第二十二章二次函数单元测试卷（含答案）人教版2025—2026学年九年级上册

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第二十二章二次函数单元测试卷人教版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．若是关于的二次函数，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．已知二次函数（为常数）的图像与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值7，最小值 B．有最大值，最小值
C．有最大值，最小值 D．有最大值7，最小值
4．抛物线的顶点为，抛物线与y轴的交点位于x轴上方，以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线y＝x2与直线y＝x﹣1的交点情况是（　　）
A．有两个交点 B．有且只有一个交点
C．至少有一个交点 D．没有交点
6．关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m＞1）的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
7．对于抛物线y＝ax2﹣（2a+1）x﹣a+1，当x＝﹣1时，y＜0，则这条抛物线的顶点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，点A是抛物线y＝a（x﹣3）2+k与y轴的交点，AB∥x轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若△ABC为等边三角形，则a的值为（　　）
A． B．
C． D．1
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x 3 4 5 6 7 8 …
y m …
则表格中m的值是 ．
10．在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x …… 1 …
y … 0 …
则当时的最小值为 ．
11．若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是 ．
12．已知点A（，）（）是二次函数（）图象上一点，当时，二次函数的最大值和最小值分别为6和，则的值为 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．抛物线的顶点坐标为，且图像经过点．
(1)求函数解析式．
(2)求抛物线与坐标轴交点坐标．
14．某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价（元）满足一次函数关系，并且当时，；当时，．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过45元．
(1)求y关于的函数关系式；
(2)当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？
(3)求商家销售该商品每天获得的最大利润．
15．如图所示，已知抛物线的顶点为，且与x轴的一个交点为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求时，x的取值范围．
16．如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为．
(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为E，请探究是否有最大值 若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
17．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4，其中a≠0．
（1）求该二次函数图象的对称轴；
（2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，其中x1＜x2，求x1+2x2的值．
（3）若a＝1，当t﹣1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值．
18．已知二次函数y＝x2﹣6x+5．
（1）求二次函数的顶点坐标和对称轴；
（2）当1≤t≤6时，函数的最大值和最小值分别是多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
参考答案
一、选择题
1—8：ADACDCAA
二、填空题
9．【解】解：由题意可得：抛物线的对称轴为：
直线，
∴与关于对称轴对称，
∴，
故答案为：；
10．【解】解：由表格可知，和时均有，
∴对称轴为：
观察表格，时，即顶点为，
设二次函数的顶点式为：
由表格中，，代入顶点式得：
，
即，
解得 ，
∴二次函数解析式为，
∴当时，y有最大值0，开口向下，越远离对称轴的函数值越小，
，
当时，取得最小值，为．
故答案为：．
11．【解】解：∵抛物线与轴没有交点，
∴，
解得：，
故答案为：．
12．【解】解：∵把代入中，得：,
∴，
∴函数解析式为：，
∵，
∴二次函数开口向上，对称轴为轴，
∵，
∴，，
①当，即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值，
∴，
解得：，
且，
则有，
解得：；
②当，即时，函数在处取得最大值，
∴，
解得：，这与矛盾，故不成立；
综上可得：．
故答案为： ．
三、解答题
13．【解】（1）解：设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线解析式为；
（2）解：当时，，
整理：，无实数解，
故抛物线与轴无交点，
当时，，则抛物线与轴的交点坐标为．
14．【解】（1）解：设关于的函数关系式为，
∵当时，；当时，，
∴，
解得：，
∴．
（2）解：成本为元，，每天获得的利润是元，
∴，
解得：，．
∵物价部门规定，该商品的销售单价不能超过元，
∴不合题意，应舍去．
∴当销售单价定为元时，商家销售该商品每天获得的利润是元．
（3）解：设商家销售该商品每天获得的利润为元，
则，
∵，
∵，
∴当时，取最大值为（元）．
答：商家销售该商品每天获得的最大利润为元．
15．【解】（1）解：设抛物线的表达式为．
把代入，得，解得．
∴抛物线的表达式为．
（2）解：令，得，解得， ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为．
根据图象得，当时，x的取值范围为．
16．【解】（1）解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为，
∴．
（2）（2）是有最大值，理由如下：
∵当时，，
∴．
设直线的函数表达式为，
∴，
解得．
∴直线的函数表达式为，
设，
则．
∴
．
当时，有最大值，
此时，
∴有最大值，为．此时．
17．【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝ax2﹣2ax+4，
∴对称轴是直线x1．
（2）由题意得，y＝ax2﹣2ax+4＝a（x2﹣2x）+4，
∵无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，
∴令x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，则y＝4．
又∵x1＜x2，
∴x1＝0，x2＝2．
∴x1+2x2＝0+2×2＝4．
（3）由题意得，当a＝1时，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3．
∴当x＝1时，y取最小值为3；当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大；抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
①当t≤1时，当x＝t﹣1时，y取最大值，y＝t2﹣4t+7；当x＝t时，y取最小值，y＝t2﹣2t+4，
∴t2﹣4t+7﹣（t2﹣2t+4）＝2．
∴t．
②当t﹣1＜1＜t时，即1＜t＜2．
∴当x＝1时，y取最小值为3．
又当x＝t﹣1时，y取最大值，y＝t2﹣4t+7或当x＝t时，y取最大值，y＝t2﹣2t+4，
∴t2﹣4t+7﹣3＝2或t2﹣2t+4﹣3＝2．
∴t＝2±（不合题意，舍去）或t＝1（不合题意，舍去）．
③当t﹣1≥1时，即t≥2时，当x＝t﹣1时，y取最小值，y＝t2﹣4t+7；当x＝t时，y取最大值，y＝t2﹣2t+4，
∴t2﹣2t+4﹣（t2﹣4t+7）＝2．
∴t．
综上，t或t．
18．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，﹣4）；
（2）∵顶点坐标为（3，﹣4），
∴当x＝3时，y最小值＝﹣4，
∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而减小，
∴当x＝1时，y最大值＝0，
∵当3＜x≤6时，y随着x的增大而增大，
∴当x＝6时，y最大值＝5．
∴当1≤x≤6时，函数的最大值为5，最小值为﹣4；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而减小，
当x＝t+3时，n＝（t+3）2﹣6（t+3）+5＝t2﹣4，
当x＝t时，m＝t2﹣6t+5，
∴m﹣n＝（t2﹣6t+5）﹣（t2﹣4）＝﹣6t+9，
∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去），
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴n＝﹣4，
i）当0≤t时，在x＝t时，m＝t2﹣6t+5，
∴m﹣n＝（t2﹣6t+5）+4＝t2﹣6t+9，
∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3，t2＝3（不合题意，舍去）；
ii）当t＜3时，在x＝t+3时，m＝t2﹣4，
∴m﹣n＝（t2﹣4）+4＝t2，
∴t2＝3，解得t1，t2（不合题意，舍去），
③当t≥3时，y随着x的增大而增大，
当x＝t时，n＝t2﹣6t+5，
当x＝t+3时，m＝（t+3）2﹣6（t+3）+5＝t2﹣4，
∴m﹣n＝t2﹣6t+5﹣（t2﹣4）＝﹣6t+9，
∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去），
综上所述，t＝3或．
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