(共34张PPT)
第四章 一次函数
4.4一次函数的应用第3课时
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
能分析两条一次函数图象的交点意义（等量关系）及位置高低的实际含义（大小关系），解决追及、赢利等问题.
01
掌握通过图象或表达式求两函数交点的方法，能根据交点判断量的大小关系.
02
经历多函数对比分析过程，提升数形结合与逻辑推理能力，发展数学建模素养.
03
感受函数在解决复杂实际问题中的价值，增强用图象分析问题的信心与合作意识.
04
02
新知导入
复习回顾：
1.如何从函数中获取信息？
(1)理解横、纵坐标分别表示的的实际意义;
(2)分析已知,通过作x轴或y轴的垂线,在图象上找到对应的点,由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值;
(3)利用数形结合的思想:
02
新知导入
2.一次函数与一元一次方程的关系是什么？
一般地，当一次函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程x+b=0的解.从图象上看，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解.
02
新知导入
3.一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售, 售出土豆千克数与他手中持有的钱(含备用零钱)的关系如图所示，结合图象回答下列问题:
(1)农民自带的零钱是 ；
(2)降价前他每千克土豆出售的价格是 ；
(3)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱) 是26元，问他一共带了 千克土豆.
5元
0.5元
45
03
新知探究
如图4-10,l1表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系,l2表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系.
根据图象填空：
(1)当销售量为2 t时,销售收入= 元,
销售成本= 元.
(2)当销售量为6 t时,销售收入= 元,
销售成本= 元.
(3)当销售量为 时,销售收入等于销售成本.
2000
3000
6000
5000
4t
03
新知探究
如图4-10,l1表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系,l2表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系.
根据图象填空：
(4)当销售量 时,该公司赢利(收入大于成本);
当销售量 时,该公司亏损(收入小于成本).
(5)当销售量等于 时,该公司赢利(收入减成本)1 000元.
(6)l1对应的函数表达式是 ,l2对应的函数表达式是 .
大于4 t
小于4 t
6t
y=1000x
y=500x+2000
03
新知探究
如图4-10,l1表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系,l2表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系.
根据图象填空：
(7)你能借助(6)的结论求解(5)吗
由l1的解析式为y=1000x，l2的解析式为y=500x+2000，
由公司盈利1000元，
则可列方程：1000x-(500x+2 000)=1 000,
解得x=6.
当销售量等于 6 t时,该公司赢利1 000元.
03
新知探究
解:l1中,k1=1 000,b1=0,k1表示的是每销售1吨,销售收入是1 000元,b1表示未销售时,销售收入为0;
l2中,k2=500,b2=2 000,k2表示的是销售量每增加1吨,销售成本增加500元,b2表示未销售时,销售所花的成本是2 000元.
上题中,l1对应的一次函数y=k1x+b1,k1和b1的实际意义各是什么
设l2对应的一次函数y=k2x+b2,k2和b2的实际意义各是什么
04
例题讲解
图4-11是某景区游览路线示意图.甲在观景台1联系乙,发现乙在观景台2,于是沿着游览路线追赶乙.图4-12中l1,l2分别表示甲、乙两人到观景台1的路程s(单位:m)与追赶时间t(单位:min)之间的关系.
例3
假设甲、乙两人保持现有的速度,根据图象回答下列问题:
(1)哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系
(2)甲和乙哪个人的速度快
(3)30 min内甲能否追上乙
(4)到达观景台3后道路分岔,甲能否在到达观景台3前追上乙
(5)设l1与l2对应的两个一次函数分别为s=k1t+b1与s=k2t+b2,k1,k2的实际意义各是什么 甲、乙两人的速度各是多少
04
例题讲解
分析
(1) 甲从观景台1出发，即是当t=0时，s=0，结合图象即可判断；
(2)根据图象可知当t=20时，甲和乙的路程变化，即可求出速度比较；
(3)甲追上乙在图象里面反映的为两条直线相交，即可确定；
(4)在(3)的基础上，得到交点，然后观察对应的时间即可确定；
(5)在y=kx+b中，k表示的为变化率，结合本题，可以确定k为表示的为甲和乙的速度，进行求解即可.
04
例题讲解
解析
解:(1)当t=0时,甲到观景台1的路程为0 m,即s=0,故l1表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系.
(2)t从0增加到20时,l1上点的纵坐标增加了1000,l2上点的纵坐标增加了600,即20 min内,甲行走了1000 m,乙行走了600 m,
所以甲的速度快.
04
例题讲解
解析
(3)如图4-13所示,延长l1,l2,可以看出,当t=30时,l1上的对应点在l2上对应点的下方,这表明,30 min时甲尚未追上乙.
