2025-2026学年人教版九年级数学 二次函数实际问题--面积、动点、拱桥问题 同步练习（含答案）

2025-2026学年人教版九年级数学 二次函数专题
--面积、动点、拱桥问题
一、面积问题
1．如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为5m），设花圃的宽为xm，面积为．
(1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
(2)要围成面积为的花圃，的长是多少米？
(3)当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？
2．如图，利用一面墙（墙长米），用总长度米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个米的小门，设栅栏长为米．
(1)若矩形围栏面积为平方米，求栅栏的长；
(2)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在，请说明理由．
3．将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点，点C在第一象限，与y轴交于点G，P为线段上一点，过点P作直线l交于点Q，，沿直线折叠该纸片，折叠后点A，D的对应点分别为，．
(1)填空：如图①，当点P与点O重合时，点Q与点D重合，则点C的坐标为______，点的坐标为______；
(2)设折叠后与矩形重叠部分的面积为S．设．
①如图②，当折叠后四边形与矩形重叠部分为五边形时，与交于点F，与交于点E，试用含t的式子表示线段的长，并直接写出t的取值范围；
②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
二、动点问题
4．在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，的长度等于？
(2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．
5．如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，点作于，连接交边于，以、为边作平行四边形，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为．
(1)当__________时，为直角三角形；
(2)若点在的平分线上，求的值．
(3)设四边形面积为，求与的函数关系式并写出的最值．
6．如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．
(1)当时，求的值；
(2)当时，求的值；
(3)求与之间的函数关系式．
7．如图1，在边长为正方形中，动点同时从点出发，以的速度分别沿和的路径向点运动．设运动时间为（单位：），的面积为（单位：），则关于的函数图象如图2．
(1)求关于的函数解析式；
(2)当为何值时，有最大值，最大值是多少．
(3)当为何值时，为．
三、拱桥问题
8．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．
(1)建立平面直角坐标系并写出函数解析式．
(2)水面下降，水面宽度增加多少？
9．黄河流域兰州白塔山段综合提升改造项目是兰州市落实国家黄河流域生态保护和高质量发展战略谋划的重点工程．项目总投资万元，项目隧道工程西起龙源公园，东至靖远路，主线全长约2245米．建设地点位于兰州市北滨河路中山桥两侧，现要修建隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求∶，该抛物线的顶点P到的距离为．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．
10．某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，在图中建立平面直角坐标系（以中点为原点，抛物线对称轴所在直线为轴），拱桥高度，跨度，为了使观景拱桥更加坚固，在拱桥内部修建一个“”型支架，其中点在拱桥上，点在上，点在上．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若，用含的式子表示出图形“”的长为，并求出的最大值．
11．小宇遇到了这样一个问题：
如图是一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4m，最高处到地面的距离为4m，两侧墙高和均为3m，今有宽的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于，点是卡车右边边缘线与地面的交点，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m）
为解决这个问题，小宇以中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为．
(1)写出M、C、N、F四个点的坐标；
(2)求出抛物线的表达式；
(3)利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题．
12．公路隧道是专供汽车运输行驶的通道，隧道截面可视为抛物线的一部分，隧道底部宽为，高为．为了避免隧道内行车容易疲劳，拟在隧道顶部安装上下竖直高度为的水平警示灯带．普通货车的高度大约为（载货后高度），为保证安全，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于．现以中点为原点，所在直线为轴，所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在安全的前提下，确定灯带的最大安装长度（即灯带顶部左右两侧的距离）．
2025-2026学年人教版九年级数学 二次函数专题--面积、动点、拱桥问题
参考答案
一、面积问题
1．（1）解：由题意，得：，
∴；
∵，
即，
解得：，
∴x值的取值范围为：；
（2）当时，
即，
解得：，
∵，
∴，
即的长是3米；
（3），
