§8 数学探究活动（二）：探究函数性质
三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）是高中阶段一种重要的函数，同时又是高考的重点内容.三次函数的性质存在一定的规律性，下面用导数工具探求其图象及性质.
一、三次函数的图象和性质
三次函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0），导数f'（x）＝3ax2＋2bx＋c（a≠0），Δ＝4b2－12ac＝4（b2－3ac）.
1.三次函数的单调性
性质1：若a＞0且b2－3ac≤0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数；
若a＜0且b2－3ac≤0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数.
性质2：若b2－3ac＞0，则f'（x）＝0有两个解：
x1＝，x2＝.
当a＞0且b2－3ac＞0时，f（x）在（－∞，x1）和（x2，＋∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减；
当a＜0且b2－3ac＞0时，f（x）在（－∞，x2）和（x1，＋∞）上单调递减，在（x2，x1）上单调递增.
根据a和Δ的不同情况，其图象特征分别为：
2.三次函数的极值
性质3：当b2－3ac≤0时，f（x）无极值.
当b2－3ac＞0时，（1）若a＞0，f（x）在x1＝处有极大值f（x1），f（x）在x2＝处有极小值f（x2）；（2）若a＜0，f（x）在x1＝处有极大值f（x1），f（x）在x2＝处有极小值f（x2）.
二、经典案例
1.含参三次函数单调区间的求解
三次函数单调区间由f'（x）＞0或f'（x）＜0的解集来决定，因此可以从根的大小、判别式Δ和二次项系数等方面来入手讨论.
求三次函数的单调区间，就是确定二次不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0的解集，其解法等同于含参数的一元二次不等式的解法.
【例1】 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值.
（1）求a，b的值与函数f（x）的单调区间；
（2）若对x∈[－1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求实数c的取值范围.
尝试解答
2.三次函数根据单调性求参问题
已知三次函数单调性求参数范围可转化为f'（x）≥0恒成立或f'（x）≤0恒成立问题来处理，注意等号不能遗漏，否则会造成参数范围的漏解.
已知三次函数单调性求参数范围可有两种方法解决，一是分离参数，二是二次函数思想.做题时要随机应变.
【例2】 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋2x－1.
（1）f（x）在区间[1，3]上单调递增，求a的取值范围；
（2）f（x）在区间[－1，2]上单调递减，求a的取值范围；
（3）f（x）在（0，1）上不单调，求a的取值范围.
尝试解答
3.三次函数单调性与极值综合应用
【例3】 若函数f（x）＝ax3－（a2－4）x＋4，当x＝1时，函数f（x）有极大值.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若存在x∈[－3，2]，使得f（x）＋m≥0能成立，求m的取值范围.
尝试解答
探究活动小结：
1.要学会用导数方法解决三次函数单调性与极值问题中四类题型：（1）已知函数解析式求单调性问题；（2）已知函数解析式求极值问题；（3）已知含参数的函数解析式的极值求参数问题；（4）已知含参数的函数解析式的单调性求参数问题.
2.通过上述案例研究了三次函数的性质，同时验证了三次函数与导数知识的关系，使学生既学到了新知识，又巩固了旧知识，为更有效解决三次函数的极值、某一区间的单调性、证明不等式等问题找到较好的解决办法.
3.上述案例均以三次函数为背景，主要考查导数在研究函数的单调性、极值、最值中的应用，意在考查考生运用数形结合思想、分类讨论思想解决问题的能力.
8 数学探究活动（二）：探究函数性质
【例1】 解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f'（x）＝3x2＋2ax＋b，
由解得
f'（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （ －∞，－） － （ －，1） 1 （1，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数f（x）的单调递增区间是（ －∞，－）和（1，＋∞），单调递减区间是（ －，1）.
（2）因为f（x）＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1，2]，
根据（1）中函数f（x）的单调性，
得f（x）在区间［－1，－）上单调递增，在区间［－，1）上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，
所以当x＝－时，f（ －）＝＋c为极大值，
而f（2）＝2＋c＞＋c，所以f（2）＝2＋c为最大值.
