第二章一元二次方程单元检测试卷（含答案）北师大版2025—2026学年九年级上册

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第二章一元二次方程单元检测试卷北师大版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ）
A． B． C． D．a为任意实数
2．一元二次方程有两个相等的实数根，且满足，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列关于一元二次方程根的情况说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．若关于x的方程x2﹣mx+3＝0的一个根是x1＝1，则另一个根x2及m的值分别是（　　）
A．x2＝3，m＝﹣4 B．x2＝1，m＝4 C．x2＝2，m＝﹣4 D．x2＝3，m＝4
5．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．4 B．-4 C． D．
6．若，则的值为（ ）
A．2或 B．或6 C．6 D．2
7．某地计划三年内投入1900万元资金进行生态建设，以此带动本地旅游业的发展，本年度当地旅游业收入估计为400万元，如果在今后的三年内（本年度为第一年）每年旅游业的收入比上年增长百分数相同，则三年内旅游业的总收入恰好等于投资总额，设旅游业的收入比上年增长的百分数为x，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若方程的两根为，，则的值为（ ）
A． B．1 C．5 D．7
9．若关于x的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　）
①；
②，；
③；
④关于的一元二次方程的两个根为，．
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
12．若实数满足 ，则的值为 ．
13．已知方程的两根分别为和，则的值为 ．
14．方程的较大的根为p，方程的较小的根为q， ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．解方程：
(1) (2)
16．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若该方程的两个实根满足，求的值．
17．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．
(1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率．
(2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？
18．一元二次方程两根分别为，且（）
(1)若此方程一个根为1，则______；
(2)当，时，求a，b的值；
(3)若，，且时，求证：
19．综合与实践
已知关于的一元二次方程（），且方程的两根为，．
(1)当时，求方程的根．
(2)若，，，且，恰好的两条直角边的长，求此的斜边的长．
(3)若，且，求的值．
20．阅读材料，解答问题：
材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)【直接应用】解方程：；
(2)【间接应用】已知实数a，b满足：，，且，求的值；
(3)【拓展应用】已知实数x，y满足：，且，求的值．
参考答案
一、选择题
1—10：ABADC DDDBC
二、填空题
11．【解】解：由题意得，
解得：．
故答案为：．
12．【解】解：设，则，
，即，
解得：，
，
．
故答案为：1．
13．【解】解：∵方程的两根分别为和，
∴，
则
故答案为：16
14．【解】解：，
，
，
∴，
解得，，
∵较大根为p，
∴，
由方程，
，
解得：，，
∵较小根为q，
∴，
∴，
故答案为：2025．
三、解答题
15．【解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴．
16．【解】（1）∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：；
（2）解：∵一元二次方程的两个实根是和，
∴，，
∵，
∴，
解得：．
17．【解】（1）解：设日平均增长率为，由题意得：，
解得：，（舍），
答：日平均增长率为；
（2）解：设每个玩偶降价元，由题意得：，
解得：，（舍），
答：每个玩偶降价元．
18．【解】（1）解：将代入方程，则，
；
（2）解：，，
，，
解得：，；
（3）证明：当，，且，
①，
②，
得：，
即，
因，
，
，
由题知：，
即，
故
19．【解】（1）解：∵
∴原方程为：，
可得：
（2）解：∵，，，
∴原方程为：
∵方程的两根为，，且，恰好的两条直角边的长，
∴
∴此的斜边的长为
（3）解：∵，
∴
∴原方程为：
∴
设
∴
由根与系数的关系：
∵，代入得：.
∴即
解得：或
∵中，
当时，
∴当时，，
当时，，原方程无实根，舍去，
综上所述，
20．【解】（1）解：令，则有，
∴，
∴，，
∴或，
∴，，，．
（2）∵，
∴或．
①当时，令，，
∴，则，，
∴m，n是方程的两个不相等的实数根，
∴，此时．
②当时，，
此时，
综上：或．
（3）令，，则，，
∵，∴，即，
∴a，b是方程的两个不相等的实数根，
∴，故．
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