或4 x － y －4＝0.
通性通法
若题中所给点（ x0， y0）不在曲线上，首先应设出切点坐
标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求
出切线方程.
【跟踪训练】
求曲线 y ＝ 在点 处的切线方程.
解： ＝ ＝ ，令Δ x 趋于0，可知曲线 y ＝ 在 x ＝2处
的导数为－ ，于是曲线 y ＝ 在点（ 2， ）处的切线的斜率为－ ，
由直线的点斜式方程可得切线方程为 y － ＝－ （ x －2），即 x ＋4 y
－4＝0.
解析： 设切点坐标为（ x0， y0），则Δ y ＝[2（ x0＋Δ x ）2
＋1]－（2 ＋1）＝4 x0·Δ x ＋2（Δ x ）2，∴ ＝4 x0＋2Δ x ，
令Δ x 趋于0，可知 y ＝2 x2＋1在 x ＝ x0处的导数为f'（ x0）＝4
x0，于是曲线在点（ x0， y0）处的切线斜率为4 x0，又∵切线的
斜率为 k ＝tan 45°＝1，∴4 x0＝1，即 x0＝ .∴ y0＝2× ＋1
＝ ，∴切点坐标为 .
（2）若直线 y ＝3 x ＋ b 与曲线 y ＝ x3相切，则 b ＝ .
解析： 设直线 y ＝3 x ＋ b 与曲线 y ＝ x3的切点为 P （ x0，
y0），由 y ＝ x3得 ＝ ＝3 ＋3 x0·Δ x ＋（Δ x ）
2，令Δ x 趋于0，可知 y ＝ x3在 x ＝ x0处的导数为3 ，∴曲线 y
＝ x3在点 P （ x0， y0）处的切线斜率为 k ＝3 ，又直线 y ＝3 x
＋ b 与曲线 y ＝ x3相切于点 P ，∴3 ＝3，因此 x0＝±1，∴ P
（1，1）或 P （－1，－1）.∵点 P 在直线 y ＝3 x ＋ b 上，∴ b ＝
±2.
±2
通性通法
解答此类题目时，弄清切线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这
些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要
注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行、垂
直等.
【跟踪训练】
已知曲线 f （ x ）＝ x2－1在 x ＝ x0处的切线与曲线 g （ x ）＝1－ x3在 x
＝ x0处的切线互相平行，求 x0的值.
解：对于曲线 f （ x ）＝ x2－1，
＝ ＝2 x0＋Δ x .
令Δ x 趋于0，可知 f （ x ）＝ x2－1在 x ＝ x0处的导数为f'（ x0）＝2 x0，
∴曲线 f （ x ）在点（ x0， f （ x0））处的切线斜率为2 x0.
对于曲线 g （ x ）＝1－ x3，
＝
＝－3 x0Δ x －3 －（Δ x ）2，
令Δ x 趋于0，可知 g （ x ）＝1－ x3在 x ＝ x0处的导数为g'（ x0）＝－3
，
∴曲线 g （ x ）在点（ x0， g （ x0））处的切线斜率为－3 .
由两切线互相平行，得2 x0＝－3 ，
∴ x0＝0或 x0＝－ .
题型三 利用导数的几何意义判断函数图象
【例5】 已知函数 f （ x ）的图象如图所示，则下列不等关系中正确
的是（ ）
A. 0＜f'（2）＜f'（3）＜ f （3）－ f （2）
B. 0＜f'（2）＜ f （3）－ f （2）＜f'（3）
C. 0＜f'（3）＜ f （3）－ f （2）＜f'（2）
D. 0＜ f （3）－ f （2）＜f'（2）＜f'（3）
解析： kAB ＝ ＝ f （3）－ f （2），f'（2）为函数 f
（ x ）的图象在点 B （2， f （2））处的切线的斜率，f'（3）为函数 f
（ x ）的图象在点 A （3， f （3））处的切线的斜率，根据图象可知0
＜f'（3）＜ f （3）－ f （2）＜f'（2）.
