课件16张PPT。北师大版九年级(上)第一章 特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定(1)新知导入 如果平行四边形的边或角满足一定的条件，那么就会形成一些特殊的平行四边形：菱形、矩形、正方形。
你知道它们有哪些特殊的性质吗？你对此有兴趣进行探究吗？你能证明这些特殊平行四边形的相关性质吗？问题情景 下面几幅图片中都含有一些平行四边形，观察这些
平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？平行四边形邻边相等情景引入 如图是一个活动的平行四边形，当它的一条边平移，使得一组邻边相等，这个平行四边形会形成一个怎样的特殊平行四边形？一组邻边相等平行四边形菱形新知归纳菱形的定义 ： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。一组邻
边相等合作交流ⅰ、菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形
的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？1、菱形的两组对边分别平行；2、菱形的两组对边分别相等；3、菱形的两组对角分别相等；4、菱形的对角线互相平分。新知探究Ⅰ、用菱形纸片折一折，回答下列问题：(1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
对称轴之间有什么关系？(2)图中有哪些相等线段？菱形是轴对称图形,它有两条对称轴，
对称轴互相垂直平分.菱形的四条边都相等.合作交流ⅱ、如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD
相交于点O.
求证: (1)AB=BC=CD=AD;
(2)AC⊥BD.证明: (1) ∵四边形ABCD是菱形∴AB=CD，AD=BC 又∵AB=AD∴AB=BC=CD=AD (2) ∵AB=AD ∴△ABD是等腰三角形 又 ∵四边形ABCD是菱形∴OB=OD ∴AO⊥BD 即AC⊥BD 新知归纳菱形的特性 ：(1) 菱形的四条边相等；(2) 菱形的对角线互相平分。例1、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=5，求菱形的边长AB和对角线AC的长.范例讲解解：∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD∴OB=OD= BD=3 AC⊥BD在等腰三角形ABD中∵∠BAD=60°∴ABD的等边三角形∴AB=BD=6.在Rt△AOB中OA2+OB2=AB2∴OA= = ∴AC=2OA= 新知探究Ⅱ、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交
于点O. 图中有多少个等腰三角形和直角三角形？巩固练习1、在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知
AB=5cm，AO=4cm，求BD的长.巩固练习2、已知：如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.
求证：△ABC是等边三角形.巩固练习3、如图，在菱形ABCD中，BD=6，AC=8.
求菱形ABCD的周长.巩固练习4、已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交
于点O.
求证：AC平分∠BAD和∠BCD，
BD平分∠ABC和∠ADC.课堂小结1、菱形的定义 ： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。2、菱形的特性 ：(1) 菱形的四条边相等；(2) 菱形的对角线互相平分。课件15张PPT。北师大版九年级(上)第一章 特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定(2)问题情景 根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是
菱形。除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平
行四边形是菱形？一组邻
边相等新知探究Ⅰ、我们知道，菱形的对角线互相垂直，那么，反过来，
对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？新知探究Ⅱ、求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。已知：如图，□ABCD中，对角线AC
与BD相交于点O， AC⊥BD。求证：□ABCD是菱形。证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC∴四边形ABCD是菱形 且AC⊥BD∴BA=BC∴ BD是线段AC的垂直平分线新知归纳菱形的判定 ：(1) 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；合作交流ⅰ、已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形
ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？DB合作交流ⅱ、已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.
求证: 四边形ABCD是菱形.证明: ∵ AB=CD，AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形又∵AB=AD∴四边形ABCD是菱形 新知归纳菱形的判定 ：(1) 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(2) 四条边都相等的四边形是菱形。ⅲ、你能用折纸的办法得到一个菱形吗？合作交流你能说说这样做的道理吗？例1、已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB= ，OA=2，OB=1.
