第2节 两条直线的位置关系
基础练
1.已知直线l1:a2x-2y+(a-2)=0,直线l2:2x-y-2=0,若l1∥l2,则a=( )
A.1或-1 B.2或-2
C.2 D.-2
【答案】 C
【解析】 因为直线l1:a2x-2y+(a-2)=0,直线l2:2x-y-2=0,
若l1∥l2,则
解得所以a=2.故选C.
2.已知a2-3a+2=0,则直线l1:ax+(3-a)y-a=0和直线l2:(6-2a)x+(3a-5)y-4+a=0的位置关系为( )
A.垂直或平行 B.垂直或相交
C.平行或相交 D.垂直或重合
【答案】 D
【解析】 因为a2-3a+2=0,
所以a=1或a=2.
当a=1时,l1:x+2y-1=0,l2:4x-2y-3=0,
k1=-,k2=2,
所以k1·k2=-1,则两直线垂直;
当a=2时,l1:2x+y-2=0,l2:2x+y-2=0,则两直线重合.故选D.
3.如果平面直角坐标系内的两点A(a-1,a+1),B(a,a)关于直线l对称,那么直线l的方程为( )
A.x-y+1=0 B.x+y+1=0
C.x-y-1=0 D.x+y-1=0
【答案】 A
【解析】 因为直线AB的斜率为=-1,所以直线l的斜率为1.设直线l的方程为y=x+b,由题意知直线l过点(,),所以=+b,解得b=1,所以直线l的方程为y=x+1,
即x-y+1=0.故选A.
4.已知直线4x+my-6=0与直线5x-2y+n=0垂直,垂足为(t,1),则n的值为( )
A.7 B.9 C.11 D.-7
【答案】 A
【解析】 由直线4x+my-6=0与直线5x-2y+n=0垂直得,20-2m=0,即m=10.
直线4x+10y-6=0过点(t,1),
所以4t+10-6=0,即t=-1.
点(-1,1)又在直线5x-2y+n=0上,
所以-5-2+n=0,即n=7.故选A.
5.(多选题)已知直线l1:4x-3y+4=0,l2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0(m∈R),下列选项正确的是( )
A.过点(-1,2)且垂直于直线l1的直线方程为3x+4y-5=0
B.直线l2过定点(3,-1)
C.当m=1时,l1⊥l2
D.当l1∥l2时,两直线之间的距离为1
【答案】 AD
【解析】 垂直于直线4x-3y+4=0的直线方程设为3x+4y+m=0,
将点(-1,2)代入得m=-5,故所求直线方程为3x+4y-5=0,A正确;
直线l2化为m(x-y+2)+(2x-y+5)=0,由
求得直线l2过定点(-3,-1),故B错误;
当l1⊥l2时有4(m+2)+3(m+1)=0,
解得m=-,故C错误;
当l1∥l2时,=≠,
解得m=2,
此时直线l1:4x-3y+4=0,l2:4x-3y+9=0,
两平行线间的距离为=1,故D正确.故选AD.
6.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中
隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中,设军营所在位置为B(-2,0),若将军从山脚下的点A(2,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=3,则“将军饮马”的最短总路程为( )
A.4 B.5 C. D.3
【答案】 C
【解析】根据题意建立平面直角坐标系如图.因为点A(2,0),设其关于直线x+y=3的对称点为A1(x0,y0),则解得
即A1(3,1),故“将军饮马”的最短总路程为|A1B|==.故选C.
7.已知直线l过两条直线x-2y+4=0与4x+3y+5=0的交点,且点A(-1,-2)到直线l的距离为1,则直线l的方程为 .
【答案】 4x+3y+5=0或x+2=0
【解析】 联立解得
所以直线l过点(-2,1),
当直线l的斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0,
点A(-1,-2)到直线l的距离d==1,解得k=-,
此时直线方程为4x+3y+5=0,
当直线l的斜率不存在时,方程为x=-2,点A(-1,-2)到直线l的距离为|-1-(-2)|=1,满足条件.
综上可知,直线l的方程为4x+3y+5=0或x+2=0.
8.(2025·上海黄浦模拟)已知直线l1:4x+y=0,l2:mx+y=1,l3:2x-3my=4,若它们不能围成三角形,则实数m的取值所构成的集合为 .
