第十三章全等三角形学科素养试卷
（试卷满分120，考试用时120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（本题3分）下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．全等三角形的面积相等
C．若，则 D．如果，那么
2．（本题3分）下列判断正确的是（ ）
A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B．有一角和一条边相等的两个直角三角形全等
C．有两边对应相等，且有一角为的两个等腰三角形全等
D．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
3．（本题3分）如图为某高铁站的车棚，车棚的钢架结构采用了三角形的形状，这样做的数学依据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．三角形内角和等于
C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形具有稳定性
4．（本题3分）下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（ ）
A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以
C．作出三角形Ⅱ的依据是 D．作出三角形Ⅲ的依据是
5．（本题3分）如图，将绕着点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点，，恰好在一条直线上，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，在和中，，，要利用“”来判定和全等，下面的个条件：①；②；③；④，可利用的是（ ）
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
7．（本题3分）如图1，已知，，线段，求作．作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ）
A．已知两边及夹角 B．已知三边
C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角
8．（本题3分）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案：下列说法正确的是（ ）
甲方案 乙方案
如图1，先在平地取一个可直接到达的点C，再连接AC，BC，并分别延长至D，BC至，使，，最后测出的长即为的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离．
A．甲的方案可行，乙的方案不可行 B．甲的方案不可行，乙的方案可行
C．甲、乙的方案均可行 D．甲、乙的方案均不可行
9．（本题3分）如图所示，，且点、、在同一直线上，则（ ）
A． B． C． D．无法计算
10．（本题3分）如图，的面积为24，平分，且于点，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
11．（本题3分）如图，点C在线段上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（ ）s．
A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4
12．（本题3分）如图（1），已知，为的平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为的平分线上两点，连接，，，；如图（3），已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，； ，以此规律，第个图形中全等三角形的对数是（ ）
A． B． C． D．
填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（本题3分）如图所示，，使，则需要添加的条件是 ．
14．（本题3分）下列命题可以作定理的有 个．
①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除；
③是方程的根；④三角形的内角和是．
15．（本题3分）在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连结、，则的最大值是 ．
16．（本题3分）如图，，其中，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒．
(1)若P，Q两点同时到达A点，则x的值为 ；
(2)若与全等，则x的值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题7分）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
(1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式：______________________________；
(2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）．
已知：如图，，______．求证：______．
18．（本题8分）七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点表上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明是的平分线呢？
小丽想，先证明，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程：
回答下列问题：
(1)小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ；
(2)请你帮助小明写出正确的证明过程．
19．（本题8分）如图点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，且，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
20．（本题8分）晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中是风筝的支架且．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
21．（本题9分）如图①，在中，是的中点，，分别为垂足．求证：．
证明：如图②，连接．
是的中点，
______．
，
______（______），
．
，
．
(1)将上面的证明过程补充完整；
(2)用不同的方法证明：．
22．（本题9分）如图，交于点是上一点，且．
(1)试说明．
(2)若，求的度数．
23．（本题11分）（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．
【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______．
【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立 请说明理由．
【拓展应用】
（2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗 请说明理由．
24．（本题12分）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．
【探究与发现】
（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________．
A． B． C． D．
【变式与应用】
（2）如图2，是的中线，若，则的取值范围是______．
A． B． C． D．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【拓展与延伸】
（3）如图3，是的中线，点E、F分别在上，且．试说明：．第十三章全等三角形学科素养试卷
（试卷满分120，考试用时120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（本题3分）下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．全等三角形的面积相等
C．若，则 D．如果，那么
【答案】C
【分析】考查了命题与定理的知识，全等三角形的判定与性质，求一个数的立方根等知识点，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
写出原命题的逆命题后，再判断真假命题即可．
【详解】解：A、逆命题为：如果，那么，是假命题，应该为，故不符合题意；
B、逆命题为：面积相等的三角形是全等三角形，假命题，不符合题意；
C、逆命题为：若，则，正确，是真命题，符合题意；
D、逆命题为：如果，那么，错误，是假命题，应该为，不符合题意；
故选：C．
2．（本题3分）下列判断正确的是（ ）
A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B．有一角和一条边相等的两个直角三角形全等
C．有两边对应相等，且有一角为的两个等腰三角形全等
