2025年人教版数学九年级上册周测卷 （第二十二章 第2-3节）培优卷
一、选择题
1．（2025九上·海曙期末）已知二次函数y=ax2+bx+c中自变量x和函数y的部分对应值如下表：
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … -1 -4 -1 8 23 …
则方程 ax2+bx+c=0的一个解x=t的取值范围下列可能的是（ ）
A．-32．（2024九上·温州月考）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·余姚期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（ ）
A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x）
C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x）
4．（2025九上·海曙开学考） 二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2025九上·东阳竞赛）函数 的图象如图所示，则函 数 的图象与 轴的交点分别是 ( )
A． B． C． D．
6．（2024九上·郧西期中）如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为，两侧距地面高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为，则厂门的高度约为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·东阳开学考）童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x为（ ）
A．25元 B．20元 C．30元 D．40元
8．（2025九上·东营期末）如图，一工厂车间大门由抛物线和矩形的三边组成，门的最大高度是，，，若有一个高为，宽为的长方体形状的大型设备要安装在车间，如果不考虑其他因素，设备的右侧离开门边多少米，此设备运进车间时才不会碰到门的顶部（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·杭州月考）已知二次函数，且，是方程的两个根，则实数a，b，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·杭州期中）已知二次函数的图象与轴交于不同两点，与轴的交点在轴正半轴，它的对称轴为直线， 有以下结论： ①，②， ③抛物线上有两点和，若， 且， 则， ④设，是方程． 的两根，若则， 其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②③④
二、填空题
11．（2025九上·丽水期末）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h=20t﹣5t2．则经过 秒时球的高度为15米．
12．（2023九上·长沙月考）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．
13．（2023九上·阳新期中）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为
14．（2024九上·庄浪期末）玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶 碰到水柱．（填“能”或“不能”）
15．（2024九上·天河期中）如图，已知二次函数的图像，下列结论①；②；③；④关于x的方程有四个根，且这四个根的和为5；其中正确的结论有 （请写出所有正确结论的序号）．
三、解答题
16．（2025九上·荔湾期中）如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题：
（1）写出方程的解为___________，___________；
（2）当时，直接写出的取值范围为___________；
（3）当时，直接写出的取值范围是___________．
17．（2024九上·沅江开学考）丁丁推铅球的出手高度为，在如图所示的直角坐标系中，铅球运动轨迹是抛物线，求铅球的落点与丁丁的距离．
18．（2024九上·潮州期末）为了推进“绿美潮州”生态建设，潮州市某公司加快技术升级改造，年第一季度产品的生产成本是每件元，技术升级改造后，产品的生产成本逐季度下降，第三季度产品的生产成本是每件元，若产品生产成本每个季度的平均下降率都相同．求该产品生产成本每个季度的平均下降率是多少．
19．（2025九上·义乌开学考） 已知二次函数 (m 为常数).
（1） 求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点；
（2） 当 m 取什么值时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方？
20．（2024九上·拱墅月考）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
21．（2024九上·长兴月考）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
小丽根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是 ________．
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；
（3）对于上面的函数，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
④函数图象与x轴有2个公共点．
所有正确结论的序号是________．
（4）结合函数图象，解决问题：
若关于x的方程有4个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
22．（2025九上·义乌开学考）为了增加趣味性，万岁山旅游城把传统的抛绣球项目进行改良，他们定制了一种器械，类似中国古代一种投石器，为了解发射平台高度对绣球飞行轨迹的影响，我们可以设定不同的发射平台高度，并分别记录绣球在不同水平距离上的飞行高度. 分析不同发射平台高度下绣球的飞行轨迹. 通过比较不同高度下绣球的飞行高度和飞行距离，我们可以得出发射平台高度对绣球运动轨迹的具体影响. 从而有目的地调整发射高度，通过实验发现绣球运动轨迹是抛物线的一部分，并且在离发射点水平距离18米处达到距地面最大高度18米；在离发射点水平距离6米处，距地面高度10米.
问题解决：
（1）任务1：确定函数表达式. 设绣球离发射点水平距离为x，距地面高度为y. 求出y关于x的函数表达式；
（2）任务2：探究飞行距离，当绣球从地面发出到落地（高度为0m）时，飞行的水平距离是多少；
（3）任务3：如图，工作人员在水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台PQ，当弹射口高度变化时，绣球被弹出后的飞行轨迹形状不变，可视为抛物线上下平移得到，点P、A、B在一条直线上，已知，，游客小李站在线段AB（包括点A、B）上，为了确保他能抢到绣球，求发射台PQ的变化范围.