求证：□ABCD是菱形.范例讲解证明：在△AOB中∵ AB= ，OA=2，OB=1∴AB2=AO2+OB2∴∠AOB=90°∴AC⊥BD∴□ABCD是菱形.巩固练习1、画一个菱形，使它的两条对角线的长分别为4cm和
6cm.巩固练习2、已知：如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分
线分别与AD、AC、BC相交于点E、O、F.
求证：四边形AFCE是菱形.巩固练习3、已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交
于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的
中点.
求证：四边形EFGH是菱形.巩固练习4、如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，
将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C`处，
折痕DE交BC于点E，连接CE，你能确定四边形CDC`E
的形状吗？证明你的结论.课堂小结菱形的判定 ：(1) 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(2) 四条边都相等的四边形是菱形。课件15张PPT。北师大版九年级(上)第一章 特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定(3)复习旧知1、菱形的定义 ： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。2、菱形的特性 ：(1) 菱形的四条边相等；(2) 菱形的对角线互相平分。3、菱形的判定 ：(1) 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(2) 四条边都相等的四边形是菱形。新知探究Ⅰ、求证：菱形的面积等于其对角线乘积的一半。已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O。证明：∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD求证：S菱形ABCD= AC×BD。∵S菱形ABCD = S△ABC +S△ADC且S △ABC= AC×OB， S △ADC= AC×OD ∴ S菱形ABCD = AC× (OB+OD)= AC×BD新知归纳推论： 菱形的面积等于其对角线乘积的一半。新知探究Ⅱ、已知：如图，菱形ABCD，作一个矩形，使得A、
B、C、D四点分别在矩形的四边上，且矩形的面积为菱形ABCD面积的2倍。ⅰ、如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部
分ABCD是菱形吗？为什么？合作交流EF合作交流ⅱ、已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、
F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点.
求证：四边形EGFH是菱形.例1、如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm。求：
(1)对角线AC的长；
(2)菱形ABCD的面积.范例讲解解：(1) ∵四边形ABCD是菱形，AC与BD交于点E∴∠AED=90°∴DE= BD=5∴AE= =12∴AC=2AE=24(2) ∵S菱形ABCD=S△ABD+S△CBD=2×S△ABD=120巩固练习2、菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长为
10cm。
(1)求这个菱形的每一个内角的度数；
(2)求这个菱形另一条对角线的长。巩固练习3、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC
=60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D、E，
点F在DE的延长线上，且AF=CE.
求证：四边形ACEF是菱形.巩固练习4、已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC
上的点，且BE=BF.
求证: (1)△ADE≌△CDF；
(2)∠DEF=∠DFE.巩固练习5、已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交
于点O，且AC=16，BD=12，求菱形ABCD的高DH.巩固练习5、如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱
形，使∠A为菱形的一个内角吗？巩固练习6、如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC，
DF∥AB，那么四边形AEDF是菱形吗？为什么？课堂小结推论： 菱形的面积等于其对角线乘积的一半。课件19张PPT。北师大版九年级(上)第一章 特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定(1)问题情景 下面图片中都含有一些特殊平行四边形，观察这些
特殊平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？平行四边形有一个直角情景引入 如图是一个活动的平行四边形，当它的一个角发生变化时，这个平行四边形会形成一个怎样的特殊平行四边形？一个内角为直角平行四边形矩形新知归纳 有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的定义 ：一个内角
是直角合作交流ⅰ、矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形
的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？1、矩形的两组对边分别平行；2、矩形的两组对边分别相等；3、矩形的两组对角分别相等；4、矩形的对角线互相平分。O新知探究Ⅰ、用矩形纸片折一折，回答下列问题：(1)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？(2)图中有哪些相等的角？矩形是轴对称图形，它有两条对轴.矩形的四个角都相等，
且都是直角.CABD(3)矩形的对角线有什么关系？矩形对角线相等.O合作交流ⅱ、如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线
AC与BD相交于点O.
求证: (1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;
(2)AC=BD.证明: (1) ∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠CDA，
∠BCD=∠DAB∴AB∥CD ∴∠ABC+∠BCD=180° 又∵∠ABC=90° ∴∠BCD=90° ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° 合作交流ⅱ、如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线
AC与BD相交于点O.
