第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
基础练
1.已知直线l:(a-1)x+y-3=0,圆C:(x-1)2+y2=5,则“a=”是“l与C相切”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知☉O的圆心是坐标原点O,且被直线x-y+=0截得的弦长为3,则☉O的方程为( )
A.x2+y2=1 B.x2+y2=2
C.x2+y2=3 D.x2+y2=4
3.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m等于( )
A.21 B.19 C.9 D.-11
4.圆x2+y2=4上的点到直线4x-3y+25=0的距离的取值范围是( )
A.[3,7] B.[1,9] C.[0,5] D.[0,3]
5.若圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2的公共弦长为6,则圆D的半径为( )
A.5 B.2 C.2 D.2
6.(2025·山西吕梁模拟)已知A,B分别是圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-a)2+(y-4)2=36(a≥0)上的动点,若|AB|的最大值为12,则a的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
7.若圆C1:x2+y2-2ay=0(a>0)与圆C2:x2+y2-4x+3=0有且仅有三条公切线,则a的值为
.
8.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2(r>0)上有且仅有两个不同的点到直线4x-3y-2=0的距离等于2,则r的取值范围是 .
9.(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC的面积为”的m的一个值 .
10.已知圆M过点A(,-),B(10,4),且圆心M在直线y=x上.
(1)求圆M的标准方程;
(2)过点(0,-4)的直线m被圆M截得的弦长为4,求直线m的方程.
强化练
11.从直线l:3x+4y=15上的动点P作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为C,D,则四边形OCPD(O为坐标原点)的面积的最小值是( )
A. B.2 C.2 D.2
12.已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0及直线l:y=kx-k+2(k∈R),设直线l与圆C相交所得的最长弦为MN,最短弦为PQ,则四边形PMQN的面积为 .
13.(2025·广东茂名模拟)已知圆x2+y2-4=0 与圆x2+y2-4x+4y-12=0相交于A,B两点.
(1)求AB的长;
(2)求圆心在直线2x-y-3=0上,且经过A,B两点的圆的方程.
拓展练
14.(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,
则sin α=( )
A.1 B. C. D.
15.已知两个定点A(-4,0),B(-1,0),动点P满足|PA|=2|PB|,设动点P的轨迹为曲线E,直线l:y=kx-4.
(1)求曲线E的方程;
(2)若直线l与曲线E交于C,D两点,且∠COD=90°(O为坐标原点),求直线l的斜率;
(3)若k=,Q是直线l上的动点,过点Q作曲线E的两条切线QM,QN,切点分别为M,N,判断直线MN是否过定点.第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
基础练
1.已知直线l:(a-1)x+y-3=0,圆C:(x-1)2+y2=5,则“a=”是“l与C相切”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 若直线与圆相切,则=,所以 a=-1或a=,所以“a=”是“直线l与圆相切”的充分不必要条件.故选A.
2.已知☉O的圆心是坐标原点O,且被直线x-y+=0截得的弦长为3,则☉O的方程为( )
A.x2+y2=1 B.x2+y2=2
C.x2+y2=3 D.x2+y2=4
【答案】 C
【解析】 由题意,圆心到直线的距离d==,由几何法可知,l=2=3,
代入数据可得r2-=,
所以r2=3,
所以圆的标准方程为x2+y2=3.故选C.
3.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m等于( )
A.21 B.19 C.9 D.-11
【答案】 C
【解析】 圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=1.
因为圆C2的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m,
所以圆C2的圆心为C2(3,4),半径r2=(m<25).从而|C1C2|==5.由两圆外切得|C1C2|=r1+r2,即1+=5,解得m=9.故选C.
4.圆x2+y2=4上的点到直线4x-3y+25=0的距离的取值范围是( )
A.[3,7] B.[1,9] C.[0,5] D.[0,3]
【答案】 A
【解析】 圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径r=2,
圆心到直线4x-3y+25=0的距离d==5,
所以圆上的点到直线的距离的最小值为5-2=3,
最大值为5+2=7,
所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3,7].
故选A.
5.若圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2的公共弦长为6,则圆D的半径为( )
A.5 B.2 C.2 D.2
【答案】 D
【解析】 由圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2,
可得两圆公共弦的方程为2x-6y=4-R2,
又由圆C的方程为x2+(y-4)2=18,其圆心C的坐标为(0,4),半径r=3,
两圆的公共弦的弦长为6,
则点C(0,4)在直线2x-6y=4-R2上,
则有2×0-6×4=4-R2,
解得R2=28,
则圆D的半径为2.故选D.
6.(2025·山西吕梁模拟)已知A,B分别是圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-a)2+(y-4)2=36(a≥0)上的动点,若|AB|的最大值为12,则a的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】 D
【解析】 圆C1:x2+y2=1的圆心为(0,0),半径r=1,圆C2:(x-a)2+(y-4)2=36(a≥0)的圆心为(a,4),半径R=6,故两圆不是内切和内含,由题意知|AB|的最大值等于12,
则|AB|max=|O1O2|+R+r=12,
所以|O1O2|==5.又a≥0,所以a=3.故选D.
7.若圆C1:x2+y2-2ay=0(a>0)与圆C2:x2+y2-4x+3=0有且仅有三条公切线,则a的值为
.
【答案】
【解析】 由x2+y2-2ay=0(a>0),可得x2+(y-a)2=a2,所以圆C1的圆心为(0,a),半径为a,
由x2+y2-4x+3=0,可得(x-2)2+y2=1,所以圆C2的圆心为(2,0),半径为1,
因为两圆有且仅有三条公切线,所以两圆外切,所以=a+1,解得a=.
