第22章 二次函数 测试卷（含答案） 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

2025-2026学年人教版九上数学第22章二次函数测试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1 .(单选)已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）．
A. B. C. D.
2 .(单选)抛物线的顶点坐标是（ ）．
A. B. C. D.
3 .(单选)将抛物线向左平移个单位，得到的抛物线与轴的交点坐标是（ ）．
A. B. C. D.
4 .(单选)一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　)．
A.B.C. D.
5 .(单选)将函数与的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（ ）．
A. B. C. D.
6 .(单选)二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）．
A. B.且 C. D.且
7 .(单选)已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
8 .(单选) 如图①是一座拱桥，跨度约米，高约米．如图②，以桥的跨度为轴，桥的高度为轴，建立平面直角坐标系，则此桥所在抛物线的表达式为（ ）．
图① 图②
A. B. C. D.
9 .(单选)某海滨浴场有个遮阳伞，每个每天收费元时，可全部租出，若每个每天收费提高元，则减少个伞租出，若每个每天收费再提高元，则再减少个伞租出，…，为了投资少而获利大，每个每天应提高（ ）．
A.元或元 B.元 C.元 D.元
10 .(单选)抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，随增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤，其中正确结论的个数是（ ）．
A.个 B.个 C.个 D.个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11 .二次函数的最小值是 ．
12 .把抛物线的图象先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得图象的解析式是，则 ．
13 .将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，那么得到的抛物线的表达式为 ．
14 .如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：
①．
②．
③抛物线经过点与点，则．
④无论，，取何值，抛物线都经过同一个点．
⑤，其中所有正确的结论是 ．
解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.已知抛物线过点和点，求该抛物线的表达式.
16. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2
（1）求y关于x的表达式，并注明x的取值范围
(2)X为何值时，y有最大值？最大值是多少？
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17.已知抛物线的对称轴为直线x=1.
（1）求a的值；
（2）若点M(,),N(,)都在此抛物线上，且-1＜＜0，1＜＜2.比较和的大小，并说明理由；
（3）设直线y=m(m＞0)与抛物线交于A、B，与抛物线交于C、D，求线段AB与线段CD的长度之比.
18. 在平面直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．
判断点是否在直线上．并说明理由；
求的值；
平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值.
20.如图，直线和抛物线都经过点，.
（1）求a，b，c的值；（2）求不等式的解集.
六、解答题（本大题满分12分）
21.新定义：为抛物线（，a，b，c为实数）的“和谐数”，如：抛物线的“和谐数”为.
（1）和谐数为的抛物线的函数表达式为________；
（2）求证：“和谐数”为的抛物线与轴恒有两个交点.
七、解答题（本题满分12分）
22. 小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）
（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
八、解答题（本题满分14分）
23. 如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0).
(1)求a，b的值；
(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(21 、【答案】 B
【解析】 抛物线经过和两点，
可知函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
将点代入函数解析式，可得．
故选．
2 、【答案】 A
【解析】 是抛物线的顶点式，顶点坐标为．
故选．
3 、【答案】 B
【解析】 抛物线的顶点坐标为，把点向左平移个单位得到点的坐标为，所以平移后抛物线解析式为，所以得到的抛物线与轴的交点坐标为．
4 、【答案】 C
【解析】 无解析
5 、【答案】 C
【解析】 当时，
函数的图象是开口向上，顶点在原点的抛物线，
的图象经过第一、二、三象限，
是一条直线，故选项、均错误，
当时，
函数的图象是开口向下，顶点在原点的抛物线，
的图象经过第二、三、四象限，是一条直线，
故选项正确，选项错误，
故选：．
6 、【答案】 D
【解析】 ∵二次函数的图象与轴有交点，
∴方程（）有实数根，
即，解得，由于是二次函数，故，则的取值范围是且．
7 、【答案】 A
【解析】 关于的一元二次方程的解为，，可以将，看作二次函数与轴交点的横坐标，
二次函数的图象与轴的交点坐标为，，
如图：
当时，就是抛物线位于轴上方的部分，此时，或，
∵，
∴，
故选．
8 、【答案】 B
【解析】 由题意可知，点的坐标是，点的坐标是，
抛物线的顶点在轴上，设其表达式为，将、两点代入得
解得，
抛物线的表达式为，
故选．
9 、【答案】 C
【解析】 设每个遮阳伞每天收费应提高元，每天获得利润为元，由此可得，
，
整理得，
，
因为每天提高元，则减少个，所以当提高元或元的时候，获利最大，
又因为为了投资少而获利大，因此应提高元；
故选．
10 、【答案】 C
【解析】 ∵二次函数与轴有两个交点，
∴，故①错误；
观察图象可知：当时，
随增大而减小，故②正确；
∵抛物线与轴的另一个交点为在和之间，
∴时，，故③正确；
∵当时，抛物线与直线没有交点，
∴方程没有实数根，故④正确；
∵对称轴，
∴，
∵，
∴，故⑤正确；
故选．
11 、【答案】
【解析】 ，可见，二次函数的最小值为．
12 、【答案】
【解析】 ∵，当向左平移个单位，再向上平移个单位后，可得抛物线的图象，
∴．
∴．
13 、【答案】
【解析】 抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到．
故得到抛物线的解析式为．
14 、【答案】 ②④⑤
【解析】 由图象可知，抛物线开口向上，则，
顶点在轴右侧，则，
抛物线与轴交于负半轴，则，
∴，故①错误．
∵抛物线过点，且对称轴为直线，
∴抛物线过点，
∴当时，，
∵，
∴，故②正确．
∵对称轴为，且开口向上，
∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，
∴，故③错误．
当时，，
∵当时，，
∴当时，，
即无论，，取何值，
抛物线都经过同一个点，故④正确．
对应的函数值为，
对应的函数值为，
又∵时函数取得最小值，
∴，即，
∵，
∴，故⑤正确．
15.解：把点和点代入，得解得
所以该抛物线的表达式为.