∵，抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴当时，S取的最大值，
∴当的长是m时，围成的花圃面积最大．
2．（1）解：设栅栏长为米，
米，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：．
当时，，不合题意，舍去，
当时，，符合题意，
答：栅栏的长为米；
（2）解：矩形围栏面积存在最大面积；理由如下：
设矩形围栏面积为，
根据题意得，，
，
，
，
当时，即米时，有最大值．
3．（1）解：作于M，
．
点，点，点，
四边形为矩形，
，轴，，，．
点C的纵坐标为．
四边形是矩形，
，．
．
点C的坐标为．
，
．
．
．
沿直线折叠该纸片，
，．
．
．
．
点的坐标为．
故答案为：，．
（2）解：①由（1）可知：，，．
由折叠可知：，，，，．
．
，
，．
．
，
．
．
四边形是矩形，
．
，．
．
．
．
．
．
，
．
当过点G时，（G于F重合）为四边形，
，
．
，
．
重叠部分为五边形，
．
②时，为五边形，过作于N，交于，
．
，
．
四边形为矩形．
，．
．
，
．
．
．
．
．
，
．
，且此时，
当时，．
当时，．
重叠部分为五边形，S的取值范围：．
当重叠部分为三角形时，如图
点C的坐标为，四边形是矩形，
，，，
．
可知此时．
当重叠部分为四边形时，则此时．
交于Y，作于R，如图
，四边形为矩形，四边形为矩形．
，，．
，
．
，
，解得．
．
，
．．
．
由折叠可知：．
．
．
．
当时，．
当时，．
综上所述：．
二、动点问题
4．（1）解：由题意，得：，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴当时，，
解得：或；
（2）存在，理由如下：
∵五边形的面积，
∴当五边形的面积等于时，，
解得：或，
∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，
∴当点到达点时，，
∴，
∴当时，五边形的面积等于；
（3）存在，
∵，
∵，
∴当时，的面积最大为．
5．（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∴当时，，
∴，
∴，
∴时，是直角三角形．
故答案为：2；
（2）解：是等边三角形，四边形为平行四边形
若点F在的平分线上，则平分
，
，
，
由已知可得，
在中得出，
，
，，
，
解得，
（3）解：过点P作平行于，交于点G，如图示，
是等边三角形，
∴，
是等边三角形
，
，
，
∵，
∴,
又,
∴，

∴，
∴抛物线开口向下，
∵
∴当时，最大值．
6．（1）解：过点C作于点E，如图，，
∵，，，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
即此时P运动到点E，
∴，
即．
（2）①当时，如图
由（1）可得
，
在矩形中，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
解得．
②当时，如图
∵，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴
解得．
综上所述，t的值为2或6．
（3）①当时，矩形与重叠部分图形为，如图
；
②当时，矩形与重叠部分图形为四边形，如图
③当时，矩形与重叠部分图形为五边形，如图
有，，
，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∴
∴，
∴，
∴
．
综上所述，当时，；
当时，；
当时，．
7．（1）当时，
∵，
∴．
当时，如图，连接，
由题意知，，
∴
，
∴；
（2）由图象可知，在两段函数分界点处S取得最大值，
∴当时，S取得最大值，最大值为；
（3）当时，
由，得（负值舍去）．
当时，
由，得（负值舍去）．
综上可知，当或时，为．
三、拱桥问题
8．（1）以拱顶为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系
则抛物线的顶点在原点，设其解析式为
当拱顶离水面时，水面宽
即当时，
将代入解析式得：
解得：
所以函数解析式为：
（2）当水面下降时，此时拱顶离水面，即
代入解析式得：
解得：
此时水面宽度为
原水面宽
所以水面宽度增加：
9．（1）解：由题可知：抛物线的顶点坐标，
可设抛物线的函数表达式为，
∵在抛物线上
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：由题可知：点A、B的纵坐标为6，
∴，
解得：，
∴点A、B的坐标分别为：，．
10．（1）解：（1）由题意得，，，
设抛物线的函数表达式为，
代入得，，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：由抛物线的对称性可得，
∴，，，
当时，；当时，；
∴，，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
同理可得，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴当时，的最大值为．
11．（1）解：由题意可得：，，点与点关于对称，
∴点的坐标为：，点的坐标为：，
∴，
∵，
∴；
∵卡车宽为，
∴，
∴；
（2）解：∵抛物线的解析式为：，把，代入可得：
， 解得：，
∴抛物线的解析式为；
（3）∵卡车宽为米，
∴时的高度为：，
∵到隧道顶面对应的点的距离应不小于米，
∴的最大高度为，
∴卡车载物后的限高应是米．
12．（1）解：由题意可得，顶点的坐标为，，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线过，
∴， 解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵普通货车的高度大约为，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于，
∴悬挂点的纵坐标，即悬挂点的纵坐标的最小值是，
当时，，
解得，
∴灯带的最大安装长度是．
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