19.3
菱形
课后练习
如图，AC是菱形ABCD的对角线，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长是
．
如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为( )
A．12m
B．20m
C．22m
D．24m
能判定一个四边形是菱形的条件是( )
A．对角线互相平分且相等
B．对角线互相垂直且相等
C．对角线互相垂直且对角相等
D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角
下列给出的条件中，能识别一个四边形是菱形的是( )
A．有一组对边平行且相等，有一个角是直角
B．两组对边分别相等，且有一组邻角相等
C．有一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直
D．有一组对边平行且相等，且有一条对角线平分一个内角
如图，菱形ABCD中，DF⊥AB交AC于点E，垂足为F，DE=
4，求BE的长度．
如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，求点F到AC的距离．
如图，顺次连接四边形ABCD各中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是( )
A．AB∥DC
B．AB=DC
C．AC⊥BD
D．AC=BD
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是( )
A．四边形ABCD是梯形
B．四边形ABCD是菱形
C．对角线AC=BD
D．AD=BC
红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志．将宽为1cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起(如图)，判断重叠四边形是什么特殊四边形？证明你的结论．
将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF，连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．
如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，连接AD．
求证：四边形AFCD是菱形．
Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线m∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线m于E，垂足为F，连接CD、BE．
(1)求证：CE=AD；
(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．在学习《中点四边形》时，小明和小亮产生了很大的意见分歧：
小明说：如果一个四边形的中点四边形是菱形，则原四边形一定是矩形；
小亮说：如果一个四边形的中点四边形是菱形，则原四边形一定是对角线相等的四边形，而不一定是矩形．
(1)你认为谁的观点错误的，请画图举一个反例，并作简单说明；
(2)如果该四边形的对角线互相垂直，则中点四边形为______；
(3)如果该四边形的对角线相等，则中点四边形为_______；
(4)如果该四边形的对角线互相垂直且相等，则中点四边形为________．
阅读材料：
我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；
比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形(继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等)来逐步认识四边形；
我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识；
请解决以下问题：
如图，我们把满足AB=AD、CB=CD且AB≠BC的四边形ABCD叫做“筝形”；
(1)写出筝形的两个性质(定义除外)；
(2)写出筝形的两个判定方法(定义除外)，并选出一个进行证明．
菱形
课后练习参考答案
24．
详解：∵AC是菱形ABCD的对角线，E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，∴EF=BC=3，∴BC=6，
∴菱形ABCD的周长是4×6=24．
B．
详解：连接AC，已知∠A=120°，ABCD为菱形，则∠B=60°，从而得出△ABC为正三角形，以△ABC的顶点所组成的小三角形也是正三角形，所以正六边形的边长是△ABC边长的，则种花部分图形共有10条边，所以它的周长为×6×10=20m，故选B．
C．
详解：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴A、B、D都不正确；
∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形是菱形，∴C正确．
故选C．
D．
详解：A．错误，可判定为矩形，而不一定是菱形；
B．错误，可判定为矩形，而不一定是菱形；
C．错误，可判定为等腰梯形，而不是菱形；
D．正确，有一组对边平行且相等可判定为平行四边形，有一条对角线平分一个内角，则可判定有一组邻边相等，而一组邻边相等的平行四边形是菱形．
故选D．
4．
详解：∵ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠DAE=∠BAE，
在△ADE和△ABE中，
∵AD=AB，∠DAE=∠BAE，AE=AE，
∴△ADE≌ABE，
∴DE=BE=
4，即BE的长度为4．
6 6．
详解：如图，过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，
∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=60°，
∵BD=BE，∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE=60°，∴∠A=∠BDE，∴AC∥DE，
∵四边形DEFG是正方形，GF=6，
∴DE∥GF，∴AC∥DE∥GF，
∴KH=18× 6× 6=9 3 6=6 6，