23．（2024九上·杭州期末）已知二次函数为常数图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大．
（1）求的值．
（2）已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上．
若，求的最大值．
若，且时，始终有，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由所给表格可知，当 时， y取值为负， 当 时， y取值为正，
所以 的一个解的取值范围为：
故答案为：C.
【分析】根据所给表格，得出当 时， y取值为负， 当 时，y取值为正，据此可得出方程 的一个解的取值范围.
2．【答案】A
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：铁栅栏的全长为15米，米，
平行于墙的一边长为米．
根据题意得：．
故选：A．
【分析】由铁栅栏的全长和在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，可以求出完整图形周长为18米，因为米，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式．
3．【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
故答案为：C.
【分析】根据售价减去进价乘以销售量表示出实际的利润.
4．【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(1，0)，(-3，0)，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的解为x1=1，x2=-3，
故答案：D.
【分析】根据二次函数与x轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根.
5．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由图像与 轴的交点横坐标为 -1 和 3，可设 ，
，与 对应，
根据 变形可得： ，
因此 或 ，
则交点是 .
故答案为： B.
【分析】根据图像设出两点式，化简为一般式，找出b，c与a的关系，带入 计算即可．
6．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，如图，
则抛物线过、、、，四点，设该抛物线解析式为：，
∴，解得：，
∴该抛物线解析式为，
则，
∴厂门的高度约为米，
故选：．
【分析】以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，设该抛物线解析式为：，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得该抛物线解析式为，再将解析式转换为顶点式，即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：将写为顶点式的形式得：，
∴当时，取最大值，
∴要想获得最大利润，则销售单价为元，
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的性质可知，二次函数的最值是它的顶点的纵坐标，将改写成顶点式的形式即可得到答案．
8．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图，以为轴，的中点为坐标原点建立平面直角坐标系．
则点坐标为点坐标为点坐标为点坐标为，
设抛物线解析式为：，
把点坐标代入，解得，
所以，
把代入，
解得；
此时设备的右侧离开门边米，
所以为了设备运进车间时才不致于碰门的顶部，，
故答案为：D．
【分析】以为轴，的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则点坐标为点坐标为点坐标为点坐标为，设抛物线解析式为：，根据待定系数法将点D坐标代入解析式可得，再将y=4代入解析式，解方程即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：先作出图象，画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，得到，它与x轴的交点就是和，
观察图象可得：，
故选：D．
【分析】先根据和为方程的两根，可得出它们满足方程，再根据、结合函数图象，可得出，，a，b的大小关系．
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，赋值法，二次函数的增减性，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴判断与0的关系，可判断①；根据对称轴公式可判断②；根据抛物线的增减性可判断③；根据抛物线与轴交点情况分三种情况进行讨论，可判断④．
【解答】
解：①∵二次函数的图象与轴的交点在轴正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故结论①正确；
②由①知：，
∴，故结论②正确；
③∵，
∴二次函数的图象开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小，
∵点和在抛物线上，且，，
∴，即到1的距离大于到1的距离，
∴，故结论③正确；
④∵二次函数的图象与轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为，右边交点的横坐标为，即，如图所示，
若，则，，，
∴，
若，则，，，
∴，
若，则，，，
∴，
综上所述，故结论④正确，
∴正确的结论是①②③④．
故选：D．
11．【答案】1或3
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当h=15时，由15=20t﹣5t2得：t2﹣4t+3=0，
解得：t1=1，t2=3，
答：经过1或3秒时球的高度为15米．
故答案为：1或3．
【分析】令h=0，即可得到15=20t﹣5t2，解题即可．
12．【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为A（-3，9），B（1，1），令，
∴的解为，
∴关于x的方程的解为，
故答案为：．
【分析】令，根据二次函数与一次函数的交点坐标即可求出x的值，从而将化为，即可求解.
