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分课时学案
课题 4.4一次函数的应用第1课时 单元 第四单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.掌握用待定系数法确定一次函数表达式的步骤，能根据已知条件求出y=kx+b中的k和b。 2.能运用所求一次函数表达式解决实际问题，提升应用能力。 3.经历 “实际问题—建立模型—解决问题” 的过程，发展数学建模与数据分析素养。 4.感受函数与生活的紧密联系，增强用数学知识解决实际问题的信心与合作意识。
重点 1.用待定系数法确定一次函数的表达式（根据两组对应值或图象上两点坐标求k和b）。 2.运用一次函数表达式解决实际情境中的计算问题（如求特定状态下的函数值）。
难点 从实际问题中准确提取确定一次函数表达式所需的关键条件，并将文字描述转化为数学等量关系。
教学过程
导入新课 复习回顾： 1.什么是一次函数？正比例函数呢？ 2.一次函数图象是什么？正比例函数图象呢？ 3.表示函数的方法有哪些？
新知讲解 探究活动一： 探究活动一： 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s)与其下滑时间t（s） 的关系如图4-7所示. (1)写出v与t之间的关系式. (2)下滑3秒时物体的速度是多少？ 探究活动二： 思考交流： 确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？与同伴进行交流。 练习：已知一次函数的图象经过(0，5)，(2，-5)两点，求一次函数的表达式. 例题精讲 例1.在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5 cm；当所挂物体的质量为3 kg时，弹簧长16 cm.请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度. 探究活动三： 尝试思考： 某根蜡烛燃烧前长30cm；燃烧时，剩下的长度y(单位：cm)是燃烧时间x(单位：h)的一次函数。当这根蜡烛燃烧2h时，剩下的长度为18cm. (1)写出y与x之间的关系式； (2)这根蜡烛最多能燃烧多长时间？
课堂练习 巩固训练 1.若点(3，-5)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k的值为 ( ) A.-15 B.15 C.- D.- 2.若直线y=kx+b经过A(0，2)和B(3，0)两点，则这条直线的表达式是 ( ) A.y=2x+3 B.y=3x+2 C.y=-x+2 D.y=x-1 3.写出满足如表条件的一次函数表达式: 。 x-1012y41-2-5
4.已知y与x-1成正比例，且当x=3时，y=4。 (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当x=-5时，求y的值。 5.如图，图中反映轿车剩余油量q(L)与行驶路程s(km)的函数关系，那么q与s之间的函数表达式为 。 6.由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司(简称DeepSeek)开发的AI大模型在全球范围内掀起了热潮。据悉，DeepSeek训练一个AI模型时，初始数据量为2 000条时需18 min完成训练，之后每增加100条数据，训练时间延长3 min。假设总数据量为x(x≥2 000)条，训练时间为y min，且y与x的关系可以近似地看作一次函数。 (1)求y关于x的函数表达式； (2)若训练总时间为69 min，求使用的数据总量。
作业布置 基础达标： 1.若一个正比例函数的图象经过A(1，-2)，B(m，4)两点，则m的值为 ( ) A.2 B.-2 C.8 D.-8 2.小明从A地到B地(两地相距40 km)的骑车速度为10 km/h，则小明离B地的距离y(km)与骑车时间x(h)之间的函数表达式(不写自变量的取值范围)为 ( ) A.y=10x B.y=10x-40 C.y=40-10x D.y=40-x 3.在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R(单位:Ω)与温度t(单位:℃)之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻进行了记录，如表: t/℃010203040R/Ω55.085.165.245.32
则R与t之间的关系式为 ( ) A.R=0.08t+5 B.R=0.008t+5 C.R=10t+5 D.R=0.08t-5 4.小明带了40元钱去超市买大米，大米的售价为8元/kg，若小明买了x kg大米，还剩下y元，则y与x之间的函数表达式为y= ，其中自变量x的取值范围是 。 能力提升： 5.在物理实验课上，小明记录了某根弹簧在弹性限度内所受拉力和弹簧长度的对应值如表所示，设所受拉力为F(单位:N，0≤F≤5)，弹簧长度为l(单位:cm)，则l与F之间的关系式为 。 所受拉力F/N00.511.52.02.5弹簧长度l/cm1011.51314.51617.5
6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(3，0)，连接AB。将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A'处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，求直线BC对应的表达式。 7.在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛剩余部分的高度y(cm)是燃烧时间x(h)的一次函数。某蜡烛的高度为30 cm，燃烧3 h后，蜡烛剩余部分的高度为12 cm。 (1)求该蜡烛燃烧时，y(cm)与x(h)之间的函数表达式； (2)求出该蜡烛从点燃到燃尽所用的时间。 拓展迁移： 8.信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖。某公司采购员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式: 项目会员卡费用/(元/张)茶叶价格/(元/kg)方式一:金卡会员5001 600方式二:银卡会员2001 800
设该公司此次购买茶叶x kg，按方式一购买茶叶的总费用为y1元，按方式二购买茶叶的总费用为y2元。 (1)请直接写出y1，y2关于x的函数表达式； (2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量； (3)若该公司此次购买茶叶的总预算为6 500元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？
参考答案：
例题精讲：
例1：
解:设y=kx+b，根据题意，得
14.5=b，①
16=3k+b.②
将①代入②，得k=0.5.