∴F点到AC的距离为6 6．
D．
详解：连AC，BD，如图，∵E、F、G、H为四边形ABCD各中点，
∴EF∥AC，EF=AC，HG∥AC，HG=AC，∴四边形EFGH为平行四边形，
要使四边形EFGH为菱形，则EF=EH，而EH=AC，∴AC=BD．
当AB∥DC和AB=DC，只能判断四边形EFGH为平行四边形，所以A、B选项错误；
当AC⊥BD，只能判断四边形EFGH为矩形，所以C选项错误；
当AC=BD，可判断四边形EFGH为菱形，所以D选项正确．
故选D．
D．
详解：∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，
∴EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，同理，HE∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形；
A．若四边形ABCD是梯形时，AD≠CD，则GH≠FE，这与平行四边形EFGH的对边GH=FE相矛盾，故本选项错误；
B．若四边形ABCD是菱形时，点EFGH四点共线，故本选项错误；
C．若对角线AC=BD时，四边形ABCD可能是等腰梯形，证明同A选项，故本选项错误；
D．当AD=BC时，GH=GF；所以平行四边形EFGH是菱形，故本选项正确；
故选D．
菱形．
详解：如图，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为红丝带宽度相同，
∴AB∥CD，AD∥BC，AE=AF，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S□ABCD=BC
AE=CD
AF，又AE=AF，∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形．
菱形．
详解：四边形AECF是菱形．
证明：由折叠可知：AE=EC，∠AEF=∠CEF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CEF
=∠AFE，
∴∠AEF
=∠AFE，∴AF=AE，
∵AE=EC，∴AF=EC，
又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，
∵AF=AE，∴平行四边形AECF是菱形．
见详解．
详解：Rt△DEC是由Rt△ABC绕C点旋转60°得到，
∴AC=DC，∠ACB=∠ACD=60°，
∴△ACD是等边三角形，∴AD=DC=AC，
又∵Rt△ABF是由Rt△ABC沿AB所在直线翻转180°得到，
∴AC=AF，∠ABF=∠ABC=90°，
∵∠ACB=∠ACD=60°，∴△AFC是等边三角形，
∴AF=FC=AC，∴AD=DC=FC=AF，
∴四边形AFCD是菱形．
见详解．
详解：(1)证明：∵直线m∥AB，∴∠ECD=∠ADC，
又∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴DE∥AC，
∴∠EDC=∠ACD，CD为公共边，∴△EDC≌△ACD，∴CE=AD；
(2)当D在AB中点时，四边形BECD是菱形．
证明：D是AB中点，由(1)知DE∥AC，∴F为BC中点，即BF=CF，
∵直线m∥AB，∴∠ECF=∠DBF，∠BFD=∠CFE，∴△BFD≌△CFE，
∴DF=EF，已知DE⊥BC，∴BC和DE垂直且互相平分，
故四边形BECD是菱形．
见详解．
详解：(1)我认为小明的观点是错误的，反例如图所示，在等腰梯形ABCD中，AC=BD，
∵M、Q是AB、AD的中点，∴MQ∥BD，MQ=BD，同理NP∥BD，NP=BD，
可得四边形MNPQ是平行四边形，再由MN=PN可得四边形MNPQ是菱形；
(2)∵四边形的对角线互相垂直，∴它的中点四边形为矩形；
(3)∵四边形的对角线相等，∴它的中点四边形为菱形；
(4)∵四边形的对角线互相垂直且相等，∴它的中点四边形为正方形．
见详解．
详解：(1)性质1：只有一组对角相等，
性质2：只有一条对角线平分对角；
(2)判定方法1：只有一条对角线平分对角的四边形是筝形，
判定方法2：两条对角线互相垂直且只有一条被平分的四边形是筝形，
证明方法1：连接AC，BD，
在△ABC和△ADC中，∠BAC=∠DAC，AC=AC，∠BCA=∠DCA，
∴△ABC≌△ADC，∴AB=AD，CB=CD，易知AC⊥BD，
又∵∠ABD≠∠CBD，∴∠BAC≠∠BCA，AB≠BC，
所以四边形ABCD是筝形．19.3
菱形
重难点易错点辨析
菱形的性质
题一：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为
．
菱形的判定
题二：符合下列条件之一的四边形不一定是菱形的是( )
A．四条边相等
B．两组邻边分别相等
C．对角线相互垂直平分
D．两条对角线分别平分一组对角
金题精讲
题一：如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为( )．
A．8
B．9
C．11
D．12
题二：如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是( )
A．AE=AF
B．EF⊥AC
C．∠B=60°
D．AC是∠EAF的平分线
题三：如图，用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABDC是一个特殊的四边形．这个特殊的四边形是什么？请证明你的结论．
题四：如图，Rt△ABC中，∠B=90°，过点B作DB∥AC，且AC=2DB，E是AC的中点，连接AD、ED．
(1)求证：DE∥BC；
(2)请问四边形ADBE是特殊的平行四边形吗？试作出判断，并说明理由．
思维拓展
题一：我们在几何的学习中能发现，很多图形的性质定理与判定定理之间有着一定的联系．例如：菱形的性质定理“菱形的对角线互相垂直”和菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”就是这样．
但是课本中对菱形的另外一个性质“菱形的对角线平分一组对角”却没有给出类似的判定定理，请你利用如图所示图形研究一下这个问题．
要求：如果有类似的判定定理，请写出已知、求证并证明．如果没有，请举出反例．
菱形
讲义参考答案
重难点易错点辨析
题一：8a．题二：B．
金题精讲
题一：D．题二：C．题三：菱形．题四：(1)略；(2)菱形．
思维拓展
题一：略．
