2.６．2实数（二）
【学习目标】
（1）了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用．
（2）用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则、运算律在实数范围进行正确计算．
（3）正确运用公式：（≥0，≥0）（≥0，＞0）
【学习过程】
一、复习引入
1、有理数中学过哪些运算及运算律？
2、实数包含哪些数？
3、有理数中的运算法则、运算律等在实数范围内能继续使用？
二、知识探究
探究（一）：
（1）探索：要回答上面提出的问题，因为实数包括有理数和无理数，我们只需在无理数中验证一下运算法则及运算律是否成立．
用计算器可验证：， （加法交换律）
， （乘法交换律）
， （乘法结合律）
， （分配律）
（2）明晰： 以上说明有理数的运算法则与运算律在实数范围内 ．
（3）巩固： 计算：
（1）； （2）； （3）．
探究(二)：
（1）做一做：＝ ，＝ ；
＝ ，＝ ；
＝ ，＝ ； ＝ ，＝ ．
（2）用计算器计算：
＝ ，＝ ；＝ ，＝ ．
议一议：问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？
问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？
问题3：其中的字母a，b有限制条件吗？
归纳： ， 。
三、知识巩固
1、 自学 例2
2、 练习：化简：（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）．
四、知识拓展
﹡1．化简：（1）； （2）；
（3）； （4）； （5）．
﹡2．一个直角三角形的两条直角边的长分别是和，求这个直角三角形
的面积．
五、课堂测试
1．计算： ；= ；= 。
2．一个直角三角形的两条直角边长分别为 cm和 cm，求这个直角三角形的面积 。
六、课堂小结
本节课你学了什么？
七、课后作业
习题 2.9 1，2，2.3 立方根
【学习目标】
1. 了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。
2. 能用立方运算求某数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算。
【学习过程】
一、温故知新
平方根，算术平方根，开平方的概念。
二、认识立方根
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a的 。如2是8的立方根，-，0是0的立方根。
每个数a都只有一个立方根，记为“”，读作“三次根号a”。例如x3=7时，x是7的立方根，即=2
三、做一做
（1）2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？
（2）-3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是-27？
四、议一议
（1）.正数是几个立方根？
（2）.0有几个立方根
（3）.负数呢？
正数的立方根是 ，0的立方根是 ，负数的立方根是 。
求一个数a的立方根的运算叫做 , 其中a叫做 。
例1 求下列各数的立方根：
（1）-27； （2） （3）0.126; （4）-5.
五、想一想
表示a的立方根，那么（）3等于什么？呢？
例2 求下列各式的值：
（1） （2） （3）； （4）.
六、随堂练习
1、求下列各式的值：
2、一个正方体，它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？
3求下列各数的立方根：
0．01， 512
.4.填写下表：
a 1 8 27 64
5 6 7 8 9 10
5.一个正方体的体积变为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的27倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的1000倍呢？
七、试一试
一个正方体的体积变为原来的n倍，它的棱长变为原来的多少倍？
八、课堂测试
1. —0.008的立方根是 ；—的立方根是 ；的立方根是 。
2. = ； HYPERLINK "http://" EMBED Equation.3 。
3. —8的立方根与4 的算术平方根的和是 。
4. 下列各组数中表示相同的一组是（ ）
A.与 B.与 C.与 D.—2与
5. 下列计正确的是（ ）
A. B. C. D. HYPERLINK "http://" EMBED Equation.3
九、拓展提高
1．求下列中的x的值：
① HYPERLINK "http://www.1230.org" EMBED Equation.3 ② ③
2．计算：-+ HYPERLINK "http://" EMBED Equation.3 (-2)3×
3．若和 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.3 互为相反数,试求x+y的值。2.６．3实数（三）
【学习目标】
1. 公式（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0）从右往左的运用．
2. 了解含根号的数的化简，利用化简对实数进行简单的四则运算．
3. 灵活运用两个法则进行有关实数的四则运算．
【学习过程】
一、复习引入
下面正方形的边长分别是多少？
这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？
二、知识探究
探究（一）：
1．能否根据上一课时探究的公式：（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0）．将化成？
2. 巩固练习：
化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
3.反思：以上化简过程有何规律呢？
探究（二）:
1. 议一议： 怎样化简呢？
2. 练习：化简：．
3.反思：被开方数含有分母，常用的化简方法是什么？
4. 小结归纳：
带根号的数的化简要求：
（1）使被开方数不含开得尽的数；
（2）使被开方数不含分母．
5. 运用
自学课本例2
三、知识巩固
化简：（1）；（2）；（3）．
四、知识拓展
化简：（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
五、课堂测试
1．计算的结果是 ( )
A. 2 B. 0 C. -3 D. 3
2．化简：
①； ②； ③。
3．已知 HYPERLINK "http:///" 。
六、课堂小结
（1）被开方数中含有 或者含有 的式子需要化简；
（2）公式（a≥0，b≥0），（a≥0，b＞0）从左往右或从右往左在化简中会灵活运用．
七、课后作业： 习题 2．10
面积8
面积22.2．1 平方根
【学习目标】
1.了解平方根的概念、开平方的概念.