8.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2(r>0)上有且仅有两个不同的点到直线4x-3y-2=0的距离等于2,则r的取值范围是 .
【答案】 (3,7)
【解析】 圆(x-3)2+(y+5)2=r2(r>0)的圆心为(3,-5),半径为r,
圆心(3,-5)到直线4x-3y-2=0的距离d==5,
又圆(x-3)2+(y+5)2=r2(r>0)上有且仅有两个不同的点到直线4x-3y-2=0的距离等于2,所以d-29.(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC的面积为”的m的一个值 .
【答案】 2(2,-2,,-中任意一个皆可以)
【解析】 设点C到直线 AB 的距离为d,由弦长公式得|AB|=2,
所以S△ABC=×d×2=,解得d=或d=,由d==,所以=或=,解得m=±或m=±2.
10.已知圆M过点A(,-),B(10,4),且圆心M在直线y=x上.
(1)求圆M的标准方程;
(2)过点(0,-4)的直线m被圆M截得的弦长为4,求直线m的方程.
【解】 (1)因为圆心M在直线y=x上,所以设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=r2,r>0.
因为圆M过点A(,-),B(10,4),所以解得
所以圆M的标准方程为(x-4)2+(y-4)2=36.
(2)①当直线m的斜率不存在时,直线m的方程为x=0,直线m被圆M截得的弦长为2×=4,符合题意;
②当直线m的斜率存在时,设直线m的方程为y=kx-4,则圆心M到直线m的距离d==,则由题意得()2=36-(2)2,解得k=,则直线m的方程为y=x-4,
即3x-4y-16=0.
综上,直线m的方程为x=0或3x-4y-16=0.
强化练
11.从直线l:3x+4y=15上的动点P作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为C,D,则四边形OCPD(O为坐标原点)的面积的最小值是( )
A. B.2 C.2 D.2
【答案】 B
【解析】 因为圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r=1,
当点P与圆心的距离最小时,切线长PC,PD最小,此时四边形OCPD的面积最小,
所以圆心到直线3x+4y=15的距离d==3,
所以|PC|=|PD|==2,
所以四边形OCPD的面积S=2×|PC|r=2.故选B.
12.已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0及直线l:y=kx-k+2(k∈R),设直线l与圆C相交所得的最长弦为MN,最短弦为PQ,则四边形PMQN的面积为 .
【答案】 4
【解析】 将圆C的方程整理为(x-2)2+(y-1)2=4,得圆心C(2,1),半径r=2,将直线l的方程整理为y=k(x-1)+2,得直线l恒过定点(1,2),且点(1,2)在圆C内,所以最长弦MN为过点(1,2)的圆的直径,即|MN|=4,最短弦PQ为过(1,2),且与最长弦MN垂直的弦,所以圆心C到直线PQ的距离为d==,
所以|PQ|=2=2×=2,所以四边形PMQN的面积为S=|MN|·|PQ|=×4×2=4.
13.(2025·广东茂名模拟)已知圆x2+y2-4=0 与圆x2+y2-4x+4y-12=0相交于A,B两点.
(1)求AB的长;
(2)求圆心在直线2x-y-3=0上,且经过A,B两点的圆的方程.
【解】 (1)两圆方程相减得-4+4x-4y+12=0,即x-y+2=0,
圆x2+y2-4=0的圆心为(0,0),半径为2,圆心(0,0)到直线x-y+2=0的距离为,
则|AB|=2×=2.
(2)由得或不妨设A(0,2),B(-2,0),
AB的垂直平分线为y=-x,由得圆心坐标为M(1,-1),
半径长为|MA|==,所以圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=10.
拓展练
14.(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,
则sin α=( )
A.1 B. C. D.
【答案】 B
【解析】 因为x2+y2-4x-1=0,
即(x-2)2+y2=5,可得圆心C(2,0),半径r=,
过点P(0,-2)作圆C的切线,切点为A,B,
因为|PC|==2,
则|PA|==,
可得sin ∠APC==,
cos ∠APC==,则sin ∠APB=sin 2∠APC=2sin ∠APCcos ∠APC=2××=,
cos ∠APB=cos 2∠APC=cos2∠APC-sin2∠APC=()2-()2=-<0,即∠APB为钝角,
所以sin α=sin(π-∠APB)=sin ∠APB=.故选B.
15.已知两个定点A(-4,0),B(-1,0),动点P满足|PA|=2|PB|,设动点P的轨迹为曲线E,直线l:y=kx-4.
(1)求曲线E的方程;
(2)若直线l与曲线E交于C,D两点,且∠COD=90°(O为坐标原点),求直线l的斜率;
(3)若k=,Q是直线l上的动点,过点Q作曲线E的两条切线QM,QN,切点分别为M,N,判断直线MN是否过定点.
【解】 (1)设点P的坐标为(x,y),由|PA|=2|PB|,得=2,故曲线E的方程为x2+y2=4.
(2)依题意可知,圆心到直线l的距离d==,解得k=±.
(3)由题意可知,O,Q,M,N四点共圆且在以OQ为直径的圆上,设Q(t,t-4),
圆的方程为x(x-t)+y(y-+4)=0,即x2-tx+y2-(-4)y=0,又点M,N在曲线E:x2+y2=4上,
所以lMN:tx+(-4)y-4=0,即(x+)t-4(y+1)=0,由得
所以直线MN过定点(,-1).
