1.3 有理数的大小 同步练习（含答案）

1.3　有理数的大小
精题讲解
1．利用数轴进行有理数的大小比较
(1)数轴上不同的两个点表示的数，右边点表示的数总比左边点表示的数大．
(2)正数大于零，零大于负数，正数大于负数．
(3)因为正数都大于0，反过来，大于0的数都是正数，所以可以用a＞0表示a是正数；反之，a是正数也可以表示为a＞0.
同理，a＜0表示a是负数；反之，a是负数也可以表示为a＜0.
另外可以用a≥0表示a是非负数，用a≤0表示a是非正数．
谈重点
利用数轴判断正数的大小
(1)利用数轴比较两个正数的大小，离原点越远，表示的数就越大，离原点越近，表示的数就越小．
(2)利用数轴比较两个负数的大小，离原点越近，表示的数就越大，离原点越远，表示的数就越小．
【例1－1】
有理数a，b在数轴上的位置如图所示，试用“＝”“＞”或“＜”填空：
a________0，b________0，a________b.
解析：a在原点的左边，是负数，负数小于0；b在原点的右边，是正数，正数大于0；数b的对应点在数a的对应点的右边，数轴上右边的数总是大于左边的数．
答案：＜　＞　＜
【例1－2】
比较下列各数的大小：
(1)－|－1|__________－(－1)；
(2)－(－3)__________0；
(3)－(－|－3.4|)________－(＋|3.4|)．
解析：(1)化简－|－1|＝－1，－(－1)＝1，因为负数小于正数，所以－|－1|＜－(－1)；(2)化简－(－3)＝3，因为正数都大于0，所以－(－3)＞0；
(3)同时化简两数，得－(－|－3.4|)＝3.4，－(＋|3.4|)＝－3.4，所以－(－|－3.4|)＞－(＋|3.4|)．
在比较大小时，有时可能出现含有负数的绝对值或负数的相反数的形式给出的数，这种形式给出的数不容易直接观察出大小，我们要先化简，然后再选择适当的方法进行大小比较．
答案：(1)＜　(2)＞　(3)＞　(4)＞
2．两个负数的大小比较
(1)利用绝对值比较两个负数的大小的法则
两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即在数轴上绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的左边．
例如：|－3|＝3，|－5|＝5，而3＜5，所以－3＞－5.
(2)利用绝对值比较两个负数大小的步骤
①分别求出两个负数的绝对值；
②比较两个绝对值的大小；
③根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断．
解技巧
正确比较两个分数的大小
在比较两个分数大小时，一般不要改变两数原来的顺序，以免最后判断时失误．例如比较－与－的大小时，先求得－的绝对值是，－的绝对值是，然后比较与的大小得＞，从而－＜－，在整个解答过程中，－与－的顺序不变．
【例2】
比较－与－的大小．
分析：两个负数比较大小，要先求出它们的绝对值，再根据绝对值的大小和两个负数大小比较的法则，确定出原数的大小．
两个负分数化成同分母分数之后，分子越大，分数值越小．
解：因为＝＝，＝＝，而＜，所以－＞－.
3．有理数的大小比较
几个有理数的大小比较主要有以下几条法则：(1)正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数；(2)绝对值越大的正数就越大，绝对值越大的负数反而越小；(3)在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大．
“数无形时少直观，形无数时难入微”，利用数形结合思想解题，可以化难为易，化繁为简．
利用数轴能揭示点的位置关系与数的大小关系的联系，所以较好地体现了数形结合的思想，利用它能方便地解决多个有理数(或其绝对值、相反数等)大小比较的问题．
【例3】
在数轴上表示出下列各数，并把它们按从小到大的顺序用“＜”号连接起来：
－4,3,0，－0.5，＋4，－2.
分析：在数轴上表示上述数时，关键是：＋4应在4的右边，－2应在－2的左边；－0.5应在原点的左边、－1的右边．本题解题时的一般步骤：①画数轴；②描点；③有序排列；④不等号连接．利用数轴比较有理数的大小时，关键是每个数的位置必须正确确定．
解：如图所示，
－4＜－2＜－0.5＜0＜3＜＋4.