要使f（x）＜c2对x∈[－1，2]恒成立，只需c2＞f（2）＝2＋c，解得c＜－1或c＞2.
所以实数c的取值范围是（－∞，－1）∪（2，＋∞）.
【例2】 解：（1）∵f（x）在[1，3]上单调递增，
∴f'（x）＝3x2＋2ax＋2≥0在[1，3]上恒成立，即a≥在[1，3]上恒成立，考虑函数g（x）＝在[1，3]上的最大值，g'（x）＝，
当x∈[1，3]时，g'（x）＜0，∴g（x）在[1，3]上单调递减，g（x）max＝g（1）＝－，
∴a≥－，故a的取值范围为［－，＋∞）.
（2）∵f（x）在[－1，2]上单调递减，
∴f'（x）＝3x2＋2ax＋2≤0在[－1，2]上恒成立，
即f'（x）＝3x2＋2ax＋2在[－1，2]上的最大值小于或等于0，考虑函数h（x）＝3x2＋2ax＋2在[－1，2]上的最大值，最大值为h（－1）或h（2），
∴即无解，则a不存在，a的取值范围为空集.
（3）f'（x）＝3x2＋2ax＋2，
f（x）在（0，1）上不单调 f'（x）在（0，1）上有正有负.
①f（x）在（0，1）上只有一个极值点，
第一种情形：f'（0）·f'（1）＜0，即2（3＋2a＋2）＜0，即a＜－；
第二种情形：f'（0）＝0，此时2≠0，舍去；
第三种情形：f'（1）＝0，此时a＝－，f'（x）＝0的两个根为1和，满足题意.综上，a≤－.
②f（x）在（0，1）上有两个极值点，则解得－＜a＜－.
综合①②得a的取值范围为（－∞，－）.
【例3】 解：（1）f'（x）＝3ax2－（a2－4），
∵当x＝1时，函数f（x）有极大值，
∴f'（1）＝3a－（a2－4）＝0，解得a＝4或a＝－1.
若a＝4，f'（x）＝12x2－12＝12（x＋1）（x－1），
可得当－1＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增.
∴当x＝1时，函数f（x）有极小值，不符合题意，舍去.
若a＝－1，f'（x）＝－3x2＋3＝－3（x＋1）（x－1），
可得当－1＜x＜1时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减.
∴当x＝1时，函数f（x）有极大值，
则f（x）＝－x3＋3x＋4.
（2）由（1）知f（x）＝－x3＋3x＋4，
存在x∈[－3，2]，使得f（x）＋m≥0能成立，
则－m≤f（x）max.
由（1）可得，函数f（x）在区间[－3，－1）上单调递减，在区间（－1，1）上单调递增，在区间（1，2]上单调递减.
而f（－3）＝22，f（1）＝6，∴f（x）max＝22.
∴－m≤22，解得m≥－22.
∴m的取值范围是[－22，＋∞）.
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§8 数学探究活动（二）：
探究函数性质
三次函数 y ＝ ax3＋ bx2＋ cx ＋ d （ a ≠0）是高中阶段一种重要的
函数，同时又是高考的重点内容.三次函数的性质存在一定的规律
性，下面用导数工具探求其图象及性质.
一、三次函数的图象和性质
三次函数 f （ x ）＝ ax3＋ bx2＋ cx ＋ d （ a ≠0），导数f'（ x ）＝3 ax2＋
2 bx ＋ c （ a ≠0），Δ＝4 b2－12 ac ＝4（ b2－3 ac ）.
1. 三次函数的单调性
性质1：若 a ＞0且 b2－3 ac ≤0，则 f （ x ）在（－∞，＋∞）上是
增函数；
若 a ＜0且 b2－3 ac ≤0，则 f （ x ）在（－∞，＋∞）上是减函数.
性质2：若 b2－3 ac ＞0，则f'（ x ）＝0有两个解：
x1＝ ， x2＝ .
