湘教版2025—2026学年九年级上册数学期中考试全真模拟试卷（含答案）

湘教版2025—2026学年九年级上册数学期中考试全真模拟试卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．已知点在反比例函数的图像上，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知一元二次方程的两根为、，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．4
3．某机械厂一月份生产零件50万个，第一季度生产零件200万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．在同一坐标系中，函数y=和y=kx+1的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C．且 D．
6．已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　　）
A． B．2a=3b C． D．3a=2b
7．如图，与位似，点O是它们的位似中心，且它们的周长比为，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点D，且，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，E为AB上一点，AC与DE相交于点F， S△AEF=3，则S△FCD为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．27
10．设函数 ，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，和的值正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．若，则 ．
12．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
13．如图，直线过原点分别交反比例函数于、，过点作轴，垂足为，则 的面积为 ．
14．当 时，方程是关于x的一元二次方程．
15．如图，直角三角形纸片ABC，，AC边长为10cm．现从下往上依次裁剪宽为4cm的矩形纸条，如果剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC的长是 cm．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BA=12cm，AD、BE是两条中线，F为其交点，那么CF= cm．
第II卷
湘教版2025—2026学年九年级上册数学期中考试全真模拟试卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．用适当的方法解下列方程
(1) (2)
18．如图，等边三角形的边长为3，点为边上一点，且，点为边上一点，若，求的长．
19．已知关于x的方程．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值．
20．如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式：
(2)根据图象直接写出时，x的取值范围：
(3)求的面积．
21．如图，在矩形，是的中点，，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
22．“骑行安全最重要，安全头盔要戴好．”2024年6月1日起，新修订的《成都市非机动车管理条例》正式实施，对驾驶非机动车闯红灯、不戴头盔、逆行等违法行为做出了规范．据了解，某经销商以25元/个的价格购入一批头盔，按50元/个的价格销售一段时间后，连续两次对该头盔进行降价，两次降价后，该头盔的售价为32元/个．
(1)若该经销商两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当头盔售价为50元/个时，每月能够售出200个，当售价每降1元时，则月销量能增加20个．若要使月销售利润为5720元，则头盔的售价应为多少元？
23．如图，A（m，4）、B（n，2）在反比例函数y＝的图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接AB，在线段CD上求一点E，使得的面积为5；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数与正比例函数相交于整点A，与一次函数相交于整点B、C，正比例函数与一次函数相交于点D，线段与线段上的整点个数之比记作．
(1)当时，求D点的坐标和m值．
(2)当线段BC上的整点个数为7，时，求t的值．
(3)当时，请直接写出t与m之间的关系式．
25．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

中小学教育资源及组卷应用平台
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C A B B C D D A
二、填空题
11．
12．4049
13．
14．
15．20
16．4
三、解答题
17．【解】（1）解：，
整理得，
因式分解得，即，
∴，，
∴，；
（2）解：，
因式分解得，
∴，，
∴，．
18．【解】解：∵ △ABC 是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：．
19．【解】（1）证明：根据题意可知：，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
∴，
解得
20．【解】（1）解：将代入得，，
解得，，
∴反比例函数解析式为，
将代入得，，即，
将，代入得，，
解得，，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由题意知，的解集为一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的的取值范围，
∴由图象得：的解集为或；
（3）解：当时，，即，
∴，
∴的面积为．
21．【解】（1）证明：四边形是矩形，
，，
∴．
，
．
．
（2）解：是的中点，，
，
，，
．
四边形是矩形，
．
，
．
．
22．【解】（1）解：设每次降价的百分率为，
根据题意得：，
解得或（舍去），
每次降价的百分率为；
（2）解：设头盔的售价应为元，
根据题意得：，
整理得，
解得或，
头盔的售价应为47元或38元．
23．【解】解：（1） A（m，4）、B（n，2）在反比例函数y＝的图象上，DC＝3．AD⊥x轴，BC⊥x轴，
，
解得：
反比例函数的解析式为
（2）如图，设点 而
∴
∵
∴，
∴点
（3）∵
又∵是定值，
∴当的值最小时，的周长最小，
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
此时有最小值，
设直线的解析式为，
解得
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点
24．【详解】（1），
，
由，解得：，
，
点为整点，且点的横坐标是小于2的正整数，
点的横坐标为1，
，
把代入，得，
解得：，
，
联立得，解得：，，
，
由，解得：，
，，
线段上整点有1个：，线段上整点有4个：，，，．
；
（2）线段上的整点个数为7，，必为整点，
为偶数，
，
，，
，
线段上有3个整点，
，，
，
，
解得：；
（3）当时，线段AD上整点个数为2，即A、D两点，
∴线段BC上整点个数为2m，由对称可知，BD上整点个数为，
设D（d，d），则，
又∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，线段AD上只有一个整点A，
∴线段BC上整点个数为m，
由对称BD上整点个数为，设A（a，a），则B，
∴，
∴，
∴，即；
综上，当时，；当时，
25．【解】（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．
（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=45°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．
②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC=（180°-48°）÷2=66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．
③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃，∴∠ACB=96°或114°．
（3）由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴设BD=x，∴），∵x＞0，∴x=，∵△BCD∽△BAC，∴=，∴CD=×2=．