第二十二章二次函数单元复习检测卷（一）（含答案）人教版2025—2026学年九年级上册

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第二十二章二次函数单元复习检测卷（一）人教版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．抛物线的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．
2．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
3．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为
4．若二次函数满足，则其图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线与x轴交于点，对称轴为，与y轴的交点在，之间（不包含端点），则下列结论：①；②；③若点，在抛物线上，则；④关于x的方程必有一实根大于2．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．二次函数，无论为何值，函数值总是成立的条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点，有下列结论：①abc＞0；②4ac﹣4a2＜0；③4a﹣2b+c＞0；④m（am﹣b）≥a﹣b；其中正确的结论为（　　）
A．①② B．①④ C．②④ D．③④
8．在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式y＝ax2+bx+c，则4a+2b+c的最大值等于（　　）
A．﹣5 B．2 C． D．5
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．若二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 　 　．
10．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 　 平方米．
11．无论k为任何实数，二次函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k的图象必过定点 　 　 ．
12．若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为　 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若对于该抛物线上的三个点，，，总有，求实数m的取值范围．
14．如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若矩形的顶点，在位于轴上方的抛物线上，一边在轴上（如图2），设点的坐标为，矩形的周长为，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的前提下（即当取得最大值时），在抛物线的对称轴上是否存在一点，使沿直线折叠后，点刚好落在轴上？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）P是抛物线上的点，且点P的横坐标是3，求△PAB的面积．
16．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点．
（1）分别计算点A，B，C的坐标．
（2）在第一象限的抛物线上求点P，使得S△PBC最大．
17.某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为30m的篱笆围成．已知墙长为18m，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为x（m），其中6≤x＜15，平行于墙的一边的长为y（m），矩形劳动实践基地的面积为S（m2）．
（1）请直接写出y与x，S与x的函数关系式；
（2）当S＝100m2时，求垂直于墙的一边长；
（3）若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过14m，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值．
18．已知是自变量的函数，当（为常数）时，称函数为函数的“阶升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的阶升幂点”，点在函数的“阶升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“2阶升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的2阶升幂点”，点在函数的“2阶升幂函数”的图象上．
(1)求函数的“3阶升幂函数”的函数表达式；
(2)点在函数的图象上，点“关于的1阶升幂点”在点的上方，当时，求点的坐标；
(3)已知函数是函数的“阶升幂函数”，与的图象交于，两点，若，且，求的取值范围．
参考答案
一、选择题
1—8：ABDBCCCC
二、填空题
9．若二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 　m≤　．
【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×m≥0，
解得m≤，
即m的取值范围为m≤．
故答案为：m≤．
10．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 　450　平方米．
【解答】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（60﹣2x）米，
又墙长为40米，
∴0＜60﹣2x≤40．
∴10≤x＜30．
又菜园的面积＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450，
∴当x＝15时，可围成的菜园的最大面积是450，
即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米．
故答案为：450．
11．无论k为任何实数，二次函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k的图象必过定点 　（﹣1，5）　 ．
【解答】解：原式可化为y＝2x2﹣3x+k（x+1），
∵二次函数的图象必过定点，即该定点坐标与k的值无关，
∴x+1＝0，解得x＝﹣1，
此时y的值为y＝2+3＝5，图象必过定点（﹣1，5）．
故答案为：（﹣1，5）．
12．若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为　﹣5或1　 ．
【解答】解：y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1，
∵二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，
∴①当﹣1﹣t＞t+3，即t＜﹣2时，2t2+4t+1＝31
解得 t1＝﹣5，t2＝3（舍去）．
②当﹣1﹣t＜t+3，即t＞﹣2时，2（t+2）2+4（t+2）+1＝31，
解得 t1＝﹣7（舍去），t2＝1；
③当t＞﹣1时，2（t+2）2+4（t+2）+1＝31，
解得 t1＝﹣7（舍去），t2＝1；
综上所述，t的值是﹣5或1．
故答案为：﹣5或1．
三、解答题
13．【解】（1）解：抛物线，
抛物线的对称轴为直线．
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
到对称轴的距离小于到对称轴的距离，
，
抛物线开口向下，
抛物线上的三个点，，，总有，
．
．
①当时，
．
．
②当时，
．
．
综上，或．
14．【解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，
∴
解得
∴抛物线的函数表达式为；
（2）设点，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点M和点F关于直线对称，
∴，
∴矩形的周长为，
即的最大值为，此时，即；
（3）存在，
设点，由（2）可知，点，则点，沿直线折叠后，点刚好落在轴上，即为点，
由题意可知，，且,
即，且，
解得，，
∴或
15．【解答】解：（1）把点A的坐标（﹣1，0）代入抛物线中得：2+c＝0
∴c
∴抛物线的解析式为：yx2+2x；
（2）∵P是抛物线上的点，且点P的横坐标是3，
∴yP2×34，
∴P（3，4），
当y＝0时，x2+2x0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1，
∴B（5，0），
∵A（﹣1，0），
∴AB＝5﹣（﹣1）＝6，
∴△PAB的面积12．
16．【解答】解：（1）令x＝0得y＝2，故点C坐标为（0，2），
令y＝0得，
解得：x1＝4，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
（2）设点P坐标为（t，），
过点P作PM⊥x轴于点M，连接PC，PB，BC，如图1，
则PM，BM＝4﹣t，OM＝t，OB＝4，OC＝2，
令三角形PBC的面积为m，
则m＝S四边形OBPC﹣S△BOC
＝S梯形OMPC+S△PMB﹣S△PBC
4
＝﹣t2+4t，
∵抛物线m＝﹣t2+4t的开口向下且0＜t＜4，
∴当t＝2时，m最大，最大值为4，
即当点P坐标为（2，3）时，S△PBC最大．
17.【解答】解：（1）由题意可知，2x+y＝30，
∴y＝30﹣2x，
y与x的函数关系式为y＝30﹣2x；
S＝xy＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，
∴S与x的函数关系式为S＝﹣2x2+30x；
（2）∵S＝100，
∴100＝﹣2x2+30x，
解得x1＝10，x2＝5，
∵6≤x＜15，
∴x＝10，
∴当S＝100m2时，垂直于墙的一边长为10m；
（3）由题可得﹣2x+30≤14，
解得x≥8，
∵6≤x＜15，
∴8≤x＜15，
S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5
∵﹣2＜0，开口向下，对称轴为直线x＝7.5，
∴当x＝8时，S有最大值，S＝112m2．
所以当垂直于墙的一边长为8m时，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为112m2．
18．【解】（1）解：由题意，得：
（2）∵点在函数的图象上，
∴设，
由题意，得：，即：，
∵点在点的上方，，
∴，
解得：，
∴；
（3），
令，整理，得：，
∵与的图象交于，两点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，则：，与矛盾，不符合题意，
∴，
∴，
∵
，
，
∵，
∴当时，，
当时，，
∴，
∴．
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