所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5.
当x=4时，y=0.5×4+14.5=16.5(cm).
即物体的质量为4 kg时，弹簧长度为16.5 cm.
巩固训练：
1.D 2.C 3.y=-3x+1
4.解:(1)设y=k(x-1)，把x=3，y=4代入，得(3-1)k=4，
解得k=2。
所以y=2(x-1)，即y=2x-2。
(2)当x=-5时，y=2×(-5)-2=-12。
5.q=-s+50
6.解:(1)y=18+(x-2 000)=x-42，
所以y关于x的函数表达式为y=x-42(x≥2 000)。
(2)当y=69时，得x-42=69，
解得x=3 700。
答:使用的数据总量为3 700条。
作业设计：
1.B 解析:设正比例函数的表达式为y=kx(k≠0)。将点A(1，-2)代入y=kx，得-2=k。所以正比例函数的表达式为y=-2x。当y=4时，-2m=4，解得m=-2。故选B。
2.C 解析:根据题意，得y=40-10x。故选C。
3.B 解析:由表格可知，温度t升高1 ℃，电阻R增大0.008 Ω，所以R与t之间的关系式为R=0.008t+5。故选B。
4.40-8x 0≤x≤5 解析:根据题意，得y=40-8x。因为40÷8=5(kg)，所以小明最多能买5 kg大米。所以y与x之间的函数表达式为y=40-8x，自变量x的取值范围是0≤x≤5。
5.l=3F+10 解析:设l与F之间的关系式为l=kF+b。根据题意，得b=10，k+b=13。解得k=3。所以l=3F+10。
6.解:在Rt△AOB中，OB=3，OA=4，
所以AB==5。
由折叠的性质可得，A'B=AB=5，AC=A'C。
所以A'O=2。
设点C的坐标为(0，m)，则CO=m，
AC=4-m。
因为A'C2=CO2+A'O2，
所以(4-m)2=m2+22。
解得m=。所以C。
设直线BC对应的表达式为y=kx+b，
所以=b，3k+b=0。
所以k=-。
所以直线BC对应的表达式为y=-x+。
7.解:(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b。
由题意，知b=30，3k+b=12，
所以k=-6。
所以该蜡烛燃烧时，y(cm)与x(h)之间的函数表达式是y=-6x+30。
(2)当y=0时，0=-6x+30，
解得x=5。
答:该蜡烛从点燃到燃尽所用的时间是5 h。
8.解:(1)y1=500+1 600x，
y2=200+1 800x。
(2)根据题意，得500+1 600x=200+1 800x。
解得x=1.5。
所以该公司此次购买茶叶的质量为1.5 kg。
(3)按照方式一购买茶叶:令500+1 600x=6 500，
解得x=。
按照方式二购买茶叶:令200+1 800x=6 500，
解得x=。
因为，
所以按照方式一购买可以获得更多的茶叶。
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4.4一次函数的应用第1课时教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 四单元
课题 4.4一次函数的应用第1课时 课时 1
课标要求 依据 2022 新课标，本节课需引导学生运用一次函数解决实际问题，掌握根据已知条件确定一次函数表达式的方法（待定系数法）.通过分析情境中的数量关系，发展数学建模与运算能力，体会函数模型在刻画现实规律中的作用，培养从实际问题中抽象数学关系的意识，提升运用函数知识解决问题的能力与合作探究精神.