(4)在图4-13中,l1与l2交点P的纵坐标小于(800+1 300)=2 100,这说明,甲能在到达观景台3前追上乙.
(5)k1表示甲的速度,k2表示乙的速度.
甲的速度是50 m/min,乙的速度是30 m/min.
04
新知讲解
①定图象：根据初始状态区分不同函数对应的对象；
②算速率：通过图象斜率计算速度，比较快慢；
③判关系：利用图象交点判断等量时刻，通过图象高低判断量的大小关系；
④验边界：结合实际限制条件，验证是否满足需求.
方法总结
03
新知探究
回顾应用一次函数解决问题的过程，你对不同解决方法有什么体会？
03
新知探究
回顾应用一次函数解决问题的过程，你对不同解决方法有什么体会？
三种方法均围绕 “数形结合” 展开：
图象法重 “形” 的关联，
表达式法重 “数” 的逻辑，
结合法实现 “形→数→形” 转化，
需根据问题需求（定性判断 / 定量计算）灵活选择.
1.如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和运动时间，根据图象可知，快者的速度比慢者的速度每秒快( )
A.2.5米 B.2米 C.1.5米 D.1米
05
巩固训练
C
2.甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动.如图表示的是甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s(千米)随时间t(分)变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶的路程是( )
A.0.5千米 B.1千米 C.1.5千米 D.2千米
A
3.如图，l1反映了某公司产品的销售收入和销售数量的关系，l2反映了产品的销售成本和销售数量的关系，根据图象判断，为使公司赢利，销售量应( )
A.小于4件 B.大于4件 C.等于4件 D.大于或等于4件
05
课堂练习
B
A
4.一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C.下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y(千米)与时间x(小时)函数关系的图象是( )
05
课堂练习
解:(1)① 30
(2)设y有＝k1x+30，y无＝k2x，
由题意得500k1+30＝80，k1＝0.1；500k2＝100，k2＝0.2.
故所求的关系式为y有＝0.1x+30；y无＝0.2x.
5.某通信公司推出①②两种通信收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通信时间x(分)与收费y(元)之间的函数关系如图所示.
(1)有月租费的收费方式是______(填“①”或“②”)，月租费是______ 元；
(2)分别求出①②两种收费方式中y与x之间的函数关系式；
(3)请你根据用户通信时间的多少，给出经济实惠的选择建议.
05
课堂练习
(3)由y有＝y无，得0.2x＝0.1x+30，解得x＝300.
当x＝300时，y有＝y无＝60.
故由图可知当通话时间在300分钟内时，选择通信收费方式②实惠；
当通话时间超过300分钟时，选择通信收费方式①实惠；
当通话时间为300分钟时，选择通信收费方式①，②一样实惠.
5.某通信公司推出①②两种通信收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通信时间x(分)与收费y(元)之间的函数关系如图所示.
(1)有月租费的收费方式是______(填“①”或“②”)，月租费是______ 元；
(2)分别求出①②两种收费方式中y与x之间的函数关系式；
(3)请你根据用户通信时间的多少，给出经济实惠的选择建议.
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
双函数图象分析核心：交点表示两变量相等的时刻 / 数量；图象位置高低对应函数值大小；
关键量关联：函数表达式中 k 表示变化率，b 表示初始量；
解题流程：定图象(对应实际对象)→提信息(交点、斜率、初始值)→析关系(等量 / 大小)→验结果(结合实际情境验证).
1.甲、乙两人以相同路线前往距学校12 km的地方参加帮扶活动.如图,l甲,l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程y(km)随时间t(min)变化的函数图象,则6~8 min内甲每分钟比乙少行驶 ( )
A.0.3 km B.0.4 km C.0.5 km D.0.6 km
06
作业设计
基础达标：
D
D
2.甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进,两地之间的路程为20 km.两人前进路程s(km)与甲的前进时间t(h)之间的对应关系如图所示.根据图象信息,下列说法正确的是( )
A.甲比乙晚出发1 h B.乙全程共用2 h
C.乙比甲早到B地3 h D.甲的速度是5 km/h
3.某单位准备和甲、乙两个租车公司中的一家签订租车合同,设汽车每月行驶x km,每月应付给甲公司的费用为y1元,付给乙公司的费用为y2元,y1,y2与x的关系如图所示.若该单位每月行驶的路程为4 000 km,为了使费用较少,则应选择( )
A.甲公司 B.乙公司 C.甲、乙都一样 D.无法确定
06
作业设计
基础达标：
4.有甲、乙两车从A地出发去B地,甲车比乙车早出发,如图,m1,m2分别表示两车离开A地的距离y(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系.现有以下四个结论:①m1表示甲车,m2表示乙车;②乙车出发4 h后追上甲车;③若两地相距500 km,甲车出发11 h时,两车相距100 km;④若两地相距260 km,则乙车先到达B地.其中正确的是 ( )
A.①②③④ B.②③④ C.①②③ D.①②④
06
作业设计
D
能力提升：
5.某公司生产了A,B两款新能源电动汽车.如图,l1,l2分别表示A款、B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y(kW·h)与汽车行驶路程x(km)的关系.
