2025—2026学年山东省济南市天桥区泺口实验学校九年级上学期数学9月份月考试卷（含答案）

九年级上学期9月份数学月考试题
（满分150分 时间120分钟）
一、选择题。（每小题4分，共48分）
1.下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A. 5cm,6cm,7cm,8cm B. 3cm,6cm,2cm,5cm
C. 2cm,4cm,6cm,8cm D. 12cm,8cm,15cm,10cm
2.在反比例函数y= 图象上的点是（ ）
A. ( 2,6) B. (4, 2) C. (4,2) D. (6,2)
3.把等式7x=9y，写成比例式，其中错误的是（ ）
A. = B. = C. = D. =
4.如图，l1∥l2∥l3，直线AC、DF与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB=4，DE=3，EF=6，则BC的长是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
5.函数y=的图像大致是（ ）
6.网格中小正方形的边长为 1，阴影图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（ ）
甲和乙 B. 丙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丁
7.若点A( 1,y1)、B(2,y2)、C( 2,y3)在反比例函数y=(k>0)的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A. y1＞y2＞y3 B.y3 ＜y1＜y2 C.y1=y2=y3 D. y1＜y3＜y2
8.小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图 1 是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图 2 所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD．若点O到AB的距离为 10cm，点O到CD的距离为 15cm，蜡烛火焰AB的高度是 2cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（ ）
A. 2cm B. 2.5cm C. 3cm D. 4cm
9.如图，过点P(4,5)分别作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，PC、PD分别交反比例函数y=(x>0)的图象于点A、B，则四边形BOAP的面积为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
10.如图，点E( 2,1)，F( 1, 1)，以点O为位似中心，将△EFO放大为原来的 2 倍，则点E的对应点E1的坐标是（ ）
A. ( 4,2) B. ( 2,4)或(2, 4) C. ( 4,2)或(4, 2) D. (4, 2)
11.如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（ ）
A. 3 秒或 4.8 秒 B. 3 秒 C. 4.5 秒 D. 4.5 秒或 4.8 秒
12.如图，在平面直角坐标系中，直线y= 3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线y=上，现将正方形ABCD沿y轴向下平移a个单位，可以使得顶点C落在双曲线上，则a的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
二、填空题。（每小题4分，共24分）
13.若=，则分式=______．
14.若点(a, 3)在反比例函数y=的图象上，则a的值是______．
15.如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长3.2m的竹竿做测量工具．移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为______m．
16.验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.2米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了______度．
17.如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC边上的点，且DE∥AB．=2:1，△ABC的面积是 18，则四边形ABED的面积是______．
18.如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y=(x>0)同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为 1，∠AOB=∠OBA=45°，则k的值为______．
三、解答题
19.（14分）解方程：(1)x(x 4)=(x 4)； (2)x2+6x 7=0
20.（8分）如图，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．
21.(14分)在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，每个小正方形的边长为 1，以原点O为位似中心，在第一象限内，对△ABC进行位似变换，得到△DEF（点A，B，C分别对应点D，E，F），且△ABC与△DEF的相似比为2:1．其点B坐标为(4,2)．
(1) 画出△DEF．
(2) 点E的坐标为______．
(3) 线段AC上一点(x,y)经过变换后对应的点的坐标为______．
22.（14分）如图，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=(m≠0)的图象相交于A(1,3)，B(n, 1)两点．
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；
(2) 根据图象，直接写出y1>y2时，x的取值范围；
(3) 分别连结AO和BO，求△ABO的面积．
23.（14分）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥AB，交BD于点F．
(1) 如图 1，直接写出的值______；
(2) 将△EBF绕点B顺时针旋转到如图 2 所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；
(3) 如图 3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为α(0 <α<360 )，当α为何值时EA=ED 请在图 3 或备用图中画出图形并求出α的值．
24.(14分)如图，反比例函数y=(x>0)的图象经过线段OA的端点A(2,4)，把线段OA沿x轴正方向平移 3 个单位得到线段CB，CB与上述反比例函数的图象相交于点D，点D的横坐标为4．
(1) 求k的值和直线OA的解析式；
(2) 在y轴上是否存在点Q，使得∣DQ AQ∣的值最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3) 若P为函数y=(x>0)的图象上一动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，直线l与四边形OABC在x轴上方的一边交于点N，设P点的横坐标为n，且n<3，当=，直接写出n的值．
答案
一、选择题。（每小题4分，共48分）
1.下列四组线段中，是成比例线段的是（ D ）
A. 5cm,6cm,7cm,8cm B. 3cm,6cm,2cm,5cm
C. 2cm,4cm,6cm,8cm D. 12cm,8cm,15cm,10cm
2.在反比例函数y= 图象上的点是（ B ）
A. ( 2,6) B. (4, 2) C. (4,2) D. (6,2)
3.把等式7x=9y，写成比例式，其中错误的是（ C ）
A. = B. = C. = D. =
4.如图，l1∥l2∥l3，直线AC、DF与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB=4，DE=3，EF=6，则BC的长是（ C ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
5.函数y=的图像大致是（ B ）
6.网格中小正方形的边长为 1，阴影图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（ D ）
甲和乙 B. 丙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丁
7.若点A( 1,y1)、B(2,y2)、C( 2,y3)在反比例函数y=(k>0)的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（ D ）
A. y1＞y2＞y3 B.y3 ＜y1＜y2 C.y1=y2=y3 D. y1＜y3＜y2
8.小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图 1 是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图 2 所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD．若点O到AB的距离为 10cm，点O到CD的距离为 15cm，蜡烛火焰AB的高度是 2cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（ C ）
A. 2cm B. 2.5cm C. 3cm D. 4cm
9.如图，过点P(4,5)分别作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，PC、PD分别交反比例函数y=(x>0)的图象于点A、B，则四边形BOAP的面积为（ C ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
10.如图，点E( 2,1)，F( 1, 1)，以点O为位似中心，将△EFO放大为原来的 2 倍，则点E的对应点E1的坐标是（ C ）
A. ( 4,2) B. ( 2,4)或(2, 4) C. ( 4,2)或(4, 2) D. (4, 2)
11.如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（ A ）
A. 3 秒或 4.8 秒 B. 3 秒 C. 4.5 秒 D. 4.5 秒或 4.8 秒
12.如图，在平面直角坐标系中，直线y= 3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线y=上，现将正方形ABCD沿y轴向下平移a个单位，可以使得顶点C落在双曲线上，则a的值为（ A ）