教材分析 本课时是一次函数应用的基础环节，教材以物体下滑速度、弹簧长度与所挂质量等实例为载体，引导学生从已知条件（包括图象、实际数据）中提取信息，用待定系数法确定一次函数表达式，进而解决求值、极值等问题.内容承接一次函数的图象与性质，为复杂实际问题的建模奠定基础，体现 “数学服务于生活” 的理念，注重学生问题转化与模型构建能力的培养.
学情分析 学生已掌握一次函数的表达式与图象特征，但将实际问题转化为函数模型的能力较弱.八年级学生能理解简单的数量关系，却难以从情境中提取关键条件(如初始状态、变化率)来确定k和b的值，尤其对 “已知两点求表达式” 的逻辑理解不深，需通过实例解析突破建模与待定系数法应用的难点.
教学目标 1.掌握用待定系数法确定一次函数表达式的步骤，能根据已知条件求出y=kx+b中的k和b. 2.能运用所求一次函数表达式解决实际问题，提升应用能力. 3.经历 “实际问题—建立模型—解决问题” 的过程，发展数学建模与数据分析素养. 4.感受函数与生活的紧密联系，增强用数学知识解决实际问题的信心与合作意识.
教学重点 1.用待定系数法确定一次函数的表达式(根据两组对应值或图象上两点坐标求k和b). 2.运用一次函数表达式解决实际情境中的计算问题(如求特定状态下的函数值).
教学难点 从实际问题中准确提取确定一次函数表达式所需的关键条件，并将文字描述转化为数学等量关系.
教法与学法分析 教法采用案例解析法，以问题链引导学生分析情境中的数量关系，归纳待定系数法步骤；学法以自主探究与合作交流为主，学生通过分析实例、小组讨论，掌握表达式确定方法，提升问题转化能力.
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习回顾： 1.什么是一次函数？正比例函数呢？ 如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的一次函数.特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数. 2.一次函数图象是什么？正比例函数图象呢？ 一次函数y=kx+b的图象是一条过(0，b)和的直线； 正比例函数y=kx的图象是一条经过原点和(1，k)的直线. 3.表示函数的方法有哪些？ 解析式法，列表法，图象法 通过问题链引导回顾一次函数与正比例函数的定义、图象特征及函数表示方法. 回忆并回答相关概念，梳理函数图象与表达式的关联. 巩固旧知，为待定系数法的学习奠定知识基础，建立新旧知识联系.
探究活动一： 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(m/s)与其下滑时间t(s) 的关系如图4-7所示. (1)写出v与t之间的关系式. (2)下滑3秒时物体的速度是多少？ 解： (1)设函数表达式为v＝kt (k为常数且k≠0). ∵(2，5)在图象上，把点(2，5)的坐标代入，得5＝2k， ∴ k＝2.5，∴ v＝2.5 t. (2)当t＝3 s时，v＝2.5×3＝7.5(m／s). 所以下滑3 s时物体的速度是7.5 m／s. 总结归纳：先将表达式中未知系数用字母表示出来，再根据条件求出这个未知系数，这种方法称为待定系数法. 展示图象情境，引导学生设正比例函数表达式，代入已知点坐标求解，总结待定系数法概念. 观察图象提取点坐标，用待定系数法求关系式，计算指定时间的速度. 以直观图象引入，初步感知待定系数法的应用，体会从实际到数学的建模过程.