2.明确算术平方根与平方根的区别与联系.
3.进一步明确平方与开方是互为逆运算.
【学习过程】
一、想一想
（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9。还有其它的数，它的平方也是9吗？
（2）平方等于的数有几个？平方等于0.64的数呢？
一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的 （square root,也叫做二次方根）。
一个正数有 个平方根，0有 个平方根，它是0本身，负数 平方根。
正数a有两个平方根，一个a的算术平方根“”，另一个是“”，它们互为相反数。这两个平方根合起来可以记作“”，读作“正、负根号a“。
求一个数a的平方根的运算，叫做 （extraction of square root）,其中a叫做 。
二、例3 求下列各数的平方根：
（1）64 ； （2） （3）0.0004 ; （4）（ （5）11。
三、想一想
四、随堂练习
1.求下列各数的平方根：
, 0, 8, , 441, 196, .
2.填空：
（1）25的平方根是 ；
（2）；
（3）；
3.（1）一个正数的平方等于361，求这个正数；
（2）一个负数的平方等于121，求这个负数；
（3）一个数的平方等于196，求这个数。
4、求满足下列条件的未知数x：
（1）x2=49 （2）x2=
5、求下列各式的值：
（1） （2） （3）
五、试一试
对于任意数a，一定等于a吗？
六、课堂测试
1. 36 有 个平方根，它们是 ；它们的和是 ；它们互为 。
2. 的算术平方根为__________；3-2的算术平方根是___________。
3. .若a的平方根是±5,则=___________；算术平方根的相反数的倒数是___。
4.下列语句中正确的是 （ ）
A. 16的算术平方根是±4 B. 任何数都有两个平方根
C. ∵3的平方是9∴9的平方根是3 D. 是1的平方根
5. 下列运算中，错误的有 （ ）
①，②，③ HYPERLINK "http://" EMBED Equation.3 ，④ HYPERLINK "http://" EMBED Equation.3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
七、拓展提高
1. 求下列x的值：
（1） （2） （3）
2. 如果+（x+y-3）2=0,求x,y的值。
3. 已知，求的平方根。2.1.1 数怎么又不够用了
【学习目标】
1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想．
2．会判断一个数是有理数还是无理数．
【学习过程】
一、试一试
面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？
图1—2
（1）如图1—2，3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。
（2）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索。
（3）小明根据他的探索过程整理出如下的表格，你的结果呢？
边长a 面积S
1
1.41.411.4141.4142还可以继续算下去吗？
a可能是有限小数吗？
事实上，a=1.41421356…，它是一个无限不循环小数。
二、做一做
（1）估计面积为5的正方形的边长b的值（结果精确到十分位），并用计算器验证你的估计。
（2）如果精确到百分位呢？
事实上，b=2.236067978…，它是一个无限不循环小数。
同样，对于体积为2的正方形，借助计算器，可以得到它的棱长c=1.25992105%…，它也是一个无限不循环小数。
三、想一想
把下列各数表示成小数，你发现了什么？
有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是 。
无限不循环小数叫做 （irrational number）.
除了像上面的数a, b, c是无理数外，我们十分熟悉的圆周率也是一个无限不循环小数，因此它也是一个无理数。再如0.585885888588885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)，也是 。
四、想一想
你能找到其他的无理数吗？
例1 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）。
五、随堂练习
1．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
六、读一读：无理数的发现
七、课堂测试
1. 下列各数：，3.1415926，0，0.010010001·····，， 3-2，，其中无理数是 ＿＿＿＿＿＿＿。
2.下列说法正确的是（ ）
A．0.121221222····是有理数 B. 无限小数都是无理数
C.半径为3的圆周长是有理数 D. 无理数是无限小数
3. 如图，要从离地面5m的电线杆上的A处向C拉一条钢绳来固定，要固定点C到B的距离为3m,求BC长度（精确到十分位）。2.2．1 平方根
【学习目标】
1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.
