第3节 圆的方程
基础练
1.已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16,下列各点中在圆内的是( )
A.(2,2) B.(1,3)
C.(-1,-2) D.(0,-1)
2.已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=4与圆D:x2+y2-Dx+Ey+F=0为同心圆,且圆D的半径为圆C的半径的2倍,则( )
A.D=2,E=4,F=-11
B.D=2,E=4,F=11
C.D=-2,E=4,F=-11
D.D=-2,E=4,F=11
3.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A.(x-2)2+(y+1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+2)2+(y-1)2=1
D.(x+4)2+(y-2)2=4
4.若直线2x+y-1=0是圆x2+(y+a)2=1的一条对称轴,则圆心坐标为( )
A.(0,1) B.(0,-1)
C.(0,) D.(0,-)
5.(2023·全国乙卷)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是( )
A.1+ B.4
C.1+3 D.7
6.已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),则底边另一个端点C的轨迹方程是( )
A.(x-4)2+(y-2)2=10
B.(x+4)2+(y-2)2=10
C.(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,x≠5)
D.(x+4)2+(y-2)2=10(x≠3,x≠5)
7.已知圆C:x2+y2+kx+2y=-k2,当圆C的面积取最大值时,圆心C的坐标为 .
8.已知M(x,y)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).则|MQ|的最大值是 ;
的最小值是 .
9.设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则|+|的最大值为 .
10.已知方程x2+y2-2x+4y+4m=0.
(1)若此方程表示圆,求实数m的取值范围;
(2)若m的值为(1)中能取到的最大整数,则得到的圆设为圆E,若圆E与圆F关于y轴对称,设P(x,y)为圆F上任意一点,求点P(x,y)到直线x+y-1=0的距离的最大值和最小值.
强化练
11.已知两点A(-1,0),B(0,2),P是圆(x-2)2+y2=1上任意一点,则△PAB面积的最小值是( )
A. B.2 C.3+ D.3-
12.(2025·内蒙古呼和浩特模拟)点P(1,-a)关于直线x-y=0的对称点在圆(x-2)2+(y-4)2=13内,则实数a的取值范围是 .
13.已知圆C:x2+y2+ax-3=0,圆心坐标为(1,0).
(1)求圆C的一般方程;
(2)若P为圆C上的动点,定点Q(-1,4),求满足条件-=0的点M的轨迹方程,并判断它的形状.
拓展练
14.(多选题)(2025·江苏南京模拟)已知A,B为定点,且|AB|=4,下列条件中能满足动点P的轨迹为圆的有( )
A.|PA|·|PB|=10
B.=3
C.|PA|2+|PB|2=10
D.|PA|2-|PB|2=10
15.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,
求点P的轨迹方程.第3节 圆的方程
基础练
1.已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16,下列各点中在圆内的是( )
A.(2,2) B.(1,3)
C.(-1,-2) D.(0,-1)
【答案】 D
【解析】 A中(2-3)2+(2+2)2=17>16,在圆外;
B中(1-3)2+(3+2)2=29>16,在圆外;
C中(-1-3)2+(-2+2)2=16,在圆上;
D中(0-3)2+(-1+2)2=10<16,在圆内.故选D.
2.已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=4与圆D:x2+y2-Dx+Ey+F=0为同心圆,且圆D的半径为圆C的半径的2倍,则( )
A.D=2,E=4,F=-11
B.D=2,E=4,F=11
C.D=-2,E=4,F=-11
D.D=-2,E=4,F=11
【答案】 A
【解析】 由题意可知圆C的圆心为(1,-2),半径为2,
又圆D:x2+y2-Dx+Ey+F=0与圆C为同心圆,半径为4,
所以
解得故选A.
3.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A.(x-2)2+(y+1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+2)2+(y-1)2=1
D.(x+4)2+(y-2)2=4
【答案】 A
【解析】 设圆上任意一点为(x1,y1),中点为(x,y),则可得代入x2+y2=4得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.故选A.
4.若直线2x+y-1=0是圆x2+(y+a)2=1的一条对称轴,则圆心坐标为( )
A.(0,1) B.(0,-1)
C.(0,) D.(0,-)
【答案】 A
【解析】 圆x2+(y+a)2=1的圆心为(0,-a),
因为直线2x+y-1=0是圆的一条对称轴,所以圆心(0,-a)在直线2x+y-1=0上,
所以2×0+(-a)-1=0,解得a=-1,故圆心坐标为(0,1).故选A.
5.(2023·全国乙卷)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是( )
A.1+ B.4
C.1+3 D.7
【答案】 C
【解析】 由x2+y2-4x-2y-4=0可得(x-2)2+(y-1)2=9,其表示圆心为(2,1),半径为3的圆.
设x-y=k,则圆心到直线x-y=k的距离d=≤3,解得1-3≤k≤1+3.故选C.
6.已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),则底边另一个端点C的轨迹方程是( )
A.(x-4)2+(y-2)2=10
B.(x+4)2+(y-2)2=10
C.(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,x≠5)
D.(x+4)2+(y-2)2=10(x≠3,x≠5)
【答案】 C
【解析】 设C(x,y),由题意知,|AB|==,因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形,
于是有|CA|=|AB|=,即点C的轨迹是以A为圆心,半径为的圆,又点A,B,C构成三角形,即三点不可共线,则轨迹中需去掉点B(3,5)及点B关于点A对称的点(5,-1),所以点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,x≠5).故选C.
7.已知圆C:x2+y2+kx+2y=-k2,当圆C的面积取最大值时,圆心C的坐标为 .
【答案】 (0,-1)
【解析】 圆C的方程可化为(x+)2+(y+1)2=-k2+1,所以当k=0时,圆C的面积最大,此时圆心C的坐标为(0,-1).