4.利用数轴比较含有字母的有理数的大小
“数”可准确澄清“形”的模糊，“形”能直观启迪“数”的计算，利用数轴这一工具，加强数形结合的训练可沟通知识间的联系，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法．
含有字母的有理数的大小本来是不确定的，例如字母a可以表示任意有理数，但是只要把字母的位置确定在数轴上，它们的大小关系就能确定．
【例4】
有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试比较a，－a，b，－b，c，－c,0的大小，并用“＜”连接．
分析：观察数轴知a＜0，b＜0，c＞0；根据绝对值的意义，得|a|＞|b|＞|c|；根据相反数的几何意义，可以把a，－a，b，－b，c，－c,0都表示在数轴上，从而利用数轴比较大小．
解：把a，－a，b，－b，c，－c,0表示在数轴上，如图所示：
所以a＜b＜－c＜0＜c＜－b＜－a.
5．有理数大小比较的拓展
有理数的大小比较是初中数学的一个重要内容．有理数的大小比较常规的方法有很多，这里再介绍两种常用的方法．
(1)差值比较法：设a，b是任意两数，则a－b＞0 a＞b；a－b＜0 a＜b；a－b＝0 a＝b.
(2)商值比较法：设a，b是任意两个正数，则＞1a＞b；＝1a＝b；＜1a＜b.
【例5－1】
比较与的大小．
分析：计算与的商，再用商与1进行比较．若大于1则被除数大于除数；若小于1则被除数小于除数．
解：因为÷＝×＝＞1，所以＞.
【例5－2】
比较与0.3的大小．
分析：计算与0.3的差．若大于零，则被减数大于减数；若小于零，则被减数小于减数；若等于零，则两数相等．
解：因为－0.3＝－＝＞0，所以＞0.3.
基础巩固
1．在－2,0,1,3这四个数中比0小的数是(　　)．
A．－2
B．0
C．1
D．3
2．在数轴上，－2，，，0这四个数所对应的点从左到右排列的顺序是(　　)．
A．0，，，－2
B．－2，，，0
C．0，，，－2
D．－2，，，0
3．大于－3的负整数的个数是(　　)．
A．2
B．3
C．4
D．无数个
4．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么下列各式正确的是(　　)．
A．b＞－a
B．－a＞－b
C．a＞－b
D．－b＞a
5．实数a在数轴上对应的点如图所示，则a，－a,1的大小关系正确的是(　　)．
A．－a＜a＜1
B．a＜－a＜1
C．1＜－a＜a
D．a＜1＜－a
6．在数－0.34，，0.3，－35%，，中，最大的数是__________，最小的数是__________．
7．比较下列各组数的大小：
(1)
__________1；
(2)0__________－5；
(3)－|－3|__________－5；
(4)|＋(－2.6)|__________－|＋5|.
能力提升
8．比较大小：－0.1__________－0.01；－3.14__________－π.
9．比较下列各组数的大小：
(1)和；(2)－2.8和－3.7.
10．将下列各式用“＜”号连接起来：－4，，3，－2.7，－|－3.5|,0.
11．如图所示，数轴上的点A，B，C，D表示的数分别为：－1.5，－3,2,3.5.
(1)将A，B，C，D表示的数按从小到大的顺序用“＜”号连接起来；
(2)若将原点改在C点，其余各点所对应的数分别为多少？将这些数按从小到大的顺序用“＜”连接起来；
(3)改变原点位置后，点A，B，C，D所表示的数大小顺序改变了吗？这说明了数轴的什么性质？
参考答案
1答案：A　点拨：负数小于0.
2答案：B　点拨：绝对值越大的数距原点的距离越远．
3答案：A　点拨：利用数轴可知，大于－3的负整数是－2，－1这两个数，故选A.
4答案：D　点拨：观察数轴上表示数a，b的位置，可知a＞0，b＜0，且表示b的数到原点的距离大，所以可取特殊值解决此题．
令a＝1，b＝－2，则－a＝－1，－b＝2.因为2＞1，所以－b＞a.所以选D.
5答案：D　点拨：本题一是考查数与数轴的对应关系，二是考查在数轴上如何表示一个数的相反数及如何比较几个数的大小，在数轴上标出a的相反数－a的点如图所示，
从而可得a＜1＜－a，故选D.
6答案：　－35%　点拨：这六个数中，这两个数需进一步化简，＝，＝，这时再应用法则或数轴就容易了．
7答案：(1)＜　(2)＞　(3)＞　(4)＞　点拨：(1)(2)可直接判断，(3)(4)先化简，然后比较，－|－3|＝－3，|＋(－2.6)|＝2.6，－|＋5|＝－5.
8答案：＜　＞　点拨：两个负数比较，绝对值大的反而小．注意π是介于3.141
592
6～3.141
592
7之间的无限不循环小数．
9解：(1)∵，，＜，∴＞.