2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.
3.了解算术平方根的性质.
【学习过程】
一、算术平方根
（1）根据图1—3填空：
图1—3
（2）x, y, z, w 中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫做a的 ，记为“ ”，读作“根号a”。
特别地，我们规定0的算术平方根是 ，即。
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）900 ； （2）1 ； （3） （4）14 .
例2 自由下落物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为有一铁球从19.6米的建筑物上自由下落，到达地在需要多长时间？
二、随堂练习
1.求下列各数的算术平方根：
2.如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷。若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少？
3.小明房间的面积为10.8米2，房间地面恰由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？
4.一个正方形的面积变为原来的4倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的9倍，它的边长变为原来的多少倍？面积变为原来的100倍呢？
三、试一试
一个正方形的面积变为原来的n倍时，它的边长变为原来的多少倍？
四、课堂测试：
1.若一个数的算术平方根是，则这个数是_________.
2.的算术平方根是_________.
3.正数_________的平方为的算术平方根为_________.
4.(－1.44)2的算术平方根为_________.
5.的算术平方根为_________，=_________
二、求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：
(1)(7.4)2；(2)(－3.9)2；(3)2.25；(4)2.2.6．1实数（一）
【学习目标】
1．了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；
2．了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
3．了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小。
【学习过程】
一、复习引入新课
（1）什么是有理数？有理数怎样分类？
（2）什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？
二、实数概念
把下列各数分别填入相应的集合内：
，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
知识整理：有理数和无理数统称为 。
三、实数分类
内容：1．你能把上面各数分别填入下面相应的集合内吗？
2．0属于正数吗？0属于负数吗？
知识整理：无理数和有理数一样，也有正负之分。
1．从符号考虑，实数可以分为 、 、 。
2．另外从实数的概念也可以进行如下分类： 、 。
四、实数的相关概念
内容1：1．在有理数中，数a的相反数是什么？绝对值是什么？当a不为0时，它的倒数是什么？
2．的相反数是什么？的倒数是什么？，0，—π的绝对值分别是什么？
内容2：想一想：
1．3—π的绝对值是 。
2．想一想：a是一个实数，它的相反数是 ，它的绝对值是 ，当a≠0时，它的倒数是 。
知识整理：（1）相反数：a的相反数是 ；0的相反数仍是 ；
（2）倒数：当a≠0时，a的倒数（0没有倒数）是 ；
（3）绝对值：正数的绝对值是 ；负数的绝对值是它的 ；0的绝对值是 ；即：
五、探究——实数与数轴上点之间的对应关系
内容1：如图所示，认真观察，探讨下列问题：
议一议：
（1）如图，OA=OB，数轴上A点对应的数表示什么？它介于哪两个整数之间？
（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？
知识整理
（1）每一个实数都可以用数轴上的一个 来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个 ，即实数与数轴上的点是 的；
（2）在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数 。
六、课堂练习
1．判断下列说法是否正确： （1）无限小数都是无理数；（ ）
（2）无理数都是无限小数； （ ） （3）带根号的数都是无理数。（ ）
2．求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
（1）； （2）； （3）．
3．在数轴上作出对应的点。
七、课堂测试(地方不够，见2.5导学稿)
八、课时小结
议一议，本节课我们学习了哪些知识？
九、布置作业
课本习题2.8。
有理数集合
无理数集合
…
…
负数集合
…
正数集合
…
0
1
2
-1
-2
A
B2.４ 公园有多宽
【学习目标】
1.会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小。
2.会利用估算解决一些简单的实际问题.
【学习过程】
一、情境引入
某市开辟了一块长方形的荒地用来建一个以环保为主题的公园.已知这块地的长是宽的两倍，它的面积为400000平方米.此时公园的宽是多少 长是多少
二、活动探究
例1 下列结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流.
①≈20 ; ② ≈0.3;
③≈500; ④ ≈96.
议一议：怎样估算一个无理数的范围
例2 你能估算它们的大小吗？说出你的方法.
① ; ②; ③ ; ④.
（ ①②误差小于0.1;③误差小于10;④误差小于1.）
三、深入探究
例1 你能比较与的大小吗？你是怎样想的？
例2 解决引入时“公园有多宽？”的问题情境中提出的问题.
=
（1）如果要求误差小于10米,它的宽大约是？
（2）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗（误差小于1米）？
例3 生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比较稳定.现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，
（1）他的顶端最多能到达多高（保留到0.1）？
（2）现在如果请一个同学利用这个梯子在墙高5.9米的地方张贴一副宣传画，他能办到吗？
四、反馈练习
反馈练习1 估算下列数的大小.