13．【答案】或
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4），
当y=0时，，解得，
则抛物线与x轴的交点为A（-1，0），B（3，0），
把抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标M（1，-4），
如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b=0，解得b=-3；
当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即有相等的实数解，整理得，，解得b=，
所以b的值为-3或，
故答案为：或．
【分析】分两种情形：当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
14．【答案】不能
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：根据题意可知抛物线的顶点为，水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系，
则抛物线的解析式为，
令，则，
故她的头顶不能碰到水柱．
故答案为：不能．
【分析】根据顶点求出抛物线的解析式为，再令，求出的值，最后与比较求解即可.
15．【答案】②③
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，①错误；
抛物线与轴有2个交点，
，
，②正确；
时函数取最大值，
，
，即，③正确．
由图象可得函数最大值大于2，
有两个不相等的实数根，，
有两个不相等的实数根，，
图象对称轴为直线，
，．
，
∴关于x的方程有四个根，且这四个根的和为4；
④错误．
故答案为：②③.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
16．【答案】（1），；
（2）；
（3）
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】（1）解：
，，
故答案为：，；
（2）解：的根为，，
二次函数的图象与轴交于点，，
由图象可得，时，的取值范围为，
故答案为：；
（3）解：，
时，的最大值为，
把代入得，，
把代入得，，
当时，的取值范围是，
故答案为：．
【分析】（1）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（2）当函数图象在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（3）根据二次函数的性质即可求出答案.
（1）解：
，，
故答案为：，；
（2）解：的根为，，
二次函数的图象与轴交于点，，
由图象可得，时，的取值范围为，
故答案为：；
（3）解：，
时，的最大值为，
把代入得，，
把代入得，，
当时，的取值范围是，
故答案为：．
17．【答案】解：由题意知，点在抛物线上，
所以，
解这个方程，得或舍去，
所以该抛物线的解析式为，
当时，有，
解得，舍去，
所以铅球的落点与丁丁的距离为
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】通过已知的抛物线过出手点的坐标代入抛物线的解析式，求出k的值，再令抛物线的纵坐标为 0，求出横坐标，横坐标的值即为铅球落点与丁丁的距离（横坐标为正）.
18．【答案】解：该产品生产成本每个季度的平均下降率为，根据题意得，
，
解得：或（舍去），
答：该产品生产成本每个季度的平均下降率是．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；二次函数的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【分析】设该产品生产成本每个季度的平均下降率是x，根据题意列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．
19．【答案】（1）证明： 当y=0时， 2(x-1)(x-m-3)=0，解得：
当m+3=1，即m=-2时，方程有两个相等的实数根；
当m+3≠1，即m≠-2时，方程有两个不相等的实数根.
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）解：当x =0时， y=2(x-1)(x-m-3)=2m+6，
∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，
∴当2m+6>0， 即m>-3时， 该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)代入y=0求出x的值， 分m+3=1和m+3≠1两种情况考虑方程解的情况，进而即可证出：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
(2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论.
20．【答案】（1）解：设二次函数的解析式为，
∵ 二次函数（b，c为常数）的图象经过点，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：∵点B平移后的点的坐标为，
∴，
解得：或（舍），
∴m的值为；
（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）先根据对称轴设出二次函数关系式，再将A点坐标代入求出二次函数关系式；
（2）先求出平移后点B的坐标，可得到关于m的方程求解；
（3）分""，""，“”，分别建立方程求解，求出n的 取值范围 ．
（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得，
解得，
∴；
（2）解：点B平移后的点的坐标为，
则，解得或（舍），
∴m的值为；
（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．
21．【答案】（1）任意实数
（2）解：由题意知，，
作图象如下；
（3）①③
（4）
【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数y=ax²+bx+c的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：（1）由题意知，函数的自变量x的取值范围是任意实数，
故答案为：任意实数；
（3）由图象可知，函数图象关于y轴对称；①正确，故符合要求；
函数有最小值，没有最大值；②错误，故不符合要求；
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；③正确，故符合要求；
函数图象与x轴有4个公共点，④错误，故不符合要求，
故答案为：①③．
（4）由图象可知，关于x的方程有4个不相等的实数根时，k的取值范围是，
