2.2 圆与圆的方程 同步练习（含答案）

2.2
圆与圆的方程
1、已知实数满足方程.
（1）求的最大值和最小值；
解：圆的标准方程为.
法一（参数法）
令
，
则
所以最大值为，最小值为.
法二（几何法：线性规划）
可看作是直线在轴上的截距，当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，此时，解得.
所以的最大值为，最小值为
（2）求的最大值和最小值.
解：法一（代数法）
，在圆中，
所以最大值是，最小值是.
法二（参数法）
所以最大值是，最小值是.
法三（几何法）
表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，过原点和圆心的直线与圆有两个交点，在这两个交点处取得最值.
又圆心到原点的距离为，
所以的最大值是，
最小值是.
（2）变式：求的最大值和最小值.
解：法一（参数法）
所以最大值为，最小值为.
法二（几何法）
表示圆上的一点与点距离的平方，
过点和圆心的直线与圆有两个交点，在这两个交点处取得最值.
又圆心到原点的距离为，
所以的最大值是，
最小值是.
（3）求的最大值和最小值.
.解：法一（几何法）
表示过圆上的一点与点所在直线的斜率，且当直线与圆相切时，斜率取得最值.
由图可知，相切时直线斜率存在.
设直线方程为，即.
圆心到直线得距离是，
则最大值是，最小值是.
法二（参数法）
设，则，
即，即，其中
即
由，则，，解得，
故最大值是，最小值是.
分析
设是圆上任意一点，分别把给定的式子赋予一定的几何意义，这样就把最值问题转化成点、直线与圆的位置关系问题，再根据圆的几何性质确定最值。
点评
1、研究与圆有关的最值问题时，可借助圆的性质，利用数形结合求解.
2、常见的最值问题有以下几种类型：（1）形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题；（2）形如型的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；（3）形如型的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.