第1节 直线的方程
基础练
1.(2025·甘肃白银模拟)直线x-y+2 025=0的倾斜角是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】 C
【解析】 根据题意,设直线x-y+2 025=0的倾斜角为α,因为其斜率k=tan α=,又由0°≤α<180°,所以α=60°.故选C.
2.若直线l的斜率为k,倾斜角为α,且α∈[,)∪[,π),则k的取值范围是( )
A.(-∞,-]∪[,1)
B.[-,0)∪[,1)
C.[-,0)∪(0,]
D.(-∞,-]∪(0,]
【答案】 B
【解析】 当α∈[,)时,k=tan α∈[,1);当α∈[,π)时,k=tan α∈[-,0).
综上可得,k∈[-,0)∪[,1).故选B.
3.在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0有可能是( )
A B
C D
【答案】 B
【解析】 由题意知l1:y=-ax-b,l2:y=-bx-a,所以直线l1的斜率、在y轴上的截距分别与直线l2在y轴上的截距、l2的斜率符号相同,分析选项可知B符合.故选B.
4.已知直线l过点(-3,4)且方向向量为(1,-2),则l在x轴上的截距为( )
A.-1 B.1 C.-5 D.5
【答案】 A
【解析】 因为直线l的方向向量为(1,-2),所以直线斜率k=-2,
又直线l过点(-3,4),所以直线方程为y-4=-2(x+3),即2x+y+2=0,
令y=0,得x=-1,所以l在x轴上的截距为-1.故选A.
5.(多选题)(2025·甘肃定西模拟)过点P(1,2)且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线可以是( )
A.2x-y=0 B.x+2y-5=0
C.x+y-3=0 D.2x+y-4=0
【答案】 ACD
【解析】 对于A,因为2×1-2=0,所以直线2x-y=0过点P(1,2),且直线2x-y=0在两坐标轴上的截距都是0,符合题意,故A正确;
对于B,因为1+2×2-5=0,所以直线x+2y-5=0过点P(1,2),令x=0,解得y=,即直线x+2y-5=0在y轴上的截距为,不符合题意,故B错误;
对于C,因为1+2-3=0,所以直线x+y-3=0过点P(1,2),令x=0得y=3,令y=0得x=3,所以直线x+y-3=0在两坐标轴上的截距都是3,符合题意,故C正确;
对于D,因为2×1+2-4=0,所以直线2x+y-4=0过点P(1,2),令x=0得y=4,令y=0得x=2,
所以直线2x+y-4=0在y轴上的截距为4,在x轴上的截距为2,符合题意,故D正确.
故选ACD.
6.已知点A(2,3),B(-1,2),若点P(x,y)在线段AB上,则的最小值为( )
A.1 B. C.-3 D.-
【答案】 C
【解析】 如图,因为表示点P(x,y)和点E(3,0)连线的斜率,又点A(2,3),B(-1,2),
所以kAE==-3,kBE==-,由图知,的最小值为-3.故选C.
7.直线2mx+my-3=0的一个方向向量是 .
【答案】 (1,-2)(答案不唯一)
【解析】 显然m≠0,直线2mx+my-3=0即为y=-2x+,所以直线2mx+my-3=0的一个方向向量是(1,-2)(答案不唯一).
8.设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),若直线l的斜率为-1,则k= ;若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0,则k= .
【答案】 5 1
【解析】 因为直线l的斜率存在,所以直线l的方程可化为y=-x+2,由题意得-=-1,解得k=5;
直线l的方程可化为+=1,由题意得k-3+2=0,解得k=1.
9.过点P(-1,0)且与直线l1:x-y+2=0的夹角为的直线的一般式方程是 .
【答案】 x+1=0或x-y+1=0
【解析】 直线l1的倾斜角β∈[0,π)且tan β=,则β=.因为所求直线与直线l1的夹角为,所以所求直线的倾斜角为或.当所求直线的倾斜角为时,直线为x=-1,即x+1=0;
当所求直线的倾斜角为时,直线为y=(x+1),即x-y+1=0.综上,所求直线的一般式方程为x+1=0或x-y+1=0.
10.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围.
(1)【证明】 直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0,令解得
所以无论k取何值,直线总经过定点(-2,1).
(2)【解】 由方程知,当k≠0时,直线在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,
要使直线不经过第四象限,则必须有解得k>0;当k=0时,直线为y=1,符合题意,
故k的取值范围是[0,+∞).
