3.2 空间向量的应用 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.2 空间向量的应用 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 282.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-09-04 20:24:05 | ||
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文档简介
3.2空间向量的应用测试题
一、选择题
1．已知向量与向量平行，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案：C
2．已知三点的坐标分别为，若，则（
）
A．28
B．
C．14
D．
答案：D
3．已知点，为线段上一点，且，则的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
答案：C
4．已知，若，且平面，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案：D
5．正三棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
答案：C
6．二面角内一点到两个面的距离分别为，，到棱的距离为，则二面角的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
答案：A
二、填空题
7．长方体中，，，，则与所成角的余弦值为
．
答案：
8．已知为坐标原点，且，则点的坐标为
．
答案：
9．已知三点为坐标原点，则
．
答案：
10．在的二面角的面内有一点到面的距离为，则在内的射影到的距离为
．
答案：
11．在正方体中，与平面所成角的正切值为
．
答案：
12．在中，，，平面，，则点到的，距离为
．
答案：
三、解答题
13．在棱长为的正方体中，求异面直线与所成的角．
解：，，
，
，，，
，，，
又，，
，，
．
，即异面直线与所成的角为．
14．如图1，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点．
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）在侧面内找一点，使面，并求出点到直线和的距离．
解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
则的坐标为，
，
从而．
设与的夹角为，
则，
与所成角的余弦值为；
（2）由于点在侧面内，故可设点坐标为，
则，
由面，可得
即
化简，得
即点的坐标为，从而点到的距离分别为．
15．如图2，底面是直角梯形的四棱锥，，底面，，，求面与面所成的二面角的余弦值．
解：如图所示建立空间直角坐标系，
则，
，，．
设平面与平面的法向量分别为，
则由得
即
又由得即
不妨令，，
则，，
，，，
．
故面与面所成的二面角的余弦值为．
3.2空间向量的应用测试题
一、选择题
1．已知是边长为1的正三角形所在平面外一点，且，分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
答案：B
2．长方体中，，为与的交点，为与的交点，又，则长方体的高等于（
）
A．
B．
C．
D．
答案：C
3．已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，
．对于结论：
①；②；
③是平面的法向量；
④．
其中正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：C
4．如图1，直三棱柱中，，，侧棱，侧面的两条对角线交点为，则面与面所成二面角的余弦值等于（
）
A．
B．
C．
D．
答案：D
5．在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则与平面所成的角的余弦为（
）
A．
B．
C．
D．
答案：D
6．在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则与所成的角的余弦为（
）
A．
B．
C．
D．
答案：B
二、填空题
7．已知三角形的顶点是，则这个三角形的面积等
于
．
答案：
8．是棱长为1的正方体，则点到平面的距离等于
．
答案：
9．在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为
．
答案：
10．在平面若一直线垂直于轴，则其方程可表示为（为定值）．在空间若一直线垂直于平面，则其方程可表示为
．
答案：（其中为定值）
11．已知平面和平面交于直线，是空间一点，，垂足为，，垂足为，且，若点在内的射影与点在内的射影重合，则点到的距离为
．
答案：
12．正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面的距离为
．
答案：
三、解答题
13．如图2，已知正方体的棱长为2，点为棱的中点．
求：（1）与平面所成角的余弦值；
（2）二面角的余弦值．
解：建立坐标系如图，
则，
，，，．
不难证明为平面的法向量，
，
与平面所成的角的余弦值为；
（2）分别为平面，的法向量，
，
二面角的余弦值为．
14．如图3，直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，为上的点，且平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离．
解：（1）平面，．
二面角为直二面角，且，
平面．
．
平面．
以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过作
平行于的直线为轴，建立空间直角坐标．
易知，得，
．
．
设平面的一个法向量为．
则即
令，得是平面的一个法向量．
又平面的一个法向量为，
．
二面角的大小为．
（3）轴，，．
点到平面的距离．
15．如图4，正方形中，分别是，的中点，是的中点，现沿及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
（1）证明：正方形按题意折成的四面体如图所示，
折叠后，有，，，
，
平面，
又平面，
平面平面；
（2）解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，
