第二章一元二次方程单元测试卷（含答案）北师大版2025—2026学年九年级上册

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第二章一元二次方程单元测试卷北师大版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．不能确定
2．若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
3．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）．
A．2024 B．4 C．2022 D．0
4．在一幅长为，宽为的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．一元二次方程经过配方变形为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．方程有两个相等的实数根，且满足则m的值是（ ）
A．-2或3 B．3 C．-2 D．-3或2
7．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值是（ ）
A． B． C．-3 D．3
8．若实数满足，且，则的值为（　　）
A． B． C．或 D．或
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．方程的根为 ．
10．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为 ．
11．若关于的一元二次方程的两个根为，，则关于的一元二次方程的解为 ．
12．已知，则 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．用适当的方法解下列方程：
(1)； (2)．
14．已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程．
(1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由．
(2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程．
15．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元．
(1)求第一批购入A、B两款头盔的数量；
(2)12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？
16．已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)若，求的值．
17．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若这个方程的两根为，，且满足，求k的值．
18．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．
(1)若方程为，求出该方程的衍生点M的坐标；
(2)若关于x的一元二次方程为的衍生点为M，且点M在直线上，求m的值；
(3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图像上？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1—8：CCBBCCDC
二、填空题
9．
10．16
11．，
12．6
三、解答题
13．【解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，．
14．【解】（1）解：是美妙方程，理由如下：
∵中，，，，
∴，
故该方程是美妙方程；
（2）解：∵美妙方程的一个根是，
∴，
解得：，
∴这个美妙方程是．
15．【解】（1）解：设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个，
由题意得：，
解得：，
∴，
答：第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个；
（2）解：设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：A款头盔的单价上涨了10元．
16．【解】（1）解：，
∵原一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根，
∴，，
∵，
∴．
∴．
解得，．
又∵，
∴．
17．【解】（1）证明：∵，
∴，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，．
18．【解】（1）解：解方程得，
，
， ，
，
该方程的衍生点M的坐标为；
（2）方程为，
，
，或，，
①当，即时，
衍生点M的坐标为．
∵点M在直线上，
代入得，
∴，符合题意；
②当，即时，
衍生点M的坐标为，
∵点M在直线上，
代入得，
，与矛盾，故舍去；
综上，；
（3）存在b，c满足条件，理由如下：
，
直线经过定点，
∴方程的衍生点M为，
即，，
，
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