5.1 二次函数 学历案（表格式） 2025-2026学年苏科版（2012）九年级数学上册

学历案：5.1二次函数
学习目标
1. 经历探索和表示二次函数关系的过程，理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般表达式。
2. 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数的表达式，并确定自变量的取值范围。
3. 会判断一个函数是否为二次函数，提高分析和判断的能力。
4. 通过对实际问题的研究，体会数学与生活的紧密联系，培养应用数学知识解决实际问题的意识和能力。
评价任务
1. 给出一些实际问题情境，让学生列出相应的函数表达式，然后判断是否为二次函数，以此评价学生对二次函数概念的理解。
2. 提供一组函数表达式，要求学生准确找出其中的二次函数，并指出二次项系数、一次项系数和常数项，考查学生对二次函数一般表达式的掌握。
3. 给出具体的实际问题，让学生确定二次函数表达式中自变量的取值范围，检验学生对自变量取值范围确定方法的掌握。
4. 让学生自己举例说明生活中的二次函数问题，并列出函数表达式，评价学生运用二次函数知识解决实际问题的能力。
学习过程
任务1：二次函数概念的引入
1. 展示生活中的实际问题： - 问题一：正方体的棱长为 ，表面积为 ，则 与 之间的关系是什么？ - 问题二：某工厂一种产品现在的年产量是 件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加 倍，那么两年后这种产品的产量 将随计划所定的 的值而确定， 与 之间的关系应怎样表示？2. 引导学生分别列出上述问题中 与 的函数表达式： - 对于问题一，根据正方体表面积公式可得 。 - 对于问题二，第一年产量为 ，第二年产量为 ，即 。 3. 让学生观察这两个函数表达式，与之前学过的一次函数、反比例函数进行比较，找出它们的不同之处。 4. 组织学生进行小组讨论，总结这两个函数表达式的共同特征。 5. 教师对学生的讨论结果进行点评和总结，引出二次函数的概念。
任务2：二次函数概念的理解
1. 给出二次函数的一般表达式：形如 （ ， 、 、 是常数）的函数叫做二次函数。强调 这个条件的重要性。 2. 结合前面列出的函数表达式 和 ，指出其中的 、 、 的值。 3. 给出一些函数表达式，如 ， ， ， 等，让学生判断哪些是二次函数，并说明理由。 4. 组织学生进行课堂练习，完成教材上相关的练习题，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。 5. 让学生思考并回答：二次函数与一次函数、反比例函数的区别和联系是什么？教师进行总结和补充。
任务3：确定二次函数表达式及自变量取值范围
1. 展示新的实际问题：用长为 的篱笆，一面靠墙（墙足够长）围成一个长方形的园子，园子的面积 （ ）与平行于墙的一边长 （ ）之间的关系是什么？ 2. 引导学生分析问题，找出等量关系：长方形的另一边长为 ，则面积 。 3. 让学生确定自变量 的取值范围：因为篱笆长度和实际情况， 。 4. 给出更多类似的实际问题，如用一段长为 的绳子围成一个矩形，求矩形面积与一边长的函数关系及自变量取值范围等，让学生独立完成，然后小组内交流。 5. 教师对学生的解答进行点评和总结，强调确定自变量取值范围时要考虑实际意义。
任务4：二次函数的应用与拓展
1. 提出问题：某商场销售某种商品，每件进价为 元，经市场调研，当售价为每件 元时，每天可销售 件；当售价每上涨 元时，每天的销售量就减少 件。设每件商品的售价为 元，每天的销售利润为 元，求 与 之间的函数表达式，并确定自变量 的取值范围。（配图：商场商品销售场景图） 2. 引导学生分析问题，找出利润的计算方法：利润 。自变量 的取值范围为 。 3. 让学生思考：当售价为多少时，利润最大？这为后续学习二次函数的性质做铺垫。 4. 组织学生进行小组讨论，鼓励学生提出不同的实际问题，并尝试列出二次函数表达式。 5. 教师对学生的讨论和提出的问题进行总结和评价，进一步强调二次函数在实际生活中的应用。
当堂检测
一、选择题 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ， 二、填空题 1. 若函数 是二次函数，则 的值是（ ）。 2. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出 箱，每箱利润 元。为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价。据测算，若每箱降价 元，每天可多售出 箱。设每箱降价 元，每天销售饮料的利润为 元，则 与 之间的函数表达式为（ ）。 三、解答题 用一根长为 的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为 ，矩形的面积为 。 （1）求 与 之间的函数表达式； （2）求自变量 的取值范围。
教学反思
通过本节课的教学，学生对二次函数的概念有了初步的理解，能够根据实际问题列出二次函数表达式并确定自变量取值范围。在教学过程中，通过实际问题的引入，激发了学生的学习兴趣，让学生体会到了数学与生活的紧密联系。但部分学生在判断一个函数是否为二次函数时，对 这个条件容易忽略，在确定自变量取值范围时，对实际意义的考虑还不够周全。在今后的教学中，需要加强这方面的训练，多提供一些有针对性的练习，帮助学生加深对概念的理解和掌握。
作业与检测
课前：
1. 知识回顾：复习一次函数和反比例函数的概念、表达式和性质，整理相关知识点。 2. 生活观察：观察生活中哪些场景可能会涉及到二次函数关系，如投篮的轨迹、喷泉的水流等，并拍照记录。 3. 预习思考：阅读教材中二次函数的相关内容，思考二次函数与一次函数、反比例函数的区别可能在哪里。 4. 问题探究：尝试自己举例一个可能用二次函数表示的实际问题，并列出函数表达式。 5. 基础练习：完成教材上预习部分的简单问题，检验自己的预习效果。
课中：
1. 随堂巩固：完成教师在课堂上给出的关于二次函数概念判断和表达式列出的练习题，同桌之间互相批改。 2. 小组讨论：针对教师提出的较复杂的实际问题，如销售利润问题，进行小组讨论，共同列出函数表达式并确定自变量取值范围，然后小组代表上台展示。 3. 错题分析：对于课堂练习中出现的错误，进行小组内分析，找出错误原因，总结经验教训。 4. 拓展提升：对于学有余力的学生，教师给出一些拓展性的问题，如二次函数中参数的取值范围对函数性质的影响等，让他们进行思考和探究。 5. 自我总结：在课堂结束前，让学生自己总结本节课学到的二次函数的知识点和解题方法。
课后：
1. 书面作业：完成教材上相关的练习题和习题，要求书写规范，步骤完整。 2. 实际应用：在生活中再找一个可以用二次函数解决的实际问题，详细列出函数表达式、确定自变量取值范围，并尝试分析函数的一些性质，写成一篇数学小报告。 3. 拓展阅读：查阅资料，了解二次函数在物理学、经济学等领域的应用案例，写一篇阅读心得。 4. 自我检测：完成一份关于二次函数的小测试卷，检验自己对本节课知识的掌握程度，针对错题进行分析和改进。 5. 知识梳理：将二次函数的概念、表达式、自变量取值范围的确定方法等知识点进行系统梳理，制作成思维导图。