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 思考交流： 确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？与同伴进行交流. 解：确定正比例函数的表达式需要一个条件.确定一次函数的表达式需要两个条件. 练习：已知一次函数的图象经过(0，5)，(2，-5)两点，求一次函数的表达式. 解：设一次函数的表达式为y=kx+b，根据题意，得 -5=2k+b，① 将②代入①，得k=-5. ∴一次函数的表达式为y=-5x+5. 总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式. 例题精讲 例1.在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5 cm；当所挂物体的质量为3 kg时，弹簧长16 cm.请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度. 解：设y=kx+b，根据题意，得 14.5=b，① 16=3k+b.② 将①代入②，得k=0.5. 所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5. 当x=4时，y=0.5×4+14.5=16.5(cm). 即物体的质量为4 kg时，弹簧长度为16.5 cm. 引导讨论正比例函数与一次函数所需条件的差异，示范练习解题步骤，总结图象法求表达式的方法. 交流条件数量差异，完成一次函数表达式求解练习，归纳解题步骤. 明确条件差异，强化待定系数法的 “设、代、解、定” 步骤，提升符号运算能力.
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 尝试思考： 某根蜡烛燃烧前长30cm；燃烧时，剩下的长度y(单位：cm)是燃烧时间x(单位：h)的一次函数.当这根蜡烛燃烧2h时，剩下的长度为18cm. (1)写出y与x之间的关系式； (2)这根蜡烛最多能燃烧多长时间？ 解：(1)设y=kx+b，根据题意，得 30=b，① 18=2k+b.② 将①代入②，得k=-6. 所以y与x之间的关系式为：y=-6x+30. (2)当y=0时，-6x+30=0. 解得x=5， 所以这根蜡烛最多能燃烧5h. 总结归纳： 求一次函数表达式的步骤 ： 1.设——设一次函数表达式为y＝kx+b(k≠0)； 2.代——将点的坐标代入y＝kx+b中，列出关于k，b的方程组； 3.解——解方程组求出k，b 值； 4.定——把求出的k，b值代回到表达式中即可. 引导分析初始长度(b 值)和燃烧速率(k 值)，指导通过列方程求表达式，结合函数值为 0 解决极值问题. 提取关键条件列关系式，代入数据求解 k 和 b，通过 y=0 计算燃烧总时间. 强化 “实际问题→函数模型→解决问题” 的流程，应用表达式解决实际极值问题，深化建模思想.
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.若点(3，-5)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k的值为 ( ) A.-15 B.15 C.- D.- 2.若直线y=kx+b经过A(0，2)和B(3，0)两点，则这条直线的表达式是 ( ) A.y=2x+3 B.y=3x+2 C.y=-x+2 D.y=x-1 3.写出满足如表条件的一次函数表达式： . x-1012y41-2-5
4.已知y与x-1成正比例，且当x=3时，y=4. (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当x=-5时，求y的值. 5.如图，图中反映轿车剩余油量q(L)与行驶路程s(km)的函数关系，那么q与s之间的函数表达式为 . 6.由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司(简称DeepSeek)开发的AI大模型在全球范围内掀起了热潮.据悉，DeepSeek训练一个AI模型时，初始数据量为2 000条时需18 min完成训练，之后每增加100条数据，训练时间延长3 min.假设总数据量为x(x≥2 000)条，训练时间为y min，且y与x的关系可以近似地看作一次函数. (1)求y关于x的函数表达式； (2)若训练总时间为69 min，求使用的数据总量. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答. 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 求一次函数表达式的步骤 ： 1.设——设一次函数表达式为y＝kx+b(k≠0)； 2.代——将点的坐标代入y＝kx+b中，列出关于k，b的方程组； 3.解——解方程组求出k，b 值； 4.定——把求出的k，b值代回到表达式中即可. 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架.
板书设计 4.4一次函数的应用第1课时 求正比例函数的解析式； 求一次函数解析式的步骤； 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系.