当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300 km时,A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 kW·h.
06
作业设计
能力提升：
解:A款新能源电动汽车每千米的耗电量为(80-48)÷200=0.16(kW·h),
B款新能源电动汽车每千米的耗电量为(80-40)÷200=0.2(kW·h),
所以l1对应的函数关系式为y1=80-0.16x,
l2对应的函数关系式为y2=80-0.2x.
当x=300时,y1=80-0.16×300=32,y2=80-0.2×300=20,32-20=12(kW·h),
所以当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300 km时,A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多12 kW·h.
12
06
作业设计
能力提升：
6.某电信公司手机的A,B两类收费方式如图所示,lA,lB分别表示每月通话费y(元)与通话时间x(min)之间的关系.根据图象解答下列问题:
(1)当通话时间是100 min时,A,B两类收费方式的话费分别是 元和 元,直线lA对应的函数表达式是 ;
(2)求直线lB对应的函数表达式,并写出lB对应的一次函数yB=kx+b中k的实际意义;
(3)如果李萍的哥哥每月通话时间为200 min,那么他应该选择哪类收费方式 为什么
25
32
yA=0.25x
06
作业设计
能力提升：
解:(2)设直线lB对应的函数表达式是yB=kx+b(k≠0).
把点(0,12),(100,32)代入,得
b=12,100k+b=32.解得k=0.2.
所以直线lB对应的函数表达式是yB=0.2x+12.
k的实际意义是通话时间1 min的手机通话费是0.2元.
6.某电信公司手机的A,B两类收费方式如图所示,lA,lB分别表示每月通话费y(元)与通话时间x(min)之间的关系.根据图象解答下列问题:
(1)当通话时间是100 min时,A,B两类收费方式的话费分别是 元和 元,直线lA对应的函数表达式是 ;
(2)求直线lB对应的函数表达式,并写出lB对应的一次函数yB=kx+b中k的实际意义;
(3)如果李萍的哥哥每月通话时间为200 min,那么他应该选择哪类收费方式 为什么
06
作业设计
能力提升：
解:(3)他应该选择A类收费方式.理由如下:
当x=200时,yA=0.25×200=50;
yB=0.2×200+12=52.
因为50<52,
所以他应该选择A类收费方式.
6.某电信公司手机的A,B两类收费方式如图所示,lA,lB分别表示每月通话费y(元)与通话时间x(min)之间的关系.根据图象解答下列问题:
(3)如果李萍的哥哥每月通话时间为200 min,那么他应该选择哪类收费方式 为什么
06
作业设计
迁移拓展：
7.小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼.小明先跑,10 min后小丽才开始跑,小丽跑步时中间休息了两次.跑步机上C挡比B挡快40 m/min,B挡比A挡快40 m/min.小明与小丽的跑步相关信息如表所示,跑步累计里程s(m)与小明跑步时间t(min)的函数关系如图所示.
姓名 时间 里程分段 速度挡 跑步里程
小明 16:00—16:50 不分段 A挡 4 000 m
小丽 16:10—16:50 第一段 B挡 1 800 m
第一次休息
第二段 B挡 1 200 m
第二次休息
第三段 C挡 1 600 m
06
作业设计
迁移拓展：
(1)求A,B,C各挡速度;
(2)求小丽两次休息时间的总和;
(3)小丽第二次休息后,在a min时两人跑步累计里程相等,求a的值.
解:(1)由题意可知,A挡速度为4 000÷50=80(m/min),
则B挡速度为80+40=120(m/min),
C挡速度为120+40=160(m/min).
答:A,B,C各挡速度分别为80 m/min,120 m/min,160 m/min.
(2)小丽第一段跑步时间为1 800÷120=15(min),
小丽第二段跑步时间为1 200÷120=10(min),
小丽第三段跑步时间为1 600÷160=10(min),
则小丽两次休息时间的总和为50-10-15-10-10=5(min).
答:小丽两次休息时间的总和为5 min.
06
作业设计
迁移拓展：
(3)因为小丽第二次休息后,在a min时两人跑步累计里程相等,
所以此时小丽在跑第三段,所跑时间为a-10-15-10-5=(a-40)(min),
所以80a=3 000+160(a-40),所以a=42.5.
答:a的值为42.5.