D．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
【答案】A
【详解】本题考查了三角形全等的判定，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
根据三角形全等的判定方法：、、、、，对四个命题逐一进行分析，再作判断．
【分析】解：有两角和一边对应相等不能判定两个三角形全等，符合或，故A说法正确；
有一角和一条边相等不能判定两个直角三角形全等，故B说法错误；
有两边对应相等，且有一角为的两个等腰三角形不能判定为全等，故C说法错误；
有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，故D说法错误；
故选：A．
3．（本题3分）如图为某高铁站的车棚，车棚的钢架结构采用了三角形的形状，这样做的数学依据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．三角形内角和等于
C．三角形两边之和大于第三边 D．三角形具有稳定性
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的性质．
根据三角形具有稳定性即可求解．
【详解】解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性，
故选：．
4．（本题3分）下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（ ）
A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以
C．作出三角形Ⅱ的依据是 D．作出三角形Ⅲ的依据是
【答案】B
【分析】本题为关于全等三角形判定定理，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，是否满足三角形的判定定理是解答本题的关键．根据“”可判断Ⅰ，根据“” 可判断Ⅱ．
【详解】解：Ⅰ可以根据“”来作出完全相同的三角形，Ⅱ可以根据“”来作出完全相同的三角形．
故选：B．
5．（本题3分）如图，将绕着点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点，，恰好在一条直线上，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质得，再根据可得结论．解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等．
【详解】解：∵将绕着点顺时针旋转得到，，
∴，
∴，
∵点，，恰好在一条直线上，，
∴，
即的长为．
故选：A．
6．（本题3分）如图，在和中，，，要利用“”来判定和全等，下面的个条件：①；②；③；④，可利用的是（ ）
A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∵和推不出，
∴可利用的是①或②，
故选：A．
7．（本题3分）如图1，已知，，线段，求作．作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ）
A．已知两边及夹角 B．已知三边
C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角
【答案】C
【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法．
【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即．
故选：C．
8．（本题3分）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案：下列说法正确的是（ ）
甲方案 乙方案
如图1，先在平地取一个可直接到达的点C，再连接AC，BC，并分别延长至D，BC至，使，，最后测出的长即为的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离．
A．甲的方案可行，乙的方案不可行 B．甲的方案不可行，乙的方案可行
C．甲、乙的方案均可行 D．甲、乙的方案均不可行
【答案】C
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的应用．甲方案利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离；乙方案利用“”方法，证明，测出的长即为，的距离．
【详解】解：甲方案：在和中，
，
∴，
∴，
乙方案：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∴甲、乙的方案均可行．
故选：C．
9．（本题3分）如图所示，，且点、、在同一直线上，则（ ）
A． B． C． D．无法计算
【答案】B
【分析】先通过角的等量代换找到全等三角形的条件，证明两个三角形全等，再利用全等三角形的性质和三角形外角的性质来求解的度数．本题主要考查了全等三角形的判定（）与性质，以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定条件和外角性质是解题的关键．
【详解】解：
，即
又，，
∴
，，，
故选：B．
10．（本题3分）如图，的面积为24，平分，且于点，则的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】先证明，得到，利用三角形面积公式得到，，所以．本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：平分，于点，
，，
又∵，
∴，
，
即点D是的中点，
，，
．
故选：D．
11．（本题3分）如图，点C在线段上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（ ）s．
A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4
【答案】B
【分析】本题考查三角形上的动点问题，注意分情况讨论是解题的关键．分两种情况：点P在上，点Q在上时；点P在上，点Q第一次从点C返回时，根据全等三角形对应边相等，列出方程即可求解．
【详解】解：当点P在上，点Q在上时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与全等，
∴，
∴，
∴，
当点P在上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与全等，
∴，
∴，
∴，
综上所述：t的值为1或3．
故选B．
12．（本题3分）如图（1），已知，为的平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为的平分线上两点，连接，，，；如图（3），已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，； ，以此规律，第个图形中全等三角形的对数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，根据条件可得图中有对三角形全等；图中可证出，，有对三角形全等；图中有对三角形全等，根据数据可分析出第个图形中全等三角形的对数．
【详解】解：因为是的平分线，所以．
在与中，
，
所以，
所以题图（1）中有1对全等三角形．
同理，题图（2）中，，所以．
因为，所以．
又因为，所以，
所以题图（2）中有3对全等三角形．
同理，题图（3）中有6对全等三角形
……
由此发现：第个图形中全等三角形的对数是．
故选：C．
填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（本题3分）如图所示，，使，则需要添加的条件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键．
要使，已知一组边与一组角相等，再添加一组对边即可以利用判定其全等．
【详解】解：添加
∵
∴，
∵，
∵，
∴，
亦可添加或，
故答案为：（答案不唯一）．
14．（本题3分）下列命题可以作定理的有 个．
①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除；
③是方程的根；④三角形的内角和是．
【答案】2
【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题．
【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理；
②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理；
③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理；
④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理；
∴可以作定理的有2个
故答案为：2
15．（本题3分）在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连结、，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键．
【详解】解：∵点是边的中点，，
∴，
在上取点，使得，