求证: (1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;
(2)AC=BD.证明: (2) ∵四边形ABCD是矩形∴AB=DC 在△ABC和△DCB中 ∵AB=CD，∠ABC=∠DCB，BC=CB ∴△ABC≌△DCB ∴AC=DB新知归纳矩形的特性 ：(1) 矩形的四个角都是直角；(2) 矩形的对角线相等。例1、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。范例讲解解：∵四边形ABCD是矩形∴ AC=BD且 OA= AC，OD= BD∴ OA=OD∵∠AOD=120°∴∠OAD=∠ODA=30°且∠DAB=90°∴BD=2AB=5你还有其他方法吗？ 新知探究Ⅱ、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点E. (1) 矩形的对角线AC与BD有怎样的关系？ AC=BD (2) BE与BD有怎样的关系？ BE= BD (3) BE与AC有怎样的关系？ BE= AC (4) 由上述关系你能得到什么结论？ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 新知归纳定理 ： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.合作交流ⅳ、你能写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半”的逆命题吗？ 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。你能证明它吗？新知探究Ⅲ、求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，
那么这个三角形是直角三角形. D求证：△ABC是直角三角形。证明：延长BO至D，使OD=OB。∵OB为中线已知：如图，△ABC中， OB为中
线，且OB= AC。∴OA=OC∵OB= AC∴AC=BD∴四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是矩形 ∴△ABC是直角三角形中线加倍法 巩固练习1、如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于
点O，AB=6，A=4，求BD与AD的长.巩固练习2、一个矩形的对角线长6cm，对角线与另一边的夹角是45°，求这个矩形的各边长.3345°xx巩固练习3、一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线
长为15，求这个矩形较短边的长.巩固练习4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中
点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形ADCE的形状，
并证明你的结论.课堂小结 有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。1、矩形的定义 ：2、矩形的特性 ：(1) 矩形的四个角都是直角；(2) 矩形的对角线相等。3、定理 ： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.课件15张PPT。北师大版九年级(上)第一章 特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定(2)问题情景 根据矩形的定义，有一角是直角的平行四边形是矩
形。除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行
四边形是矩形？一个内角
是直角新知探究Ⅰ、如图是一个活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，
平行四边形的形状会发生变化.(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样变化？(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？新知探究Ⅱ、求证：对角线相等的平行四边形是矩形。已知：如图，□ABCD中，对角线AC
与BD相交于点O，且 AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形。证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠ABC +∠BCD =180°∴ AB=CD，在△ABC和△DCB中AB∥CD AB=CDAC=BD∴△ABC≌△DCB∴ ∠ABC =∠BCD ∴ ∠ABC =90°且四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是矩形 BC=CB新知归纳矩形的判定 ：(1) 对角线相等的平行四边形是矩形；ⅰ、检查你家(或教室)的门框(或方桌面)是不是矩形。
如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？解释其中的道理。合作交流合作交流ⅱ、我们知道，矩形的四个角都是直角，反过来，一个
四边形至少有几个直角时，这个四边形就是矩形呢？(1)当一个四边形只有直角时，这个四边形是矩形吗？(2)当一个四边形有两个直角时，这个四边形是矩形吗？(3)当一个四边形有三个直角时，这个四边形是矩形吗？合作交流ⅲ、求证：有三个角是直角的四边形是矩形.已知：如图，四边形ABCD
中，∠A =∠B =∠C=90°求证：四边形ABCD是矩形。证明：∵∠A =∠B =∠C=90°∴∠A +∠B =180°，∠C +∠B =180°∴AD∥BC，∴AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形且∠C=90°∴平行四边形ABCD是矩形新知归纳矩形的判定 ：(1) 对角线相等的平行四边形是矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形。例1、如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积.范例讲解解：∵ 四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC，OB=OD又∵ △ABO是等边三角形∴OA=OB=AB=4
∠BAC=60°∴OA=OB=OC=OD=4∴AC=BD=2×4=8∴ □ABCD是矩形∴∠ABC=90°在Rt△ABC中AB2+BC2=AC2∴BC=∴S□ABCD=AB×BC巩固练习1、已知：如图，在□ABCD中，M是AD边的中点，且
MB=MC.