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4.4一次函数的应用第3课时教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 四单元
课题 4.4一次函数的应用 课时 第3课时
课标要求 依据 2022 新课标，本节课需引导学生运用一次函数图象解决多变量实际问题，掌握分析两个一次函数图象关系(交点、位置高低)的方法.通过解读销售收入与成本、追及问题等情境，发展直观想象和数学建模素养，体会函数图象在比较量关系中的作用，培养从图象中提取关键信息的意识，提升运用函数知识解决复杂实际问题的能力与合作探究精神.
教材分析 本课时是一次函数应用的综合提升，教材以销售收入与成本对比、景区追及问题为载体，引导学生通过分析两条一次函数图象的交点(等量关系)、上下位置(大小关系)解决赢利判断、追及可能性等问题.内容承接单函数图象应用，强化 “数形结合” 与 “多模型对比” 思想，为后续函数综合应用奠基，注重学生对图象中量关系的深层解读与问题转化能力培养.
学情分析 学生已能解读单条函数图象信息，但对两条函数图象的关系分析困难.八年级学生能理解图象交点的几何意义，却难将其与实际情境中的 “等量时刻” 对应，尤其在判断 “谁快谁慢”“赢利亏损” 时，易混淆图象高低与实际量的大小关系，需通过具象情境对比突破多函数图象的解读难点.
教学目标 1.能分析两条一次函数图象的交点意义(等量关系)及位置高低的实际含义(大小关系)，解决追及、赢利等问题. 2.掌握通过图象或表达式求两函数交点的方法，能根据交点判断量的大小关系. 3.经历多函数对比分析过程，提升数形结合与逻辑推理能力，发展数学建模素养. 4.感受函数在解决复杂实际问题中的价值，增强用图象分析问题的信心与合作意识.
教学重点 1.理解两条一次函数图象交点的实际意义. 2.能通过图象位置高低判断两个函数值的大小关系.
教学难点 将两条一次函数图象的几何关系(交点、上下位置)精准转化为实际情境中的数量关系，尤其在非整点交点的估算及多条件限制下的问题分析.
教法与学法分析 教法采用对比探究法，以问题链引导分析图象交点与位置关系；学法以小组合作为主，通过图象观察、数据对比、意义解读，归纳两函数图象的应用规律，提升主动分析能力.
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习回顾： 1.如何从函数中获取信息？ (1)理解横、纵坐标分别表示的实际意义； (2)分析已知，通过作x轴或y轴的垂线，在图象上找到对应的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值； (3)利用数形结合的思想： 2.一次函数与一元一次方程的关系是什么？ 一般地，当一次函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程x+b=0的解.从图象上看，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解. 3.一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售， 售出土豆千克数与他手中持有的钱(含备用零钱)的关系如图所示，结合图象回答下列问题： (1)农民自带的零钱是 ； (2)降价前他每千克土豆出售的价格是 ； (3)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱(含备用零钱) 是26元，问他一共带了 千克土豆. 答案：(1)5元；(2)(20-5)÷30=0.5元；(3)30+(26-20)÷0.4=30+15=45千克. 通过问题链梳理单函数图象信息提取方法、函数与方程关系，结合土豆销售例题巩固旧知. 回忆核心方法，完成例题，强化 “形→数” 转化意识. 激活单函数图象解读经验，为多函数图象对比分析奠定基础.
探究活动一： 如图4-10，l1表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l2表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系. 根据图象填空： (1)当销售量为2 t时，销售收入= 2000 元，销售成本= 3000 元. (2)当销售量为6 t时，销售收入= 6000 元，销售成本= 5000 元. (3)当销售量为 4 t 时，销售收入等于销售成本. (4)当销售量 大于4 t 时，该公司赢利(收入大于成本)；当销售量 小于4 t 时，该公司亏损(收入小于成本). (5)当销售量等于 6 t 时，该公司赢利(收入减成本)1 000元. (6)l1对应的函数表达式是 y=1 000x ，l2对应的函数表达式是 y=500x+2000 . (7)你能借助(6)的结论求解(5)吗？ 1 000x-(500x+2 000)=1 000，解得x=6.当销售量等于 6 t时，该公司赢利1 000元. 思考交流： 上题中，l1对应的一次函数y=k1x+b1，k1和b1的实际意义各是什么？设l2对应的一次函数y=k2x+b2，k2和b2的实际意义各是什么？ 解：l1中，k1=1 000，b1=0，k1表示的是每销售1吨，销售收入是1 000元，b1表示未销售时，销售收入为0；l2中，k2=500，b2=2 000，k2表示的是销售量每增加1吨，销售成本增加500元，b2表示未销售时，销售所花的成本是2 000元. 展示双函数图象，引导分析横纵坐标意义，通过问题链提取交点(盈亏平衡点)、图象高低(赢利 / 亏损)等信息. 观察图象找点算值，讨论 k、b 实际意义，用表达式验证赢利问题. 以经济情境切入，初步掌握双函数图象交点与位置关系的实际意义，感知数形结合价值.