8.已知M(x,y)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).则|MQ|的最大值是 ;
的最小值是 .
【答案】 6 2-
【解析】 圆C的方程可化为(x-2)2+(y-7)2=8,如图所示,
连接QC并延长交圆C于A,B两点,当点M与B重合时|MQ|取得最大值,即为|QC|+r=6;
易知=kMQ,由图形知当MQ与圆C相切时取得最值,如图所示.
可设lMQ:y=k(x+2)+3,则点C到其距离为=r=2,解得k=2±,故最小值为2-.
9.设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则|+|的最大值为 .
【答案】 10
【解析】 由题意,知=(-x,2-y),=(-x,-2-y),
所以+=(-2x,-2y),
由于点P(x,y)是圆上的点,
故其坐标满足方程(x-3)2+y2=4,
故y2=-(x-3)2+4,
所以|+|==2.
由圆的方程(x-3)2+y2=4,易知1≤x≤5,
所以当x=5时,|+|的值最大,最大值为2=10.
10.已知方程x2+y2-2x+4y+4m=0.
(1)若此方程表示圆,求实数m的取值范围;
(2)若m的值为(1)中能取到的最大整数,则得到的圆设为圆E,若圆E与圆F关于y轴对称,设P(x,y)为圆F上任意一点,求点P(x,y)到直线x+y-1=0的距离的最大值和最小值.
【解】(1)若此方程表示圆,
则(-2)2+42-4×4m>0,
解得m<,即实数m的取值范围是(-∞,).
(2)由(1)可知m=1,此时圆E:x2+y2-2x+4y+4=0,圆心坐标为E(1,-2),半径为1,
因为圆F和圆E关于y轴对称,所以圆F的圆心坐标是(-1,-2),半径是1,
故圆F方程为(x+1)2+(y+2)2=1,则圆F的圆心(-1,-2)到直线x+y-1=0的距离d==2,故点P(x,y)到直线x+y-1=0的距离的最大值为2+1,最小值为2-1.
强化练
11.已知两点A(-1,0),B(0,2),P是圆(x-2)2+y2=1上任意一点,则△PAB面积的最小值是( )
A. B.2 C.3+ D.3-
【答案】 D
【解析】 如图,已知两点A(-1,0),B(0,2),则|AB|==,直线AB的方程为y=2x+2,
圆(x-2)2+y2=1的圆心C(2,0),半径r=1,
点C到直线AB:2x-y+2=0的距离d==,
因此点P到直线AB距离的最小值为d-r=-1,
所以△PAB面积的最小值是××(-1)=3-.故选D.
12.(2025·内蒙古呼和浩特模拟)点P(1,-a)关于直线x-y=0的对称点在圆(x-2)2+(y-4)2=13内,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (-4,0)
【解析】 设点Q(m,n)与点P(1,-a)关于直线x-y=0对称,则解得
即点Q(-a,1),
因为点Q(-a,1)在圆(x-2)2+(y-4)2=13的内部,所以(-a-2)2+(1-4)2<13,解得-4
即实数a的取值范围是(-4,0).
13.已知圆C:x2+y2+ax-3=0,圆心坐标为(1,0).
(1)求圆C的一般方程;
(2)若P为圆C上的动点,定点Q(-1,4),求满足条件-=0的点M的轨迹方程,并判断它的形状.
【解】 (1)因为圆C的圆心坐标为(1,0),
所以-=1,即a=-2,
则圆C的一般方程为x2+y2-2x-3=0.
(2)设点M的坐标为(x,y),P(x0,y0),
易得=(x-x0,y-y0),=(-1-x,4-y).由-=0得
解得
因为P(x0,y0)为圆C上的动点,
所以满足+-2x0-3=0,
所以(2x+1)2+(2y-4)2-2(2x+1)-3=0,
化简得点M的轨迹方程为x2+y2-4y+3=0.
因为02+(-4)2-4×3=4>0,
所以点M的轨迹是以(0,2)为圆心,1为半径的圆.
拓展练
14.(多选题)(2025·江苏南京模拟)已知A,B为定点,且|AB|=4,下列条件中能满足动点P的轨迹为圆的有( )
A.|PA|·|PB|=10
B.=3
C.|PA|2+|PB|2=10
D.|PA|2-|PB|2=10
【答案】 BC
【解析】 如图所示,以线段AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,
设P(x,y),则A(-2,0),B(2,0).若|PA|·|PB|=10,则·=10,整理得(x2+y2+4)2-(4x)2=100,以-x代x,以-y代y,方程不变,故轨迹关于原点对称,即对称中心为原点,令x=0,得y=±,令y=0,得x=±,所以该轨迹不是圆,故A错误;
由|PA|=3|PB|,得|PA|2=9|PB|2,即(x+2)2+y2=9[(x-2)2+y2],整理得x2+y2-5x+4=0,即(x-)2+y2=,所以点P的轨迹是以(,0)为圆心,半径为的圆,故B正确;
若|PA|2+|PB|2=10,则(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=10,即x2+y2=1,所以点P的轨迹为圆,故C正确;
因为|PA|2-|PB|2=10,所以(x+2)2+y2-(x-2)2-y2=10,即x=,所以点P的轨迹为直线,故D错误.故选BC.
15.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,
求点P的轨迹方程.
【解】 如图,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为(,),线段MN的中点坐标为(,),因为平行四边形的对角线互相平分,所以整理得
又点N(x0,y0)在圆x2+y2=4上,
所以(x+3)2+(y-4)2=4,所以点P的轨迹是以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,
直线OM:y=-x与点P的轨迹相交于两点(-,)和(-,),不符合题意,舍去,
所以点P的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4,除去两点(-,)和(-,).