通性通法
导数的几何意义就是切线的斜率，在比较导数大小的问题上可以
用数形结合思想来解决.
（1）曲线 f （ x ）在 x0附近的变化情况可通过 x0处的切线刻画.f'
（ x0）＞0说明曲线在 x0处的切线的斜率为正值，从而得出在 x0
附近曲线是上升的；f'（ x0）＜0说明在 x0附近曲线是下降的；
（2）曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化
情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）的部分图象如图所示，设 ＝ a ，则下
列不等式正确的是（ ）
A. f'（1）＜f'（2）＜ a B. f'（1）＜ a ＜f'（2）
C. f'（2）＜f'（1）＜ a D. a ＜f'（1）＜f'（2）
解析： 由图象可知，函数在[0，＋∞）上的增长越来越快，故函
数图象在点（ x0， f （ x0））（ x0∈[0，＋∞））的切线的斜率越来越
大，∵ ＝ a ，∴f'（1）＜ a ＜f'（2），故选B.
1. 若曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x0， f （ x0））处的切线方程为3 x － y ＋1
＝0，则（ ）
A. f'（ x0）＜0 B. f'（ x0）＞0
C. f'（ x0）＝0 D. f'（ x0）不存在
解析： 由导数的几何意义可知曲线在（ x0， f （ x0））处的导数
等于曲线在该点处的切线的斜率，所以f'（ x0）＝3.故选B.
2. 已知曲线 y ＝ x2－3上一点 P ，则过点 P 的切线的斜率为
（ ）
B. 1 C. －1
解析： ∵ y ＝ x2－3且 P （ 1，－ ）在此曲线上，∴Δ y ＝
（1＋Δ x ）2－3－（ ×12－3）＝ （Δ x ）2＋Δ x ，∴ ＝
＝1＋ Δ x .令Δ x 趋于0得曲线在 x ＝1处的导数为1，
即曲线在点（ 1，－ ）处的切线斜率为1，∴过点 P 的切
线的斜率为1.
3. 已知函数 y ＝ f （ x ）的部分图象如图所示，则f'（ x1） f'
（ x2）（填“＜，＞，＝，≤，≥”）.
解析：由导数的几何意义可知，f'（ x1）表示函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝
x1处的切线斜率，f'（ x2）表示函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x2处的切线斜
率，由函数 y ＝ f （ x ）的部分图象可知，函数 y ＝ f （ x ）在 x ＝ x1
处的切线斜率比在 x ＝ x2处的切线斜率小，所以f'（ x1）＜f'（ x2）.
＜
4. 若 ＝1，求f'（ x0）.
解：因为
＝－
＝－ f'（ x0）＝1.
所以f'（ x0）＝－ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 曲线 y ＝ f （ x ）＝ 在点（2，－2）处的切线的斜率 k ＝
（ ）
解析： 由 ＝ ＝ ＝ ，令Δ
x →0得斜率 k ＝f'（2）＝1.