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 例题精讲 例3.图4-11是某景区游览路线示意图.甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙.图4-12中l1，l2分别表示甲、乙两人到观景台1的路程s(单位：m)与追赶时间t(单位：min)之间的关系. 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： (1)哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系？ (2)甲和乙哪个人的速度快？ (3)30 min内甲能否追上乙？ (4)到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙？ (5)设l1与l2对应的两个一次函数分别为s=k1t+b1与s=k2t+b2，k1，k2的实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少？ 解：(1)当t=0时，甲到观景台1的路程为0 m，即s=0，故l1表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系. (2)t从0增加到20时，l1上点的纵坐标增加了1 000，l2上点的纵坐标增加了600，即20 min内，甲行走了1 000 m，乙行走了600 m，所以甲的速度快. (3)如图4-13所示，延长l1，l2，可以看出，当t=30时，l1上的对应点在l2上对应点的下方，这表明，30 min时甲尚未追上乙. (4)在图4-13中，l1与l2交点P的纵坐标小于(800+1 300)=2 100，这说明，甲能在到达观景台3前追上乙. (5)k1表示甲的速度，k2表示乙的速度.甲的速度是50 m/min，乙的速度是30 m/min. 方法总结： ①定图象：根据初始状态(如 t=0 时的路程)区分不同函数对应的对象； ②算速率：通过图象斜率(路程变化量 / 时间变化量)计算速度，比较快慢； ③判关系：利用图象交点判断等量时刻(追及、相遇)，通过图象高低判断量的大小关系(谁在前、谁在后)； ④验边界：结合实际限制条件(如到达某地点的路程)，验证是否满足需求. 引导区分甲、乙对应的函数图象，通过时间与路程关系对比速度，判断追及可能性，关联 k 值与速度的关系. 小组合作分析图象起点、变化趋势，计算速度，判断追及时间与地点. 通过运动情境深化双函数图象分析，掌握 “起点定初始状态、斜率定变化率、交点定等量时刻” 的解题方法.
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 回顾反思： 回顾应用一次函数解决问题的过程，你对不同解决方法有什么体会？ 总结归纳： 三种方法均围绕 “数形结合” 展开：图象法重 “形” 的关联，表达式法重 “数” 的逻辑，结合法实现 “形→数→形” 转化，需根据问题需求(定性判断 / 定量计算)灵活选择. 引导回顾前两个探究，提问 “解决多变量实际问题时，如何结合双函数图象与表达式分析？”，组织总结核心方法. 小组讨论，梳理 “图象解读→关系分析→表达式验证” 的流程，分享不同情境的共性与差异. 提炼多函数图象应用的通用方法，形成结构化认知，提升知识迁移能力.
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和运动时间，根据图象可知，快者的速度比慢者的速度每秒快( ) A.2.5米 B.2米 C.1.5米 D.1米 2.甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动.如图表示的是甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s(千米)随时间t(分)变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶的路程是( ) A.0.5千米B.1千米 C.1.5千米 D.2千米 3.如图，l1反映了某公司产品的销售收入和销售数量的关系，l2反映了产品的销售成本和销售数量的关系，根据图象判断，为使公司赢利，销售量应( ) A.小于4件B.大于4件 C.等于4件 D.大于或等于4件 4.一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C.下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y(千米)与时间x(小时)函数关系的图象是( ) A B C D 5.某通信公司推出①②两种通信收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通信时间x(分)与收费y(元)之间的函数关系如图所示. (1)有月租费的收费方式是______(填“①”或“②”)，月租费是______ 元； (2)分别求出①②两种收费方式中y与x之间的函数关系式； (3)请你根据用户通信时间的多少，给出经济实惠的选择建议. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答. 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 双函数图象分析核心：交点表示两变量相等的时刻 / 数量；图象位置高低对应函数值大小； 关键量关联：函数表达式中 k 表示变化率，b 表示初始量； 解题流程：定图象(对应实际对象)→提信息(交点、斜率、初始值)→析关系(等量 / 大小)→验结果(结合实际情境验证). 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架.
板书设计 4.4一次函数的应用第3课时 双函数图象分析核心： 交点表示两变量相等的时刻 / 数量； 图象位置高低对应函数值大小； 关键量关联：函数表达式中 k 表示变化率，b 表示初始量； 解题流程：定图象→提信息→析关系→验结果. 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系.
