第一章 特殊平行四边形专题--- 特殊平行四边形中的最值问题（含解析）初中数学北师大版九年级上册

专题 特殊平行四边形中的最值问题
【一、矩形中的最值问题】
【例题1】如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PABS矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　）
A．3 B．2 C．10 D．2
【变式练习1】．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E，G分别是AD和BC上的动点，四边形EFGH是矩形，则FH的最小值为（　　）
A． B．2 C．3 D．
【变式练习2】．如图，矩形ABOC的边BO、CO分别在x轴、y轴上，点A的坐标是（﹣6，4），点D、E分别为AC、OC的中点，点P为OB上一动点，当PD+PE最小时，点P的坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（﹣2，0） C．（﹣3，0） D．（﹣4，0）
【变式练习3】．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠DAC＝30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是 　 　 ．
【二、菱形中的最值问题】
【例题2】．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝60°，GH的最小值为，则BC长为（　　）
A．6 B．4 C． D．
【变式练习1】．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点E、F分别在线段AB、BC上，且BE＝CF，则EF的最小值为 　 　 ．
【变式练习2】．如图，菱形ABCD中，AB＝8，∠D＝60°；点F是CD的中点，点E是BC上一动点，连接AE，BF．G，H分别是AE，BF的中点，连接GH，则GH的最小值是 　 　 ．
【三、正方形中的最值问题】
【例题3】．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为DC、BC上的点，且DE＝CF，连接DF，BE，求DF+BE的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．2+2
【变式练习1】．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点M在DC上，DM＝1，点N是AC上的一个动点，那么DN+MN的最小值是（　　）
A．3 B．4 C． D．
【变式练习2】．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P．连接CP，线段CP长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
参考答案
【一、矩形中的最值问题】
【例题1】．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PABS矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（　　）
A．3 B．2 C．10 D．2
【分析】先确定动点P的运动路线，再构造将军饮马模型，利用勾股定理求出即可．
【解答】解：设△PAB的边AB上的高为h，
∵S△PABS矩形ABCD，
∴，即hAD，
∵AD＝6，
∴h＝4，
分别在AD，BC上取点E，F，使AE＝BF＝4，连接EF，则点P是直线EF上的一个动点，
延长AD到A′，使EA′＝EA＝4，连接A′B，A′P，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABEF是矩形，
∴PE⊥AA′，
∴A，A′关于EF对称，AA′＝2AE＝8，
∴PA′＝PA，
∴PA+PB＝PA′+PB≥A′B，
∴PA+PB的最小值为A′B的长，
在Rt△A′BA中，
A′B，
故选：D．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路径问题，解答时涉及勾股定理，用一条线段表示处两线段的和是解题的关键．
变式1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E，G分别是AD和BC上的动点，四边形EFGH是矩形，则FH的最小值为（　　）
A． B．2 C．3 D．
【分析】连接EG，根据矩形的性质得到EG＝FH，当EG最小时，FH最小，当EG⊥BC时，EG的值最小，根据矩形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接EG，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EG＝FH，
当EG最小时，FH最小，
当EG⊥BC时，EG的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABGE是矩形，
∴EG＝AB＝2，
∴FH的最小值为2，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，垂线段最短，正确地作出辅助线是解题的关键．
变式2．如图，矩形ABOC的边BO、CO分别在x轴、y轴上，点A的坐标是（﹣6，4），点D、E分别为AC、OC的中点，点P为OB上一动点，当PD+PE最小时，点P的坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（﹣2，0） C．（﹣3，0） D．（﹣4，0）
【分析】取点E关于x轴的对称点E'，连接PE'，连接DE'交x轴于点P'，确定PD+PE最小值为DE'，此时点P位于P'处，再根据待定系数法确定直线DE'的解析式，进而可求出点P'的坐标，即当PD+PE最小时，点P的坐标．
【解答】解：取点E关于x轴的对称点E'，连接PE'，连接DE'交x轴于点P'，
∴PE'＝PE，
∵PD+PE＝PD+PE'≥DE'，
∴PD+PE最小值为DE'，此时点P位于P'处，
∵四边形ABOC是矩形，点A的坐标是（﹣6，4），
∴AC＝6，OC＝4，
∵点D、E分别为AC、OC的中点，
∴D（﹣3，4），E'（0，﹣2），
设直线DE'的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线DE'的解析式为y＝﹣2x﹣2，
当y＝0时，0＝﹣2x﹣2，
解得x＝﹣1，
∴P'（﹣1，0），
即当PD+PE最小时，点P的坐标为（﹣1，0），
故选：A．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，解答中涉及坐标与图形性质，矩形的性质，两点之间线段最短，待定系数法确定一次函数解析式，能确定PD+PE最小时，点P的位置是解题的关键．
变式3．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，∠DAC＝30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是 　2　 ．
【分析】作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E，则D′E＝PE+PD的最小值，解直角三角形可求解．
【解答】解：作D关于直线AC的对称点D′，连接DD'交AC于H，过D′作D′E⊥AD于E，
则D′E＝PE+PD的最小值，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∵点D，点D'关于AC对称，
∴DD'⊥AC，DH＝D'H，
∵AD＝4，∠DAC＝30°，
∴DH＝2，∠ADH＝60°，
∴DD′＝4，
∴sin∠D'DE，