当 a ＞0且 b2－3 ac ＞0时， f （ x ）在（－∞， x1）和（ x2，＋∞）
上单调递增，在（ x1， x2）上单调递减；
当 a ＜0且 b2－3 ac ＞0时， f （ x ）在（－∞， x2）和（ x1，＋∞）
上单调递减，在（ x2， x1）上单调递增.
根据 a 和Δ的不同情况，其图象特征分别为：
2. 三次函数的极值
性质3：当 b2－3 ac ≤0时， f （ x ）无极值.
当 b2－3 ac ＞0时，（1）若 a ＞0， f （ x ）在 x1＝ 处有极
大值 f （ x1）， f （ x ）在 x2＝ 处有极小值 f （ x2）；
（2）若 a ＜0， f （ x ）在 x1＝ 处有极大值 f （ x1）， f
（ x ）在 x2＝ 处有极小值 f （ x2）.
二、经典案例
1. 含参三次函数单调区间的求解
三次函数单调区间由f'（ x ）＞0或f'（ x ）＜0的解集来决定，因此
可以从根的大小、判别式Δ和二次项系数等方面来入手讨论.
求三次函数的单调区间，就是确定二次不等式f'（ x ）＞0或f'（ x ）
＜0的解集，其解法等同于含参数的一元二次不等式的解法.
【例1】 已知函数 f （ x ）＝ x3＋ ax2＋ bx ＋ c 在 x ＝－ 与 x ＝1时
都取得极值.
（1）求 a ， b 的值与函数 f （ x ）的单调区间；
解： f （ x ）＝ x3＋ ax2＋ bx ＋ c ，f'（ x ）＝3 x2＋2 ax ＋
b ，由解得
f'（ x ）＝3 x2－ x －2＝（3 x ＋2）（ x －1），
当 x 变化时，f'（ x ）， f （ x ）的变化情况如下表：
x （ －∞， － ） － （ － ，1） 1 （1，＋∞）
f'（ x ） ＋ 0 － 0 ＋
f （ x ） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数 f （ x ）的单调递增区间是（ －∞，－ ）和（1，
＋∞），单调递减区间是（ － ，1）.
（2）若对 x ∈[－1，2]，不等式 f （ x ）＜ c2恒成立，求实数 c 的取
值范围.
解： 因为 f （ x ）＝ x3－ x2－2 x ＋ c ， x ∈[－1，2]，
根据（1）中函数 f （ x ）的单调性，
得 f （ x ）在区间［－1，－ ）上单调递增，在区间［－ ，
1）上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，
所以当 x ＝－ 时， f （ － ）＝ ＋ c 为极大值，
而 f （2）＝2＋ c ＞ ＋ c ，所以 f （2）＝2＋ c 为最大值.
要使 f （ x ）＜ c2对 x ∈[－1，2]恒成立，只需 c2＞ f （2）＝2
＋ c ，解得 c ＜－1或 c ＞2.
所以实数 c 的取值范围是（－∞，－1）∪（2，＋∞）.
2. 三次函数根据单调性求参问题
已知三次函数单调性求参数范围可转化为f'（ x ）≥0恒成立或f'
（ x ）≤0恒成立问题来处理，注意等号不能遗漏，否则会造成参
数范围的漏解.
已知三次函数单调性求参数范围可有两种方法解决，一是分离参
数，二是二次函数思想.做题时要随机应变.
【例2】 已知函数 f （ x ）＝ x3＋ ax2＋2 x －1.
（1） f （ x ）在区间[1，3]上单调递增，求 a 的取值范围；
解： ∵ f （ x ）在[1，3]上单调递增，
∴f'（ x ）＝3 x2＋2 ax ＋2≥0在[1，3]上恒成立，即 a ≥
在[1，3]上恒成立，考虑函数 g （ x ）＝ 在[1，
3]上的最大值，g'（ x ）＝ ，
当 x ∈[1，3]时，g'（ x ）＜0，∴ g （ x ）在[1，3]上单调递
减， g （ x ）max＝ g （1）＝－ ，
∴ a ≥－ ，故 a 的取值范围为［－ ，＋∞）.