【答案】 {4,-,-}
【解析】 当l1与l2平行或重合时,m=4;当l1与l3平行或重合时,4×(-3m)=2,解得m=-;当l2与l3平行或重合时,m×(-3m)=2,此时无解;当三条直线经过同一点时,联立解得故m的取值所构成的集合为{4,-,-}.
9.(2025·吉林延边模拟)过两条直线l1:x+2y-4=0,l2:2x-y-3=0的交点,且与直线x+3y+1=0垂直的直线的方程为 .
【答案】 3x-y-5=0
【解析】 由得设与直线x+3y+1=0垂直的直线的方程为3x-y+m=0,
则3×2-1+m=0,得m=-5,所以所求直线方程为3x-y-5=0.
10.(1)已知点A(a,6)到直线3x-4y=2的距离d=4,求a的值;
(2)在直线x+3y=0上求一点P,使它到原点的距离与到直线x+3y-2=0的距离相等.
【解】 (1)由题意,=4,|3a-26|=20,解得a=2或a=.
(2)设点P(-3b,b),由题意,
|OP|==.
点P到直线x+3y-2=0的距离为=,
所以=,解得b=±.
即点P的坐标为(,-)或(-,).
强化练
11.当点P(-1,0)到直线l:(3λ+1)x+(λ+1)y-(4λ+2)=0的距离最大时,实数λ的取值为( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
【答案】 B
【解析】 直线l:(3λ+1)x+(λ+1)y-(4λ+2)=0,整理得λ(3x+y-4)+(x+y-2)=0,由可得故直线恒过点A(1,1),点P(-1,0)到直线的距离dmax==,故kPA==,直线l:(3λ+1)x+(λ+1)y-(4λ+2)=0的斜率k=-,故-·=-1,解得λ=1.故选B.
12.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出任意三角形的
外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为“欧拉线”.已知△ABC的顶点A(-4,0),
B(0,4),C(2,0),则△ABC“欧拉线”的方程为 .
【答案】 x-y+2=0
【解析】 因为△ABC的顶点为A(-4,0),B(0,4),C(2,0),则△ABC的重心G(-,),
显然△ABC的外心M在线段AC的垂直平分线x=-1上,设M(-1,a),由|MA|=|MB|得=
,解得a=1,即点M(-1,1),直线MG:y-1=·(x+1),化简整理得x-y+2=0,
所以△ABC “欧拉线”的方程为x-y+2=0.
13.(2025·山东临沂模拟)已知光线从点A(6,1)射出,到x轴上的点B后,被x轴反射到y轴上的点C,再被y轴反射,这时反射光线恰好经过点D(4,4),则CD所在直线的方程为
.
【答案】 x-2y+4=0
【解析】 如图,由题意知点B在原点O的右侧,直线BC一定过点A(6,1)关于x轴的对称点A′(6,-1),
且一定过点D(4,4)关于y轴的对称点D′(-4,4),所以BC所在直线的方程为y-4=(x+4),
即x+2y-4=0.令x=0,则y=2,所以C点坐标为(0,2),所以CD所在直线的方程为y=x+2,
即x-2y+4=0.
14.已知直线l:y=3x+3,求:
(1)直线l关于点M(3,2)对称的直线的方程;
(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线的方程.
【解】 (1)设直线l关于M(3,2)的对称直线上任意一点为A(x,y),
则点A关于点M(3,2)的对称点为B(x1,y1),
则解得x1=6-x,y1=4-y,
即B(6-x,4-y),
将点B(6-x,4-y)代入直线l,
可得4-y=3(6-x)+3,
整理得3x-y-17=0,
即对称直线的方程为3x-y-17=0.
(2)由解得
即直线x-y-2=0与y=3x+3的交点坐标为E(-,-),
再在直线x-y-2=0上取一点C(0,-2),
设点C关于直线y=3x+3的对称点为N(m,n),
则解得
即N(-3,-1),
又由kEN==-7,所以直线EN的方程为y-(-1)=-7[x-(-3)],
整理得7x+y+22=0,
即直线x-y-2=0关于直线l对称的直线的方程为7x+y+22=0.
15.(2025·河南南阳模拟)已知直线l:x-y-1=0.