A. B. C. 2 D.
二、填空题。（每小题4分，共24分）
13.若=，则分式=___3___．
14.若点(a, 3)在反比例函数y=的图象上，则a的值是___﹣4___．
15.如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长3.2m的竹竿做测量工具．移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为___12___m．
16.验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.2米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了___300___度．
17.如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC边上的点，且DE∥AB．=2:1，△ABC的面积是 18，则四边形ABED的面积是___10___．
18.如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y=(x>0)同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为 1，∠AOB=∠OBA=45°，则k的值为______．
三、解答题
19.（14分）解方程：(1)x(x 4)=(x 4)； (2)x2+6x 7=0
（x﹣4）（x﹣1）=0 （x+7）（x﹣1）=0
x1=1，x2=4 x1=1，x2=﹣7
20.（8分）如图，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．
证明：∵∠1=∠2
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD
∴∠BAC=∠DAE
∵∠B=∠D
∴△ABC∽△ADE
21.(12分)在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，每个小正方形的边长为 1，以原点O为位似中心，在第一象限内，对△ABC进行位似变换，得到△DEF（点A，B，C分别对应点D，E，F），且△ABC与△DEF的相似比为2:1．其点B坐标为(4,2)．
(1) 画出△DEF．
(2) 点E的坐标为______．
(3) 线段AC上一点(x,y)经过变换后对应的点的坐标为______．
(1)
(2,1)
(3)(,)
22.（12分）如图，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=(m≠0)的图象相交于A(1,3)，B(n, 1)两点．
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；
(2) 根据图象，直接写出y1>y2时，x的取值范围；
(3) 分别连结AO和BO，求△ABO的面积．
(1)A(1,3)代入反比例函数y2=得m=1×3=3
∴反比例函数表达式为y2=
将B(n, 1)代入反比例函数y2=得
n=﹣3
将A(1,3)和B(﹣3, 1)代入y1=kx+b得
解得
∴y1=x+2
（2）﹣3＜x＜0或x＞1
（3）△ABO的面积为2×1÷2+2×3÷2=4
23.（12分）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥AB，交BD于点F．
(1) 如图 1，直接写出的值______；
(2) 将△EBF绕点B顺时针旋转到如图 2 所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；
(3) 如图 3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为α(0 <α<360 )，当α为何值时EA=ED 请在图 3 或备用图中画出图形并求出α的值．
（1）
（2）由题知△ABD和△BEF都是等腰直角三角形
∴=，=
∴=
由旋转知：∠ABE=∠DBF
∴△ABE∽△DBF
∴==
∴=
（3）a=30°或150°
24.(12分)如图，反比例函数y=(x>0)的图象经过线段OA的端点A(2,4)，把线段OA沿x轴正方向平移 3 个单位得到线段CB，CB与上述反比例函数的图象相交于点D，点D的横坐标为4．
(1) 求k的值和直线OA的解析式；
(2) 在y轴上是否存在点Q，使得∣DQ AQ∣的值最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3) 若P为函数y=(x>0)的图象上一动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，直线l与四边形OABC在x轴上方的一边交于点N，设P点的横坐标为n，且n<3，当=，直接写出n的值．
（1）A（2，4）代入反比例函数y=
k=2×4=8
设直线OA表达式为y=kx
将A（2，4）代入y=kx得
k=2
∴直线OA表达式为y=2x
（2）存在
延长DA交y轴一点Q，根据三角形三边关系得
∣DQ AQ∣≤AD
∴Q为所求
将x=4代入反比例函数y=得y=2
设直线AD的表达式为y=kx+b
将A（2，4），D（4，2）代入y=kx+b得
解得
∴直线AD表达式为y=2x+6
令x=0代入y=2x+6得y=6
∴Q（0，6）
（3）n=2.5或