16.【答案】（1）（0＜x＜40）；（2）当x=20时，y有最大值，最大值是300平方米.
试题分析：（1）设AE=a，由AE·AD=2BE·BC，AD=BC可得BE=a，AB=a；根据周长为80米得方程2x+3a+2·a=80，解得a=20—x.由y=AB·BC代入即可求y与x之间的函数关系式；根据题意0＜BC+EF＜ 80，所以x的取值范围为0＜x＜40；（2）把y与x之间的函数关系式化为顶点式，利用二次函数的性质即可求解.
试题解析：解：（1）设AE=a，由题意可得，AE·AD=2BE·BC，AD=BC，∴BE=a，AB=a.
由题意，得2x+3a+2·a=80，∴a=20—x.∴y=AB·BC=ax= (20—x)x，即（0＜x＜40）.
（2）∵
∴当x=20时，y有最大值，最大值是300平方米.；考点：二次函数的应用及性质.
17.【解析】（1）由对称轴可知，，则
由（1）可知二次函数为，，开口向上，对称轴，对称轴左侧，随的增大而减小，对称轴右侧，随的增大而增大，所以离二次函数的对称轴越近的点，对应的越小，而题目中可知离对称轴更远，所以对应的更大，所以＞
由题可知，与交于A、B两点，，则，所以AB=，
与交于C、D两点，则，所以CD=，所以
18题答案】（1）点在直线上，理由见详解；（2）a=-1，b=2；（3）
【分析】（1）先将A代入，求出直线解析式，然后将将B代入看式子能否成立即可；
（2）先跟抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，判断出抛物线只能经过A，C两点，然后将A，C两点坐标代入得出关于a，b的二元一次方程组；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，根据顶点在直线上，得出k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，在将式子配方即可求出最大值．
【详解】（1）点在直线上，理由如下：
将A（1，2）代入得，解得m=1，∴直线解析式为，
将B（2，3）代入，式子成立，∴点在直线上；
（2）∵抛物线与直线AB都经过（0，1）点，且B，C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A，C两点，
将A，C两点坐标代入得，解得：a=-1，b=2；
（3）设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-（x-h）2+k，∵顶点在直线上，
∴k=h+1，令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，
∵-h2+h+1=-（h-）2+，∴当h=时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移和求最值，求出两个函数的表达式是解题关键．
19.【答案】（1）k=-2，a=-2，c=4；（2）, W取得最小值7.
【分析】（1）把（1,2）分别代入y=kx+4和y=ax2+c，得k+4=-2和a+c=2，然后求出二次函数图像的顶点坐标为（0,4），可得c=4，然后计算得到a的值；（2）由A（0，m）（0＜m＜4）可得OA=m，令y=-2x2+4=m，求出B，C坐标，进而表示出BC长度，将OA，BC代入W=OA2+BC2中得到W关于m的函数解析式，求出最小值即可.
【详解】解：（1）由题意得，k+4=2，解得k=-2，∴一次函数解析式为：y=-2x+4又二次函数顶点横坐标为0，
∴顶点坐标（0,4）∴c=4把（1,2）带入二次函数表达式得a+c=2，解得a=-2
（2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0
∴，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则，
∴W=OA2+BC2=∴当m=1时，W取得最小值7
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，将二次函数图像与直线的交点问题转化为求一元二次方程的解，得到B，C坐标是解题的关键.
20.解：（1）将代入直线，得，解得.
将，代入抛物线，
得解得，，的值分别为，，2.
由函数图象可知，不等式的解集为
21.（1）（2）证明：由题意，得抛物线的函数表达式为.
，“和谐数”为的抛物线与轴恒有两个交点.
22.【答案】（1）W1=-2x +60x+8000，W2=-19x+950；（2）当x=10时，W总最大为9160元．
【分析】（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景（50+x）盆，花卉（50-x）盆，根据盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元，②花卉的平均每盆利润始终不变，即可得到利润W1，W2与x的关系式；（2）由W总=W1+W2可得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可得．
（1）第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景（50+x）盆，花卉[100-(50+x)]=（50-x）盆，由题意得
W1=(50+x)(160-2x)=-2x +60x+8000，W2=19(50-x)=-19x+950；
（2）W总=W1+W2=-2x +60x+8000+（-19x+950）=-2x +41x+8950，∵-2＜0，=10.25，
故当x=10时，W总最大，W总最大=-2×10 +41×10+8950=9160．
23.【答案】(1),b=3;(2),16.
试题分析：(1)把A(2，4),B（6，0）代入，解方程组即可求得a、b的值；（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2,0），连接CD，过C作CE⊥AD,CF⊥x轴，垂足分别为E、F，用x分别表示出
△OAD、△ACD、△BCD的面积，再根据S=S△OAD+S△ACD+S△BCD，整理后即可得S与x的函数关系式，再利用二次函数的性质求得S的最大值即可.