作业设计 基础达标： 1.若一个正比例函数的图象经过A(1，-2)，B(m，4)两点，则m的值为 ( ) A.2 B.-2 C.8 D.-8 2.小明从A地到B地(两地相距40 km)的骑车速度为10 km/h，则小明离B地的距离y(km)与骑车时间x(h)之间的函数表达式(不写自变量的取值范围)为 ( ) A.y=10x B.y=10x-40 C.y=40-10x D.y=40-x 3.在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R(单位：Ω)与温度t(单位：℃)之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻进行了记录，如表： t/℃010203040R/Ω55.085.165.245.32
则R与t之间的关系式为 ( ) A.R=0.08t+5 B.R=0.008t+5 C.R=10t+5 D.R=0.08t-5 4.小明带了40元钱去超市买大米，大米的售价为8元/kg，若小明买了x kg大米，还剩下y元，则y与x之间的函数表达式为y= ，其中自变量x的取值范围是 . 能力提升： 5.在物理实验课上，小明记录了某根弹簧在弹性限度内所受拉力和弹簧长度的对应值如表所示，设所受拉力为F(单位：N，0≤F≤5)，弹簧长度为l(单位：cm)，则l与F之间的关系式为 . 所受拉力F/N00.511.52.02.5弹簧长度l/cm1011.51314.51617.5
6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(3，0)，连接AB.将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A'处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，求直线BC对应的表达式. 7.在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛剩余部分的高度y(cm)是燃烧时间x(h)的一次函数.某蜡烛的高度为60 cm，燃烧3 h后，蜡烛剩余部分的高度为12 cm. (1)求该蜡烛燃烧时，y(cm)与x(h)之间的函数表达式； (2)求出该蜡烛从点燃到燃尽所用的时间. 拓展迁移： 8.信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖.某公司采购员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式： 项目会员卡费用/(元/张)茶叶价格/(元/kg)方式一：金卡会员5001 600方式二：银卡会员2001 800
设该公司此次购买茶叶x kg，按方式一购买茶叶的总费用为y1元，按方式二购买茶叶的总费用为y2元. (1)请直接写出y1，y2关于x的函数表达式； (2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量； (3)若该公司此次购买茶叶的总预算为6 500元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？
教学反思 本节课通过实例探究，学生基本掌握待定系数法的步骤，但在从实际问题中提取条件时仍有困难.后续需增加多样化情境练习，强化建模意识；针对学困生，可通过表格梳理已知条件与k、b的对应关系，降低抽象转化难度，提升课堂实效.
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第四章 一次函数
4.4一次函数的应用第1课时
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
掌握用待定系数法确定一次函数表达式的步骤，能根据已知条件求出y=kx+b中的k和b.
01
能运用所求一次函数表达式解决实际问题，提升应用能力.
02
经历 “实际问题—建立模型—解决问题” 的过程，发展数学建模与数据分析素养.
03
感受函数与生活的紧密联系，增强用数学知识解决实际问题的信心与合作意识.
04
02
新知导入
复习回顾：
3.表示函数的方法有哪些？
2.一次函数图象是什么 正比例函数图象呢？
一次函数y=kx+b的图象是一条过(0,b)和的直线；
正比例函数y=kx的图象是一条经过原点和(1,k)的直线.
如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的一次函数.特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
1.什么是一次函数？正比例函数呢？
解析式法，列表法，图象法
03
新知探究
解： (1)设函数表达式为v＝kt (k为常数且k≠0).
∵(2,5)在图象上,把点(2,5)的坐标代入，得5＝2k,
∴ k＝2.5，∴ v＝2.5 t.
(2)当t＝3 s时，v＝2.5×3＝7.5(m／s).
所以下滑3 s时物体的速度是7.5 m／s.
某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(m/s)与其下滑时间t(s) 的关系如图4-7所示.
(1)写出v与t之间的关系式.
(2)下滑3秒时物体的速度是多少？
03
新知探究
先将表达式中未知系数用字母表示出来,再根据条件求出这个未知系数,这种方法称为待定系数法.
概括
03
新知探究
解:确定正比例函数的表达式需要一个条件;
确定一次函数的表达式需要两个条件.
确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？与同伴进行交流.
03
新知探究
解:设一次函数的表达式为y=kx+b,根据题意,得
-5=2k+b,①
将②代入①,得k=-5.
∴一次函数的表达式为y=-5x+5.
练习：已知一次函数的图象经过(0,5),(2,-5)两点,求一次函数的表达式.
根据图象确定一次函数的表达式的方法:从图象上选取两个已知点的坐标,然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数,从而求出函数的表达式.