C. 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 若曲线 y ＝ f （ x ）在其上一点（1，3）处的切线过点（0，2），则
（ ）
A. f'（1）＞0 B. f'（1）＝0
C. f'（1）＜0 D. f'（1）不存在
解析： 由题意知切线过点（1，3），（0，2），所以切线的斜
率为 k ＝f'（1）＝ ＝1＞0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. y ＝ ax2＋1的图象与直线 y ＝ x 相切，则 a ＝（ ）
D. 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 设切点为（ x0， y0），∵ ＝ ＝
＝ a （Δ x ）＋2 ax0，令Δ x 趋于0，可知 y ＝ ax2
＋1在 x ＝ x0处的导数为f'（ x0）＝2 ax0，于是函数∴f'（ x0）在点
（ x0， y0）处的切线斜率为2 ax0，即2 ax0＝1，∴ x0＝ .∵切点在
直线 y ＝ x 上，∴ y0＝ .代入 y ＝ ax2＋1得 ＝ ＋1，∴ a ＝ ，
故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 设 f （ x ）为可导函数，且满足 ＝－1，则f'
（1）＝（ ）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
解析： 令 x →0，则Δ x ＝1－（1－2 x ）＝2 x →0，所以
＝ ＝f'（1）＝－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 若f'（ x0）不存在，则曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x0， f （ x0））处也可能有切线
B. 若曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x0， f （ x0））处有切线，则f'（ x0）必存在
C. 若f'（ x0）不存在，则曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x0， f （ x0））处的切线斜率不存在
D. 若曲线 y ＝ f （ x ）在点（ x0， f （ x0））处没有切线，则f'（ x0）有可能存在
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： k ＝f'（ x0），所以f'（ x0）不存在只能说明曲线在该点
处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，
其切线方程是 x ＝ x0，故A、C正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）设 P0为曲线 f （ x ）＝ x3＋ x －2上的点，且曲线在 P0处的
切线平行于直线 y ＝4 x －1，则 P0点的坐标为（ ）
A. （1，0） B. （2，8）
C. （－1，－4） D. （－2，－12）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： ＝ ＝
＝3 x2＋1＋3 x Δ x ＋（Δ x ）2，令
Δ x →0得导数f'（ x ）＝3 x2＋1，即斜率为3 x2＋1.由于曲线 f （ x ）
＝ x3＋ x －2在 P0处的切线平行于直线 y ＝4 x －1，所以 f （ x ）在 P0
处的导数值等于4.设 P0（ x0， y0），则有f'（ x0）＝3 ＋1＝4，
解得 x0＝±1，故 P0点的坐标为（1，0）或（－1，－4）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：根据导数的几何意义知f'（4）是曲线 y ＝ f （ x ）在 x ＝4处
的切线的斜率 k ，注意到 k ＝ ＝ ，所以f'（4）＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 已知 y ＝ f （ x ）的图象如图所示，则f'（ xA ）与f'（ xB ）的大小关
系是 f'（ xA ）＜f'（ xB ） .
解析：由导数的几何意义，f'（ xA ），f'（ xB ）分别是曲线在点 A ，
B 处切线的斜率，由图象可知f'（ xA ）＜f'（ xB ）.
f'（ xA ）＜f'（ xB ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. 若函数 f （ x ）＝ x － ，则它与 x 轴交点处的切线方程为
.
2 x － y
－2＝0或2 x － y ＋2＝0
解析： f （ x ）＝ x － 与 x 轴交点坐标为（1，0），（－1，0），
＝
＝1＋ ，当Δ x 趋于0，可知f'（1）＝2，f'（－1）＝2，
∴所求切线方程为 y ＝2（ x －1）或 y ＝2（ x ＋1），即2 x － y －2
＝0或2 x － y ＋2＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 已知曲线 y ＝ x3上一点 P ，求：
（1）曲线在点 P 处的切线的斜率；
解： 由 y ＝ x3，得 ＝
＝
＝ [3 x2＋3 x Δ x ＋（Δ x ）2]＝ x2＋ x Δ x ＋ （Δ x ）2，
令Δ x 趋于0，可知 y ＝ x3在 x ＝2处的导数为4，所以曲线在
点 P 处的切线的斜率等于4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）曲线在点 P 处的切线方程.