故答案为：．
【分析】
（1）由题意知，对于任意实数x函数都成立；
（2）由绝对值的性质知，二次函数实际上是个分段函数，即，然后分别取点、连线即可；
（3）由图象可知，函数图象关于y轴对称，即结论①正确；由于二次函数的开口向上所以有最小值，但没有最大值，即结论②错误；当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，即结论③正确；函数图象与x轴有4个交点，即结论④错误；
（4）观察图像知，当时，抛物线与直线最多有三个交点，即方程最多有3个不相等的实数根；当时，抛物线与直线最多有2个交点，即方程最多有2个不相等的实数根；而当时，抛物线与直线恰好有4个交点，即方程有4个不相等的实数根．
（1）解：由题意知，函数的自变量x的取值范围是任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）解：由题意知，，
作图象如下；
（3）解：由图象可知，函数图象关于y轴对称；①正确，故符合要求；
函数有最小值，没有最大值；②错误，故不符合要求；
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；③正确，故符合要求；
函数图象与x轴有4个公共点，④错误，故不符合要求，
故答案为：①③．
（4）解：由图象可知，关于x的方程有4个不相等的实数根时，k的取值范围是，
故答案为：．
22．【答案】（1）解：依题意，得抛物线的顶点坐标为(18，18)，设抛物线解析式为 把(6，10)代入解析式得： 解得
∴抛物线解析式为
（2）解：令，则，解得，（舍），
答：水平距离为36m；
（3）解：设抛物线向上平移m个单位，则平移后的抛物线解析式为，
∵，，
∴ 当抛物线经过（37，0）时，，
解得
当抛物线经过（38，0）时，，解得
∴ 发射台PQ的变化范围为：解得.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令y=0，解方程求出x的值即可；
（3）设出平移后的解析式， 再把(37，0)， (38，0)分别代入解析式，结合题意求出PQ的取值范围.
23．【答案】（1）函数，，
二次函数的顶点横坐标为，二次函数顶点横坐标为，
二次函数为常数图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大，
，
（2）点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上，
，，
，
，
，
时，有最大值；
，
，
，
，
，
整理得，，
即，
，，
时，始终有，
的值不会随的变化而变化，
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)分别求出两个函数的对称轴，建立方程求解即可；
(2)①先表示出，，再利用x2=2x1+1代入n表达式中，然后表示出，利用二次函数最值求解即可；
②同①表示出n-m=-2tx1-2x1-t2+2t=3t，建立关于t的方程求解即可.
1 / 12025年人教版数学九年级上册周测卷 （第二十二章 第2-3节）培优卷
一、选择题
1．（2025九上·海曙期末）已知二次函数y=ax2+bx+c中自变量x和函数y的部分对应值如下表：
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … -1 -4 -1 8 23 …
则方程 ax2+bx+c=0的一个解x=t的取值范围下列可能的是（ ）
A．-3【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由所给表格可知，当 时， y取值为负， 当 时， y取值为正，
所以 的一个解的取值范围为：
故答案为：C.
【分析】根据所给表格，得出当 时， y取值为负， 当 时，y取值为正，据此可得出方程 的一个解的取值范围.
2．（2024九上·温州月考）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：铁栅栏的全长为15米，米，
平行于墙的一边长为米．
根据题意得：．
故选：A．
【分析】由铁栅栏的全长和在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，可以求出完整图形周长为18米，因为米，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式．
3．（2024·余姚期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（ ）
A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x）
C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x）
【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
故答案为：C.
【分析】根据售价减去进价乘以销售量表示出实际的利润.
4．（2025九上·海曙开学考） 二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(1，0)，(-3，0)，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的解为x1=1，x2=-3，
故答案：D.
【分析】根据二次函数与x轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根.
5．（2025九上·东阳竞赛）函数 的图象如图所示，则函 数 的图象与 轴的交点分别是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由图像与 轴的交点横坐标为 -1 和 3，可设 ，
，与 对应，
根据 变形可得： ，
因此 或 ，
则交点是 .
故答案为： B.
【分析】根据图像设出两点式，化简为一般式，找出b，c与a的关系，带入 计算即可．
6．（2024九上·郧西期中）如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为，两侧距地面高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为，则厂门的高度约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，如图，
则抛物线过、、、，四点，设该抛物线解析式为：，
∴，解得：，
∴该抛物线解析式为，
则，
∴厂门的高度约为米，
故选：．
【分析】以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，设该抛物线解析式为：，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得该抛物线解析式为，再将解析式转换为顶点式，即可求出答案.