强化练
11.(多选题)若直线l经过点(4,-2),且l与坐标轴围成的三角形面积为2,则l的方程可能是( )
A.x-y-2=0 B.2x+y-6=0
C.x+y-2=0 D.x+4y+4=0
【答案】 CD
【解析】 易知直线l的斜率存在且不为0,
故设直线l的方程y=k(x-4)-2,
令x=0,得y=-4k-2;令y=0,得x=+4.
故围成的三角形面积为S=×|-4k-2||+4|=2,
化简可得4k2+3k+1=0或4k2+5k+1=0.
对于方程4k2+3k+1=0,Δ=32-4×4×1<0,
故方程4k2+3k+1=0无解.
对于方程4k2+5k+1=0,
可得k=-1或k=-.
故直线l的方程是y=-(x-4)-2或y=-(x-4)-2,即x+y-2=0或x+4y+4=0.
故选CD.
12.(多选题)已知两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为α,β.若α<β,则下列关系可能成立的是( )
A.0C.k2【答案】 ABD
【解析】 若0<α<β<,因为y=tan θ在(0,)上单调递增,则0所以B选项可能成立;
对于C选项,由k2若0<α<<β<π,则tan α>0,tan β<0,即k2<013.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为 .
【答案】 16
【解析】 根据点A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为+=1,又因为点C(-2,-2)在该直线上,
故+=1,所以-2(a+b)=ab.因为ab>0,故a<0,b<0.根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4,
从而≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时,等号成立,即ab的最小值为16.
14.如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°角和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.
【解】 由题意可得kOA=tan 45°=1,kOB=tan(180°-30°)=tan 150°=-,
所以直线lOA:y=x,lOB:y=-x.
设A(m,m),B(-n,n),
所以AB的中点C(,).
由点C在直线y=x上,且A,P,B三点共线得
解得m=,所以A(,),
又P(1,0),
所以kAB=kAP==,
所以lAB:y=(x-1),
即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.
15.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(x∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的一般式方程;
(2)若l与x轴正半轴的交点为A,与y轴负半轴的交点为B,求△AOB(O为坐标原点)的面积的最小值.
【解】 (1)由于直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(x∈R),当直线l经过原点时,0+0+2-a=0,求得a=2,此时它的方程为3x+y=0;
当直线l不经过原点时,它的方程即x+=,由于它在两坐标轴上的截距相等,
故有a+1=1,求得a=0,它的方程为x+y+2=0.
综上可得,l的一般式方程为3x+y=0或x+y+2=0.
(2)因为(a+1)x+y+2-a=0(x∈R),令x=0,得y=a-2,令y=0,得x=,因为l与x轴正半轴的
交点为A,与y轴负半轴的交点为B,所以A(,0),B(0,a-2),
所以A的横坐标>0,B的纵坐标a-2<0,求得a<-1.
所以S△AOB=··(2-a)====++3≥2+3=6,当且仅当a+1=-3,即a=-4时,等号成立,故△AOB的面积的最小值为6.第1节 直线的方程
1.(2025·甘肃白银模拟)直线x-y+2 025=0的倾斜角是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.若直线l的斜率为k,倾斜角为α,且α∈[,)∪[,π),则k的取值范围是( )
A.(-∞,-]∪[,1)
B.[-,0)∪[,1)
C.[-,0)∪(0,]
D.(-∞,-]∪(0,]
3.在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0有可能是( )
A B
C D
4.已知直线l过点(-3,4)且方向向量为(1,-2),则l在x轴上的截距为( )
A.-1 B.1 C.-5 D.5
5.(多选题)(2025·甘肃定西模拟)过点P(1,2)且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线可以是( )
A.2x-y=0 B.x+2y-5=0
C.x+y-3=0 D.2x+y-4=0
6.已知点A(2,3),B(-1,2),若点P(x,y)在线段AB上,则的最小值为( )
A.1 B. C.-3 D.-
7.直线2mx+my-3=0的一个方向向量是 .
8.设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),若直线l的斜率为-1,则k= ;若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0,则k= .
9.过点P(-1,0)且与直线l1:x-y+2=0的夹角为的直线的一般式方程是 .
10.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围.
强化练
11.(多选题)若直线l经过点(4,-2),且l与坐标轴围成的三角形面积为2,则l的方程可能是( )
A.x-y-2=0 B.2x+y-6=0
C.x+y-2=0 D.x+4y+4=0
12.(多选题)已知两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为α,β.若α<β,则下列关系可能成立的是( )
A.0C.k213.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为 .
14.如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°角和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.
15.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(x∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的一般式方程;
(2)若l与x轴正半轴的交点为A,与y轴负半轴的交点为B,求△AOB(O为坐标原点)的面积的最小值.
