22.1.1二次函数课件（24张ppt）2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.1 二次函数
第二十二章 二次函数
学习目标
1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点）
2.会利用二次函数的概念解决问题.
3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）
1.什么叫函数?
一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
复习回顾
问题1：（1）将哪吒的风火轮看成圆形，如果风火轮的半径为 ,周长为 ,那么 关于 的函数解析式是 .
（2）如果风火轮的半径为 ,面积为 ，那么 关于 的函数解析式是 .
☆ 数学无处不在
（3）如果风火轮初始半径为2 ，当半径增加 ，增加后面积为 ，那么 关于 的函数解析式是 .

（4）如果风火轮初始半径为2 ，当半径增加 ，面积增加了 ，那么 关于 的函数解析式是 .
即
即
☆ 数学无处不在
初始半径：
增加后半径：
（1）
（2）
（3）
（4）
哪个函数是我们学习研究过的？是什么函数？
☆ 数学无处不在
观察：观察以上出现的三个函数解析式，填写下表.
函数解析式
常数
自变量
函数
m= n2- n
y=6x2
y=200x2+400x+200
无
无
y
200
n
x
m
y
x
思考：通过观察函数解析式，你发现这些函数有什么特点？
这些函数自变量的最高次项都是二次.
总结：
一般形式： y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）.
如果函数解析式是关于自变量的二次多项式，这样的函数叫二次函数.
二次函数的定义
其中，x是自变量， ax2是二次项，a是二次向系数；
bx是一次项，b是一次项系数；
c是常数项.
1. 自变量的最高次数是2.
3. 二次项的系数a不能为0.
2. 二次函数解析式必须是整式.
注意：
想一想
（1）二次函数概念中a、b、c有怎样的要求？
（2）当a=0时，这个函数还是二次函数吗？为什么？
（3）b或c能为0吗？
a，b，c为常数，a≠0
?
不是，有可能是一次函数，当b≠0时，是一次函数；当b=0时，是一个常数函数
当a≠0时，b或c可以为0
1.下列函数,哪些是二次函数，哪些不是？
随堂练习
（1）y=3x?-2 （ ）
（2）m=-12n?-3 （ ）
（3）y=x（1-2x）+2x? （ ）
（4）y=x（23+3x） （ ）
（5）y=1?????+x?-2 （ ）
（6）y=x?（1+x?） （ ）
?
判断依据：
y=ax?+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
√
√
×
合并后a=0
√
×
×
y=ax?+bx+c有几种不同的表示形式:
(1)y=ax?(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax?+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax?+bx(a≠0,b≠0,c=0).
总结：
1.下列函数中,哪些是二次函数.
(1)y=x2
(2)y=
(3)y=x(3+x)
(4)y=2(x-1)2 -2x2
是
否
否
是
注意：对于无法直接进行判断的函数，要先进行化简.
3.若函数 为二次函数，求m的值.
解①得：m=2或m=-1;
解②得：m≠1且m≠-1;
所以 m=2.
①
②
【解】因为该函数为二次函数，
3．已知函数y＝(a＋3)xa2＋a－4＋(a＋2)x＋3.
(1)当a为何值时，y为x的二次函数？
解：根据题意得a＋3≠0且a2＋a－4＝2，
解得a＝2，即当a为2时，y是x的二次函数．
(2)当a为何值时，y为x的一次函数？
知识的升华
1.已知函数 .
（1）k 为何值时，y 是 x 的一次函数？
（2）k 为何值时，y 是 x 的二次函数？
解：（1）根据题意得：
（2）当 k2－k ≠ 0，即 k ≠ 0 且 k ≠ 1 时，y 是 x 的二次函数.
得 k＝1时，y 是 x 的一次函数.
2.已知二次函数 y＝x2＋px＋q，当 x＝1 时，函数值是 4；当 x＝2 时，函数值是－5.求这个二次函数的解析式.
知识的升华
解：由题意得：1＋p＋q＝4，
4＋2p＋q＝－5.
解得： p＝－12，q＝15.
所求二次函数为：y＝x2－12x＋15.
2．函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )
A. m, n 是常数,且m≠0 B. m, n 是常数,且n≠0
C. m, n 是常数,且m≠n D. m, n 为任何实数
1．把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数为______，常数项为 .
3．下列函数是二次函数的是 ( )
A．y＝2x＋1 B．
C．y＝3x2＋1 D．
-3x2
-16
12
C
C
当堂练习
4. 已知函数 y=3x2m-1－5
① 当m=＿＿时，y是关于x的一次函数；
② 当m=＿＿时，y是关于x的二次函数 .
1
当堂练习
（选做题）如图，正方形ABCD的边长为4cm,动点P、Q同时从A点出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（面积：cm2），求y与x（0D
Q
A
P
B
C
D
A
B
C
Q
P
分析：
（1）从0（2）当P点在边AB上时，此时x的取值范围为 ，y= ；
（3）当P点在BC边上时，此时x的取值范围为 ，y= 。
S△BCD-S△PCQ
AB
BC
04S△ABD-S△APQ
D
Q
A
P
B
C
D
A
B
C
Q
P
当0 = ,
= 。
当4 = ，
= 。
综上可知：y=
解：
S△ABD-S△APQ
S△BCD-S△PCQ
(0(421
练习4： 如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一直线上,开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合,求重叠部分的面积y(平方厘米)与时间t(秒)之间的函数关系式.
A
B
C
P
Q
M
N
当堂练习
2.函数y=(m-n)x2+mx+n 是二次函数的条件是( )
A . m，n是常数，且m≠0
B . m，n是常数，且n≠0
C. m，n是常数，且m≠n
D . m，n为任何实数
C
1.下列函数是二次函数的是 ( )
A．y＝2x＋1 B．
C．y＝3x2＋1 D．
C
问题1 n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
对于n的每一个值，m 都有一个对应值，即 m 是 n 的函数．
分析：每个队要与其他 个球队各比赛一场，
而甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛.
所以比赛的场次数为
即 ②
（n-1）
问题2 某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量．
如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的关系应怎样表示？
分析这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是 t，再经过一年后的产量是 t，即两年后的产量y=________．
20(1+x)
20(1+x)2
20(1+x)·(1+x)
解：
y=20x2+40x+20 ③
此式中对于 x 的每一个值，y 都有一个对应值，即 y 是 x 的函数．