(1)若直线m与l平行,且直线m,l之间的距离为,求直线m的方程;
(2)若P为直线l上一点,点M(1,-2),N(2,6),求|PN|-|PM|取得最大值时点P的坐标.
【解】 (1)由直线m与l平行,设直线m的方程为x-y+C=0(C≠-1),
由直线m,l之间的距离为,得=,解得C=-3或C=1,
所以直线m的方程为x-y-3=0或x-y+1=0.
(2)如图所示,设点M(1,-2)关于直线l:x-y-1=0的对称点为M′(a,b),
则解得
即M′(-1,0),
而|PN|-|PM|=|PN|-|PM′|≤|NM′|,当且仅当P,M′,N三点共线时,等号成立,
直线NM′的方程为y-0=(x+1),即2x-y+2=0,
由解得点P′(-3,-4)即为所求,
所以|PN|-|PM|取得最大值时点P的坐标为(-3,-4).第2节 两条直线的位置关系
基础练
1.已知直线l1:a2x-2y+(a-2)=0,直线l2:2x-y-2=0,若l1∥l2,则a=( )
A.1或-1 B.2或-2
C.2 D.-2
2.已知a2-3a+2=0,则直线l1:ax+(3-a)y-a=0和直线l2:(6-2a)x+(3a-5)y-4+a=0的位置关系为( )
A.垂直或平行 B.垂直或相交
C.平行或相交 D.垂直或重合
3.如果平面直角坐标系内的两点A(a-1,a+1),B(a,a)关于直线l对称,那么直线l的方程为( )
A.x-y+1=0 B.x+y+1=0
C.x-y-1=0 D.x+y-1=0
4.已知直线4x+my-6=0与直线5x-2y+n=0垂直,垂足为(t,1),则n的值为( )
A.7 B.9 C.11 D.-7
5.(多选题)已知直线l1:4x-3y+4=0,l2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0(m∈R),下列选项正确的是( )
A.过点(-1,2)且垂直于直线l1的直线方程为3x+4y-5=0
B.直线l2过定点(3,-1)
C.当m=1时,l1⊥l2
D.当l1∥l2时,两直线之间的距离为1
6.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中
隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中,设军营所在位置为B(-2,0),若将军从山脚下的点A(2,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=3,则“将军饮马”的最短总路程为( )
A.4 B.5 C. D.3
7.已知直线l过两条直线x-2y+4=0与4x+3y+5=0的交点,且点A(-1,-2)到直线l的距离为1,则直线l的方程为 .
8.(2025·上海黄浦模拟)已知直线l1:4x+y=0,l2:mx+y=1,l3:2x-3my=4,若它们不能围成三角形,则实数m的取值所构成的集合为 .
9.(2025·吉林延边模拟)过两条直线l1:x+2y-4=0,l2:2x-y-3=0的交点,且与直线x+3y+1=0垂直的直线的方程为 .
10.(1)已知点A(a,6)到直线3x-4y=2的距离d=4,求a的值;
(2)在直线x+3y=0上求一点P,使它到原点的距离与到直线x+3y-2=0的距离相等.
强化练
11.当点P(-1,0)到直线l:(3λ+1)x+(λ+1)y-(4λ+2)=0的距离最大时,实数λ的取值为( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
12.瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出任意三角形的
外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为“欧拉线”.已知△ABC的顶点A(-4,0),
B(0,4),C(2,0),则△ABC“欧拉线”的方程为 .
所以△ABC “欧拉线”的方程为x-y+2=0.
13.(2025·山东临沂模拟)已知光线从点A(6,1)射出,到x轴上的点B后,被x轴反射到y轴上的点C,再被y轴反射,这时反射光线恰好经过点D(4,4),则CD所在直线的方程为
.
14.已知直线l:y=3x+3,求:
(1)直线l关于点M(3,2)对称的直线的方程;
(2)直线x-y-2=0关于直线l对称的直线的方程.
15.(2025·河南南阳模拟)已知直线l:x-y-1=0.
(1)若直线m与l平行,且直线m,l之间的距离为,求直线m的方程;
(2)若P为直线l上一点,点M(1,-2),N(2,6),求|PN|-|PM|取得最大值时点P的坐标.