7．（2024九上·东阳开学考）童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x为（ ）
A．25元 B．20元 C．30元 D．40元
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：将写为顶点式的形式得：，
∴当时，取最大值，
∴要想获得最大利润，则销售单价为元，
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的性质可知，二次函数的最值是它的顶点的纵坐标，将改写成顶点式的形式即可得到答案．
8．（2025九上·东营期末）如图，一工厂车间大门由抛物线和矩形的三边组成，门的最大高度是，，，若有一个高为，宽为的长方体形状的大型设备要安装在车间，如果不考虑其他因素，设备的右侧离开门边多少米，此设备运进车间时才不会碰到门的顶部（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图，以为轴，的中点为坐标原点建立平面直角坐标系．
则点坐标为点坐标为点坐标为点坐标为，
设抛物线解析式为：，
把点坐标代入，解得，
所以，
把代入，
解得；
此时设备的右侧离开门边米，
所以为了设备运进车间时才不致于碰门的顶部，，
故答案为：D．
【分析】以为轴，的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则点坐标为点坐标为点坐标为点坐标为，设抛物线解析式为：，根据待定系数法将点D坐标代入解析式可得，再将y=4代入解析式，解方程即可求出答案.
9．（2024九上·杭州月考）已知二次函数，且，是方程的两个根，则实数a，b，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：先作出图象，画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，得到，它与x轴的交点就是和，
观察图象可得：，
故选：D．
【分析】先根据和为方程的两根，可得出它们满足方程，再根据、结合函数图象，可得出，，a，b的大小关系．
10．（2024九上·杭州期中）已知二次函数的图象与轴交于不同两点，与轴的交点在轴正半轴，它的对称轴为直线， 有以下结论： ①，②， ③抛物线上有两点和，若， 且， 则， ④设，是方程． 的两根，若则， 其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，赋值法，二次函数的增减性，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴判断与0的关系，可判断①；根据对称轴公式可判断②；根据抛物线的增减性可判断③；根据抛物线与轴交点情况分三种情况进行讨论，可判断④．
【解答】
解：①∵二次函数的图象与轴的交点在轴正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故结论①正确；
②由①知：，
∴，故结论②正确；
③∵，
∴二次函数的图象开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小，
∵点和在抛物线上，且，，
∴，即到1的距离大于到1的距离，
∴，故结论③正确；
④∵二次函数的图象与轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为，右边交点的横坐标为，即，如图所示，
若，则，，，
∴，
若，则，，，
∴，
若，则，，，
∴，
综上所述，故结论④正确，
∴正确的结论是①②③④．
故选：D．
二、填空题
11．（2025九上·丽水期末）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h=20t﹣5t2．则经过 秒时球的高度为15米．
【答案】1或3
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当h=15时，由15=20t﹣5t2得：t2﹣4t+3=0，
解得：t1=1，t2=3，
答：经过1或3秒时球的高度为15米．
故答案为：1或3．
【分析】令h=0，即可得到15=20t﹣5t2，解题即可．
12．（2023九上·长沙月考）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．
【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为A（-3，9），B（1，1），令，
∴的解为，
∴关于x的方程的解为，
故答案为：．
【分析】令，根据二次函数与一次函数的交点坐标即可求出x的值，从而将化为，即可求解.
13．（2023九上·阳新期中）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为
【答案】或
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4），
当y=0时，，解得，
则抛物线与x轴的交点为A（-1，0），B（3，0），
把抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标M（1，-4），
如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b=0，解得b=-3；
当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，
即有相等的实数解，整理得，，解得b=，
所以b的值为-3或，
故答案为：或．
【分析】分两种情形：当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．
14．（2024九上·庄浪期末）玥玥看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：发现水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系的图象，已知水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距离地面．身高的玥玥站在水柱正下方，且距喷水头水平距离的位置，她的头顶 碰到水柱．（填“能”或“不能”）
【答案】不能
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：根据题意可知抛物线的顶点为，水柱距地面的高度与水柱距喷水头的水平距离之间近似满足函数关系，
则抛物线的解析式为，
令，则，
故她的头顶不能碰到水柱．
故答案为：不能．
【分析】根据顶点求出抛物线的解析式为，再令，求出的值，最后与比较求解即可.
15．（2024九上·天河期中）如图，已知二次函数的图像，下列结论①；②；③；④关于x的方程有四个根，且这四个根的和为5；其中正确的结论有 （请写出所有正确结论的序号）．
【答案】②③
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，①错误；
抛物线与轴有2个交点，
，
，②正确；
时函数取最大值，
，
，即，③正确．
由图象可得函数最大值大于2，
有两个不相等的实数根，，
有两个不相等的实数根，，
图象对称轴为直线，
，．
，
∴关于x的方程有四个根，且这四个根的和为4；
④错误．
故答案为：②③.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可.