∵的角平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．（本题3分）如图，，其中，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒．
(1)若P，Q两点同时到达A点，则x的值为 ；
(2)若与全等，则x的值为 ．
【答案】 6 或
【分析】（1）先求出点P从点C出发到达点A时所用的时间为秒，再根据点Q运动的路程即可得出点Q的速度；
（2）依题意得,则再根据，则有以下两种情况：①且时，，由得,解得，再由得,由此可得x的值；②当且时，，由得,解得 ，再由得,由此可得x的值，综上所述即可得出答案．
【详解】（1）解：点P从点C出发到达点A时所用的时间为：（秒），
∴点Q从点D出发到达点A时所用的时间为3秒，
，
，
点Q运动的速度为：，
故答案为：6；
（2）解：依题意得：
,
，
∴当与全等时，有以下两种情况：
①当且时，，
由得：解得：， 由，得：,
， , 解得：；
②当且时，，
由，得：, 解得： ，
由，得：, ， ，
解得： ；
综上所述：当与全等，x的值为或 ．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，分类讨论是解决问题的易错点．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题7分）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
(1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式：______________________________；
(2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）．
已知：如图，，______．求证：______．
【答案】(1)如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
(2)见解析
【分析】（1）依据“如果……那么……”形式的要求，梳理命题条件与结论进行改写；
（2）先补充已知和求证，再利用垂直定义得到角的度数，结合平行线判定定理完成证明 ．
本题主要考查了命题的改写、垂直的定义以及平行线的判定定理，熟练掌握命题的结构、垂直定义和平行线判定方法是解题的关键．
【详解】（1）解：将此命题改写成“如果……那么……”的形式为：如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
故答案为：如果在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
（2）解：，．
证明：∵，（已知）
∴（垂直的定义），
∴．（同位角相等，两直线平行）
18．（本题8分）七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点表上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明是的平分线呢？
小丽想，先证明，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程：
回答下列问题：
(1)小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ；
(2)请你帮助小明写出正确的证明过程．
【答案】(1)一，全等三角形的对应角相等
(2)见解析
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定定理．
（1）根据全等三角形的性质和判定定理求解即可；
（2）首先证明出，得到，即可得到平分．
【详解】（1）小丽的证明过程从第一步开始出错，第三步的依据是全等三角形的对应角相等；
（2）证明：在和中，
∵，，
∴
∴，
∴平分．
19．（本题8分）如图点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，且，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是关键．
（1）证明，结合已知条件即可证明；
（2）证明，则，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵
∴
∴
在和中
∴
（2）∵
∴
在和中
∴
∴
∴
20．（本题8分）晚唐时期，风筝上已有用丝条或竹笛做成的响器，风吹声鸣，因而有了“风筝”的名字．如图是一个四边形风筝的骨架示意图，其中是风筝的支架且．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，是解题的关键
（1）根据证；
（2）根据，得，由求出即可．
【详解】（1）证明：在和中，
．
（2）解：，
，
．
21．（本题9分）如图①，在中，是的中点，，分别为垂足．求证：．
证明：如图②，连接．
是的中点，
______．
，
______（______），
．
，
．
(1)将上面的证明过程补充完整；
(2)用不同的方法证明：．
【答案】(1)，，SSS；
(2)见解析．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握全等三角形的判定是解题的关键．
（1）先理清证明思路，再证明即可；
（2）连接，先证，再证即可．
【详解】（1）证明：如图②，连接．
是的中点，
．
，
，
．
，
．
故答案为：，，SSS；
（2）证明：如图，连接．
∵D是的中点，
．
，
，
．
，
．
在和中，
，
．
22．（本题9分）如图，交于点是上一点，且．
(1)试说明．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质．
（1）先证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）根据三角形的外角的性质可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
即：，
在和中，
，
，
；
（2）解：是和的外角，
，，
，
，
，
，
，
．
23．（本题11分）（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．
【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______．
【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立 请说明理由．
【拓展应用】
（2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗 请说明理由．
【答案】（1）①；②问题①中结论仍然成立，理由见解析
（2）G是的中点，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关判定方法及性质是解题的关键．
（1）①由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到；
②由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到；
（2）作于M，于N，先证，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点G是的中点．
【详解】解：（1）①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：；
②问题①中结论仍然成立，理由如下：
，
，
，
又，，
，
，，
；
（2）G是的中点，理由如下：
如图，作于M，于N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴点G是的中点．
24．（本题12分）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．
【探究与发现】
（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________．
A． B． C． D．
【变式与应用】
（2）如图2，是的中线，若，则的取值范围是______．
A． B． C． D．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【拓展与延伸】
（3）如图3，是的中线，点E、F分别在上，且．试说明：．
【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析
【分析】本题考查全等三角形中的倍长中线模型，掌握通过延长中线构造全等三角形的方法是解题的关键．
（1）延长至点E，使，利用“边角边”可证；
（2）延长到H，使，同（1）可证，再利用三角形三边关系求解；
（3）延长到K，使，连接，依次证明，，再利用三角形三边关系求解．
【详解】（1）解：延长至点E，使，连接，如图1所示：
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
故选：B；
（2）解：延长到H，使，连接，如图2所示：
∴，
同（1）证明：，
∴，
∵，
∴，
在中，由三角形三边之间的关系得：，
∴，
∴，
∴，
故选：C；
（3）证明：延长到K，使，连接，如图3所示：
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
在和中，，
∴，.
∴，
在中，由三角形三边之间的关系得：，
∵，
∴．
