1.3 正方形形的性质与判定讲义2025-2026学年北师大版九年级数学上册

1.3正方形的性质与判定知识归纳与题型突破2025-2026学年
北师大版九年级上册（七大题型）
知识归纳：
知识点一：正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
知识点二：正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.
知识点三：正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
知识点四：特殊平行四边形之间的关系
或者可表示为：
知识点五：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.
题型突破：
【题型 1 根据正方形性质与判定求角度】
1.如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（ ）

A． B． C． D．
3.如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BE＝BD，连接DE，则∠EDA的度数为（　　）
A．10° B．15° C．30° D．22.5°
4.如图，在正方形ABCD中，E是DC上一点，F为BC延长线上一点，∠BEC＝70°，且△BCE≌△DCF．连接EF，则∠EFD的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
5.如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为

【题型 2 根据正方形性质与判定求线段长度】
1.一个正方形的面积为8m ，则它的对角线长为（　　）
A．2cm B．2cm C．4cm D．3cm
2. 如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
3.正方形的边长为8，点E在边上，，点F在正方形的边上，且，与交于点P，则的长为 ．
4.如图， 正方形的边长为8， 点E在上，， 当点 F在边 或上时，是以为斜边的直角三角形， 则的长为 ．

5.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的正方形学具，他先将活动学具成为图1所示的正方形，并测得对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的菱形，且测得，则图2中对角线的长为 ．
【题型 3 根据正方形性质与判定求面积】
1.如图，在菱形中，以为对角线作正方形，若，，则正方形的面积为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．48
2.如图，正方形的边长为，则阴影部分的面积为（　　）．
A．4 B．8 C．12 D．16
3.如图，正方形和正方形的边长分别为和，则阴影部分的面积为 .
4.如图，，四边形是正方形，若，则的面积等于 ．
5.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ．
【题型 4 利用矩形的性质与判定求坐标】
1.如图，A（0，2），D（1，0），以AD为边作正方形ABCD，则点C的坐标为（　　）
A．（3，1） B．（3，2） C．（2，1） D．（1，3）
2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
3.如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），则C点的坐标是（　　）
A．（1，3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，1）
4.如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（　　）
A．（） B．（2，﹣1） C．（1，） D．（﹣1，）
5.正方形如图放在平面直角坐标系中，已知，，则顶点D的坐标为 ．
【题型 5 添加条件使四边形为正方形】
1.下列说法不正确的是（　　）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2.满足下列条件的四边形一定是正方形的是（ ）
A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形
C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形
3.如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【题型 6正方形中的最值】
1．如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．11
2．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（ ）
A． B． C． D．＋1
3.如图，在边长为6的正方形中，若E，F分别是边上的动点，，与交于点P，连接．则的最小值为 ．
4.如图，正方形的对角线相交于点，点在上，且，点是上一动点，则的最小值为 ．
5.如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为 ．
【题型 7 正方形性质与判定综合】
1.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④正方形对角线AC＝1+，其中正确的序号是（　　）
A．①②④ B．①② C．②③④ D．①③④
2.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中正确结论个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH，连接EF，FG，GH，HE．
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFGH的周长．
4．如图，正方形中，是边的中点，将沿折叠，得到，延长交边于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】
1.3正方形的性质与判定知识归纳与题型突破2025-2026学年
北师大版九年级上册（七大题型）
知识归纳：
知识点一：正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
知识点二：正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.
知识点三：正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
知识点四：特殊平行四边形之间的关系
或者可表示为：
知识点五：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.
题型突破：
【题型 1 根据正方形性质与判定求角度】
1.如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2.如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
3.如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BE＝BD，连接DE，则∠EDA的度数为（　　）
A．10° B．15° C．30° D．22.5°
【答案】D
4.如图，在正方形ABCD中，E是DC上一点，F为BC延长线上一点，∠BEC＝70°，且△BCE≌△DCF．连接EF，则∠EFD的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】D
5.如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为

【答案】
【题型 2 根据正方形性质与判定求线段长度】
1.一个正方形的面积为8m ，则它的对角线长为（　　）
A．2cm B．2cm C．4cm D．3cm
【答案】C
2. 如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
3.正方形的边长为8，点E在边上，，点F在正方形的边上，且，与交于点P，则的长为 ．
【答案】5或/或5
4.如图， 正方形的边长为8， 点E在上，， 当点 F在边 或上时，是以为斜边的直角三角形， 则的长为 ．

【答案】4或
5.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的正方形学具，他先将活动学具成为图1所示的正方形，并测得对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的菱形，且测得，则图2中对角线的长为 ．
【答案】15
【题型 3 根据正方形性质与判定求面积】
1.如图，在菱形中，以为对角线作正方形，若，，则正方形的面积为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．48
【答案】C
2.如图，正方形的边长为，则阴影部分的面积为（　　）．
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
3.如图，正方形和正方形的边长分别为和，则阴影部分的面积为 .
【答案】
4.如图，，四边形是正方形，若，则的面积等于 ．
【答案】12
5.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ．
【答案】
【题型 4 利用矩形的性质与判定求坐标】
1.如图，A（0，2），D（1，0），以AD为边作正方形ABCD，则点C的坐标为（　　）
A．（3，1） B．（3，2） C．（2，1） D．（1，3）
【答案】A
2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
3.如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），则C点的坐标是（　　）
A．（1，3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，1）
【答案】A
4.如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（　　）
A．（） B．（2，﹣1） C．（1，） D．（﹣1，）
【答案】A
5.正方形如图放在平面直角坐标系中，已知，，则顶点D的坐标为 ．
【答案】
【题型 5 添加条件使四边形为正方形】
1.下列说法不正确的是（　　）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】D
2.满足下列条件的四边形一定是正方形的是（ ）
A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形
C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形
【答案】D
3.如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【题型 6正方形中的最值】
1．如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上的一个动点，的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．11
【答案】C
2．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，点P是AC边上的一个动点，连结BP，EP，则BP＋EP的最小值为（ ）
A． B． C． D．＋1
【答案】A
3.如图，在边长为6的正方形中，若E，F分别是边上的动点，，与交于点P，连接．则的最小值为 ．
【答案】/
4.如图，正方形的对角线相交于点，点在上，且，点是上一动点，则的最小值为 ．
【答案】
5.如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【题型 7 正方形性质与判定综合】
1.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④正方形对角线AC＝1+，其中正确的序号是（　　）
A．①②④ B．①② C．②③④ D．①③④
【答案】A
2.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中正确结论个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
3.如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH，连接EF，FG，GH，HE．
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFGH的周长．
【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AB﹣AE＝BC﹣BF＝CD﹣CG＝AD﹣DH，
∴BE＝CF＝DG＝AH，
在△AEH，△BFE，△CGF，△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH＝EF＝FG＝GH，∠AEH＝∠BFE，∠AHE＝∠BEF，
∴四边形EFGH是菱形，∠AEH+∠BEF＝∠AHE+∠BFE，
∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，
∴∠FEH＝180°﹣90°＝90°，
∴四边形EFGH是正方形；
（2）解：∵AB＝7，AE＝3，
∴BE＝AH＝AB﹣AE＝7﹣3＝4，
∴EH＝＝＝5，
∵四边形EFGH是正方形，
∴四边形EFGH的周长＝5×4＝20．
4．如图，正方形中，是边的中点，将沿折叠，得到，延长交边于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
四边形是正方形，
，，
将沿折叠，得到，延长交边于点，
，，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：，是边的中点，
，，
，
，
，
，
．