作业设计 基础达标： 1.甲、乙两人以相同路线前往距学校12 km的地方参加帮扶活动.如图，l甲，l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程y(km)随时间t(min)变化的函数图象，则6~8 min内甲每分钟比乙少行驶 ( ) A.0.3 km B.0.4 km C.0.5 km D.0.6 km 2.甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20 km.两人前进路程s(km)与甲的前进时间t(h)之间的对应关系如图所示.根据图象信息，下列说法正确的是( ) A.甲比乙晚出发1 h B.乙全程共用2 h C.乙比甲早到B地3 h D.甲的速度是5 km/h 3.某单位准备和甲、乙两个租车公司中的一家签订租车合同，设汽车每月行驶x km，每月应付给甲公司的费用为y1元，付给乙公司的费用为y2元，y1，y2与x的关系如图所示.若该单位每月行驶的路程为4 000 km，为了使费用较少，则应选择( ) A.甲公司 B.乙公司 C.甲、乙都一样 D.无法确定 能力提升： 4.有甲、乙两车从A地出发去B地，甲车比乙车早出发，如图，m1，m2分别表示两车离开A地的距离y(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系.现有以下四个结论：①m1表示甲车，m2表示乙车；②乙车出发4 h后追上甲车；③若两地相距500 km，甲车出发11 h时，两车相距100 km；④若两地相距260 km，则乙车先到达B地.其中正确的是 ( ) A.①②③④ B.②③④ C.①②③ D.①②④ 5.某公司生产了A，B两款新能源电动汽车.如图，l1，l2分别表示A款、B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y(kW·h)与汽车行驶路程x(km)的关系. 当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300 km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 kW·h. 6.某电信公司手机的A，B两类收费方式如图所示，lA，lB分别表示每月通话费y(元)与通话时间x(min)之间的关系.根据图象解答下列问题： (1)当通话时间是100 min时，A，B两类收费方式的话费分别是 元和 元，直线lA对应的函数表达式是 ； (2)求直线lB对应的函数表达式，并写出lB对应的一次函数yB=kx+b中k的实际意义； (3)如果李萍的哥哥每月通话时间为200 min，那么他应该选择哪类收费方式？为什么？ 拓展迁移： 7.小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼.小明先跑，10 min后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次.跑步机上C挡比B挡快40 m/min，B挡比A挡快40 m/min.小明与小丽的跑步相关信息如下表所示，跑步累计里程s(m)与小明跑步时间t(min)的函数关系如图所示. 姓名时间里程分段速度挡跑步里程小明16：00—16：50不分段A挡4 000 m小丽16：10—16：50第一段B挡1 800 m第一次休息第二段B挡1 200 m第二次休息第三段C挡1 600 m
(1)求A，B，C各挡速度； (2)求小丽两次休息时间的总和； (3)小丽第二次休息后，在a min时两人跑步累计里程相等，求a的值.
教学反思 本节课通过多函数图象分析，学生基本掌握交点与位置关系的意义，但对非整点情境的估算准确性不足.后续需增加生活化多函数对比练习，强化图象与实际量的对应；设计 “图象与文字互译” 活动，帮助学生突破数形转化障碍，提升综合应用能力.
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分课时学案
课题 4.4一次函数的应用第3课时 单元 第四单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.能分析两条一次函数图象的交点意义（等量关系）及位置高低的实际含义（大小关系），解决追及、赢利等问题. 2.掌握通过图象或表达式求两函数交点的方法，能根据交点判断量的大小关系. 3.经历多函数对比分析过程，提升数形结合与逻辑推理能力，发展数学建模素养. 4.感受函数在解决复杂实际问题中的价值，增强用图象分析问题的信心与合作意识.
重点 1.理解两条一次函数图象交点的实际意义. 2.能通过图象位置高低判断两个函数值的大小关系.
难点 将两条一次函数图象的几何关系（交点、上下位置）精准转化为实际情境中的数量关系，尤其在非整点交点的估算及多条件限制下的问题分析.
教学过程
导入新课 复习回顾： 1.如何从函数中获取信息？ 2.一次函数与一元一次方程的关系是什么？ 3.一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售， 售出土豆千克数与他手中持有的钱(含备用零钱)的关系如图所示，结合图象回答下列问题： (1)农民自带的零钱是 ； (2)降价前他每千克土豆出售的价格是 ； (3)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱(含备用零钱) 是26元，问他一共带了 千克土豆.