∴D′E＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最小距离问题，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
【二、菱形中的最值问题】
【例题2】．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝60°，GH的最小值为，则BC长为（　　）
A．6 B．4 C． D．
【分析】连接AF，由三角形中位线定理推出GHAF，得到当AF⊥BC时，AF最小值是2，由含30度角的直角三角形的性质得到BFAB，由勾股定理得到AB2，求出AB＝4.由菱形的性质推出BC＝AB＝4．
【解答】解：连接AF，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GHAF，
∵GH的最小值为，
∴AF的最小值是2，
当AF⊥BC时，AF最小，
∵∠B＝60°，
∴此时∠BAF＝90°﹣60°＝30°，
∴BFAB，
∵AB2﹣BF2＝AF2，
∴AB2，
∴AB＝4．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝4．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，关键是由三角形中位线定理得到GHAF，由勾股定理求出AB的长．
变式1．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点E、F分别在线段AB、BC上，且BE＝CF，则EF的最小值为 　2　 ．
【分析】连接BD，过点D作DG⊥AB于G，先证明△ABD、△BCD都是等边三角形，得到CD＝BD，∠CDB＝60°，进而证明△BDE≌△CDF得到DE＝DF，进一步证明△EDF是等边三角形，得到EF＝DE，则当E与G重合时，此时DE最小，即EF最小，最小值为DG，利用勾股定理求出DG即可得到答案．
【解答】解：如图所示，连接BD，过点D作DG⊥AB于G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，AD∥BC，
∵∠C＝∠A＝60°，
∴△ABD、△BCD都是等边三角形，
∴CD＝BD，∠ABD＝∠CDB＝60°，
∴∠DBA＝∠CDB＝60°＝∠C，
又∵BE＝CF，
∴△BDE≌△CDF（SAS），
∴DE＝DF，∠BDE＝∠CDF，
∴∠BDE+∠BDF＝∠CDF+∠BDF，即∠EDF＝∠CDB＝60°，
∴△EDF是等边三角形，
∴EF＝DE，
∴当DE最小时，EF最小，
∴当E与G重合时，此时DE最小，即EF最小，最小值为DG，
∵DG⊥AB，
∴AGAD＝2，
∴DGAG＝2，
∴EF的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及最小值等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
变式2．如图，菱形ABCD中，AB＝8，∠D＝60°；点F是CD的中点，点E是BC上一动点，连接AE，BF．G，H分别是AE，BF的中点，连接GH，则GH的最小值是 　　 ．
【分析】连接BG并延长交AD于点Q，连接FQ，根据三角形中位线定理可得GHFQ，要使GH有最小值，即FQ最小，当FQ⊥AD时，FQ最小，过点F作FM⊥AD于点M，此时点M和点Q重合，然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BG并延长交AD于点Q，连接FQ，
在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AQG＝∠EBG，∠QAG＝∠BEG，
∵G是AE的中点，
∴AG＝EG，
∴△AGQ≌△EGB（AAS），
∴GQ＝GB，
∴G是BQ的中点，
∴GHFQ，
∴要使GH有最小值，
即FQ最小，
∴当FQ⊥AD时，FQ最小，
过点F作FM⊥AD于点M，此时点M和点Q重合，
在菱形ABCD中，DC＝AB＝8，∠D＝60°，
∵点F是CD的中点，
∴DF＝CF＝4，
∴DM＝2，
∴FMDM＝2，
∴GH．
∴GH的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
【例题3】．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为DC、BC上的点，且DE＝CF，连接DF，BE，求DF+BE的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．2+2
【分析】延长AB到点G，使BG＝AB＝2，连接DG交BC于F'，连接GF，由四边形ABCD是正方形，可得AD＝AB＝BC＝BG＝2，∠ABC＝∠FBG＝∠C＝90°，DG2，证明△BCE≌△GBF（SAS），得BE＝FG，从而DF+BE＝DF+FG，当F运动到F'，DF+FG最小，此时DF+BE最小，最小值为DG的长．
【解答】解：延长AB到G，使BG＝AB＝2，连接DG交BC于F'，连接GF，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝BG＝2，∠ABC＝∠FBG＝∠C＝90°，
∴DG2，
在△BCE和△GBF中，
，
∴△BCE≌△GBF（SAS），
∴BE＝FG，
∴DF+BE＝DF+FG，
∴当F运动到F'，即D、F、G共线时，DF+FG最小，此时DF+BE最小，最小值为DG的长，
∴DF+BE最小值为2．
故选：B．
【点评】本题考查正方形中的动点问题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，把DF+BE转化为DF+FG．
变式1．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点M在DC上，DM＝1，点N是AC上的一个动点，那么DN+MN的最小值是（　　）
A．3 B．4 C． D．
【分析】连接BN，BM，先由对称性得出DN+MN的最小值为BM的长，再由勾股定理求出BM的长即可．
【解答】解：连接BN，BM，
∵对角线AC所在直线是正方形ABCD的一条对称轴，
∴BN＝DN，
∴DN+MN＝BN+MN≥BM，
∴DN+MN的最小值为BM的长，
∵四边形ABCD是边长为3的正方形，DM＝1，
∴BC＝3，CM＝CD﹣DM＝3﹣1＝2，
在Rt△BMC中，
BM，
∴DN+MN的最小值为，
故选：C．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，用一条线段的长表示出两线段和的最小值是解题的关键．
变式2．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P．连接CP，线段CP长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据“边角边”证明△ADE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠CDF，然后求出∠APD＝90°，取AD的中点O，连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P到AD的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，然后根据勾股定理列式求出OC，再求解即可．
【解答】解：在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴∠DAE+∠ADF＝90°，
∴∠APD＝90°，
取AD的中点O，连接OP，则（定值），
根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，
在Rt△COD中，由勾股定理得，
∴CP的最小值，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，确定出点P到AD的中点的距离是定值是解题的关键．
第1页（共1页）