方法总结
03
新知探究
在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5 cm;当所挂物体的质量为3 kg时,弹簧长16 cm.请写出y与x之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度.
例1
分析
分析题意，可知y与x满足一次函数关系，初始长度为14.5cm，当x=3时，y=16，设解析式代入得到方程，解方程即可.
03
新知探究
解析
解:设y=kx+b,根据题意,得
14.5=b,①
16=3k+b.②
将①代入②,得k=0.5.
所以在弹性限度内,y=0.5x+14.5.
当x=4时,y=0.5×4+14.5=16.5(cm).
即物体的质量为4 kg时,弹簧长度为16.5 cm.
03
新知探究
03
新知探究
某根蜡烛燃烧前长30cm;燃烧时，剩下的长度y(单位：cm)是燃烧时间x(单位：h)的一次函数.当这根蜡烛燃烧2h时，剩下的长度为18cm.
(1)写出y与x之间的关系式；
(2)这根蜡烛最多能燃烧多长时间？
03
新知探究
解:(1)设y=kx+b,根据题意,得
30=b,①
18=2k+b.②
将①代入②,得k=-6.
所以y与x之间的关系式为：y=-6x+30.
(2)当y=0时,-6x+30=0.
解得x=5,
所以这根蜡烛最多能燃烧5h.
03
新知探究
求一次函数表达式的步骤 ：
1.设——设一次函数表达式为y＝kx+b(k≠0)；
2.代——将点的坐标代入y＝kx+b中,列出关于k，b的方程组；
3.解——解方程组求出k，b 值；
4.定——把求出的k，b值代回到表达式中即可.
概括
04
巩固训练
1.若点(3,-5)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上,则k的值为 ( )
A.-15 B.15 C.- D.-
D
2.若直线y=kx+b经过A(0,2)和B(3,0)两点,则这条直线的表达式是 ( )
A.y=2x+3 B.y=3x+2
A
3.写出满足如表条件的一次函数表达式: .
x -1 0 1 2
y 4 1 -2 -5
y=-3x+1
4.已知y与x-1成正比例,且当x=3时,y=4.
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)当x=-5时,求y的值.
解:(1)设y=k(x-1),把x=3,y=4代入,
得(3-1)k=4,
解得k=2.
所以y=2(x-1),即y=2x-2.
(2)当x=-5时,y=2×(-5)-2=-12.
04
巩固训练
5.如图,图中反映轿车剩余油量q(L)与行驶路程s(km)的函数关系,那么q与s之间的函数表达式为 .
q=-s+50
6.由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司(简称DeepSeek)开发的AI大模型在全球范围内掀起了热潮.据悉,DeepSeek训练一个AI模型时,初始数据量为2 000条时需18 min完成训练,之后每增加100条数据,训练时间延长3 min.假设总数据量为x(x≥2 000)条,训练时间为y min,且y与x的关系可以近似地看作一次函数.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)若训练总时间为69 min,求使用的数据总量.
04
巩固训练
解:(1)y=18+(x-2 000)=x-42,
所以y关于x的函数表达式为y=x-42(x≥2 000).
(2)当y=69时,得x-42=69,
解得x=3 700.
答:使用的数据总量为3 700条.
04
巩固训练
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
求一次函数表达式的步骤 ：
1.设——设一次函数表达式为y＝kx+b(k≠0)；
2.代——将点的坐标代入y＝kx+b中,列出关于k，b的方程组；
3.解——解方程组求出k，b 值；
4.定——把求出的k，b值代回到表达式中即可.
1.若一个正比例函数的图象经过A(1,-2),B(m,4)两点,则m的值为 ( )
A.2 B.-2 C.8 D.-8
06
作业设计
基础达标：
B
2.小明从A地到B地(两地相距40 km)的骑车速度为10 km/h,则小明离B地的距离y(km)与骑车时间x(h)之间的函数表达式(不写自变量的取值范围)为 ( )
A.y=10x B.y=10x-40
C.y=40-10x D.y=40-x
C
3.在物理实验课上,小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现,某种金属导体的电阻R(单位:Ω)与温度t(单位:℃)之间存在一次函数关系,于是对不同温度下该导体的电阻进行了记录,如表:
则R与t之间的关系式为 ( )
A.R=0.08t+5 B.R=0.008t+5 C.R=10t+5 D.R=0.08t-5
06
作业设计
基础达标：
t/℃ 0 10 20 30 40
R/Ω 5 5.08 5.16 5.24 5.32
B
4.小明带了40元钱去超市买大米,大米的售价为8元/kg,若小明买了x kg大米,还剩下y元,则y与x之间的函数表达式为y= ,其中自变量x的取值范围是 .