新知讲解 探究活动一： 如图4-10，l1表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l2表示该公司产品的销售成本与销售量之间的关系. 根据图象填空： (1)当销售量为2 t时，销售收入= 元，销售成本= 元. (2)当销售量为6 t时，销售收入= 元，销售成本= 元. (3)当销售量为 时，销售收入等于销售成本. (4)当销售量 时，该公司赢利(收入大于成本);当销售量 时，该公司亏损(收入小于成本). (5)当销售量等于 时，该公司赢利(收入减成本)1 000元. (6)l1对应的函数表达式是 ，l2对应的函数表达式是 . (7)你能借助(6)的结论求解(5)吗？ 思考交流： 上题中，l1对应的一次函数y=k1x+b1，k1和b1的实际意义各是什么？设l2对应的一次函数y=k2x+b2，k2和b2的实际意义各是什么？ 探究活动二： 例题精讲 例3.图4-11是某景区游览路线示意图.甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览路线追赶乙.图412中l1，l2分别表示甲、乙两人到观景台1的路程s(单位：m)与追赶时间t(单位：min)之间的关系. 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： (1)哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系？ (2)甲和乙哪个人的速度快？ (3)30 min内甲能否追上乙？ (4)到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙？ (5)设l1与l2对应的两个一次函数分别为s=k1t+b1与s=k2t+b2，k1，k2的实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少？ 探究活动三： 回顾反思： 回顾应用一次函数解决问题的过程，你对不同解决方法有什么体会？
课堂练习 巩固训练 1.如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和运动时间，根据图象可知，快者的速度比慢者的速度每秒快( ) A.2.5米 B.2米 C.1.5米 D.1米 2.甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动.如图表示的是甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s(千米)随时间t(分)变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶的路程是( ) A.0.5千米 B.1千米 C.1.5千米 D.2千米 3.如图，l1反映了某公司产品的销售收入和销售数量的关系，l2反映了产品的销售成本和销售数量的关系，根据图象判断，为使公司赢利，销售量应( ) A.小于4件 B.大于4件 C.等于4件 D.大于或等于4件 4.一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C.下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y(千米)与时间x(小时)函数关系的图象是( ) A B C D 5.某通信公司推出①②两种通信收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通信时间x(分)与收费y(元)之间的函数关系如图所示. （1）有月租费的收费方式是______(填“①”或“②”)，月租费是______ 元； （2）分别求出①②两种收费方式中y与x之间的函数关系式； （3）请你根据用户通信时间的多少，给出经济实惠的选择建议.
作业布置 基础达标： 1.甲、乙两人以相同路线前往距学校12 km的地方参加帮扶活动.如图，l甲，l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程y(km)随时间t(min)变化的函数图象，则6~8 min内甲每分钟比乙少行驶 ( ) A.0.3 km B.0.4 km C.0.5 km D.0.6 km 2.甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20 km.两人前进路程s(km)与甲的前进时间t(h)之间的对应关系如图所示.根据图象信息，下列说法正确的是( ) A.甲比乙晚出发1 h B.乙全程共用2 h C.乙比甲早到B地3 h D.甲的速度是5 km/h 3.某单位准备和甲、乙两个租车公司中的一家签订租车合同，设汽车每月行驶x km，每月应付给甲公司的费用为y1元，付给乙公司的费用为y2元，y1，y2与x的关系如图所示.若该单位每月行驶的路程为4 000 km，为了使费用较少，则应选择( ) A.甲公司 B.乙公司 C.甲、乙都一样 D.无法确定 能力提升： 4.有甲、乙两车从A地出发去B地，甲车比乙车早出发，如图，m1，m2分别表示两车离开A地的距离y(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系.现有以下四个结论：①m1表示甲车，m2表示乙车;②乙车出发4 h后追上甲车;③若两地相距500 km，甲车出发11 h时，两车相距100 km;④若两地相距260 km，则乙车先到达B地.其中正确的是 ( ) A.①②③④ B.②③④ C.①②③ D.①②④ 5.某公司生产了A，B两款新能源电动汽车.如图，l1，l2分别表示A款、B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y(kW·h)与汽车行驶路程x(km)的关系.当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300 km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 kW·h. 6.某电信公司手机的A，B两类收费方式如图所示，lA，lB分别表示每月通话费y(元)与通话时间x(min)之间的关系.根据图象解答下列问题： (1)当通话时间是100 min时，A，B两类收费方式的话费分别是 元和 元，直线lA对应的函数表达式是 ; (2)求直线lB对应的函数表达式，并写出lB对应的一次函数yB=kx+b中k的实际意义; (3)如果李萍的哥哥每月通话时间为200 min，那么他应该选择哪类收费方式？为什么？ 拓展迁移： 7.小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼.小明先跑，10 min后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次.跑步机上C挡比B挡快40 m/min，B挡比A挡快40 m/min.小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s(m)与小明跑步时间t(min)的函数关系如图所示. 姓名时间里程分段速度挡跑步里程小明16：00—16：50不分段A挡4 000 m小丽16：10—16：50第一段B挡1 800 m第一次休息第二段B挡1 200 m第二次休息第三段C挡1 600 m
(1)求A，B，C各挡速度; (2)求小丽两次休息时间的总和; (3)小丽第二次休息后，在a min时两人跑步累计里程相等，求a的值.