三、解答题
16．（2025九上·荔湾期中）如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题：
（1）写出方程的解为___________，___________；
（2）当时，直接写出的取值范围为___________；
（3）当时，直接写出的取值范围是___________．
【答案】（1），；
（2）；
（3）
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】（1）解：
，，
故答案为：，；
（2）解：的根为，，
二次函数的图象与轴交于点，，
由图象可得，时，的取值范围为，
故答案为：；
（3）解：，
时，的最大值为，
把代入得，，
把代入得，，
当时，的取值范围是，
故答案为：．
【分析】（1）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（2）当函数图象在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（3）根据二次函数的性质即可求出答案.
（1）解：
，，
故答案为：，；
（2）解：的根为，，
二次函数的图象与轴交于点，，
由图象可得，时，的取值范围为，
故答案为：；
（3）解：，
时，的最大值为，
把代入得，，
把代入得，，
当时，的取值范围是，
故答案为：．
17．（2024九上·沅江开学考）丁丁推铅球的出手高度为，在如图所示的直角坐标系中，铅球运动轨迹是抛物线，求铅球的落点与丁丁的距离．
【答案】解：由题意知，点在抛物线上，
所以，
解这个方程，得或舍去，
所以该抛物线的解析式为，
当时，有，
解得，舍去，
所以铅球的落点与丁丁的距离为
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】通过已知的抛物线过出手点的坐标代入抛物线的解析式，求出k的值，再令抛物线的纵坐标为 0，求出横坐标，横坐标的值即为铅球落点与丁丁的距离（横坐标为正）.
18．（2024九上·潮州期末）为了推进“绿美潮州”生态建设，潮州市某公司加快技术升级改造，年第一季度产品的生产成本是每件元，技术升级改造后，产品的生产成本逐季度下降，第三季度产品的生产成本是每件元，若产品生产成本每个季度的平均下降率都相同．求该产品生产成本每个季度的平均下降率是多少．
【答案】解：该产品生产成本每个季度的平均下降率为，根据题意得，
，
解得：或（舍去），
答：该产品生产成本每个季度的平均下降率是．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；二次函数的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【分析】设该产品生产成本每个季度的平均下降率是x，根据题意列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．
19．（2025九上·义乌开学考） 已知二次函数 (m 为常数).
（1） 求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点；
（2） 当 m 取什么值时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方？
【答案】（1）证明： 当y=0时， 2(x-1)(x-m-3)=0，解得：
当m+3=1，即m=-2时，方程有两个相等的实数根；
当m+3≠1，即m≠-2时，方程有两个不相等的实数根.
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）解：当x =0时， y=2(x-1)(x-m-3)=2m+6，
∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，
∴当2m+6>0， 即m>-3时， 该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)代入y=0求出x的值， 分m+3=1和m+3≠1两种情况考虑方程解的情况，进而即可证出：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
(2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论.