设正方形的边长为1，则．
，
设是平面的法向量，
故
令，则，
所以是平面的一个法向量，
又因为平面，
所以是平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则．
一、选择题
1．已知向量与向量平行，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案：C
2．已知三点的坐标分别为，若，则（
）
A．28
B．
C．14
D．
答案：D
3．已知点，为线段上一点，且，则的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
答案：C
4．已知，若，且平面，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案：D
5．正三棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
答案：C
6．二面角内一点到两个面的距离分别为，，到棱的距离为，则二面角的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
答案：A
二、填空题
7．长方体中，，，，则与所成角的余弦值为
．
答案：
8．已知为坐标原点，且，则点的坐标为
．
答案：
9．已知三点为坐标原点，则
．
答案：
10．在的二面角的面内有一点到面的距离为，则在内的射影到的距离为
．
答案：
11．在正方体中，与平面所成角的正切值为
．
答案：
12．在中，，，平面，，则点到的，距离为
．
答案：
三、解答题
13．在棱长为的正方体中，求异面直线与所成的角．
解：，，
，
，，，
，，，
又，，
，，
．
，即异面直线与所成的角为．
14．如图1，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点．
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）在侧面内找一点，使面，并求出点到直线和的距离．
解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
则的坐标为，
，
从而．
设与的夹角为，
则，
与所成角的余弦值为；
（2）由于点在侧面内，故可设点坐标为，
则，
由面，可得
即
化简，得
即点的坐标为，从而点到的距离分别为．
15．如图2，底面是直角梯形的四棱锥，，底面，，，求面与面所成的二面角的余弦值．
解：如图所示建立空间直角坐标系，
则，
，，．
设平面与平面的法向量分别为，
则由得
即
又由得即
不妨令，，
则，，
，，，
．
故面与面所成的二面角的余弦值为．
3.2空间向量的应用测试题
一、选择题
1．已知是边长为1的正三角形所在平面外一点，且，分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
答案：B
2．长方体中，，为与的交点，为与的交点，又，则长方体的高等于（
）
A．
B．
C．
D．
答案：C
3．已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，
．对于结论：
①；②；
③是平面的法向量；
④．
其中正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：C
4．如图1，直三棱柱中，，，侧棱，侧面的两条对角线交点为，则面与面所成二面角的余弦值等于（
）
A．
B．
C．
D．
答案：D
5．在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则与平面所成的角的余弦为（
）
A．
B．
C．
D．
答案：D
6．在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则与所成的角的余弦为（
）
A．
B．
C．
D．
答案：B
二、填空题
7．已知三角形的顶点是，则这个三角形的面积等
于
．
答案：
8．是棱长为1的正方体，则点到平面的距离等于
．
答案：
9．在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为
．
答案：
10．在平面若一直线垂直于轴，则其方程可表示为（为定值）．在空间若一直线垂直于平面，则其方程可表示为
．
答案：（其中为定值）
11．已知平面和平面交于直线，是空间一点，，垂足为，，垂足为，且，若点在内的射影与点在内的射影重合，则点到的距离为
．
答案：
12．正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面的距离为
．
答案：
三、解答题
13．如图2，已知正方体的棱长为2，点为棱的中点．
求：（1）与平面所成角的余弦值；
（2）二面角的余弦值．
解：建立坐标系如图，
则，
，，，．
不难证明为平面的法向量，
，
与平面所成的角的余弦值为；
（2）分别为平面，的法向量，
，
二面角的余弦值为．
14．如图3，直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，为上的点，且平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离．
解：（1）平面，．
二面角为直二面角，且，
平面．
．
平面．
以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过作
平行于的直线为轴，建立空间直角坐标．
易知，得，
．
．
设平面的一个法向量为．
则即
令，得是平面的一个法向量．
又平面的一个法向量为，
．
二面角的大小为．
（3）轴，，．
点到平面的距离．
15．如图4，正方形中，分别是，的中点，是的中点，现沿及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
（1）证明：正方形按题意折成的四面体如图所示，
折叠后，有，，，
，
平面，
又平面，
平面平面；
（2）解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，
设正方形的边长为1，则．
，
设是平面的法向量，
故
令，则，
所以是平面的一个法向量，
又因为平面，
所以是平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则．