(2)∵|－2.8|＝2.8，|－3.7|＝3.7,2.8＜3.7，∴－2.8＞－3.7.
点拨：比较负数大小要遵循以下步骤：①求绝对值；②比较绝对值的大小；③比较负数的大小．
10分析：先化简－|－3.5|＝－3.5，可在数轴上表示．
解：－4＜－|－3.5|＜－3＜－2.7＜0＜3.
11解：(1)－3＜－1.5＜2＜3.5
(2)－3.5，－5,0,1.5；－5＜－3.5＜0＜1.5
(3)没有改变；说明了数轴上点表示的数，右边的数总比左边的数大．
能力提升
1．判断下列各式是否正确．
(1)若|a|＞|b|，则a＞b；(　　)．
(2)若a＞b，则|a|＞|b|；(　　)．
(3)若a＞b，则|b－a|＝a－b.(　　)．
2．下列各式中，不正确的是(　　)．
A．|－4|＝|4|
B．|－3|＝－(－3)
C．|－7|＞|－3|
D．|－5|＜0
3．冬季某天我国三个城市的最高气温分别是－10
℃，1
℃，－7
℃，把它们从高到低排列正确的是(　　)．
A．－10
℃，－7
℃，1
℃
B．－7
℃，－10
℃，1
℃
C．1
℃，－7
℃，－10
℃
D．1
℃，－10
℃，－7
℃
4．如图，若A是有理数a在数轴上对应的点，则关于a，－a,1的大小关系表示正确的是(　　)．
A．a＜1＜－a
B．a＜－a＜1
C．1＜－a＜a
D．－a＜a＜1
5．如果|－a|＝－a，下列各式成立的是(　　)．
A．a＜0
B．a≤0
C．a＞0
D．a≥0
6．有理数a，b在数轴上位置如图所示，则|a|，|b|的大小关系是__________．
7．有甲、乙两只蚂蚁分别在数轴A，B两点上，A，B两点分别表示数1和，它们同时发现原点处有一食物，于是以相同的速度爬过去，最先得到食物的是__________．(填甲或乙)
8．若|a－1|＋|b＋2|＋|3c－6|＝0，比较a，b，c的大小．
创新应用
9．在数轴上表示出距离原点3个单位长度和4.5个单位长度的点，并用“＜”将这些点所表示的数排列起来．
10．在数轴上有三点A，B，C，分别表示－3,0,2，按要求回答：
(1)将点A向右移动6个单位长度后三个点表示的数谁最大？是多少？
(2)将点C向左移动4个单位长度后表示的数是多少？
(3)怎样移动A，B，C三点才能使三个点表示的数相同？
参考答案
1.
解析：判断一个结论是错误的，可依据概念、性质等知识，用推理的方法来否定这个结论，也可以用举反例的方法．
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2.
解析：|－5|＞0，任何一个数的绝对值都大于或等于零．
答案：D
3.
答案：C
4.
解析：从数轴上可以看出，a是负数，且到原点的距离大于1，－a是a的绝对值，是正数，到原点的距离也大于1，所以a＜1＜－a，故选A．
答案：A
5.
解析：由绝对值概念知－a≥0，故a的取值范围是a≤0.
答案：B
6.
解析：显然a所对应的点到原点的距离大于b所对应的点到原点的距离，故|a|＞|b|.
答案：|a|＞|b|
7.
解析：距离原点近的最先得到食物，数1和到原点的距离分别为1和，显然1＜.
答案：甲
8.
解：∵|a－1|≥0，|b＋2|≥0，|3c－6|≥0，
而|a－1|＋|b＋2|＋|3c－6|＝0，
∴a－1＝0，b＋2＝0,3c－6＝0.
∴a＝1，b＝－2，c＝2.
∵－2＜1＜2，∴b＜a＜c.
9.
解：数轴上，距离原点3个单位长度的点是＋3和－3，距离原点4.5个单位长度的点是＋4.5和－4.5.
由图看出：－4.5＜－3＜3＜4.5.
10.
解：(1)点A表示的数最大，是3.
(2)点C向左移动4个单位长度后表示－2.
(3)方案一：令点A不动，点B向左移动3个单位长度，点C向左移动5个单位长度；
方案二：令点B不动，点A向右移动3个单位长度，点C向左移动2个单位长度；
方案三：令点C不动，点A向右移动5个单位长度，点B向右移动2个单位长度．