山东省实验中学2025-2026学年高三上学期10月第一次月考数学试卷（扫描版，含答案）

(ii)依题意，g(x)=x3-3x2+3lnx+xE(0,+o).
从而可得g'(x)=3x2-6x+3-6
整理可得：g'()=3x-2x3+,
(5分)
x2
令g'(x)=0,解得x=2.
当x变化时，g(x),g(x)的变化情况如下表：
X
(0,2)
2
(2,+∞)
g'(x)
一
0
g(x)
单调递减
极小值
单调递增
所以，函数g(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，+∞)；
g(x)的极小值为g(2)=31n2-1,无极大值.
(7分)
（Ⅱ)证明：由f)=x3+k凯x,得f'()=3x2+
对任意的×，+o,且x>x2,令号=t(化>1，则
(x1-x2)f'(x1)+f'(x2)-2(f(x1)-f(x2)
=%-a好+身+3好+)-2g-号+长n到
=对-烟-3好+3好+k货--2伽安=6%-x+k倍)-2张n
2
=x8(t-1)3+k(t-是-2mt)
①
(10分)
令h()=x-是-2inx,x∈[1，+o).
当1时，r()=1+克-是=(1-)2>0，
由此可得h(x)在(1，+o)单调递增，所以当D1时，h()>h(1),即t--2nt>0.一(12分)
因为x2≥1，x(t-1)3≥(t-1)3,又因为k≥-3，
所以x(t-1)3+k(e--2nt)≥(t-1)3-3(t--2me)
②
(14分)
令m()=(t-1)2-3(t-是-2tmt)
m)=3t-102-3(1+后-)=3c-1-0=30c-1(1-高0，
故m(t)单调递增，m(t)>m(1)=0
③-
(16分)
由②③可得(x1-x2)(f'(x1)+f'(x2)-2(f(x1)-f(x2)>0.
所以，当k≥-3时，任意的x1,x2∈1，+∞)，且x1>x2,有
f'0)+f'x22>fx)-fx2）
(17分)
2
X1-X2
3
19.(1)设第i局比赛棋手胜为事件A,棋手平为事件B,棋手负为事件C（i∈N),“两局后比赛终
止”为事件M,
因为棋手与机器人比赛2局，所以棋手可能得0分或300分比赛终止.
(i)当棋手得分为0分，则2局均负，即CC2;
(ii)当棋手得分为300分，则2局先平后胜，即B,A2.
因为CC2、BA2互斥，所以P(M)=P(CC2+BA2)=P(CC2)+P(BA2)
=PG)PG+Pa)P6)-+=亮
所以两局后比赛终止的概率为、
(4分)
(2)设“3局后比赛终止”为事件D,“3局后棋手挑战成功”为事件E,
因为ro-a4+4cc+c4+c4c)-++)+品e,
--（6分)
P()=P(A84+C4)=(用+分=
(8分)
3
所以在3局后比赛终止的条件下，横手挑战成功的概率为P(61D)=PD四-_醉=3
P(D)P(D=置六，-(9分)
64
(3)因为”局获奖励1万元，说明甲共胜2局.
(1)当棋手第n局以0分比赛终止，说明前n-1局中有3负2胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其余
均为平局，共有C种，
--（10分)
(ii)当棋手第n局以300分比赛终止，说明前n-1局中有1负1胜，且是先负后胜的顺序，其余均为
平局，共有C种，
-(11分)
则“n(n≥10)局后比赛终止且棋手获得1万元奖励”的概率
Po)-e(目+ca-+c,a2o.
（13分)
u器
c+8c-4c2-32c=c:-4c2)+8(cg-4c)-a-8-3m）+n-ln-2n-3m-420-3n）
15
因为n≥10，所以C%+8C-4C-1-32C%,<0,
所以c1,所以P间单调递减，
P(n)
(15分)
所以当n=10时，P(m)取最大值为P(I0)=21
217
(17分)