2024-2025学年福建省福州市屏东中学九年级（上）月考数学试卷（1月份）(含部分答案)

2024-2025学年福建省福州市屏东中学九年级（上）月考数学试卷（1月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列运动项目的图标，其中不是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.下列事件为必然事件的是（　　）
A. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上的面点数为奇数
B. 某射击运动员射靶一次，正中靶心
C. 打开电视，正在播放春晚
D. 口袋中仅装有5个白球，从中摸出1个球是白球
3.下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（　　）
A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁
4.将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（　　）
A. y=（x-1）2+2 B. y=（x+1）2+2 C. y=（x-1）2-2 D. y=（x+1）2-2
5.如图，在四边形ABCD中，点A，B，D在⊙O上，点C在⊙O外，BC与CD交圆于E，F两点，请判断∠BAD+∠BCD的度数是（　　）
A. 小于180°
B. 大于180°
C. 等于180°
D. 不能确定
6.在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为5，则k的值是（　　）
A. 10 B. 5 C. -10 D. -5
7.如图，⊙O中，弦AB的长为8，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=22.5°，⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A. 点P在⊙O上
B. 点P在⊙O内
C. 点P在⊙O外
D. 无法确定
8.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m,宽为22m.停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2，求车道的宽度（单位：m）.设停车场内车道的宽度为x m,根据题意所列方程为（　　）
A. （40-2x）（22-x）=520 B. （40-x）（22-x）=520
C. （40-x）（22-2x）=520 D. （40-x）（22+x）=520
9.如图，正十边形ABCDEFGHIJ内接于⊙O，点M在上，则∠HME的度数是（　　）
A. 36°
B. 45°
C. 54°
D. 72°
10.已知抛物线在x轴上方的图象上存在一点P，使得OP与x轴的夹角为60°，则c的取值范围是（　　）
A. 0＜c＜6 B. C. 0≤c≤6 D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知点A（a,2）与点B（-2，b）关于原点对称，则ab的值为 .
12.为考查一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如表所示：
移植总数n 40 150 300 500 700 1000 1500
成活数m 35 134 271 451 631 899 1350
成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900
估计这种幼苗移植成活的概率是______（结果精确到0.1）.
13.某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地.小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB，OC分别与⊙O交于点A，D.OA=1m,AB=9m,∠AOD=40°，则长为______m（结果保留π）.
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为 .
15.如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m,高度是4m.若实心球落地点为M，则OM= ______m.
16.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=1，BC=2，对角线AC，BD交于点E，当边AB的长度发生变化时，则①点E到边AB的距离不变；②若AB长度增加2a,则E点到AD距离增加a；③若2≤AB≤4，则；④若，则.以上说法中正确的是： .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
解方程：x2-2x=3.
18.(本小题9分)
如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB=3，AD=2，CE=1．求DF的长度．
19.(本小题9分)
一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀.
（1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______；
（2）若从盒子中任意抽取2张书签，求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率.（请用画树状图或列表的方法说明理由）
20.(本小题9分)
给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示.
（1）求p与V的关系式；
（2）当气球内的气压超过150kPa时，气球会爆炸，若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式取3）.
21.(本小题9分)
如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB=CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA=∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B=70°，∠A=15°.
（1）求证：AB=ED；
（2）求∠AFE的度数.
22.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E.
（1）仅用无刻度直尺和圆规求作⊙O，使得⊙O经过A，C两点，且与直线BC相切；
（2）在（1）的条件下，设⊙O交AB于点F，若点F恰为AB的中点，求证：BC2=2AF2.
23.(本小题9分)
数学兴趣小组开展探究活动，研究了“求所有的正整数对（a,b），使得如下两个关于x的方程：x2-ax+b=0和x2-bx+a=0均有两个不同的整数根”的问题.
指导老师将学生的发现进行整理，部分信息如下：
设x1，x2（x1＜x2）为方程x2-ax+b=0的两个不同的整数根，
则x1+x2=a,x1x2=b.
∵a,b为正整数，∴x1，x2为正整数，
∴（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=______≥0，
∴b≥a-1.
设x3，x4（x3＜x4）为方程x2-bx+a=0的两个不同的整数根，则x3+x4=______，x3x4=______.
∵a,b为正整数，∴x3，x4为正整数，
∴（x3-1）（x4-1）=x3x4-（x3+x4）+1=a-b+1≥0，
∴b≤a+1，
∴______，
∵a,b为正整数，∴b=a-1或b=a或b=a+1.
分三种情形讨论：
①若b=a-1，则（x3-1）（x4-1）=a-b+1=2，
∵x3，x4为正整数，且x3＜x4，
∴x3-1=1，x4-1=2，∴x3=2，x4=3，
∴a=x3x4=6，b=x3+x4=5，
当a=6，b=5时，x1=1，x2=5，符合要求；
②若b=a,则（x3-1）（x4-1）=a-b+1=1，
∵x3，x4为正整数，∴x3=x4=2与______矛盾，
∴b=a不符合要求；
③若b=a+1，则
阅读以上内容，解答下列问题：
（1）请在横线上填写所缺内容；
（2）请完善情形③所省略的内容.