解： 曲线在点 P 处的切线方程为 y － ＝4（ x －2），
即12 x －3 y －16＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 设 P 为曲线 C ： y ＝ x2＋2 x ＋3上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾
斜角的取值范围是 ，则点 P 横坐标的取值范围为（ ）
B. [－1，0]
C. [0，1]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： ＝ ＝
＝Δ x ＋2 x ＋2，令Δ x 趋于0，可知曲线 C 在
点 P 处切线的斜率为2 x ＋2，又曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值
范围为 ，所以其斜率 k ≥1.由2 x ＋2≥1，解得 x ≥－ ，
故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. （多选）已知函数 y ＝ f （ x ）（ x ∈R）图象上任一点（ x0， y0）
处的切线方程为 y － y0＝（ x0－2）·（ x0＋4）（ x － x0），那么下
列结论正确的有（ ）
A. f'（1）＝－5
B. 在 x ＝2处的切线平行或重合于 x 轴
C. 切线斜率的最小值为1
D. f'（4）＝12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 由题意函数 y ＝ f （ x ）（ x ∈R）图象上任一点
（ x0， y0）处的切线方程为 y － y0＝（ x0－2）（ x0＋4）（ x －
x0），可得f'（ x0）＝（ x0－2）（ x0＋4），对于选项A，f'（1）
＝－5，A正确；对于选项B，f'（2）＝0，故在 x ＝2处的切线平
行或重合于 x 轴，B正确；对于选项C，（ x －2）（ x ＋4）＝ x2＋
2 x －8＝（ x ＋1）2－9≥－9，故切线斜率的最小值为－9，C错
误；对于选项D，f'（4）＝16，D错误.故选A、B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：由题意可得，当点 P 到直线 y ＝ x －2的距离最小时，点 P
为抛物线 f （ x ）＝ x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线 y
＝ x －2，设 P （ x0， y0），由导数的几何意义知f'（ x0）＝
＝2 x0＝1，解得 x0＝ ，所以 P ，
故点 P 到直线 y ＝ x －2的最小距离 d ＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 在抛物线 f （ x ）＝ x2上哪一点处的切线平行于直线4 x － y ＋1＝
0？哪一点处的切线垂直于这条直线？
解：设抛物线上点 P （ x0， y0）处的切线平行于直线4 x － y ＋
1＝0，
＝
＝2 x0＋Δ x .
令Δ x 趋于0，可知 f （ x ）＝ x2在 x ＝ x0处的导数为f'（ x0）＝
2 x0，
则f'（ x0）＝2 x0＝4，解得 x0＝2，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以 y0＝ ＝4，即 P （2，4），经检验，符合题意.
设抛物线上点 Q （ x1， y1）处的切线垂直于直线4 x － y ＋1＝0，
则f'（ x1）＝2 x1＝－ ，
解得 x1＝－ ，
所以 y1＝ ＝ ，即 Q ，经检验，符合题意.
故抛物线 f （ x ）＝ x2在点（2，4）处的切线平行于直线4 x － y ＋1
＝0，在点 处的切线垂直于直线4 x － y ＋1＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 已知函数 f （ x ）＝ x2＋ bx 的图象在点 A （1， f （1））处的切线
的斜率为3，数列 （ n ∈N＋）的前 n 项和为 Sn ，则 S2 024的
值为（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 因为 f （ x ）＝ x2＋ bx 且点 A （1， f （1））在其图象
上，所以 ＝ ＝2＋Δ x ＋ b .令Δ x 趋于
0，可知 f （ x ）＝ x2＋ bx 在 x ＝1处的导数为f'（1）＝2＋ b ，因为
函数 f （ x ）＝ x2＋ bx 的图象在点 A （1， f （1））处的切线的斜
率为3，所以f'（1）＝2＋ b ＝3，解得 b ＝1，所以 f （ x ）＝ x2＋ x
＝ x （ x ＋1）， ＝ ＝ － ，所以 S2 024＝ －
＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ＝ .故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 已知曲线 y ＝ f （ x ）＝ x2＋1，是否存在实数 a ，使得经过点
（1， a ）能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数 a 的取
值范围；若不存在，请说明理由.
解：设切点为 P （ x0， y0），
∵ ＝ ＝2 x0＋Δ x ，
令Δ x 趋于0，可知 y ＝ x2＋1在 x ＝ x0处的导数为2 x0，
即在点 P （ x0， y0）处切线的斜率为2 x0，由点斜式可得所求切线
方程为 y － y0＝2 x0（ x － x0）.
又∵切线过点（1， a ），且 y0＝ ＋1，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴ a －（ ＋1）＝2 x0（1－ x0），
即 －2 x0＋ a －1＝0.∵切线有两条，
∴Δ＝（－2）2－4（ a －1）＞0，解得 a ＜2.
故存在实数 a ，使得经过点（1， a ）能够作出该曲线的两条切
线， a 的取值范围是（－∞，2）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！