求证：四边形ABCD是矩形.巩固练习2、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长DE
=AD，连接BE、CE.
(1)试判断四边形ABEC的形状；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？巩固练习3、如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，
分别角∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D.
试判断四边形ACBD的形状，并说明你的理由.巩固练习4、如图，已知菱形ABCD，画一个矩形，使得A、B、
C、D四点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱
形ABCD面积的2倍.课堂小结矩形的判定 ：(1) 对角线相等的平行四边形是矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形。课件15张PPT。北师大版九年级(上)第一章 特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定(3)复习旧知 有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。1、矩形的定义 ：2、矩形的特性 ：(1) 矩形的四个角都是直角；(2) 矩形的对角线相等。3、定理 ： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.4、矩形的判定 ：(1) 对角线相等的平行四边形是矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形。例1、如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD
相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的
长.范例讲解解：∵四边形ABCD是矩形∴AO=DO= BD∴∠BAD=90°∵ED=3BE∴BE=OE又∵AE⊥BD∴AB=AO∴AB=AO=BO即△ABO的等边三角形∴∠ABO=60°∴∠ADB=90°-∠ABO=30°在Rt△AED中 ∠ADE=30°∴AE= AD=3巩固练习1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠EAD=3∠BAE，
求∠EAO的度数.巩固练习2、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∠ACB=30°，BD= 4，求矩形ABCD的面积.例2、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的
一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE
⊥AN，垂足为E.
求证：四边形ADCE是矩形.证明：∴∠CAD= ∠BAC,∠CAN= ∠CAM∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM∴∠DAE=∠CAD+∠CAN= (∠BAC+∠CAM)=90°在△ABC中∵AB=AC,AD为∠BAC的平分线∴AD⊥BC∴∠ADC=90°又∵CE⊥AN∴∠CEA=90°∴四边形ADCE是矩形范例讲解巩固练习3、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，
四边形ABDE是平行四边形.
求证：四边形ADCE是矩形.合作交流ⅰ、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的
一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE
⊥AN，垂足为E ，连接DE，交AC于F.(1)试判断四边形ABDE的形状，并证明你
的结论.合作交流ⅰ、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的
一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE
⊥AN，垂足为E，连接DE，交AC于F.(2)线段DF与AB有怎样的关系？请证明你
的结论.巩固练习4、已知：如图，四边形ABCD由两个全等的等边三角
形ABD和CBD组成，M、N分别是BC和AD的中点.
求证：四边形BMDN是矩形.新知探究Ⅰ、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，
将矩形纸片折叠，使点C与点A重合.(1)图中折痕会经过哪个点？折痕会经过对角线的交点 (2)图中折痕还有什么特征？折痕与AC垂直 OEF新知探究Ⅰ、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，
将矩形纸片折叠，使点C与点A重合.(3)怎样求图中折痕的长？ⅰ、如图，在△ABC中，AB=AC，CD是腰AB上的高，点P在BC边上，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F.