24.(本小题9分)
日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器.在学习了投影与视图以及圆等有关知识后，数学兴趣小组的同学们前往实地观察赤道式日晷，深入探究其奥秘.
任务一：赤道式日晷摆放方式探究
经查阅资料可知，赤道式日晷摆放方式如图1所示，赤道所在平面与晷面平行，此时赤道式日晷晷针和地面之间的夹角等于当地的地理纬度α（即∠POC=α）.请你结合图2，证明该结论.
任务二：赤道式日晷晷盘研究
（1）已知赤道式日晷（如图3）是由晷盘、晷针和底座组成，晷面内圈被分为十二个全等的图形，分别标示着“十二地支”（子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥）.同学们通过观察并测量得到晷面内圈的半径OA为30cm（如图4）.若晷针的投影超过内圈圆，则从“巳”时始到“申”时末，晷针在晷面上的投影（从OA旋转到OB）扫过的图形与内圈圆重叠部分的面积是______cm2.
（2）各小组成员在不同的时刻对日晷进行了观察.如下图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段DE为日晷的底座，点C为日晷与底座的接触点，DE与⊙O相切于点C，点A，B，F均在⊙O上，且AB为直径，OA，OB，OF为不同时刻等针的影子，OF，OB的延长线分别与DE相交于点E，D，连接AC，BC，测得OE∥BC，若，求BC的长.
25.(本小题14分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx-1（a、b为常数，a＞0）.（1）若抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，求抛物线对应的函数表达式；
（2）如图，当b=1时，过点C（-1，a）、分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD.求证：MD平分∠CMN；
（3）当a=1，b≤-2时，过直线y=x-1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H.若GH的最大值为4，求b的值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】-4
12.【答案】0.9
13.【答案】
14.【答案】（1，1）
15.【答案】
16.【答案】①③
17.【答案】解：x2-2x=3，
x2-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0，
∴x1=3，x2=-1．
18.【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=3，∠ADC=∠C=90°．
∵CE=1，
∴DE==．
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°=∠C，∠ADF+∠DAF=90°．
又∵∠ADF+∠EDC=90°，
∴∠EDC=∠DAF，
∴EDC∽ DAF，
∴=，即=，
∴FD=，即DF的长度为．
19.【答案】
20.【答案】；
估计气球的半径至少为0.2m时气球不会爆炸
21.【答案】∵∠ECA=∠DCB，
∴∠ECA+∠ACD=∠DCB+∠ACD，即∠ECD=∠ACB，
∵将边CA绕点C旋转到CE的位置，
∴AC=EC，
在△ACB与△ECD中，
，
∴△ACB≌△ECD（SAS），
∴AB=ED；
55°
22.【答案】如图，⊙O即为所求：
连接OF，CF，
∵OF=OC，
∴∠OFC=∠FCO，
∵∠OFC+∠OCF+∠FOC=180°，
∴，
∵⊙O与直线BC相切，
∴∠OCB=90°，
∴，
∵，
∴∠A=∠FCB，
∵∠B=∠B，
∴△BFC∽△BCA，
∴，
∴BC2=BF×BA，
∵点F为AB的中点，
∴AF=BF，AB=2AF，
∴BC2=AF×2AF，
即BC2=2AF2
23.【答案】b-a+1；b；a；a-1≤b≤a+1；与x3，x4（x3＜x4）为方程x2-bx+a=0的两个不同的整数根；
若b=a+1，则（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=b-a+1=a+1-a+1=2，
∵x1，x2为正整数，且x1＜x2，
∴x1-1=1，x2-1=2，
∴x1=2，x2=3，
∴a=x1+x2=5，b=x2x3=6，
当a=5，b=6时，x3=1，x4=5，符合要求
24.【答案】300π；
BC=7
25.【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，
∴分别将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-1中，
得，
解得，
∴抛物线对应的函数表达式为．
（2）证明：连接CN，如图，
∵b=1，
∴y=ax2+x-1，
当x=-1时，y=a-2，
∴M（-1，a-2），
当x=1时，y=a,
∴N（1，a），
∵C（-1，a），N（1，a），
∴CN=2，CM=a-（a-2）=2，CM⊥CN，
在Rt△CMN中，CM=2，CN=2，
∴，
∵，
∴DN=MN，
∴∠NDM=∠NMD，
∵DN∥CM，
∴∠NDM=∠CMD，
∴∠NMD=∠CMD，
∴MD平分∠CMN．
（3）解：设G（m,m-1），则H（m,m2+bm-1），1≤m≤3，
当a=1时，y=x2+bx-1，
∵过直线y=x-1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，
令x2+bx-1=x-1，
解得x1=0，x2=1-b.
∵b≤-2，
∴x2=1-b≥3，
点G在H的上方，如图，
设GH=t,则t=-m2+（1-b）m,
其对称轴为，且，
①当时，即-5≤b≤-2，
由图可知，
当时，t取得最大值，
解得b=-3或b=5（舍去），
②当时，得b＜-5，
由图可知，
当m=3时，t取得最大值-9+3-3b=4，
解得（舍去），
综上所述，b的值为-3．
第1页，共1页