第5节 椭 圆
基础练
1.(2025·江苏南京模拟)已知方程+=1表示椭圆,则实数m的取值范围是( )
A.(0,2) B.(0,1)
C.(2,+∞) D.(0,1)∪(1,2)
【答案】 D
【解析】 依题意解得0
2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,离心率e=,则椭圆C的标准方程为( )
A.+y2=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+=1
【答案】 C
【解析】 由于2c=2,所以c=1,因为e==,故a=2,b2=a2-c2=3.所以椭圆的标准方程为+=1.故选C.
3.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,P为直角顶点,则点P到x轴的距离为( )
A. B.3 C. D.
【答案】 C
【解析】 由题意知
从而|PF1||PF2|=18.
因为=×18=×2h(其中h为点P到x轴的距离),所以h=.故选C.
4.(多选题)(2025·江苏南通模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,上、下焦点分别为F1(0,1),F2(0,-1),M为椭圆上一点(不与椭圆的顶点重合),下列说法正确的是( )
A.a=2
B.b=2
C.若△F1F2M为直角三角形,则sin∠F1MF2=
D.若|MF1|·|MF2|=4,则△MF1F2的面积为2
【答案】 AC
【解析】 椭圆半焦距c=1,由离心率为,得a=2,b==,A正确,B错误;
由c得∠F1F2M=90°或∠F2F1M=90°,由椭圆对称性不妨令∠F2F1M=90°,如图所示,
直线MF1为y=1,椭圆方程为+=1,由
得|x|=,即|MF1|=,则|MF2|=2a-|MF1|=,所以sin∠F1MF2==,C正确;
由椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=2a=4,而|MF1|·|MF2|=4,解得|MF1|=|MF2|=2,而|F1F2|=2,
则△MF1F2是边长为2的正三角形,其面积为×22=,D错误.故选AC.
5.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆C上存在点P,使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.[,1) B.[,]
C.[,1) D.(0,]
【答案】 C
【解析】如图所示,因为线段PF1的中垂线经过F2,所以|PF2|=|F1F2|=2c,
即椭圆上存在一点P,使得|PF2|=2c,所以a-c≤2c6.焦点在x轴上的椭圆 +=1的离心率 e=,F,A分别是椭圆的左焦点和右顶点,P是椭圆上任意一点,则·的最大值为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】 A
【解析】 椭圆+=1的焦点在x轴上,
所以a=2,A(2,0),
由离心率e==,得c=1,
所以b==,F(-1,0),
设P(x,y),则=(2-x,-y),=(-1-x,-y),则·=(2-x)(-1-x)+y2,
因为y2=3-,代入化简得·=x2-x+1=(x-2)2,又x∈[-2,2],
当x=-2时,·取最大值为4.故选A.
7.已知点P(x,y)到定点F(0,)的距离与它到定直线l:y=的距离的比是常数,点P的轨迹为曲线E,则曲线E的方程为 .
【答案】 x2+=1
【解析】 根据题意可得=,化简得x2+=1,
所以曲线E的方程为x2+=1.
8.(2025·江苏南京模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2作x轴的垂线交椭圆于点P,若直线PF1的斜率为,则椭圆C的离心率为 .
【答案】
【解析】 由题意得,椭圆C:+=1(a>b>0)中,令x=c得,y=±,由于直线PF1的斜率为,故y>0,P(c,),则===,①
又a2=b2+c2,②
联立①②得,3c2+8ac-3a2=0,所以3e2+8e-3=0,解得e=或e=-3(舍去).
9.(2021·全国甲卷)已知F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为 .
【答案】 8
【解析】 法一 由椭圆C:+=1可知|F1F2|=4.由P,Q为C上关于坐标原点对称的两个点,且|PQ|=|F1F2|,得|PO|=|QO|=2(O为坐标原点),所以P,Q既在椭圆+=1上,又在圆x2+y2=12上.不妨设点P在第一象限,则由可得P(,),所以由对称性,可得四边形PF1QF2的面积=2=2×|F1F2|·yP=2××4×=8.
法二 由椭圆方程知,a=4,b=2,则c==2.由点P在椭圆上,得|PF1|+|PF2|=8,
所以|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=64.①
由椭圆的对称性及|PQ|=|F1F2|知,
四边形PF1QF2是矩形,在Rt△PF1F2中,
由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
所以|PF1|2+|PF2|2=48.②
由①-②得|PF1|·|PF2|=8,
所以=|PF1|·|PF2|=8.
10.如图所示,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;
(2)若椭圆的焦距为2,且=2,求椭圆的方程.
【解】 (1)因为∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有|OA|=|OF2|,即b=c.
所以a=c,e==.
(2)由题意知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y),
由=2,得
解得
代入+=1,得+=1.即+=1,解得a2=3,所以b2=a2-c2=2,所以椭圆的方程为+=1.