参考答案：
例题精讲：
例3：
解：(1)当t=0时，甲到观景台1的路程为0 m，即s=0，故l1表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系.
(2)t从0增加到20时，l1上点的纵坐标增加了1 000，l2上点的纵坐标增加了600，即20 min内，甲行走了1 000 m，乙行走了600 m，所以甲的速度快.
(3)如图4-13所示，延长l1，l2，可以看出，当t=30时，l1上的对应点在l2上对应点的下方，这表明，30 min时甲尚未追上乙.
(4)在图4-13中，l1与l2交点P的纵坐标小于(800+1 300=)2 100，这说明，甲能在到达观景台3前追上乙.
(5)k1表示甲的速度，k2表示乙的速度.甲的速度是50 m/min，乙的速度是30 m/min.
巩固训练：
参考答案
1.C 2.A 3.B 4.C
5.解：（1）① 30
（2）设y有＝k1x+30，y无＝k2x，
由题意得500k1+30＝80，k1＝0.1；500k2＝100，k2＝0.2.
故所求的关系式为y有＝0.1x+30；y无＝0.2x.
（3）由y有＝y无，得0.2x＝0.1x+30，解得x＝300.
当x＝300时，y有＝y无＝60.
故由图可知当通话时间在300分钟内时，选择通信收费方式②实惠；
当通话时间超过300分钟时，选择通信收费方式①实惠；
当通话时间为300分钟时，选择通信收费方式①，②一样实惠.
作业设计：
1.D 2.D 3.B
5.4 解析：因为甲车比乙车早出发，所以m1表示甲车，m2表示乙车，故①正确.甲车的速度为160÷4=40(km/h)，乙车的速度为120÷(4-2)=60(km/h)，设乙车出发a h后追上甲车，60a=40(a+2)，解得a=4，即乙车出发4 h后追上甲车，故②正确.当t=2时，甲、乙两车相距40×2=80(km)，故两车相距100 km的时间只有在两车相遇之后，设甲车出发b h时，两车相距100 km，60(b-2)-40b=100，解得b=11，即两车相距100 km的时间是甲车出发11 h的时候.因为乙车到B地所需时间为500÷60=8(h)，而8+2<11，所以两车不存在相距100 km的情况，故③错误.260÷40=6.5(h)，260÷60=4(h)，因为6.5>4+2，所以若两地相距260 km，则乙车先到达B地，故④正确.故选D.
5.12 解析：A款新能源电动汽车每千米的耗电量为(80-48)÷200=0.16(kW·h)，B款新能源电动汽车每千米的耗电量为(80-40)÷200=0.2(kW·h)，所以l1对应的函数关系式为y1=80-0.16x，l2对应的函数关系式为y2=80-0.2x.当x=300时，y1=80-0.16×300=32，y2=80-0.2×300=20，32-20=12(kW·h)，所以当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300 km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多12 kW·h.
6.解：(1)25 32 yA=0.25x
(2)设直线lB对应的函数表达式是yB=kx+b(k≠0).
把点(0，12)，(100，32)代入，得
b=12，100k+b=32.解得k=0.2.
所以直线lB对应的函数表达式是yB=0.2x+12.
k的实际意义是通话时间1 min的手机通话费是0.2元.
(3)他应该选择A类收费方式.理由如下：
当x=200时，yA=0.25×200=50;
yB=0.2×200+12=52.
因为50<52，
所以他应该选择A类收费方式.
7.解：(1)由题意可知，A挡速度为4 000÷50=80(m/min)，
则B挡速度为80+40=120(m/min)，
C挡速度为120+40=160(m/min).
答：A，B，C各挡速度分别为80 m/min，120 m/min，160 m/min.
(2)小丽第一段跑步时间为1 800÷120=15(min)，
小丽第二段跑步时间为1 200÷120=10(min)，
小丽第三段跑步时间为1 600÷160=10(min)，
则小丽两次休息时间的总和为50-10-15-10-10=5(min).
答：小丽两次休息时间的总和为5 min.
(3)因为小丽第二次休息后，在a min时两人跑步累计里程相等，
所以此时小丽在跑第三段，所跑时间为a-10-15-10-5=(a-40)(min)，
所以80a=3 000+160(a-40)，所以a=42.5.
答：a的值为42.5.
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