（1）（误差小于0.1） ; （2）（误差小于1）.
反馈练习2 通过估算，比较下面各数的大小.
（1）与 ; （2）与3.85.
反馈练习3 一个人一生平均要饮用的液体总量大约为40立方米 ,如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高（误差小于1米）
五、课堂检测：
1.估算：（误差小于0.1）≈ ；（误差小于1）≈______。2.已知 的小数部分记为，则可以表示为______。
3. 已知则的值约为______。
4.下列各题估算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列各式的结果与实际结果误差小于0.1的是（ ）
A． B.
C. D.
六、反思归纳
（1）通过这节课的学习，你掌握了哪些知识？
（2）对于这节课的学习，你还有哪些疑问？
七、作业巩固
习题2.6 1，2，3，6
x
×6
6
PAGE
12.5用计算器开方
【学习目标】
会用计算器求平方根和立方根。
【学习过程】
一、情境引入
你能计算吗？
二、学习使用计算器求平方根和立方根
按说明书上的范例操作，然后与组内成员进行讨论，回答下列问题：
1．开方运算要用到键 和键 。
2．对于开平方运算，按键顺序为：
3．对于开立方运算，按键顺序为：
4．用计算器计算：
（1） （2） （3） （4） （5）
三、做一做
利用计算器，求下列各式的值（结果保留4个有效数字）：
（1） （2） （3） （4）
例1 利用计算器比较和的大小。
四、议一议
（1）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加，你发现了什么？
（2）改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似规律。
（3）任意找一个非零数，利用计算器对它不断进行开立方运算，你发现了什么？
五、课堂测试
1. 比较大小: 4.9; .(填“>”或“<”)
2. 利用计算器计算： （结果保留三位有效数字）。
3. 用计算器探索：按一定规律排列的一组数：， ，，…，，如果从中选出若干个数，使它们的和大于0 .5，那么至少需选_______个数。
4. ，，的大小关系是（ ）
A.< < B. < <
C. < < D.< <
5. 利用计算器，求下列各式的值:（结果保留4个有效数字）
（1）； （2）； （3）； （4）。
六、课堂小结
今天我们学习了如何使用计算器进行开方运算，你能叙述如何使用计算器进行开方运算吗？
七、布置作业
习题 2.7
2.6.1的七、课堂测试
1．把下列各数填入相应的集合内:-7, 0.32, , 46, 0, , , , -。
①有理数集合: { …} ②无理数集合: { …}
③正实数集合: { …} ④实数集合: { …}
2．的相反数是 , 倒数是 , -的绝对值是 。
3．满足的整数是 。
4．│1－│的相反数是___________；－1+的最小值为_____,m、n的关系为 。
5．若一个数a的相反数等于它本身，则2.1.1 数怎么又不够用了
【学习目标】
通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性．
【学习过程】
一、创设问题的情境，探究新知
有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。
（1）设大正方形的边长为a，a满足什么条件？
（2）a可能是整数吗？说说你的理由。
（3）a可能是以2为分母的分数吗？可能是以3为分母的分数吗？说说你的理由。
（4）a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。
事实上，在等式中，a即不是整数，也不是分数，所以a不是 。
二、做一做
（1）图1—1中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
（2）设该正方形的边长为b，b满足个么条件？
（3）b是有理数吗？
在上面的两个问题中，数a，b确实存在，但都不是有理数。
三、随堂练习
1．如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？
2.长、宽分别是3，2的长方形，它的对角线的长可能整数吗？可能是分数吗？
3. 下图是由36个边长为1的小正方形拼成的，作出以下线段，请说出这些线段中长度是有理数的有几条？长度不是有理数的有几条？
四、课堂测试
1.下面各正方形的边长不是有理数的是（ ）
A.面积为25的正方形 B.面积为的正方形
C.面积为27的正方形 D.面积为1.44的正方形
2. 下图中阴影部分是正方形，求出此正方形的面积。此正方形的边长是有理数吗？为什么？
3. 正方形网格中，每个 小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的有 （ ）
A. 0条 B. 1条 C . 2 条 D. 3条
◆拓广探究
1.请您设计两个长方形，满足下列两个条件：
(1)使它们其中一个长方形的长、宽、对角线的长都能用有理数表示；
(2)使另外一个长方形的长、宽、对角线的长中，有一条的长度不是有理数。