强化练
11.(多选题)(2025·云南保山模拟)已知椭圆+=1(0A.椭圆的短轴长为
B.|AF2|+|BF2|的最大值为8
C.椭圆的离心率为
D.椭圆上不存在点P,使得∠F1PF2=90°
【答案】 BD
【解析】 当AB⊥x轴时,即线段AB为通径时,|AB| 最短,所以|AB|==4,解得b2=6,
所以椭圆方程为+=1,椭圆的短轴长为2b=2,故A错误;因为△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=12,且|AB|min=4,
所以(|AF2|+|BF2|)max=12-|AB|min=8,故B正确;因为c==,a=3,所以离心率e==,故C错误;易知当点P位于短轴顶点时,∠F1PF2最大,此时|PF1|=|PF2|=a=3,|F1F2|=2c=2,所以cos∠F1PF2==>0,又∠F1PF2为三角形内角,所以∠F1PF2∈(0,),所以椭圆上不存在点P,使得∠F1PF2=90°,故D正确,故选BD.
12.(2025·河南驻马店模拟)已知椭圆C:+=1(0则m= .
【答案】 5
【解析】 依题意得|PF1|+|PF2|=6,设|F1F2|=n,不妨设点P在第一象限,若|PF1|=|F1F2|=n,则有|PF2|=6-n(013.已知椭圆C:+=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0),左顶点为A,点E的坐标为(0,c),点A到直线EF2的距离为b.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若P为椭圆C上的一点,∠F1PF2=60°,△PF1F2的面积为,求椭圆C的标准方程.
【解】 (1)由题意得,A(-a,0),
直线EF2的方程为x+y=c,
因为点A到直线EF2的距离为b,
即=b,所以a+c=b,
即(a+c)2=3b2,又b2=a2-c2,
所以(a+c)2=3(a2-c2),所以2c2+ac-a2=0,
即2e2+e-1=0,解得e=或e=-1(舍去),
所以椭圆C的离心率为.
(2)由(1)知离心率e==,即a=2c,①
因为∠F1PF2=60°,△PF1F2的面积为,
则|PF1||PF2|sin 60°=,
所以|PF1||PF2|=4,
由方程组
得a2-c2=3,②
联立①②得a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3,
所以椭圆C的标准方程为+=1.
拓展练
14.已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为y=k(x+a),当x=-c时,y=k(a-c),当x=0时,y=ka,所以M(-c,k(a-c)),E(0,ka).如图,设OE的中点为N,
则N(0,),由于B,M,N三点共线,所以kBN=kBM,
即=,所以=,即a=3c,所以e=.故选A.
15.已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
【解】 (1)连接PF1(图略),由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,
|PF2|=c,|PF1|=c,
于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c,
故C的离心率为e==-1.
(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,
此时|y|·2c=16,·=-1,
+=1,即c|y|=16,①
x2+y2=c2,②
+=1,③
由②③及a2=b2+c2得y2=,
又由①知y2=,故b=4,
由②③及a2=b2+c2得x2=(c2-b2),
所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4,
所以当b=4,a≥4时,存在满足条件的点P.
故b=4,a的取值范围为[4,+∞).第5节 椭 圆
基础练
1.(2025·江苏南京模拟)已知方程+=1表示椭圆,则实数m的取值范围是( )
A.(0,2) B.(0,1)
C.(2,+∞) D.(0,1)∪(1,2)
2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,离心率e=,则椭圆C的标准方程为( )
A.+y2=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+=1
3.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,P为直角顶点,则点P到x轴的距离为( )
A. B.3 C. D.
4.(多选题)(2025·江苏南通模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,上、下焦点分别为F1(0,1),F2(0,-1),M为椭圆上一点(不与椭圆的顶点重合),下列说法正确的是( )
A.a=2
B.b=2
C.若△F1F2M为直角三角形,则sin∠F1MF2=
D.若|MF1|·|MF2|=4,则△MF1F2的面积为2
5.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆C上存在点P,使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.[,1) B.[,]
C.[,1) D.(0,]
6.焦点在x轴上的椭圆 +=1的离心率 e=,F,A分别是椭圆的左焦点和右顶点,P是椭圆上任意一点,则·的最大值为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
7.已知点P(x,y)到定点F(0,)的距离与它到定直线l:y=的距离的比是常数,点P的轨迹为曲线E,则曲线E的方程为 .
8.(2025·江苏南京模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2作x轴的垂线交椭圆于点P,若直线PF1的斜率为,则椭圆C的离心率为 .
9.(2021·全国甲卷)已知F1,F2为椭圆C:+=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为 .
10.如图所示,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;
(2)若椭圆的焦距为2,且=2,求椭圆的方程.
强化练
11.(多选题)(2025·云南保山模拟)已知椭圆+=1(0A.椭圆的短轴长为
B.|AF2|+|BF2|的最大值为8
C.椭圆的离心率为
D.椭圆上不存在点P,使得∠F1PF2=90°
12.(2025·河南驻马店模拟)已知椭圆C:+=1(0则m= .
13.已知椭圆C:+=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0),左顶点为A,点E的坐标为(0,c),点A到直线EF2的距离为b.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若P为椭圆C上的一点,∠F1PF2=60°,△PF1F2的面积为,求椭圆C的标准方程.
拓展练
14.已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
15.已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.