（2） f （ x ）在区间[－1，2]上单调递减，求 a 的取值范围；
解： ∵ f （ x ）在[－1，2]上单调递减，
∴f'（ x ）＝3 x2＋2 ax ＋2≤0在[－1，2]上恒成立，
即f'（ x ）＝3 x2＋2 ax ＋2在[－1，2]上的最大值小于或等于
0，考虑函数 h （ x ）＝3 x2＋2 ax ＋2在[－1，2]上的最大值，
最大值为 h （－1）或 h （2），
∴即无解，则 a 不存在， a 的取值范
围为空集.
（3） f （ x ）在（0，1）上不单调，求 a 的取值范围.
解：（3）f'（ x ）＝3 x2＋2 ax ＋2，
f （ x ）在（0，1）上不单调 f'（ x ）在（0，
1）上有正有负.
① f （ x ）在（0，1）上只有一个极值点，
第一种情形：f'（0）·f'（1）＜0，即2（3＋2 a ＋2）＜
0，即 a ＜－ ；
第二种情形：f'（0）＝0，此时2≠0，舍去；
第三种情形：f'（1）＝0，此时 a ＝－ ，f'（ x ）＝0的两
个根为1和 ，满足题意.综上， a ≤－ .
② f （ x ）在（0，1）上有两个极值点，则
解得－ ＜ a ＜－ .
综合①②得 a 的取值范围为（－∞，－ ）.
3. 三次函数单调性与极值综合应用
【例3】 若函数 f （ x ）＝ ax3－（ a2－4） x ＋4，当 x ＝1时，函数
f （ x ）有极大值.
（1）求函数 f （ x ）的解析式；
解： f'（ x ）＝3 ax2－（ a2－4），
∵当 x ＝1时，函数 f （ x ）有极大值，
∴f'（1）＝3 a －（ a2－4）＝0，解得 a ＝4或 a ＝－1.
若 a ＝4，f'（ x ）＝12 x2－12＝12（ x ＋1）（ x －1），
可得当－1＜ x ＜1时，f'（ x ）＜0，此时函数 f （ x ）单调递
减；当 x ＞1时，f'（ x ）＞0，此时函数 f （ x ）单调递增.
∴当 x ＝1时，函数 f （ x ）有极小值，不符合题意，舍去.
若 a ＝－1，f'（ x ）＝－3 x2＋3＝－3（ x ＋1）（ x －1），
可得当－1＜ x ＜1时，f'（ x ）＞0，此时函数 f （ x ）单调递
增；当 x ＞1时，f'（ x ）＜0，此时函数 f （ x ）单调递减.
∴当 x ＝1时，函数 f （ x ）有极大值，
则 f （ x ）＝－ x3＋3 x ＋4.
（2）若存在 x ∈[－3，2]，使得 f （ x ）＋ m ≥0能成立，求 m 的取
值范围.
解： 由（1）知 f （ x ）＝－ x3＋3 x ＋4，存在 x ∈[－3，
2]，使得 f （ x ）＋ m ≥0能成立，则－ m ≤ f （ x ）max.
由（1）可得，函数 f （ x ）在区间[－3，－1）上单调递减，
在区间（－1，1）上单调递增，在区间（1，2]上单调递减.
而 f （－3）＝22， f （1）＝6，∴ f （ x ）max＝22.
∴－ m ≤22，解得 m ≥－22.
∴ m 的取值范围是[－22，＋∞）.
探究活动小结：
1. 要学会用导数方法解决三次函数单调性与极值问题中四类题型：
（1）已知函数解析式求单调性问题；（2）已知函数解析式求极值
问题；（3）已知含参数的函数解析式的极值求参数问题；（4）已
知含参数的函数解析式的单调性求参数问题.
2. 通过上述案例研究了三次函数的性质，同时验证了三次函数与导数
知识的关系，使学生既学到了新知识，又巩固了旧知识，为更有效
解决三次函数的极值、某一区间的单调性、证明不等式等问题找到
较好的解决办法.
3. 上述案例均以三次函数为背景，主要考查导数在研究函数的单调
性、极值、最值中的应用，意在考查考生运用数形结合思想、分类
讨论思想解决问题的能力.
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