06
作业设计
基础达标：
y=40-8x
解析:根据题意,得y=40-8x.因为40÷8=5(kg),所以小明最多能买5 kg大米.所以y与x之间的函数表达式为y=40-8x,自变量x的取值范围是0≤x≤5.
0≤x≤5
5.在物理实验课上,小明记录了某根弹簧在弹性限度内所受拉力和弹簧长度的对应值如表所示,设所受拉力为F(单位:N,0≤F≤5),弹簧长度为l(单位:cm),则l与F之间的关系式为 .
06
作业设计
能力提升：
所受拉力F/N 0 0.5 1 1.5 2.0 2.5
弹簧长度l/cm 10 11.5 13 14.5 16 17.5
l=3F+10
解析：设l与F之间的关系式为l=kF+b.根据题意,得b=10,k+b=13.解得k=3.所以l=3F+10.
06
作业设计
能力提升：
解:在Rt△AOB中,OB=3,OA=4,所以AB==5.
由折叠的性质可得,A'B=AB=5,AC=A'C.所以A'O=2.
设点C的坐标为(0,m),则CO=m,AC=4-m.
因为A'C2=CO2+A'O2,所以(4-m)2=m2+22.解得m=.所以C.
设直线BC对应的表达式为y=kx+b,
所以=b,3k+b=0.所以k=-.
所以直线BC对应的表达式为y=-x+.
6.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),B(3,0),连接AB.将△AOB沿过点B的直线折叠,使点A落在x轴上的点A'处,折痕所在的直线交y轴正半轴于点C,求直线BC对应的表达式.
06
作业设计
能力提升：
7.在一次蜡烛燃烧实验中,蜡烛剩余部分的高度y(cm)是燃烧时间x(h)的一次函数.某蜡烛的高度为60cm,燃烧3 h后,蜡烛剩余部分的高度为12 cm.
(1)求该蜡烛燃烧时,y(cm)与x(h)之间的函数表达式;
(2)求出该蜡烛从点燃到燃尽所用的时间.
解:(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b.
由题意,知b=60,3k+b=12,
所以k=-6.
所以该蜡烛燃烧时,y(cm)与x(h)之间的函数表达式是y=-6x+60.
(2)当y=0时,0=-6x+60,
解得x=10.
答:该蜡烛从点燃到燃尽所用的时间是10h.
06
作业设计
迁移拓展：
8.信阳毛尖是中国十大名茶之一,因其成品紧密如尖故名毛尖.某公司采购员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶,商家推出了两种购买方式:
设该公司此次购买茶叶x kg,按方式一购买茶叶的总费用为y1元,按方式二购买茶叶的总费用为y2元.
(1)请直接写出y1,y2关于x的函数表达式;
(2)若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同,求该公司此次购买茶叶的质量;
(3)若该公司此次购买茶叶的总预算为6500元,则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶
项目 会员卡费用/(元/张) 茶叶价格/(元/kg)
方式一:金卡会员 500 1 600
方式二:银卡会员 200 1 800
06
作业设计
迁移拓展：
解:(1)y1=500+1 600x,
y2=200+1 800x.
(2)根据题意,得500+1 600x=200+1 800x.
解得x=1.5.
所以该公司此次购买茶叶的质量为1.5 kg.
06
作业设计
迁移拓展：
(3)按照方式一购买茶叶:令500+1 600x=6 500,
解得x=.
按照方式二购买茶叶:令200+1 800x=6 500,
解得x=.
因为,
所以按照方式一购买可以获得更多的茶叶.
Thanks!
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