求证：PE+PF=CD.合作交流巩固练习5、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不
与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，
垂足为E、F，求PE+PF的值.课堂小结课件20张PPT。北师大版九年级(上)第一章 特殊平行四边形1.3 正方形的性质与判定(1)问题情景 下面的四边形都是特殊平行四边形，观察这些特殊
平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？有一组邻边相等有一个直角情景引入 如图是一个活动的平行四边形，当它的边和角发生变化时，这个平行四边形会形成一个怎样的特殊平行四边形？平行四边形正方形新知归纳 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形的定义 ：一组邻边相等
一个角是直角合作交流ⅰ、正方形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边
形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？1、正方形的两组对边分别平行；2、正方形的两组对边分别相等；3、正方形的两组对角分别相等；4、正方形的对角线互相平分。ABCD新知探究Ⅰ、观察正方形，回答下列问题：(1)正方形是矩形吗？如果是，它有什么特性？矩形的四个角都是直角，
对角线相等且互相平分.(2)正方形是菱形吗，如果是，它有什么特性？菱形的四条边相等，
对角线互相垂直且平分.ABCD合作交流ⅱ、求证：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。已知：如图，□ABCD中，AD=AB，∠A=90°。求证：(1) ∠A=B=∠C=∠D=90°；
(2)AB=BC=CD=DA。证明：∴ ∠A= B=∠C= ∠D=90°(2) ∵□ABCD中，AD=AB∴ AB=BC=CD=DA(1)∵ □ABCD中，∠A=90°∴四边形ABCD是矩形∴四边形ABCD是菱形 新知归纳正方形的特性 ：(1) 正方形的四个角都是直角，四条边相等；合作交流ⅲ、求证：正方形的对角线相等，并且互相垂直平分.已知：如图，正方形ABCD中，对角
线AC、BD相交于点O。求证：AC=BD、AC⊥BD、
OA=OB=OC=OD。证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴四边形ABCD是矩形、菱形和平行四边形∴ AC=BD、AC⊥BD、
OA=OB=OC=OD新知归纳正方形的特性 ：(1) 正方形的四个角都是直角，四条边相等；(2) 正方形的对角线相等且互相垂直平分。新知探究Ⅱ、用正方形纸片折一折，回答下列问题：(1)正方形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？正方形是轴对称图形，
它有四条对轴.ACDB例1、如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，且，CE=CF，BE与DF之间有怎样的关系？
说明理由.范例讲解解：∵四边形ABCD是正方形∴ BC=DC，∠BCE=90°BE=DF，且BE⊥DF，理由如下：又∴ CE=CF∴△BCE=△DCF延长BE交DF于点M∴BE=DF∴∠DCF=180°-∠BCE=90°∴∠BCE=∠DCF∵△BCE=△DCF∴∠CBE=∠CDF∴ ∠DCF=90°∴ ∠CDF+∠F=90°∴ ∠CEB+∠F=90°∴ ∠BMF=90°∴ BE⊥DF新知探究Ⅲ、平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？巩固练习1、如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于
点O，图中有多少个等腰三角形？巩固练习2、如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF、DF，你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明.巩固练习3、对角线长为2cm的正方形，边长是多少？ 巩固练习4、如图，四边形ABD是正方形，△CBE是等边三角形，
求AEB的度数.巩固练习5、如图，A、B、C、D四家工厂分别坐落在正方形城镇
的四个角上，仓库P和Q分别位于AD和DC上，且PD=
QC. 证明两条直路BP=AQ且BP⊥AQ.巩固练习6、在一个正方形的花坛上，欲修建两条小路，使得两条
直的小路将花坛分成大小、形状完全形同的四部分(不考
虑道路的宽度)，你有几种方法？(至少说出三种)课堂小结正方形的特性 ：(1) 正方形的四个角都是直角，四条边相等；(2) 正方形的对角线相等且互相垂直平分。课件17张PPT。北师大版九年级(上)第一章 特殊平行四边形1.3 正方形的性质与判定(2)问题情景 根据正方形的定义，有一组邻边相等，并且有一个
角是直角的平行四边形叫做正方形。除此之外，你认为
还有什么条件可以判断一个四边形是正方形？一组邻边相等
一个角是直角新知探究Ⅰ、如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，