20．（2024九上·拱墅月考）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
【答案】（1）解：设二次函数的解析式为，
∵ 二次函数（b，c为常数）的图象经过点，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：∵点B平移后的点的坐标为，
∴，
解得：或（舍），
∴m的值为；
（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）先根据对称轴设出二次函数关系式，再将A点坐标代入求出二次函数关系式；
（2）先求出平移后点B的坐标，可得到关于m的方程求解；
（3）分""，""，“”，分别建立方程求解，求出n的 取值范围 ．
（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得，
解得，
∴；
（2）解：点B平移后的点的坐标为，
则，解得或（舍），
∴m的值为；
（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．
21．（2024九上·长兴月考）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
小丽根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是 ________．
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；
（3）对于上面的函数，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
④函数图象与x轴有2个公共点．
所有正确结论的序号是________．
（4）结合函数图象，解决问题：
若关于x的方程有4个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
【答案】（1）任意实数
（2）解：由题意知，，
作图象如下；
（3）①③
（4）
【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数y=ax²+bx+c的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：（1）由题意知，函数的自变量x的取值范围是任意实数，
故答案为：任意实数；
（3）由图象可知，函数图象关于y轴对称；①正确，故符合要求；
函数有最小值，没有最大值；②错误，故不符合要求；
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；③正确，故符合要求；
函数图象与x轴有4个公共点，④错误，故不符合要求，
故答案为：①③．
（4）由图象可知，关于x的方程有4个不相等的实数根时，k的取值范围是，
故答案为：．
【分析】
（1）由题意知，对于任意实数x函数都成立；
（2）由绝对值的性质知，二次函数实际上是个分段函数，即，然后分别取点、连线即可；
（3）由图象可知，函数图象关于y轴对称，即结论①正确；由于二次函数的开口向上所以有最小值，但没有最大值，即结论②错误；当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，即结论③正确；函数图象与x轴有4个交点，即结论④错误；
（4）观察图像知，当时，抛物线与直线最多有三个交点，即方程最多有3个不相等的实数根；当时，抛物线与直线最多有2个交点，即方程最多有2个不相等的实数根；而当时，抛物线与直线恰好有4个交点，即方程有4个不相等的实数根．
（1）解：由题意知，函数的自变量x的取值范围是任意实数，
故答案为：任意实数；
（2）解：由题意知，，
作图象如下；
（3）解：由图象可知，函数图象关于y轴对称；①正确，故符合要求；
函数有最小值，没有最大值；②错误，故不符合要求；
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；③正确，故符合要求；
函数图象与x轴有4个公共点，④错误，故不符合要求，
故答案为：①③．
（4）解：由图象可知，关于x的方程有4个不相等的实数根时，k的取值范围是，
故答案为：．
22．（2025九上·义乌开学考）为了增加趣味性，万岁山旅游城把传统的抛绣球项目进行改良，他们定制了一种器械，类似中国古代一种投石器，为了解发射平台高度对绣球飞行轨迹的影响，我们可以设定不同的发射平台高度，并分别记录绣球在不同水平距离上的飞行高度. 分析不同发射平台高度下绣球的飞行轨迹. 通过比较不同高度下绣球的飞行高度和飞行距离，我们可以得出发射平台高度对绣球运动轨迹的具体影响. 从而有目的地调整发射高度，通过实验发现绣球运动轨迹是抛物线的一部分，并且在离发射点水平距离18米处达到距地面最大高度18米；在离发射点水平距离6米处，距地面高度10米.
问题解决：
（1）任务1：确定函数表达式. 设绣球离发射点水平距离为x，距地面高度为y. 求出y关于x的函数表达式；
（2）任务2：探究飞行距离，当绣球从地面发出到落地（高度为0m）时，飞行的水平距离是多少；
（3）任务3：如图，工作人员在水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台PQ，当弹射口高度变化时，绣球被弹出后的飞行轨迹形状不变，可视为抛物线上下平移得到，点P、A、B在一条直线上，已知，，游客小李站在线段AB（包括点A、B）上，为了确保他能抢到绣球，求发射台PQ的变化范围.
【答案】（1）解：依题意，得抛物线的顶点坐标为(18，18)，设抛物线解析式为 把(6，10)代入解析式得： 解得
∴抛物线解析式为
（2）解：令，则，解得，（舍），
答：水平距离为36m；
（3）解：设抛物线向上平移m个单位，则平移后的抛物线解析式为，
∵，，
∴ 当抛物线经过（37，0）时，，
解得
当抛物线经过（38，0）时，，解得
∴ 发射台PQ的变化范围为：解得.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令y=0，解方程求出x的值即可；
（3）设出平移后的解析式， 再把(37，0)， (38，0)分别代入解析式，结合题意求出PQ的取值范围.
23．（2024九上·杭州期末）已知二次函数为常数图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大．
（1）求的值．
（2）已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上．
若，求的最大值．
若，且时，始终有，求的值．
【答案】（1）函数，，
二次函数的顶点横坐标为，二次函数顶点横坐标为，
二次函数为常数图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大，
，
（2）点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上，
，，
，
，
，
时，有最大值；
，
，
，
，
，
整理得，，
即，
，，
时，始终有，
的值不会随的变化而变化，
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)分别求出两个函数的对称轴，建立方程求解即可；
(2)①先表示出，，再利用x2=2x1+1代入n表达式中，然后表示出，利用二次函数最值求解即可；
②同①表示出n-m=-2tx1-2x1-t2+2t=3t，建立关于t的方程求解即可.
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