打开。怎样剪才能剪出一个正方形？？合作交流ⅰ、满足什么条件的矩形是正方形？(1)一组邻边相等 一组邻边相等(2)对角线互相垂直 对角线互相垂直新知探究Ⅱ、求证：对角线互相垂直的矩形是正方形。已知：如图，矩形ABCD中， AC⊥BD。求证：四边形ABCD是正方形。证明：∵四边形ABCD是矩形∴四边形ABCD是平行四边形，∠DAB=90°且AC⊥BD∴ AB=AD且OB=OD∴四边形ABCD是正方形新知归纳正方形的判定 ：(1) 对角线互相垂直的矩形是正方形；合作交流ⅱ、满足什么条件的菱形是正方形？(1)有一个角是直角 有一个角是直角(2)对角线相等 对角线互相垂直新知探究Ⅲ、求证：有一个角是直角的菱形是正方形。已知：如图，菱形ABCD中， ∠A
=90°。求证：四边形ABCD是正方形。证明：∵四边形ABCD是菱形∴四边形ABCD是平行四边形，
AD=AB且∠A=90°∴四边形ABCD是正方形新知探究Ⅳ、求证：对角线相等的菱形是正方形。已知：如图，菱形ABCD中， AC=BD。求证：四边形ABCD是正方形。证明：∵四边形ABCD是菱形∴四边形ABCD是平行四边形，
AB=AD且AC=BD∴∠DAB=90°∴四边形ABCD是矩形∴四边形ABCD是正方形新知归纳正方形的判定 ：(1) 对角线互相垂直的矩形是正方形；(2) 有一个角是直角的菱形是正方形；(3) 对角线相等的菱形是正方形。合作交流ⅲ、我们知道：依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形。 那么依次连接正方形各边的中点能得到一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明。合作交流ⅳ、依次连接菱形、矩形、平行四边形各边中点，分别能得到一个什么图形？菱形矩形平行四边形矩形菱形平行四边形例1、已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，
CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.范例讲解证明：∵ BF∥CE，CF∥BE∴四边形BECF是平行四边形∴∠ABC=90°,∠DCB=90°∵四边形ABCD是矩形又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB∴∠EBC= ∠ABC=45°,∠ECB= ∠DCB=45°∴∠EBC=∠ECB∴EB=EC∴四边形BECF是菱形在△EBC中∵∠EBC=45°,∠ECB=45°∴∠BEC=90°∴四边形BECF是正方形巩固练习1、已知：如图，E、F是正方形ABCD的对角线BD上的
两点，且BE=DF.
求证：四边形那个AECF是菱形.巩固练习2、如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别在它的
四条边上，且AE=BF=CG=DH，四边形EFGH是什么特
殊四边形？你是如何判断的？巩固练习3、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形
A`B`C`O与正方形ABCD的边长相等，在正方形
A`B`C`O绕点O旋转的过程中，两个正方形重叠部分的
面积与正方形ABCD的面积有什么关系？证明你的结论.课堂小结正方形的判定 ：(1) 对角线互相垂直的矩形是正方形；(2) 有一个角是直角的菱形是正方形；(3) 对角线相等的菱形是正方形。课件12张PPT。北师大版九年级(上)第一章 特殊平行四边形回顾与思考知识架构平行四边形 矩形 菱形 正方形 定义性质判定应用例1、一个菱形的对角线长60cm，周长是200cm，求：
(1)另一条对角线的长度；
(2)这个菱形的面积。典型例题1、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别
作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F.
求证：四边形AEDF是菱形.针对训练2、已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P.
求证：四边形CODF是菱形.针对训练例2、已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M、P、N、Q分别在AO、BO、CO、DO上，且AM=BP=CN=DQ.
求证：四边形MPNQ是矩形.典型例题3、如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，动点P从点A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CD
边以1cm/s的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设动点的运动时间为t s，则当t为何值时，四边形APQD是矩形？针对训练例3、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD
是△ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.
求证：四边形CEDF是正方形.典型例题5、如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC=EC，求∠DAE的度数.针对训练6、已知正方形的对角线长为l，求它的周长和面积.针对训练7、如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形？试说明理由.针对训练课堂小结平行四边形 矩形 菱形 正方形 定义性质判定应用
